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Ejercicios resueltos de Geometría Afín
1.
Halla la ecuación implícita del plano paralelo al plano 2x2y3z12 0 que pasa por el punto P
2,3, 1
.Solución:
El plano ' está determinado por '
P u v, ,
, donde u y v son vectores directores del plano.
6 3 1,1, 0 2 2 3 12 0 3, 0, 2 2 x u x y z y v z Así, el plano pedido es:
2 1 3 ' det 3 1 0 0 ' 2 2 3 13 0 1 0 2 x y x y z z
2.
Halla la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P
1, 0, 2
y contiene a la rectade ecuación 1 3 4 1 1 3 x y z r . Solución:
El plano es
P u P P, , r r
donde Pr
1,3, 4
r y ur es el vector director de la recta r. Tenemos que ur
1, 1,3
y P Pr
1,0, 2
1,3, 4
2, 3,6
, luego:1 1 2 det 0 1 3 0 3 1 0 2 3 6 x y x z z
3.
Dados los planos x 2y z 2 0 y 2y z 0, encuentra razonadamente la ecuación general o implícita de la recta paralela a los planos y que pase por el punto P
0, 1,3 ,
sabiendo que y son secantes. Solución:
La recta está determinada por el vector director de la recta 2 2 0
2 0 x y z r y z y el punto
0, 1,3
P .El vector director de la recta r es:
det 1 2 1 4 2 4,1, 2 0 2 1 r i j k u i j k 1 3
4 1 2
x y z
s
y, como consecuencia, la ecuación general o implícita es: 1 4 4 0 4 1 1 3 2 5 0 1 2 x y x y s s y z y z
4.
Dado el punto P
2,0, 1
y las rectas2 4 0 2 1 y 1 0 1 2 0 x y z x y z r s x z
Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que pasando por P es paralelo a y r s.
Solución:
El plano está determinado por el punto P y por los vectores directores de las rectas:
P u u, ,r s
La ecuación general del plano es:
2 1 1 det 2 1 0 2 2 1 2 1 0 2 3 0 1 0 1 x y x z z y x y z z «De otra forma»:
El plano está determinado por P y por el vector normal n ur us
. El vector normal es:
det 1 2 0 2 2 2,1,1 1 1 1 i j k n i k k j Por tanto, el plano es de la forma 2x y z D 0. Imponiendo que P
2,0, 1
:2 2 0 1 D 0 D 3
Así, la ecuación del plano es: 2x y z 3 0.
5.
Dadas las rectas 2 1 y 03 2 3 2 1 x y z x y r s x y z x y z , da la ecuación implícita de un
plano que contenga a y .r s
Solución:
El plano está determinado por P (punto de intersección de y r s) y por los vectores directores de las rectas.
P u u, ,r s
3
2 1 2 1 1 1 3 2 3 2 2 3 2 2 0 3 2 1 1 3 3 2 1 x y z y y z y z x y z y y z y z x y x y y y z y z x y z De 2 1
2 : z 0 z 0 Sustituyendo en [1]: y 1 z y 1 Como x2y z 1 x 1 2 1 1Por tanto, el punto de corte es P
1,1, 0
y el plano pedido es:
1 5 1 1 4 1 0 4 1 3 1 5 4 3 1 5 1 0 2 1 0 3 1 x y x y z z x y x y z z 6.
Dados los planos x 2y z 2 0 y 2y z 0, encuentra razonadamente la ecuación general o implícita de la recta paralela a los planos y que pase por el punto P
0, 1,3 .
Solución:
La recta que nos piden está determinada por P
0, 1,3
y el vector u r nu . Calculamos el vector director de la recta:
1 2 1 2 2 2 4,1, 2 0 2 1 r i j k u i k i j Por tanto, la ecuación continua de la recta pedida es:
1 3
= =
4 1 2
x y z
r
y sus ecuaciones generales o implícitas:
4 4 0 2 5 0 x y r y z
7.
Halla la ecuación de la recta que pasa pro el punto P
1, 0, 0
y corta a las rectas2 1 1 1 2 x y z r y 2 1 0 2 3 0 x y z s x y z . Solución:
La ecuación pedida está determinada por r
P, , 1 2
, donde 1 es el plano que contiene a P y a la recta r, y 2 es el plano que contiene a P y a la recta s.El plano que contiene a P y a la recta r:
1 1 1 1 1 , , det 1 1 0 1 0 0 2 r r x P PP u y x y z z
1, 3,5 2 1 0 4 3 2 3 0 0, 4, 7 7 5 s s x u x y z s s y x y z P z
0, 4, 7
1,0,0
1, 4, 7
s PP
2 2 1 1 1 , , det 4 3 0 2 1 0 7 5 s s x P PP u y x y z z La ecuación de la recta pedida es:
1 0 2 3
(Implícita) 2 2 (Paramétricas) (Continua)
2 1 0 1 2 3 3 3 x x y z x y z t t y t x y z z
8.
Determina la ecuación de la recta contenida en el plano x 2y6z 2 0 que corta a los ejes OY y OZ.Solución:
La recta pedida está determinada por r
A AB,
, donde A es el punto de intersección de con el eje OY y B es el punto de intersección de con el eje OZ.
2 6 2 0 0 0,1,0 0 x y z x A z es el punto de intersección del plano con el eje OY.
2 6 2 0 1 0 0,0, 3 0 x y z x B y
es el punto de intersección del plano con el eje OZ.
Así, un vector director de la recta contenida en que corta a los ejes OY y OZ es 0, 1,1 3 AB
y, por tanto, la ecuación de la recta pedida es:
0 1 1 3 x r y z
9.
Ecuación del plano que contiene a una recta y es paralelo a otra (las rectas se cruzan)Hallar, si es posible, un plano paralelo a 2 1
2 1 3 x y z r que contenga a 2 2 2 5 6 x s y z Solución:
Las rectas r y s se cruzan, por lo que el plano pedido está determinado por
P u us, , r s
, dondes
5 Las rectas se cruzan, ya que
2 2 2 rango , , rango 1 2 2 3 3 6 4 r s r s u u P P , donde
2, 1,3 2, 2, 6 2,0,5 0, 2,1 2, 2, 4 r s r s u u P P El vector ur es paralelo al plano que buscamos y el vector us está contenido en él. Luego con ellos y con un punto de Ps
2, 0,5
s, obtenemos el plano :2 2 2 det 1 2 0 6 2 10 0 3 5 0 5 3 6 x y y z y z z
10.
Ecuación del plano que contiene a dos rectas paralelas Hallar, si es posible, un plano que contenga a 5 1 23 2 4 x y z r y a 2 2 5 0 2 11 0 x y z s x y z . Solución:
El plano está determinado por
P u P Pr, , r r s
, donde Prr y Pss.Los vectores directores de r y s son:
3, 2, 4 y
det 2 1 2 3 2 4
3, 2, 4
2 1 1 r s i j k u u i j k , que no son proporcionales y, por tanto, las rectas son paralelas o coincidentes. Ahora bien, como
5,1, 2
r
P r, no verifica la ecuación de s, 2
5 1 2 11 0 , se tiene que Prs y como consecuencia, r y s son paralelas.El plano pedido es:
5 3 1 det 1 2 2 0 2 2 5 0 2 4 2 x y x y z z
ya que, haciendo z0 en las ecuaciones de s, obtenemos Ps
4,3,0
s y, por tanto,
4,3,0
5,1, 2
1, 2, 2
r s
P P