SUPERFICIES. 2.4 Forma y curvatura: Curvatura normal. Curvaturas principales, fórmula de Euler. Curvatura de Gauss y media. Clasificación de puntos

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SUPERFICIES.

2.4 Forma y curvatura: Curvatura normal. Curvaturas

principales, f ´ormula de Euler. Curvatura de Gauss y media.

(2)

2.1 Superficie parametrizacida. Ecuaciones impl´ıcitas. Curvas param ´etri-cas.

2.2 Plano tangente y recta normal.

2.3 M ´etrica sobre una superficie: Primera forma fundamental y aplicacio-nes.

2.4 Forma y curvatura: Segunda forma fundamental. Curvatura normal. Curvaturas principales, f ´ormula de Euler. Curvatura de Gauss y media. Clasificaci ´on de puntos.

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Sea S una superficie parametrizada, con representaci ´on param ´etrica α : D ⊆ R2 −→ R3

α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

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Sea S una superficie parametrizada, con representaci ´on param ´etrica α : D ⊆ R2 −→ R3

α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

de clase al menos 3 en el conjunto abierto D y regular en todos sus puntos.

Segunda forma fundamental

Consideramos el vector unitario normal a la superficieS en un puntoα(u, v), N(u, v) = αu(u, v) ∧ αv(u, v)

||αu(u, v) ∧ αv(u, v)||

.

Los coeficientes de la segunda forma fundamental de α son e = αuu(u, v) ·N(u, v),

f = αuv(u, v) · N(u, v),

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Definici ´on Llamamos segunda forma cuadr ´atica fundamental de la superfi-cie S, a la forma cuadr ´atica

II : Tα(u,v)S → R II(w) = u0 v0 e f f g u0 v0

siendo (u0, v0) las coordenadas del vector w en la base de Tα(u,v)S dada por

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Definici ´on Llamamos segunda forma cuadr ´atica fundamental de la superfi-cie S, a la forma cuadr ´atica

II : Tα(u,v)S → R II(w) = u0 v0 e f f g u0 v0

siendo (u0, v0) las coordenadas del vector w en la base de Tα(u,v)S dada por

u(u, v), αv(u, v)}.

Ejemplo Sea S un plano, con parametrizaci ´on

α(u, v) = (a1 + b1u +c1v, a2 +b2u + c2v, a3 + b3u +c3v), (u, v) ∈ R2.

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Curvatura de curvas sobre la superficie

Sea C una curva sobre la superficie S parametrizada por β(s) = α(u(s), v(s))

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El vector curvatura en un punto arbitrario P = β(s) de la curva viene dado por

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El vector curvatura en un punto arbitrario P = β(s) de la curva viene dado por

β00(s).

Se llama curvatura normal de la superficie en el punto P = β(s) al escalar

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El vector curvatura en un punto arbitrario P = β(s) de la curva viene dado por

β00(s).

Se llama curvatura normal de la superficie en el punto P = β(s) al escalar

kn(s) = β00(s) · N(u(s), v(s)).

La proyecci ´on del vector curvatura sobre el vector normal a la superficie N(u(s), v(s)), se llama vector curvatura normal de la superficie en el punto P = β(s) y es igual a

kn(s) = kn(s)N(u(s), v(s)).

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Si la curvaC sobre la superficie viene dada por una parametrizacid ´onγ(t) = α(u(t), v(t)) ( donde t no tiene por qu ´e ser el par ´ametro arco) la curvatura normal se calcula

kn(t) =

II(γ0(t)) I(γ0(t), γ0(t)),

que s ´olo depende de la direcci ´on del vector tangente a la superficie en el punto γ(t).

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Si la curvaC sobre la superficie viene dada por una parametrizacid ´onγ(t) = α(u(t), v(t)) ( donde t no tiene por qu ´e ser el par ´ametro arco) la curvatura normal se calcula

kn(t) =

II(γ0(t)) I(γ0(t), γ0(t)),

que s ´olo depende de la direcci ´on del vector tangente a la superficie en el punto γ(t).

Podemos hablar por tanto de curvatura normal de la superficie S en la direcci ´on w de Tα(u,v)S,

kn(w) =

II(w) I(w, w) =

e(u0)2 + 2f u0v0 +g(v0)2 E(u0)2 + 2F u0v0 +G(v0)2.

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Teorema de Meusnier Todas las curvas sobre la superficie S que tienen la misma recta tangente en un punto P, tienen la misma curvatura normal en P.

