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Espacio descriptivo S: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

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Modelo uniforme

ClassPad 330 Prof. Jean-Pierre Marcaillou

INTRODUCCIÓN

La calculadora CASIO ClassPad 330 dispone de la Aplicación Principal para realizar los cálculos y los gráficos correspondientes al modelo uniforme. El material presentado a continuación reposa sobre el Capítulo 5.- Modelación probabilística: parte I del libro “Probabilidad: Elementos para modelar situaciones con incertidumbre” Edgar Elías Osuna (obra actualmente en prensa Ediciones IESA).

CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS

Experimento aleatorio : Es un proceso que genera resultados bien definidos.

Espacio descriptivo S: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Evento: Cualquier subconjunto del espacio descriptivo S.

Variable aleatoria: Es una función X(a) que asigna un número real x(a) a cada elemento a de S; es decir, es una función que toma valores en un espacio de probabilidades S. En general, las variables aleatorias se representan por las últimas letras del alfabeto, en mayúsculas, mientras que las minúsculas se reservan para el valor que toma la variable aleatoria.

Clasificación

Variable aleatoria discreta: Es aquella cuando el conjunto de llegada es finito o infinito numerable.  Variable aleatoria continua: Es aquella cuando el conjunto de llegada es infinito no numerable.

Recorrido RX: Es el conjunto de valores reales que puede tomar la función X(a).

Funciones que definen el comportamiento de una variable aleatoria unidimensional discreta

Función de masa de probabilidades: Sean x1, x2, x3,..., xn los valores que puede tomar la variable aleatoria

X. Se define la función de probabilidad de la variable aleatoria X como p( x )iP( Xx ) ( ii1,2,3,...,n ).

Propiedades: 1) 0p(x )i 1 2) n i i 1 p(x ) 1  

3)      

i i :a xi b P( a X b ) p( x )

Función de distribución acumulativa:

   

i i:xi x F( x ) P( X x ) p( x ) Propiedades: 1) 0F( x )1 para todo x. 2) F(x) es no decreciente

(2)

2 3) 1   x lim F( x ) 4) 0   xlim F( x ) 5) Si ab, P(aXb)F( b)F(a)

Funciones que definen el comportamiento de una variable aleatoria unidimensional discreta

Función de densidad de una variable aleatoria continua: Es una función f(x) tal que a) f ( x )0 b) 1   

f ( x )dx c) Para    

b a a b, P( a X b ) f ( x )dx

Función de distribución acumulativa:

    x

F( x ) P( X x ) f ( x )dx Propiedades: 1)dF( x ) / dxf ( x ) 2) F(x) es no decreciente 3) 1   x lim F( x ) 4) 0   xlim F( x ) 5) Si ab, P(aXb)F( b)F(a)

Esperanza matemática E(X): La esperanza matemática de una variable aleatoria X se define como:  Variable aleatoria discreta: ( ) i ( i)

i

E X

x p x

Variable aleatoria continua: E X( ) xf x dx( )





Propiedades de la esperanza matemática:

1) Si XC, siendo C una constante, ( )E XC 2) Si C es una constante, (E CX)CE X( )

3) E H X1( )H2( )X  ... Hn X( )E H X

1( )

E H

2( )X

 ... E H

n( )X

4) Para A y B constantes, (E AXB)AE X( )B

5) Desigualdad de Jensen: Si H(X) es una función convexa y si E(X) existe, E H X

( )

H E X

( )

6) Interpretación geométrica:

0 0 ( ) 1 ( ) ( ) E X F X dx F X dx   

 

(3)

3

Varianza V(X): La varianza de una variable aleatoria X, se define como la esperanza matemática del cuadrado de su desviación con respecto a la media, es decir, V X( )E

XE X( )

2

E X( 2)

E X( )

2

Variable aleatoria discreta: ( )

i ( )

2 ( i)

i

V X

xE X p x

Variable aleatoria continua:V X( )

x E X( )

2f x dx( )





Propiedades de la varianza:

1) Si XC, siendo C una constante, ( )V X 0 2) Si C es una constante, (V XC)V X( )

3) Si C es una constante, V CX( )C V X2 ( )

4) Para A y B constantes, V AX( B)A V X2 ( )

Desviación estándar : La desviación estándar de una variable aleatoria X se define como la raíz cuadrada de su varianza.

