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Ejercicios resueltos de Geometría Afín

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Academic year: 2021

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(1)

Ejercicios resueltos de Geometría Afín

1.

Halla la ecuación implícita del plano paralelo al plano  2x2y3z12 0 que pasa por el punto P

2,3, 1

.

Solución:

El plano ' está determinado por '

P u v, ,

, donde u y v son vectores directores del plano

.

6 3 1,1, 0 2 2 3 12 0 3, 0, 2 2 x u x y z y v z                                

Así, el plano pedido es:

2 1 3 ' det 3 1 0 0 ' 2 2 3 13 0 1 0 2 x y x y z z                    

2.

Halla la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P

1, 0, 2

y contiene a la recta

de ecuación 1 3 4 1 1 3 x y z r        . Solución:

El plano es  

P u P P, , r r

donde Pr

1,3, 4 

r y ur es el vector director de la recta r. Tenemos que ur

1, 1,3

y P Pr  

1,0, 2

 

 1,3, 4   

 

2, 3,6

, luego:

1 1 2 det 0 1 3 0 3 1 0 2 3 6 x y x z z                       

3.

Dados los planos    x 2y  z 2 0 y   2y z 0, encuentra razonadamente la ecuación general o implícita de la recta paralela a los planos y   que pase por el punto P

0, 1,3 ,

sabiendo que y   son secantes. Solución:

La recta está determinada por el vector director de la recta 2 2 0

2 0 x y z r y z                 y el punto

0, 1,3

P  .

El vector director de la recta r es:

det 1 2 1 4 2 4,1, 2 0 2 1 r i j k u i j k                    

(2)

1 3

4 1 2

x y z

s    

y, como consecuencia, la ecuación general o implícita es: 1 4 4 0 4 1 1 3 2 5 0 1 2 x y x y s s y z y z                 

4.

Dado el punto P

2,0, 1

y las rectas

2 4 0 2 1 y 1 0 1 2 0 x y z x y z r s x z                

Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que pasando por P es paralelo a y r s.

Solución:

El plano está determinado por el punto P y por los vectores directores de las rectas:

P u u, ,r s

   

La ecuación general del plano es:

 

 

2 1 1 det 2 1 0 2 2 1 2 1 0 2 3 0 1 0 1 x y x z z y x y z z                             

«De otra forma»:

El plano está determinado por P y por el vector normal n ur us

   . El vector normal es:

det 1 2 0 2 2 2,1,1 1 1 1 i j k n i k k j                      

Por tanto, el plano es de la forma  2x   y z D 0. Imponiendo que P

2,0, 1 

:

2 2 0 1     D 0 D 3

Así, la ecuación del plano es:  2x   y z 3 0.

5.

Dadas las rectas 2 1 y 0

3 2 3 2 1 x y z x y r s x y z x y z                   , da la ecuación implícita de un

plano  que contenga a y .r s

Solución:

El plano  está determinado por P (punto de intersección de y r s) y por los vectores directores de las rectas.

P u u, ,r s

   

(3)

 

 

 

2 1 2 1 1 1 3 2 3 2 2 3 2 2 0 3 2 1 1 3 3 2 1 x y z y y z y z x y z y y z y z x y x y y y z y z x y z                                          De  2 1

   

 2 :    z 0 z 0 Sustituyendo en [1]: y   1 z y 1 Como x2y       z 1 x 1 2 1 1

Por tanto, el punto de corte es P

1,1, 0

y el plano pedido es:

 

 

1 5 1 1 4 1 0 4 1 3 1 5 4 3 1 5 1 0 2 1 0 3 1 x y x y z z x y x y z z                         

6.

Dados los planos    x 2y  z 2 0 y   2y z 0, encuentra razonadamente la ecuación general o implícita de la recta paralela a los planos y   que pase por el punto P

0, 1,3 .

