TEMA 4- MODELOS CONTINUOS

TEMA 4- MODELOS CONTINUOS

4.1. Introducción.

TEMA 4 MODELOS CONTINUOS

4.2. Distribución uniforme continua de parámetros

a

y

b

.

X U a b

 

,

4.3. Distribución Gamma de parámetros 

y .

Casos particulares:



,



X    

Casos particulares:

4.3.1.Distribución Exponencial.

4 3 2 Di ib ió E l

 

X  Exp 





X 

4.3.2.Distribución Erlang.

4.4.Distribución de Pareto de parámetros 

y k.

X  P



,k





,



X     n 

4.5. Distribución Normal de parámetros 

y .

4 6 Teorema Central del Límite



,



X  N  

4.1. Introducción

Estudio de algunas variables aleatorias continuas que sirven como modelos en situaciones reales.

D d d ll

De cada una de ellas, vamos a ver:

1. Situaciones en las que se utiliza y definición.

2 Distribución de probabilidad: función de densidad f

2. Distribución de probabilidad: función de densidad, f. Comprobación de que f es función de densidad. Gráficos.

 

0, ( ) 1 f x 



 f x dx 

(Puede caracterizarse con la función de distribución, F) 3. Medidas: media , , y varianza (formulario)

 

0, ( ) 1 f x f x dx  



( ) x f x dx   



4. Cálculo de probabilidades: integrando o mediante la función de distribución o tablas en algunos casos.





5 Ot i d d d ti id d f lt d i





b

 

 

 

a P a  X  b 



f x dx  F b  F a

5. Otras propiedades: reproductividad, falta de memoria, teoremas de aproximación, ...

4.2..- DISTRIBUCIÓN UNIFORME, U(a,b)

DEFINICIÓN: Diremos que X sigue una distribución uniforme de parámetros a y b,     a b , ,a b

(notación: XU(a,b)) si X es una v.a. continua con densidad: 1 si a x b  _{ }  si ( ) 0 en el resto a x b f x  _{b a}   

• Comprobación de que es función de densidad: f(x)  0 y

1 ( ) b b a 1 f x dx dx     



( )



1 a f x dx dx b a b a      





Gráfico de U(-1,2)

• SITUACIONES DE APLICACIÓN: Recoge la idea de máxima incertidumbre cuando se hacen mediciones en intervalos finitos (a

incertidumbre cuando se hacen mediciones en intervalos finitos, (a, b). Matemáticamente esta idea se traduce en que para subintervalos contenidos en (a, b) con la misma longitud, la probabilidad de todos ellos es la misma.

Ejemplo 1:

X: Tiempo, en minutos, que se espera en la parada de un autobús Y: error que se comete al redondear un nº al entero más próximo Suponiendo que XU(0,15), calcular la probabilidad de que una

persona espere más de 10 minutos en la parada.

Á

• CÁLCULO DE PROBABILIDADES: Para calcular probabilidades

integramos la densidad en el intervalo correspondiente.

Ó Ó

• FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN: hay que saber obtenerla.

0 si x x a x a     



( ) ( ) si 1 si x a F x f t dt a x b b a x b    _{ }     



MEDIDAS • MEDIDAS:

 

( ) 1 1 2 2 b b a x E X x f x dx x dx b a b a          _  



















2 2 2 2 2 2 a a b a b a b a b a b a a b b a b a    _    _{ } 













 

₂



 



2





2 2 2 2 12 b a b a b a V X E X E X       _{ }  

 



 



12  

Ejemplo 2: Para X: Tiempo, en minutos, que se espera en la

parada de un autobús, calcular el tiempo medio de un usuario en la parada y la varianza de dicho tiempo

la parada y la varianza de dicho tiempo.