Desigualdad de Tchebyshev: Si X es una variable aleatoria con una distribución cualquiera cuya esperanza matemática y varianza  y son finitas, entonces:

22 ( 0)

P X h h

h

    

Modelo Uniforme: Situación en la cual una cantidad aleatoria puede tomar los infinitos valores posibles en un intervalo finito, sin que exista razón alguna para pensar que algunos valores son “más probables” que otros.

Distribución Uniforme: Supongamos que una variable aleatoria continua X sólo puede tomar valores que pertenezcan a un intervalo [a; b], a < b, con la peculiaridad de que la probabilidad de tomar un valor en la vecindad de un punto en particular del intervalo es la misma para todos sus puntos. En situaciones como ésta diremos que X estará distribuida uniformemente con parámetros [a; b] (o distribuida uniformemente entre a y b), lo cual denotaremos como X ~ uniforme [a; b], y cuyas funciones de densidad de probabilidad y de distribución acumulativa serán:

para x a f x para a x b b a para x b             0 1 ( ) 0  2 a b E( X )   2 12 ( b a ) V( X ) 

Función de densidad – Distribución uniforme

f(x) 1 ba 0 a b x

(4)

4 0 1 1              

x a para x a x a F( X ) P( X x ) dx para a x b b a b a para x b

Función de distribución acumulativa – Distribución uniforme

Ley del estadístico inconsciente:

Sea YH X( )una función cualquiera de la variable aleatoria X; sea ( )f x la función de densidad de X (o (p xi)su función de masa de probabilidades si X es discreta). La esperanza matemática de Y es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )           

i i i H x f x dx cuando x es continua E Y H x p x cuando x es discreta

Locual significa que no se necesita encontrar la distribución de probabilidades de Y a fin de evaluar E(Y); es suficiente conocer la distribución de X.

Aplicaciones del modelo uniforme:

El modelo se aplica en una situación en la cual sólo conocemos los valores máximo y mínimo que puede tomar cierta variable aleatoria, y en la cual no tenemos razón alguna para suponer que algún (algunos) valor(es) sea(n) más probable(s) que otros (principio de razón insuficiente de Laplace). Esta distribución es aplicada también en muchas de las rutinas de computación para obtener muestras al azar de diversas distribuciones en simulación probabilística.

CLACULADORA: APLICACIÓN PRINCIPAL

1. ¿Cómo acceder, limpiar y configurar la Aplicación Principal?

(1) Presione la tecla [ON/OFF] y toque del panel de iconos para mostrar las diferentes Aplicaciones.

(2) Utilice la barra (botón) de desplazamientoe identifique la Aplicación Principal.

F(x)

1

(5)

5

(3) Toque y se activa la pantalla de la Aplicación Principal donde aparecen:

 Barra de menús:

 Barra de herramientas:

 Barra de estado:

(4) Toque en la barra de menús [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] con la finalidad de limpiar el área de trabajo de la Aplicación Principal y aparece la pantalla inicial de dicha Aplicación.

(5) Toque en la barra de menús, seguidamente [Formato básico] y realice la siguiente configuración.

(6) Toque el botón de flecha hacia abajo de Formato número,yluego toque Fijo 4 en la lista desplegable que aparece.

(7) Toque el cuadro de marcación de Cálculo decimal para activarlo y luego toque

los restantes cuadros de marcación activados para desactivarlos .

(8) Toque [Def.] para validar la configuración, y se regresa a la ventana inicial de la

Aplicación Principal.

Ejemplo 5.3.15:

En el ejemplo introductorio de esta sección describimos la situación de una parada de autobuses a la cual llegan las unidades con intervalos de 30 minutos. Suponga que un pasajero llega a la parada, y que lo hace al azar porque desconoce el horario de los autobuses. Determine:

a) Probabilidad de que el pasajero espere más de 10 minutos.

b) Probabilidad de que espere más de 20 minutos, dado que ha estado esperando 10 minutos; es decir, de que espere otros 10 minutos.

c) Esperanza matemática y desviación estándar del tiempo que deba esperar.

(6)

6

a) f ( x )1 30. Es decir, que el autobús llegue durante el primer minuto 0´ – 1´, tiene un 3,33% de probabilidad; durante el segundo minuto 1´ – 2´, otro 3,33% de probabilidad, etc.

