7. Si f (x) =x 2 +2x 1 es un factor primo de. A) x 1 B) x+1 C) x+3 D) x 3 E) x Factorice el polinomio. 9. Factorice el polinomio

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Preguntas propuestas

Preguntas propuestas

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Factorización I NIVEL BÁSICO

1. Si x – 3 es factor de P(x)=ax2 – 6x+9b, halle el valor de a+b.

A) 1 B) 2 C) 0 D) – 1 E) – 2

2. Indique un factor primo de P(x)=4x3y – 6x2y2+2x2yz

A) x2 B) xy C) 2x+3y+z D) 2x – 3y – z E) 2x – 3y+z

3. Halle la suma de los factores primos del si-guiente polinomio:

P(a; b; c)=a2c+abc+3ac+3bc+a2+ab+3a+3b A) 2a+b+c+4

B) 2a+b+c+3 C) a+2b+c+3 D) a+2b+c+1 E) a+b+c+3

4. Señale un factor primo de P(x)=x3+3x2+3x+2

A) x+1 B) x – 2 C) x2+x+1 D) x2 – x+1 E) x2 – x+2

5. Halle la suma de los factores primos no comu-nes de los siguientes polinomios:

P(x)=x2+5x+6 Q(x)=3x2+7x+2 L(x)=2x2+7x+6 A) 6x+7 B) 5x+4 C) 4x+4 D) 3x+6 E) 6x+9

6. Indique un factor primo de P(x)=abx2+(a2+b2)x+ab

A) x+a B) x+b C) ax+1 D) ax+b E) 1+x+ab

NIVEL INTERMEDIO

7. Si f(x)=x2+2x – 1 es un factor primo de P(x)=x3+3x2+mx+n, entonces el otro actor primo es

A) x – 1 B) x+1 C) x+3 D) x – 3 E) x – 2

8. Factorice el polinomio P(a; b)=a2+b2+a+b+2ab

e indique la suma de coeficientes de un factor primo.

A) 1 B) 3 C) 5 D) – 3 E) – 5

9. Factorice el polinomio P(x; y)=4x2 – 4y2 – 4x+1 e indique un factor primo.

A) x+y – 2 B) 2x+y – 1 C) x+2y – 1 D) 2x – 2y – 1 E) 2x – y – 2

10. Indique la cantidad de factores primos en el polinomio P(x)=x4x3+x – 1

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11. Indique un factor primo del polinomio P(x)=(x – 1)2(x – 3)2+(x2 – 5x+6)2

A) x+3 B) x+1 C) x+5 D) x – 5 E) x – 3

12. Indique un factor primo del polinomio P(x)=2x2 – 3(a+1)x+a2+3a

A) x+a B) x+a+3 C) x – a D) x – 3 E) 2x – a

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NIVEL AVANZADO

13. Factorice e indique el número de factores pri-mos de P(x; y)=

(

x2+y2 – 1

)

2 – 4x2y2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

14. Determine un factor primo de P(x)=(x – 1)4 – 5(x2 – 2x+1)+4 A) x – 3 B) x + 2 C) x+5 D) x – 1 E) x+3

15. Indique un factor primo del polinomio P(x)=3x2+2(2a – 3)x+a2 – 4a+3

A) x – a+1 B) 3x+a – 1 C) x+a – 1

D) 3x – a+1 E) x+a – 3

(4)

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Factorización II NIVEL BÁSICO

1. Si 3 es raíz del polinomio P(x)=x3 – mx+9

calcule el valor de m.

A) 9 B) 6 C) 12 D) 15 E) 3

2. Indique qué alternativa no es una posible raíz racional de

P(x)=3x3+mx2+n+6

A) 1 B) – 3 C) 2 D) 1/3 E) 1/2

3. Factorice e indique un factor primo de P(x)=x3+6x2+3x – 10

A) x+1 B) x – 2 C) x – 5 D) x+10 E) x+2

4. Luego de factorizar P(x)=x3 – 6x2 – x+30,

indique la suma de sus factores primos.

A) 3x – 6 B) 3x – 5 C) 3x+7 D) 3x+4 E) 3x – 1

5. Si f(x) es un factor primo del polinomio P(x)=x3 – 5x2 – 4x+20,

halle el menor valor de f(1).

A) 3 B) 1 C) – 1 D) – 2 E) – 4

6. ¿Cuántos polinomios son primos? I. P(x)=x3+1 II. Q(x)=x2+x+3 III. R(x)=x3+3x+1 IV. S(x)=x3+5x+2 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 NIVEL INTERMEDIO 7. Factorice P(a; b; c)=1+a+b+c+ab+bc+ca+abc e indique la suma de los términos indepen-dientes de los factores primos.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

8. Indique el número de factores primos del poli-nomio P(x; y)=x7y – xy7 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 9. Si x – c es factor de P(x)=ax3 – acx2+bx+c; c ≠ 0 halle el valor de b. A) 1 B) – 1 C) 2 D) – 2 E) 3

10. Indique un factor primo del polinomio P(x; y)=ab(x2+y2)+xy(a2+b2)

A) ax+y B) x+by C) abx+y D) ax+by E) x+ay

11. Factorice

P(x; y)=(xy+1)2+(x+y)(xy+2)+xy+1 e indique un factor primo.

A) xy+1 B) x+2 C) y+2 D) x+y E) xy+2 12. Luego de reducir x2+3x+2 x2 5x 6 x2 4x 3

(

)

(

+ +

)

(

+ +

)

evalúe para x=98. A) 9900 B) 99 900 C) 999 900 D) 99 000 E) 999 000

(5)

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5

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NIVEL AVANZADO

13. Factorice el polinomio P(x)=2x3+5x2+8x+3 e indique un factor primo.

A) x+3 B) 2x – 3 C) 2x+3 D) x – 1 E) 2x+1 14. Factorice P(x)=x4+4ax2 –

(

a2 – 1

)

2 e indique un factor primo.