• REPRODUCTIVIDAD: Esta distribución NO es reproductiva

• REPRODUCTIVIDAD: Esta distribución NO es reproductiva

4.3.- DISTRIBUCIÓN GAMMA,

X



  



,



DEFINICIÓN: Se dice que una v.a. X sigue una distribución

GAMMA de parámetros α y β    0;  

GAMMA de parámetros α y β, si su función de densidad es:

   , 0; ,      

 

1 si 0 ( ) 0 en el resto x x e x f x             0 en el resto 

Donde (función gamma)

 

1

0 , 0 x e x dx       





(Hay que saber demostrar que f(x) es función de densidad).

Propiedades de la función gamma que usaremos:

  

 



  



1. 1 1 , 1 2. Si n , n n 1 !              

  

 







, 3.  1/ 2  

GRÁFICOS DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA(,)

 < 1 _{ = 1 1  > 1> 1}

• α se llama parámetro de forma y  parámetro de escala • α se llama parámetro de forma y  parámetro de escala.

• Si α = 1, diremos que la variable tiene distribución EXPONENCIAL

d á t β

de parámetro β.

SITUACIONES DONDE SE APLICA: SITUACIONES DONDE SE APLICA:

Esta distribución se utiliza para modelar una gran variedad de Esta distribución se utiliza para modelar una gran variedad de situaciones, sobre todo casos en los que hay asimetría a la derecha en los datos.

Ejemplos clásicos son: j p

• datos de tipo económico (salarios, ventas, beneficios, gastos…)

• tiempo que transcurre hasta que ocurren uno o varios

sucesos de un mismo tipo o tiempo entre sucesos (fallos de

i i d i i ll d d li

sistemas, tiempos de servicio, llegadas de clientes a un sistema,…)

MEDIDAS DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA(,)

(No es necesario saber hacer la demostración de E(X))

REPRODUCTIVIDAD DE LA GAMMA(,)

Observaciones: 1.-Esta distribución no es reproductiva respecto del parámetro .

2.- Para calcular probabilidades hay que integrar la función de

Ej l 3 S X Ti t h t Ejemplo 3: Sea X: Tiempo, en meses, que transcurre hasta

que una pieza se rompe. Supongamos que



3

4



X



a) Escribir la función de densidad de X.

b) C l l l b bilid d d l ti t



3,

4



X



 







b) Calcular la probabilidad de que el tiempo que transcurre hasta que la pieza se rompe esté entre 2 y 5 meses.

c) Calcular el tiempo medio que transcurre hasta que la pieza c) Calcular el tiempo medio que transcurre hasta que la pieza

se rompe.

Ejemplo 4: Sean

variables independientes Estudiar la distribución de las



3,

4



,Y



3,

7



,Z



8,

7



X



 









 









 







variables independientes. Estudiar la distribución de las variables X + Y e Y + Z.

4.3.1- DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL DE PARÁMETRO 

• Es un caso particular de la distribución gamma en que  = 1. •Notación:

X



Exp

 

 

 

 

1

•Notación:

• Su densidad y sus principales medidas son:

  1 1

 

 

1,

X

Exp



 

Demostrar f

 

0 0 0 x e x f x x 



      

 

1

 

1₂ E X V X    , 

CÁLCULO DE PROBABILIDADES P l l b bilid d que f es

densidad

• CÁLCULO DE PROBABILIDADES: Para calcular probabilidades integramos la densidad en el intervalo correspondiente o usamos la función de distribución que hay que saber obtener:

función de distribución, que hay que saber obtener:

 

x

0

x

0

F x





f t dt

( )

 





•Ejemplo 5: Para X~Exp(2) escribir la función de densidad, calcular

 

1

x

0

F x

f t dt

e



x





 





( )

Ejemplo 5: Para X Exp(2) escribir la función de densidad, calcular

Reproductividad de la distribución exponencial

Si X₁, X₂, ..., X_n son v.a. independientes exponenciales de parámetro  entonces

, entonces,

Y = X₁+ X₂+ ... +X_n

sigue una distribución gamma de parámetros  = n y .

