prepara TU SElECTIVIDAD

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pREpARA TU SElECTIVIDAD

1 Se considera la función f ( x ) = ( x 2+a) e axsiendo a un parámetro real. a) Razone a qué es igual el dominio de f ( x ).

b) Determine el valor de a para que la gráfica de f(x) pase por el punto (0, -4). c) Para a = -2, determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f ( x ).

¿Existen máximos y mínimos relativos de f ( x )? En caso afirmativo, decir dónde alcanzan y su valor.

(Aragón. Junio 2006. Opción B. Cuestión 2)

a) Dom f =R ya que se trata del producto de una función polinómica y una exponencial. b) f( )0 = -4ae0= = -a 4 c) f x( )=(x2-2)e-2x f x'( )=2xe-2x+(x2-2)(-2)e-2x=02x-2x2+ =4 0 x=- -=     1 2 x • En(- - ∪

`

, 1) ( ,2 +

`

)→f x'( )<0→f x( )decreciente • En( , )-1 2 →f x'( )>0→f x( )creciente

En x=-1 se alcanza un mínimo cuyo valor es f (-1) =-e 2 y en x= 2

se alcanza un máximo cuyo valor es f (2) = 2e - 4.

2 Estudia y representa la función: (Navarra. Junio 2007. Ejercicio 2. Opción A)

Dominio =R- {2}

• Cortes con el eje :X f x x

x x ( ) ( ) = - = = 0 2 0 0 2 2 → → →→( , )0 0

• Corte con el eje Y: x= 0 →y= 0 → (0, 0)

lim x x x x→2 → 2 2 2 2 ( - ) =

`

Asíntota vertical: = lim x x y x→` → 2 2 2 1 1 ( - ) = Asíntota horizontal: = No tiene asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas.

y x x x '= -- = = 4 23 0 0 ( ) → • En(-

`

, ) ( ,0 ∪ 2 +

`

)→y'<0→Función decreciente • En (0, 2) →y'>0→ Función creciente En x= 0 se alcanza un mínimo. f x x x ( ) ( ) = 2 2 2

f(x) es creciente y no tiene extremos relativos.

Como , en estos puntos se alcanzan puntos de inflexión.

La función y=f ( x ) tiene las siguientes propiedades:

Su dominio es la recta real salvo los puntos 1 y 1.

Es continua en todo su dominio y corta al eje X en el punto (2, 0). Tiene una asíntota horizontal en y= 0, con f ( x ) < 0 si x > 2

y f ( x ) > 0 si x< 2, x 1, x ≠−1.

Tiene una asíntota vertical en x= 1, con .

Tiene una asíntota vertical en x=−1, con .

Tiene un mínimo en (4, 2) y en (0, 3). No tiene máximos.

Representa gráficamente dicha función.

(2)

Representación de funciones

4 una función f ( t ), 0 t 10, en la que el tiempo t está expresado en años, representa los beneficios de una empresa (en cientos de miles de euros) entre los años 1990 (t= 0) y 2000 (t= 10):

a) Representar gráficamente f ( t ), estudiando: puntos de corte, intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) ¿En qué años tiene la empresa el máximo beneficio? ¿cuál es dicho beneficio? ¿Durante cuánto tiempo hubo pérdidas?

(Galicia. Septiembre 2005. Bloque 2. Ejercicio 2)

a) Dom f= [0, 10]

Así, f ( t )es continua en [0, 10].

En (0, 1) presenta un mínimo y en (2, 3), un máximo.

En los puntos (2, 3) y (6, 3) presenta dos máximos y en (4, -1), un mínimo. Cortes con el eje X :

En el punto (6, 3) presenta un máximo y en (10, 0), un mínimo.

b) El máximo beneficio se obtiene para t = 2y t= 6, es decir en 1992 y 1996 y vale 3.000 €.