El tiempo que el pasajero debe esperar es 30 – X, donde X es, como dijimos, el tiempo transcurrido desde que pasó el último autobús.

20 2 30 10 20 20 30 3 P(X)P( X)F( )  . b) 30 20 30 10 10 20 10 10 30 1 20 20 30 2 P( X ) P( X / X ) P( X / X ) P( X )             .

c) Sea T = 30 – X el tiempo que debe esperar, donde X es como la definimos antes.

( ) (30 ) 30 ( ) 30 0 30 30 15 15 2 E TEX  E X       minutos

2 30 0 ( ) (30 ) ( ) 75 12 V TVXV X    minutos2 TV(T )  758 66, minutos Solución calculadora:

En este Procedimiento se muestra el uso del comando Define de la Aplicación Principal para definir: – la función

de probabilidad de una variable aleatoria continua X con distribución uniforme PDU; – la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua X con distribución uniforme PADU; – la fórmula de la esperanza matemática de una variable aleatoria continua X con distribución uniforme EDU; – la fórmula de la varianza de una variable aleatoria continua X con distribución uniforme VDU, y ejecutarlas a través del comando Usuario del teclado catálogo una vez definidas.

PROCEDIMIENTO: COMANDO DEFINE DE LA APLICACIÓN PRINCIPAL

(1) Presione la tecla [ON/OFF] y toque del panel de iconos para mostrar las diferentes Aplicaciones.

(2) Utilice la barra (botón) de desplazamientoe identifique la Aplicación Principal.

(3) Toque y se activa la pantalla de la Aplicación Principal.

(4) Toque en la barra de menús [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] con la finalidad de limpiar el área de trabajo de la Aplicación Principal y aparece la pantalla inicial de dicha Aplicación.

(5) Presione el teclado virtual , toque y se activa el teclado catálogo, toque

el botón de flecha hacia abajo de Forma y toque Todo en la lista desplegable que aparece.

(6) Toque si es necesarioel botón

d

e la esquina inferior izquierda hasta que la tecla D

sea visible.

(7) Toque el botón de letra D, toque el comando Define, y luego toque el botón [INTRO]

(7)

7

(8) Con la ayudadelos teclados , y introduzca la función PDU(a, b) tal que 1

PDU(a,b)

b a

 que calcula la función de densidad de la variable aleatoria continua X

con distribución uniforme y luego toque la tecla [Ejec] para guardar la función.

(9) Toque , toque el botón de flecha hacia abajo de Forma y toque Usuario en la lista desplegable que aparece.

(10) Desplace con el botón la lista de funciones hasta ver la función deseada PDU,

toque PDU y luego toque el botón [INTRO] para introducirla en la ventana de edición.

(11) Presione las teclas [0] / [,] / [3] / [0] / [)] / [EXE] y verifica que PDU(0,30)1/ 30.

(12) Toque el botón de flecha hacia abajo de Forma y toque Todo; toque el botón de letra D, toque el comando Define y luego toque el botón [INTRO] para introducirlo en la ventana de edición.

(13) Con la ayudadelos teclados , , , y de la tecla elíptica

introduzca

la función PADU(a, b, x) tal que

x

PADU(a,b, x) PDU(a,b)dy a

que calcula la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria continua X con distribución uniforme y luego toque la tecla [Ejec] para guardar la función.

(14) Toque , desplace con el botón la lista de funciones hasta ver la función deseada PADU, toque PADU y luego toque el botón [INTRO] para introducirla en la ventana de edición.

(15) Presione las teclas [0] / [,] / [3] / [0] / [,] / [2] / [0] / [)] / [EXE] y verifica que PADU(0,30,20)2 / 3. Respuesta: a)

(16) Toque el botón [INTRO] para introducir la función seleccionada PADU en la ventana de edición.

(17)Presione las teclas[0] / [,] / [3] / [0] / [,] / [1] / [0] / [)] / [] para evaluar PADU(0,30,10) .

(18) Toque el botón [INTRO] para introducir nuevamente la función seleccionada PADU en la ventana de edición.

(19)Presione las teclas[0] / [,] / [3] / [0] / [,] / [2] / [0] / [)] para evaluar PADU(0,30,20) .