Ejemplo 6: Para las variables independientes:

















Obtener, si es posible, la distribución de probabilidad de las



2



,Y



2



,Z



2



, H



3



X  Exp    Exp    Exp    Exp  

PROPIEDAD DE FALTA DE MEMORIA DE LA Ó

La distribución exponencial es la única distribución continua que

i i d i i i di ib ió i l

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

no tiene memoria, es decir, si X sigue una distribución exponencial parámetro , entonces



/







0

P X



 

h X

/





P X





h



,

h



0

(demostrar)

P X

 

x

h X



x



P X



h

h



Observación: El suceso que condiciona SIEMPRE tiene que ser

(demostrar) del tipo X > x ó X ≥ x. El suceso del que hay que calcular la

probabilidad puede ser: X > x+h, X ≥ x+h, X < x+h ó X ≤ x+h.

Ejemplo 7: Sea X~Exp(2) calcular, usando la regla de

probabilidad condicionada y la propiedad de falta de memoria, las i i b bilid d

siguientes probabilidades.



7 /

3





11/

5



P X



X



y P X



X



Comprobar que coinciden.

4.4.- DISTRIBUCIÓNDE PARETO, P(



,k)

DEFINICIÓN:

Diremos que X sigue una distribución de

Pareto de parámetros



y k, ,X

P(,k),  ;  0;k 

Pareto de parámetros 

y k, ,X

P(,k),

si X es una v.a. continua con densidad:

 ; ; 1 si ( ) k x k f x _x          

•

f

es función de densidad: f(x)



0 y

0 en el resto  1

1

k

k

dx

 



 





f

es función de densidad: f(x) 

0 y

• Gráfico de

X P(=1.5,k=3) 1 k

_x





(Hacer demostración) demostración)

• Para calcular probabilidades integramos la densidad en el • Para calcular probabilidades integramos la densidad en el

intervalo correspondiente o usamos la función de distribución. • FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN:FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN: hay que saber obtenerlahay que saber obtenerla.

 

0 1 x x k F x f t dt _k k      _{   }    



( ) • MEDIDAS: 1 x k x        



 

₁ 2 ( ) , sólo es finita si 1 1 k k k E X x f x dx x dx x     _            





 







2

2 , sólo existe para 2

2 1 k V X        

Ejemplo 8: Sea

X

P(=1.5,k=3), escribir la función de densidad,

calc lar la P(X>10) calc lar E[X] V(X) si es q e e isten calcular la P(X>10) y calcular E[X] y V(X) si es que existen.

• APLICACIÓN: Se utiliza en economía para trabajar con rentas

i i id d k T bié d l i bl

superiores a cierta cantidad k. También para modelar variables como el tamaño de los mensajes que circulan por Internet.

• Esta distribución NO es reproductiva • Esta distribución NO es reproductiva.

• Es INVARIANTE FRENTE A CAMBIOS DE ESCALA, es decir,



/





/



0

P X



a X



b

P X



a s X



b s

a



b s



• Tiene la propiedad de COLA PESADA, es decir, decrece muy lentamente cuando x crece comparándola con otras distribuciones



/





/



,

,

0

P X



a X



b



P X

 

a s X

 

b s

a



b s



lentamente cuando x crece comparándola con otras distribuciones del mismo tipo como por ejemplo, la exponencial.

Ejemplo 9: Sea XPareto (1 5 1) Ejemplo 9: Sea X Pareto (1.5, 1)

a) Comprobar que



15 /

10





150 /

100



P X



X





P X



X



b) Si Y Exp(1/3), comprobar que



15 /

10





150 /

100



P X



X





P X



X





₂₀₀



_{3.54 10} 4 _{354 /10 y}6



₂₀₀



_{1.11 10} 29 _111/1031

Ó

4.5. DISTRIBUCIÓN NORMAL, N(

μ

,

σ

)

• El modelo normal es adecuado para gran variedad

de mediciones físicas (temperaturas,

precipitaciones), intelectuales (test de inteligencia y

aptitud), tamaños de partes físicas de animales y

humanas (alturas, envergaduras,…)