Hubo pérdidas entre el año 1993 y el año 1995.

y x x x "= + - = = -8 8 34 0 1 ( ) → • En(-

`

, )0 → y"<0→Función convexa • En( , ) ( ,0 2 ∪ 2+

`

)→y">0→Función cóncava En x=-1 se alcanza un punto de inflexión.

X Y 1 2 x= 2 y= 1 3 La función f t t t t ( )= − + + 2 2 1

1 representa la concentración de oxígeno en un estanque contaminado por residuos orgánicos en un tiempo t (medido en semanas).

a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f ( t ) para t ≥0 así como los instantes donde la concentración de oxígeno es máxima y mínima.

b) De forma razonada, y conforme a los datos anteriores, representa gráficamente la función para t ≥0, estudiando con todo detalle sus asíntotas.

(La Rioja. Junio 2008. Parte C. Problema 1)

a) Estudiamos la función para t ≥0.

y t t t t '= -+ = = = -    2 2 1 1 0 1 1 → (no válida) • En( ,1+

`

)→f t'( )>0→f t( )creciente • En( , )0 1 →f t'( )<0→f t( )decreciente En t= 1 se alcanza un mínimo.

La concentración de oxígeno es máxima cuando t= 0 y vale 1, y es mínima si t= 1 y vale 1

2.

b) Asíntotas verticales: no tiene.

lim t t t y x→ → ` 2 2 1 1 1 1 - + + = = Asíntota horizontal: Posición de la curva respecto de la asíntota:

t t t t t t f t → → → + - + + - = -+ <

`

2 2 2 1 1 1 1 0

( ) está por debbajo de la asíntota. No tiene asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas cuando x→+

`

.

X Y

1 1

(3)

4 una función f ( t ), 0 t 10, en la que el tiempo t está expresado en años, representa los beneficios de una empresa (en cientos de miles de euros) entre los años 1990 (t= 0) y 2000 (t= 10): f t t t t t t t ( ) ( ) = + − + − + ≤ < ≤ < 1 8 15 3 4 10 0 2 2 6 6 2 sisi si tt     10

a) Representar gráficamente f ( t ), estudiando: puntos de corte, intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) ¿En qué años tiene la empresa el máximo beneficio? ¿cuál es dicho beneficio? ¿Durante cuánto tiempo hubo pérdidas?

(Galicia. Septiembre 2005. Bloque 2. Ejercicio 2)

a) Dom f= [0, 10] lim t lim t t f t→ → 2 2 2 1 3 8 15 3 2 3 -+ + = - + = =       ( )  = →Continua ent 2 f lim t t lim t t ( ) ( 6 3 8 15 36 48 15 3 3 4 6 2 6 = - + = - + = -+ → → tt+ = - + =          10 3 4 6 10 3 ) ( ) →Continua eent=6 Así, f ( t )es continua en [0, 10]. f t t t t t '( )= < < - < < -< -<    12 8 02 26 3 4 6 10 si si si     • En( , )0 2 →f t'( )>0→f t( )creciente

En (0, 1) presenta un mínimo y en (2, 3), un máximo.

• En (2, 6):f t'( )=0→t=4

En( , )2 4 →f t'( )<0→f t( )decreciente En( , )4 6 →f t'( )>0→f t( )creciente

En los puntos (2, 3) y (6, 3) presenta dos máximos y en (4, -1), un mínimo. Cortes con el eje X :

t t t t 2 8 15 0 3 5 - + = = =     → • En decreciente ( , ) ( ) ( ) 6 10 3 4 0 → → f t f t ' = - <

En el punto (6, 3) presenta un máximo y en (10, 0), un mínimo.

X Y

1 1

b) El máximo beneficio se obtiene para t = 2y t= 6, es decir en 1992 y 1996 y vale 3.000 €.

Hubo pérdidas entre el año 1993 y el año 1995. En x=-1 se alcanza un punto de inflexión.

La función representa la concentración de oxígeno en un estanque

contaminado por residuos orgánicos en un tiempo t (medido en semanas). a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f ( t ) para t ≥0 así como

los instantes donde la concentración de oxígeno es máxima y mínima.

b) De forma razonada, y conforme a los datos anteriores, representa gráficamente la función para t ≥0, estudiando con todo detalle sus asíntotas.