Solución:

La recta que nos piden está determinada por P

0, 1,3

y el vector u  rnu . Calculamos el vector director de la recta:

1 2 1 2 2 2 4,1, 2 0 2 1 r i j k u    i k  i j         

Por tanto, la ecuación continua de la recta pedida es:

1 3

= =

4 1 2

x y z

r  

y sus ecuaciones generales o implícitas:

4 4 0 2 5 0 x y r y z         

7.

Halla la ecuación de la recta que pasa pro el punto P

1, 0, 0

y corta a las rectas

2 1 1 1 2 x y z r      y 2 1 0 2 3 0 x y z s x y z             .    Solución:

La ecuación pedida está determinada por r

P, , 1 2

, donde 1 es el plano que contiene a P y a la recta r, y 2 es el plano que contiene a P y a la recta s.

El plano que contiene a P y a la recta r:

1 1 1 1 1 , , det 1 1 0 1 0 0 2 r r x P PP u y x y z z                       

(4)

1, 3,5 2 1 0 4 3 2 3 0 0, 4, 7 7 5 s s x u x y z s s y x y z P z                                  

0, 4, 7

 

1,0,0

 

1, 4, 7

s PP       

2 2 1 1 1 , , det 4 3 0 2 1 0 7 5 s s x P PP u y x y z z                        

La ecuación de la recta pedida es:

1 0 2 3

(Implícita) 2 2 (Paramétricas) (Continua)

2 1 0 1 2 3 3 3 x x y z x y z t t y t x y z z                                

8.

Determina la ecuación de la recta contenida en el plano   x 2y6z 2 0 que corta a los ejes OY y OZ.

Solución:

La recta pedida está determinada por r

A AB,

, donde A es el punto de intersección de  con el eje OY y B es el punto de intersección de  con el eje OZ.

2 6 2 0 0 0,1,0 0 x y z x A z           

es el punto de intersección del plano con el eje OY.

2 6 2 0 1 0 0,0, 3 0 x y z x B y              

es el punto de intersección del plano con el eje OZ.

Así, un vector director de la recta contenida en  que corta a los ejes OY y OZ es 0, 1,1 3 AB  

 



y, por tanto, la ecuación de la recta pedida es:

0 1 1 3 x r y z             

9.

Ecuación del plano que contiene a una recta y es paralelo a otra (las rectas se cruzan)

Hallar, si es posible, un plano paralelo a 2 1

2 1 3 x y z r      que contenga a 2 2 2 5 6 x s y z              Solución:

Las rectas r y s se cruzan, por lo que el plano pedido está determinado por  

P u us, , r s

, donde

s

(5)

5  Las rectas se cruzan, ya que

2 2 2 rango , , rango 1 2 2 3 3 6 4 r s r s u u P P                , donde

 

 

2, 1,3 2, 2, 6 2,0,5 0, 2,1 2, 2, 4 r s r s u u P P                

El vector ur es paralelo al plano que buscamos y el vector us está contenido en él. Luego con ellos y con un punto de Ps

2, 0,5

s, obtenemos el plano :

2 2 2 det 1 2 0 6 2 10 0 3 5 0 5 3 6 x y y z y z z                         

10.

Ecuación del plano que contiene a dos rectas paralelas Hallar, si es posible, un plano que contenga a 5 1 2

3 2 4 x y z r       y a 2 2 5 0 2 11 0 x y z s x y z             . Solución:

El plano está determinado por  

P u P Pr, , r r s

, donde Prr y Pss.

Los vectores directores de r y s son:

3, 2, 4 y

det 2 1 2 3 2 4

3, 2, 4

2 1 1 r s i j k u u i j k                         , que no son proporcionales y, por tanto, las rectas son paralelas o coincidentes. Ahora bien, como

5,1, 2

r

P  r, no verifica la ecuación de s, 2    

 

5 1 2 11 0 , se tiene que Prs y como consecuencia, r y s son paralelas.

El plano pedido es:

5 3 1 det 1 2 2 0 2 2 5 0 2 4 2 x y x y z z                   

ya que, haciendo z0 en las ecuaciones de s, obtenemos Ps

4,3,0

s y, por tanto,

4,3,0

 

5,1, 2

 

1, 2, 2

r s

P P      

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