Geom ´etricamente La curvatura normal kn(w) en P = α(u0, v0), coincide (en

valor absoluto) con la curvatura de la curva intersecci ´on de S con el plano que contiene a P y tiene vectores directores N(u0, v0) y w.

Las circunferencias osculatrices de todas las curvas contenidas en S, que pasan por P y tienen a w como vector tangente en P,

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son todas secciones de una misma esfera. Las curvas que resultan de intersecar S con el haz de planos que contiene a la recta P + hwi y las circunferencias osculatrices de cada una de

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son todas secciones de una misma esfera. Las curvas que resultan de intersecar S con el haz de planos que contiene a la recta P + hwi y las circunferencias osculatrices de cada una de

Ejemplos

1. Como consecuencia del teorema anterior, si S es un plano, entonces tiene curvatura normal cero en todos sus puntos. Adem ´as, se deduce de kn(w) = II(w) I(w, w) = 0 I(w, w) = 0.

2. La curvatura normal de una esfera x2 + y2 + z2 = a2 es kn(w) = 1a, es

constante en cualquier direcci ´on w. 3. Cilindro el´ıptico.

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La curvatura normal de un cilindro el´ıptico en la direcci ´on w viene dada por la expresi ´on

kn(w) = −a(u 0)2

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La curvatura normal de un cilindro el´ıptico en la direcci ´on w viene dada por la expresi ´on

kn(w) = −a(u 0)2

a2(u0)2 + (v0)2.

Si w es el vector tangente a una curva coordenada u = k (cons-tante), tiene coordenadas (0,1) y la curvatura normal en dicha direcci ´on es 0. Si w es el vector tangente a una curva coordenada v = k (cons-tante), tiene coordenadas (1,0) y la curvatura normal en dicha direcci ´on es −a1, constante.

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Direcciones asint ´oticas

Definici ´on Una direcci ´on w de Tα(u,v) es una direcci ´on asint ´otica si kn(w) =

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Direcciones asint ´oticas

Definici ´on Una direcci ´on w de Tα(u,v) es una direcci ´on asint ´otica si kn(w) =

0.

Equivalentemente, si II(w) = 0. Si (u0, v0) son las coordenadas de w en la base {αu(u, v), αv(u, v)}, las coordenadas de las direcciones asint ´oticas verifican la ecuaci ´on,

e(u0)2 + 2f u0v0 + g(v0)2 = 0.

Dependiendo del caracter de la segunda forma cuadr ´atica fundamental en un punto de la superficie, habr ´a dos, una o ninguna direcci ´on asint ´otica en un punto dado de la superficie (seg ´un sea indefinida, semidefinida o definida dicha la segunda forma cuadr ´atica fundamental).

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Direcciones asint ´oticas

Definici ´on Una direcci ´on w de Tα(u,v) es una direcci ´on asint ´otica si kn(w) =

0.

Equivalentemente, si II(w) = 0. Si (u0, v0) son las coordenadas de w en la base {αu(u, v), αv(u, v)}, las coordenadas de las direcciones asint ´oticas verifican la ecuaci ´on,

e(u0)2 + 2f u0v0 + g(v0)2 = 0.

Dependiendo del caracter de la segunda forma cuadr ´atica fundamental en un punto de la superficie, habr ´a dos, una o ninguna direcci ´on asint ´otica en un punto dado de la superficie (seg ´un sea indefinida, semidefinida o definida dicha la segunda forma cuadr ´atica fundamental).

Ejemplo Obtengamos las direcciones asint ´oticas en el (0,0,0) de la super-ficie parametrizada por

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La expresi ´on de la segunda forma fundamental en un punto arbitratio de la superficie es II(w) = −2u 0v0 √ 1 + u2. En el punto α(0,0) = (0,0,0), tenemos II(w) = −2u0v0.

(23)

La expresi ´on de la segunda forma fundamental en un punto arbitratio de la superficie es II(w) = −2u 0v0 √ 1 + u2. En el punto α(0,0) = (0,0,0), tenemos II(w) = −2u0v0.

Las direcciones asint ´oticas son las soluciones de la ecuaci ´on u0v0 = 0. Esto es, u0 = 0 o v0 = 0, que son las direcciones de las curvas coordena-das (o param ´etricas) de la superficie en el punto (0,0,0).

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Curvaturas principales

Definici ´on Se llama curvaturas principales de S en P a los valores k1(P)

m ´aximo y k2(P) m´ınimo de la curvatura normal kn(w) (con w ∈ TpS, ||w|| =

1).