• Estudiaremos el Teorema Central del Límite que

q

justifica que la distribución normal sea la

DISTRIBUCIÓN NORMAL, N(

μ

,

σ

)

DEFINICIÓN: Diremos que X sigue una distribución de

N l d á X N( ) i

, (

μ

, )

0



Normal de parámetros μ y σ, XN(μ,σ), con , si X es una v.a. continua con densidad:

, 0    

 

2 1 2

1

si

2

x

f x

e

x

 





       







• f es función de densidad ya que f(x)  0 y

2





( ) 1 f x dx   



•

MEDIDAS:

E(X) =

( )

μ

μ

y V(X) =

y

( )

σ

2

(primer parámetro es

(p

p

la media de la variable y el segundo, la desviación típica)

Ejemplo 10

: Si X~N(

μ

=2,

σ

=3), escribir su función de

•

REPRODUCTIVIDAD

: Sean

variables aleatorias independientes y













1 1, 1 , 2 2, 2 ,..., n n, n , X  N

 

X  N

 

X  N

 

1

, ,...,

2 n

a a

a





p

y

Entonces, la variable

tiene distribución normal:

1 1 2 2

...

n n

Y



a X



a X

 

a X



2 2 2 2 2 2



1 1 2 2

...

n n

,

1 1 2 2

...

n n

Y



N a





a



 

a



a





a



 

a



GENERAL:

Para cualquier variable Y con distribución

normal,

SIEMPRE

, el primer parámetro es E(Y) y el

segundo parámetro es la desviación típica de Y.

Ejemplo 11

: Sean X~N(

μ

=2,

σ

=3), Y~N(

μ

=3,

σ

=5)

variables aleatorias independientes. Obtener la

•

Casos particulares de la propiedad de reproductividad:

•

Casos particulares de la propiedad de reproductividad:

Si son independientes, entonces:

X X1, 2,..., Xn  N



 

,



,

1 2

Variable aleatoria suma:

1.

Si

a



1,

a



1,...,

a

_n



1,





1 2 1

...

_n n _i

,

.

i

X

X

X

X

N n

 

n





 







1

Variable aleatoria media muestra

2.

Si

1/

1/

1/

l:

i

a

n a

n

a

n

 1 2

Si

1/ ,

1/ ,...,

1/ ,

1

n n

a

n a

n

a

n

X

X

N





















_

_

1

,

i i

X

X

N

n

_



_n



_

_







DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1)

Diremos que X es una variable aleatoria con distribución N(0,1) si su densidad es:

 

2 2

1

si

2

x

f x

e

x











2



•Tipificación:



,



 

0,1

X

X

N

 

Y



N





 





• CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARA X ~ N(μ,σ):

PASO 1.- Se transforma la variable X en una variable Y con distribución N(0,1) mediante la tipificación.

PASO 2.- Se usan las tablas de la distribución N(0,1), donde se encuentran los valores de la función de distribución de la misma encuentran los valores de la función de distribución de la misma.

TABLAS DE Z

~

N(0,1)

Las tablas de Z ~ N(0,1) dan una APROXIMACIÓN de

 

( )





x

F x

f t dt

P X

x











usando el método del trapecio compuesto.

Ejemplo 12

: Sea Z ~ N(0 1) Calcular

Ejemplo 12

: Sea Z N(0,1). Calcular



 

 



1.

P X





1.54 ,

 

P X

 

2 ,

 

P X

 

1.67











.

.