(20) Presione la tecla [EXE] y verifica que 10 20 10 10 30 1 20 20 30 2        P( X ) P( X / X ) P( X ) . Respuesta: b)

(8)

8

(21) Toque el botón de flecha hacia abajo de Forma y toque Todo; toque el botón de letra D, toque el comando Define y luego toque el botón [INTRO] para introducirlo en la ventana de edición.

(22) Con la ayudadelos teclados , , , y de la tecla elíptica

introduzca

la función EDU(a, b) tal que

b

EDU(a,b) x PDU(a,b)dx

a

 que calcula la esperanza matemática de la variable aleatoria continua X con distribución uniforme y luego toque

la tecla [Ejec] para guardar la función.

(23) Toque , desplace con el botón la lista de funciones hasta ver la función deseada EDU, toque EDUy toque el botón [INTRO] para introducirla en la ventana de edición.

(24)Seleccione la función EDU y toque el botón [INTRO] para introducirla en la ventana de edición.

(25) Presione las teclas [0] / [,] / [3] / [0] / [)] / [EXE] y verifica que EDU(0,30)15. Respuesta: c)

(26) Toque el botón de flecha hacia abajo de Forma y toque Todo; seguidamente toque

el botón de letra D, toque el comando Define y toque el botón [INTRO] para introducirlo en la ventana de edición.

(27) Con la ayudadelos teclados , , , y de la tecla elíptica

introduzca

la función VDU(a, b) tal que

b

2

VDU(a,b) x EDU(a,b) PDU(a,b)dx a

  que calcula la

varianza de la variable aleatoria continua X con distribución uniforme y luego toque la tecla [Ejec] para guardar la función.

(28) Toque , desplace con el botón la lista de funciones hasta ver la función deseada VDU, toque VDU y toque el botón [INTRO] para introducirla en la ventana de edición.

(9)

9

(30) Toque

/

[ans] / [^] / [0] / [.] / [5] / [Ejec]y verifica que   75 5 3; seleccione

con el cursor 5 3 y luego toque para obtener el resultado bajo la forma decimal

.

1.- Ejercicio 5.28 página 435

Una empresa fabrica baterías cuya duración T (en años) es una variable aleatoria con distribución uniforme entre 0 y 2A (A>1). Suponga que el precio de venta es de Bs. 54.000 y que C, en bolívares, es el costo total de producción, ventas, etc. El fabricante las vende con una garantía de 1 año, que establece que si la batería dura menos de ese lapso, le devuelve los Bs. 54.000 al cliente, con lo cual el fabricante pierde Bs. C.

Suponga que el costo C de la batería está relacionado con su calidad, representada ésta por la duración promedio A, según la función C12 000. A(C en bolívares, A en años). Determine:

a) La duración promedio óptima (A*) si el fabricante desea maximizar la esperanza matemática del beneficio. b) La proporción de esas baterías “óptimas2 que no cumplen con la garantía de 1 año de duración.

2.- Ejercicio 5-29 Página 435

La compañía telefónica estudia dos esquemas de tarifas continuas para llamadas internacionales: A: Bs. 1.000 por minuto.

B: una tarifa básica de Bs. 5.000 por los primeros 5 minutos, más Bs. 800 por minuto en exceso de ese límite.

Si suponemos que la duración de una llamada típica tiene una distribución uniforme entre 0 y 20 minutos, ¿cuál de estos dos esquemas le aportaría más ingresos por llamada a la compañía?

3.- Ejercicio 5-30 Página 435

Un fabricante de baterías cuya duración es una variable aleatoria con distribución uniforme entre 0 y 4 años, ofrece en venta su producto por un precio de Bs. 100.000. Con la venta ofrece dos planes de garantía para que el cliente escoja; dichos planes son los siguientes:

Plan A: si la batería dura menos de un año, le devuelve una cantidad igual a Bs. 100.000(1 – t), donde t es la duración de la batería en años.

Plan B: si la batería dura menos de 6 meses, le devuelve todo su dinero (Bs. 100.000). Si dura más 6 meses o más no le devuelve nada.

a) Demuestre que en ambos planes la esperanza matemática de lo que tiene que pagar por compensación en cada batería es la misma.

b) Para ambos planes, determine la varianza de la compensación por batería y diga cuál de ellos le parece más conveniente. ¿Por qué?

4.- Un contratista A está preparando una oferta sobre un nuevo proyecto de construcción. La oferta sigue una distribución uniforme entre 55 y 75 miles de euros. Determine:

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Referencias

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