(La Rioja. Junio 2008. Parte C. Problema 1)

a) Estudiamos la función para t ≥0.

En t= 1 se alcanza un mínimo.

La concentración de oxígeno es máxima cuando t= 0 y vale 1, y es mínima si t= 1 y vale .

b) Asíntotas verticales: no tiene.

Posición de la curva respecto de la asíntota:

No tiene asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas cuando x→+

`

.

(4)

Representación de funciones

• En (-

`

, 1) ∪ (3, +

`

) la función es creciente.

• En (1, 3) la función es decreciente.

Ecuación de la recta tangente:

5 El rendimiento (expresado en porcentaje) de cierto motor durante 60 minutos de funcionamiento sigue la función:

f t At Bt C t t ( )= + + ≤ ≤ < ≤   2 0 20 100 20 60 si si

Sabiendo que inicialmente el rendimiento es del 0 %, que a los 10 minutos de funcionamiento es de un 75 % y que el 100 % de rendimiento se alcanza a los 20 minutos de funcionamiento:

a) Determinar las constantes A, B y C. Justificar la respuesta. b) Representar la función.

(Extremadura. Septiembre 2008. Opción B. Problema 2)

a) f (0) = 0 →C =0 f( )10 =75→100A+10B+ =C 75→100A+10B=75 f( )20 =400A+20B=100 100 10 75 400 20 100 1 4 10 A B A B A B + = + =     = -=    →    b) si si 2 f t t t t t ( )= - + ≤ ≤ < ≤       1 4 10 0 20 100 0 60 2  • En [0, 20]: f t'( )=-1t+ ≥ f t( ) 2 10 0→ creciente f (0) = 0 f (10) = 75 f (20) = 100

• En (20, 60] se trata de una función constante.

X Y

10 10

6 Se sabe que la derivada de la función f ( x ) viene dada por f '( x ) = 3x 2 12 x+ 9.

a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original f ( x ). ¿Dónde alcanza la función f ( x ) sus máximos y mínimos locales?

b) obtén la recta tangente a f ( x ) en el punto x = 2 sabiendo que f (2) = 5. (Castilla y León. Septiembre 2006. Bloque B. Pregunta 2)

(5)

a) f x x x x x '( )= - + = = =     3 12 9 0 1 3 2 f x"( )=6x-12 f"( )1= - <6 0→Enx=1se alcanza un máximo. f"( )3 = >6 0→Enx=3se alcanza un mínimo. • En (-

`

, 1) ∪ (3, +

`

) la función es creciente. • En (1, 3) la función es decreciente. b) f'( )2 =12 24- + = -9 3

Ecuación de la recta tangente:

y- = -5 3(x-2)→ y= -3x+ +6 5→ y= -3x+11

El rendimiento (expresado en porcentaje) de cierto motor durante 60 minutos de funcionamiento sigue la función:

Sabiendo que inicialmente el rendimiento es del 0 %, que a los 10 minutos de funcionamiento es de un 75 % y que el 100 % de rendimiento se alcanza a los 20 minutos de funcionamiento:

a) Determinar las constantes A, B y C. Justificar la respuesta. b) Representar la función.

(Extremadura. Septiembre 2008. Opción B. Problema 2)

a) f (0) = 0 →C =0

• En [0, 20]:

f (0) = 0 f (10) = 75 f (20) = 100

• En (20, 60] se trata de una función constante.

Se sabe que la derivada de la función f ( x ) viene dada por f '( x ) = 3x 2 12 x+ 9.

a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original f ( x ). ¿Dónde alcanza la función f ( x ) sus máximos y mínimos locales?

b) obtén la recta tangente a f ( x ) en el punto x = 2 sabiendo que f (2) = 5. (Castilla y León. Septiembre 2006. Bloque B. Pregunta 2)

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