Las direcciones principales son los vectores w1 y w2 para los que se obtie-nen dichas curvaturas

k1(P) = kn(w1) y k2(P) = kn(w2).

Son valores intr´ınsecos a la superficie, no dependen de la parametrizaci ´on elegida.

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Curvaturas principales

Definici ´on Se llama curvaturas principales de S en P a los valores k1(P)

m ´aximo y k2(P) m´ınimo de la curvatura normal kn(w) (con w ∈ TpS, ||w|| =

1).

Las direcciones principales son los vectores w1 y w2 para los que se obtie-nen dichas curvaturas

k1(P) = kn(w1) y k2(P) = kn(w2).

Son valores intr´ınsecos a la superficie, no dependen de la parametrizaci ´on elegida.

Definici ´on Un punto P de S se dice umbilical si k1(P) = k2(P), la curvatura

normal es costante en todas las direcciones y por tanto kn(w) = e E = f F = g G.

(26)

En los puntos umbilicales todas las direcciones se pueden considerar prin-cipales.

Un caso particular de punto umbilical es un punto plano, en el que se anula la segunda forma fundamental y, por tanto,kn(w) = 0 en cualquier direcci ´on

w.

F ´ormula de Euler

Sea θ el ´angulo que forma w ∈ TPS, ||w|| = 1, con w1 w = cos(θ)w1 + sin(θ)w2.

Denotamos por kn(θ) la curvatura normal en la direcci ´on de dicho vector.

F ´ormula de Euler Fijado un punto P de S, con k1(P) 6= k2(P),

(27)

El operador forma es la aplicaci ´on lineal

FP : TPS → TPS.

Matriz del operador forma en la base {αu(u0, v0), αv(u0, v0)}:

MFP = − E F F G −1 e f f g = −1 EG − F2 F f − Ge F g − Gf F e − Ef F f − Eg Se verifica que:

1. Las curvaturas principales, k1 = k1(P) y k2 = k2(P) de S en P, son los valores propios de FP.

2. Las direcciones principales, w1 y w2 de S en P, son vectores propios

ortogonales y unitarios de FP asociados a k1 y k2.

(28)

pales, es MFP(B) = k1(P) 0 0 k2(P) .

(29)

Paraboloide hiperb ´olico z = xy

parametrizado por α(u, v) = (u, v, uv), u, v ∈ R

F ´ormula de Euler:

k(θ) = cos(2θ).

En P = (0,0,0) = α(0,0), la matriz asociada al operador forma, en la base

{αu(0,0) = (1,0,0), αv(0,0) = (0,1,0)}, es MFP = 0 1 1 0

Diagonalizando tenemos que las curvaturas principales son k1(P) = 1 y

(30)

Curvatura de Gauss y curvatura media

Las nociones m ´as importantes de curvatura son:

Definici ´on Se denomina curvatura de Gauss o total de una superficie S en un punto P al producto de las curvaturas principales,

K(P) = k1(P)k2(P) = det(MFP) = eg − f

2 EG − F2,

que coincide con el determinante de la matriz del operador forma.

Definici ´on Se denomina curvatura media de una superficie S en un punto P a la media aritm ´etica de las curvaturas principales,

H(P) = k1(P) + k2(P) 2 = 1 2traza(MFP) = 1 2 Eg +Ge− 2F f EG −F2 ,

(31)
(32)

Otro m ´etodo para calcular direcciones y curvaturas principales Sean (h1, h2) las coordenadas de un vector w ∈ TPS en la base

u(u, v), αv(u, v)}.

Si w es una direcci ´on principal sus coordenadas deben verificar ∂kn(h1, h2)

∂h1

= 0, ∂kn(h1, h2) ∂h2

= 0 de donde se obtiene la siguiente ecuaci ´on

0 = (eF − f E)h21 + (eG− gE)h1h2 + (f G − gF)h22 = h22 −h1h2 h21 e f g E F G .

(33)

Tomando como coordenadas de una direcci ´on (1, λ) con λ = h2/h1 se

ob-tiene una ecuaci ´on de segundo grado en λ, siempre que f G− gF 6= 0

0 = (eF − f E) + (eG − gE)λ+ (f G − gF)λ2,

cuyas solucionesλ1, λ2 proporcionan las direcciones principales(1, λ1),(1, λ2). Se demuestra que los vectores (1, λ1),(1, λ2) son ortogonales ya que

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Tomando como coordenadas de una direcci ´on (1, λ) con λ = h2/h1 se

ob-tiene una ecuaci ´on de segundo grado en λ, siempre que f G− gF 6= 0

0 = (eF − f E) + (eG − gE)λ+ (f G − gF)λ2,

cuyas solucionesλ1, λ2 proporcionan las direcciones principales(1, λ1),(1, λ2). Se demuestra que los vectores (1, λ1),(1, λ2) son ortogonales ya que

I((1, λ1),(1, λ2)) = 0.