,

,

. 7

2. Encontrar a y b :

P X



a



0.2946

y P X



b



0.20

4.6.TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

El Teorema Central del límite es un resultado que permite

APROXIMAR l di t ib ió d i bl Y d fi id

APROXIMAR la distribución de variables Y definidas como

suma de otras variables X_i, que sean independientes y todas con la misma distribución

con la misma distribución.

es una variable aleatoria.Se llama VARIABLE SUMA

n

Y 



X

Estas variables tipo suma se dan siempre que una variable Y se 1

es una variable aleatoria.Se llama VARIABLE SUMA

i i Y X 



p p q

puede entender como suma de muchos efectos independientes (X_i). Por ejemplo, Y:tiempo que un operario tarda en arreglar una avería es la “SUMA” de: formación, destreza, que lleve o no la pieza, tiempo hasta que localiza la avería,…

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE:

Sean X₁, X₂,..., X_n v.a. INDEPENDIENTES con la MISMA DISTRIBUCIÓN tal que E[X_i] = a y V(X_i) = b2 _entonces:

DISTRIBUCIÓN tal que E[X_i] a y V(X_i) b , entonces:





s

i

distribución aprox

ima a

d

n i

X



N na b n

n











,



( :

)

1

p

i i



,

(

)

¿Cómo de grande debe de ser n? Depende de las ¿Cómo de grande debe de ser n? Depende de las características de las variables X_i:

•si son discretas hacen falta más variables que si son •si son discretas hacen falta más variables que si son continuas.

i i ét i h f lt á i bl i

•si son asimétricas hacen falta más variables que si son simétricas.

Como regla general se suele usar n  50 para variables continuas y n  100 para discretas pero depende mucho de la distribución de X_i.

OTRAS VERSIONES DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE n

X



na



 

1

1

0 1 si es grande (tipificar)

i i

X

na

N

n

b n







.

,

1

2.

n

X

_i

X

N a

b

si es grande dividir entre

n

n

n







_{ }

_







,

(

)

1

es una variable aleatoria. Se

llama

MEDIA MUESTRAL

i

n

_n

X













(

)

 

1

1

3

0 1 i

d ( i ifi

)

n i i

X

a

X

a

n

N







 

1

3.

n

i

X

a

_N

0 1 si es grande (tipificar)

_n

b

b

n

n



_

_

_,

n

n

USOS DEL T.C.L.

USO 1.- Obtener la distribución APROXIMADA de variables del

tipo: 1 1

1

ó

n n i i i i

X

X

X

n

 







Observación: Hasta ahora hemos visto cómo obtener la

distribución EXACTA de la variable aleatoria suma

distribución EXACTA de la variable aleatoria suma

1 n i i

X



solamente para distribuciones que tuviesen la propiedad de REPRODUCTIVIDAD.

1

i

USO 2.- Aproximación de otras distribuciones, como por ejemplo,

binomial y Poisson. Estas aproximaciones se usan para realizar

ál l i d d di d d d

Ejemplo 14 (USO 1):j p ( ) Sea X: temperatura, en grados, de un fluido, p , g , ,

una variable con función de densidad:

1/ 2 1  0 1/ 2 1 0 ( ) 0 1 x f x x x       _   

Se realizan 200 mediciones independientes de la temperatura de 0 resto

 

p p

fluido en 200 días diferentes. Calcular:

a) La probabilidad de que la suma de las temperaturas sea mayor de a) La probabilidad de que la suma de las temperaturas sea mayor de

20 grados.

b) La probabilidad de que la temperatura media esté entre –0 05 y b) La probabilidad de que la temperatura media esté entre 0.05 y

USO 2: APROXIMACIÓN DE OTRAS

DISTRIBUCIONES MEDIANTE T.C.L.

 





1.

P

 





N





,





,





30













1.

,

,

2.

30

100,

0.1,0.

,

,

(1

) ,

9

P

N

Bin n p

N np

n

p

p

n

p





















,

p





p

,

p

(

p

) ,



,

p



,



Observación: para los valores de los parámetros que se indican, las

aproximaciones son buenas En otros casos podrían ser buenas o no aproximaciones son buenas. En otros casos, podrían ser buenas o no.

Ejemplo 15 (USO 2): Sean X₁, X₂,..., X₁₀₀ v.a. independientes

P(3). Calcular





100 1

310 siendo

_i i

P Y

Y

X









a) De forma exacta, usando Statgraphics.

1

i