Las curvaturas principales son las curvaturas en las direcciones principa-les:

(35)
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Ejemplo Paraboloide reglado z = xy dado por la paramerizaci ´on:

α(u, v) = (u, v, uv), (u, v) ∈ R2. Tiene todos sus puntos hiperb ´olicos, las direcciones asint ´oticas en cada punto son las direcciones de las cur-vas coordenadas, que son rectas in-cluidas en la superficie.

(37)

Las direcciones principales en un punto arbitratio de la superficie α(u, v) son (1, λ1),(1, λ2) con λ1 y λ2 soluciones de la ecuaci ´on de segundo grado

en λ λ2 −λ 1 e f g E F G = 1 + u 2 λ2 λ2v2 √ 1 + v2 +u2 = 0.

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Las direcciones principales en un punto arbitratio de la superficie α(u, v) son (1, λ1),(1, λ2) con λ1 y λ2 soluciones de la ecuaci ´on de segundo grado

en λ λ2 −λ 1 e f g E F G = 1 + u 2 λ2 λ2v2 √ 1 + v2 +u2 = 0. Esto es, λ1 = p (1 + v2)(1 + u2) (1 + v2) , λ2 = −p(1 + v2)(1 + u2) (1 + v2) .

(39)

Las direcciones principales en un punto arbitratio de la superficie α(u, v) son (1, λ1),(1, λ2) con λ1 y λ2 soluciones de la ecuaci ´on de segundo grado

en λ λ2 −λ 1 e f g E F G = 1 + u 2 λ2 λ2v2 √ 1 + v2 +u2 = 0. Esto es, λ1 = p (1 + v2)(1 + u2) (1 + v2) , λ2 = −p(1 + v2)(1 + u2) (1 + v2) .

En el punto (0,0,0) = α(0,0), tenemos direcciones principales con coorde-nadas (1, λ1) = (1,1) y (1, λ2) = (1,−1).

(40)

La curvatura en una direcci ´on y en un punto arbitratios es igual a: kn(h1, h2) = √ 2h1h2

1 + v2 +u2(h2

1 + h21v2 + 2uvh1h2 +h22 +h22u2)

(41)

La curvatura en una direcci ´on y en un punto arbitratios es igual a: kn(h1, h2) = √ 2h1h2

1 + v2 +u2(h2

1 + h21v2 + 2uvh1h2 +h22 +h22u2)

.

En el punto (0,0,0) y en las direcciones principales, obtenemos las curva-turas principales:

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La curvatura en una direcci ´on y en un punto arbitratios es igual a: kn(h1, h2) = √ 2h1h2

1 + v2 +u2(h2

1 + h21v2 + 2uvh1h2 +h22 +h22u2)

.

En el punto (0,0,0) y en las direcciones principales, obtenemos las curva-turas principales:

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Clasificaci ´on de los puntos de una superficie

Seg ´un la posici ´on relativa de la superficie S y el plano tangente P +TPS a S en el punto P podemos clasificar los puntos de S. Dicha posici ´on viene determinada por el signo de la curvatura total K(P) de S en P.

1. Un punto P de la superficie S es el´ıptico si y s ´olo si K(P) > 0. 2. Un punto P de la superficie S es parab ´olico si y s ´olo si K(P) = 0. 3. Un punto P de la superficie S es hiperb ´olico si y s ´olo si K(P) < 0.

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Teniendo en cuenta queEG−F2 > 0 se deduce que el signo de la curvatura total depende del signo de ∆ = ef − g2.

1. PUNTO EL´IPTICO ∆ > 0, en un entorno del punto P la superficie est ´a toda a un mismo lado del plano tangente. No existe ninguna direcci ´on asint ´otica. La segunda forma fundamental es definida positiva o nega-tiva.

2. PUNTO PARAB ´OLICO ∆ = 0. Hay una ´unica direcci ´on asint ´otica. Ex-cepto en esta direcci ´on, el punto P se comporta como un punto el´ıptico. Si e, f, g no se anulan simultaneamente, la segunda forma fundamental es semidefinida positiva o negativa.

3. PUNTO HIPERB ´OLICO ∆ < 0, la superficie est ´a parte a un lado del plano tangente en el punto P y parte al otro. Existen dos direcciones asint ´oticas. La segunda forma fundamental es indefinida.

(45)

Ejemplo Toro dado por la paramerizaci ´on:

(46)

Ejemplo Toro dado por la paramerizaci ´on:

α(u, v) = ((cos(u) + 2)cos(v),(cos(u) + 2) sen(v),sen(u)) (u, v) ∈ [0,2π)×[0,2π). El determinante de la matriz de la segunda forma fundamental es igual a

∆ = det 1 0 0 cos(u)(cos(u) + 2) = cos(u)(cos(u) + 2). ∆ > 0, u ∈ [0, π/2) ∪ [3π/2,2π), PUNTOS EL´IPTICOS.

∆ = 0, u ∈ {π/2,3π/2}, PUNTOS PARAB ´OLICOS. ∆ < 0, u ∈ (π/2,3π/2)), PUNTOS HIPERB ´OLICOS.

(47)

∆ > 0, u ∈ [0, π/2) ∪ [3π/2,2π), PUNTOS EL´IPTICOS. ∆ = 0, u ∈ {π/2,3π/2}, PUNTOS PARAB ´OLICOS. ∆ < 0, u ∈ (π/2,3π/2)), PUNTOS HIPERB ´OLICOS.

(48)

∆ > 0, u ∈ [0, π/2) ∪ [3π/2,2π), PUNTOS EL´IPTICOS. ∆ = 0, u ∈ {π/2,3π/2}, PUNTOS PARAB ´OLICOS. ∆ < 0, u ∈ (π/2,3π/2)), PUNTOS HIPERB ´OLICOS.

α(π/4,0) α(π/2,0) α(π,0)

(49)

En el punto hiperb ´olico P = α(π,0) la superficie tiene dos direcciones asint ´oticas, con curvatura nula. Las coordenadas de dichas direcciones ve-rifican la ecuaci ´on:

(u0)2 − (v0)2 = 0.

En el punto P, la base de las direcciones del plano tangente es B = {v1 =

(50)

En el punto hiperb ´olico P = α(π,0) la superficie tiene dos direcciones asint ´oticas, con curvatura nula. Las coordenadas de dichas direcciones ve-rifican la ecuaci ´on:

(u0)2 − (v0)2 = 0.

En el punto P, la base de las direcciones del plano tangente es B = {v1 =

αu(π,0) = (0,0,−1), v2 = αv(π,0) = (0,1,0)}.

En la base B las direcciones asint ´oti-cas tienen coordenadas (1,1) y (1,−1). Por tanto, las direcciones asintoticas son

(51)

Ejemplo Sea S la superficie de revoluci ´on obtenida al girar alrededor del eje X la curva de ecuaciones cartesianas: y = ex, z = 0.

α(t, θ) = (t, etcos(θ), etsen(θ)), (t, θ) ∈ R× [0,2π).

En rojo la curva coordenada γ1(t) =

α(t,0) y en azul la curva coordenada γ2(θ) = α(3, θ).

(52)

Las curvaturas principales k1 y k2 son los valores propios de la matriz A = E F F G −1 e f f g

(53)

Las curvaturas principales k1 y k2 son los valores propios de la matriz A = E F F G −1 e f f g

que define la llamada aplicaci ´on de Weingarten.

En el ejemplo anterior A = 1 + e2t 0 0 e2t −1 −et 1+e2t 0 0 √ et 1+e2t !

es diagonal. Por tanto, las curvaturas principales son los elementos de la diagonal principal k1 = −e t (1 + e2t)3/2 y k2 = 1 et√1 + e2t.

Cuando la matriz A es diagonal, las direcciones principales tienen coorde-nadas (1,0) y (0,1), k1 = kn(1,0) = e E y k2 = kn(0,1) = g G.

(54)

K = k1k2 = det(A) = ef − g2 EF − G2 = −1 (1 + e2t)2 < 0, Km = k1 +k2 2 .

los puntos de esta superficie son todos hiperb ´olicos. Es decir, en cada punto de la superficie existen dos direcciones asint ´oticas.

(55)

K = k1k2 = det(A) = ef − g2 EF − G2 = −1 (1 + e2t)2 < 0, Km = k1 +k2 2 .

los puntos de esta superficie son todos hiperb ´olicos. Es decir, en cada punto de la superficie existen dos direcciones asint ´oticas.

Calculamos sus coordenadas resol-viendo II(h1, h2) = 0 y obtenemos

di-recciones w1 de coordenadas (1,1) y

w2 de coordenadas (1,−1) en la base

(56)

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