A) x+1

B) x+a C) x+a+1

D) x – a – 1 E) x – a+1

15. ¿Cuántos factores primos tiene el polinomio P(x)=(x – 1)(x+2)(x – 2)(x+3) – 5? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

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Introducción a los números complejos NIVEL BÁSICO 1. Halle el valor de 2a – b si 7 – a+5i=a – 3+(3 – b)i sabiendo que a; b ∈ R. A) 8 B) 7 C) 3 D) 12 E) 14 2. Sean A=i+i2+i3+ ... +i18 B=(1+i)(1+i3)(1+i6) Calcule A+B. A) 1+i B) 1 – i C) – 1+i D) 2 E) 2i

3. Halle a para que z a i i

= −

+ 6 2 5 ; a ∈ R

sea un número complejo imaginario puro. A) 5 B) 30 C) 15 D) – 30 E) – 15 4. Reduce el complejo z ii i i i = + − − + + 1 1 1 1 1 1 1 A) 0 B) 1+i C) 1 – i D) – i E) i

5. Determine a ∈ R si (a – 3i)2 es un complejo imaginario puro. A) 3 B) 6 C) 9 D) 1 E) 5 6. Sea z=2 – 3i w=1– 2i Calcule (1+z)(w* – i). A) 4 B) – 6 C) 2i D) 3i E) 2 NIVEL INTERMEDIO 7. Si se cumple que (2+3i)a+(1 – i)b=7+8i calcule el valor de a+b.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 8. Si z=i13+i14+i15+ ... +i33 w=(1+i)2+(1 – i)2+(1+i)4 calcule zw. A) 2i B) – 2i C) 4i D) – 4i E) 4

9. Sea el complejo z=2+3i. Si z2=x+yi, calcule xy.

A) 156 B) 60 C) – 156 D) – 60 E) – 30 10. Calcule z i i i i i i i i = + − + + − + + − + + − 1 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 A) 4 B) – 4 C) 4i D) – 4i E) 2i

11. Si z=x+yi, tal que z+z=6

z – z*=m+10i halle xy.

A) 15 B) 6 C) 60 D) 30 E) – 30

12. Halle m para que

w m i

mi

=3+ +1(+8 ) ; m ∈ R

sea un complejo real.

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

(7)

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7

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NIVEL AVANZADO

13. Si z y w son opuestos, tal que z=(3+2i)m+ni w n n i =10+ − calcule el valor de mn; m; n∈R. A) 20 B) – 25 C) – 20 D) – 15 E) 10 14. Si x yi i i i i + = − +    +  +  3 1 1 2 1 1 3 2 ; x; y ∈ R

calcule el valor de (x+y)(y – 1).

A) 2 B) – 12 C) – 2 D) 3 E) – 3 15. Calcule n si 1+ 5 1 5 64 ( ) + −( )  i i  =n A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6

(8)

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Teoría de ecuaciones NIVEL BÁSICO 1. Si a es la solución de la ecuación 3x2 – 5x+10=0, calcule el valor de α α 2 2 − A) 2 B) 5/3 C) 2/3 D) – 1 E) – 2/3

2. Respecto a la siguiente ecuación

x x x x − ( ) ( − ) − = − 3 4 4 3 2

indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. El 4 es solución

II. El 3 es solución III. No tiene solución IV. Tiene una solución

A) VFFF B) VVFF C) VFFV D) VFVF E) FVFV

3. La ecuación en (a2 – a)x=a – 1

no tiene solución. Halle a+1.

A) 1 B) 0 C) 2 D) 3 E) 5

4. La ecuación en x mx+x+7=3x+n+2

es compatible indeterminada. Halle el valor de m+n.

A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) 10

5. Resuelva la ecuación lineal (m – 3)x2+2x+m2 – 17=0 A) 4 B) 17/2 C) – 4 D) {4} E) { } 6. Determine la solución de 5 1 3 2 1 2 2 6 −x− + x+ = − −x x− A) 2 B) {3} C) – 2 D) – 3 E) {2} NIVEL INTERMEDIO 7. Si a es la solución de x2 – 3x+1=0 calcule el valor de α α 2 2 1 + A) 11 B) 9 C) 8 D) 6 E) 7 8. Respecto a la ecuación x(x+2)(x+3)= – x(x+3)

indique el número de soluciones.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

9. La ecuación en x (m2 – 5m+6)x=m2 – 2m

es compatible indeterminada. Indique el valor de m. A) 0 B) 2 C) 3 D) 1 E) – 3 10. Resuelva x− − + = + − 1 3 1 2 1 2 5 3 1 2 1 2 A) {3/2} B) {28/11} C) {50/11} D) {31/13} E) {19/10}

(9)

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9

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11. En la ecuación

2 1 2 2

2

x− = − x

calcule el cuadrado de la solución.

A) 1 B) 2 C) 4 D) 3 E) 5

12. Halle el valor de x en la ecuación x a a x a − +5+ −2 +5= 537 1; a > 0 A) a – 5 B) a+5 C) 2a+5 D) 2a – 5 E) – a+5 NIVEL AVANZADO 13. Si la ecuación en x m(mx – x – 1)=6x+2

es incompatible, calcule el valor de m.

A) 2 B) – 2 C) 3 D) – 3 E) 1 14. Las ecuaciones 3 7 26 2 5 39 x= x− 5x+m – 1=0

tienen la misma solución. Halle m.

A) – 10 B) 7 C) – 8 D) 13 E) 5 15. Resuelva x x x x 2 6 12 20 12 5 + + + =

e indique la solución aumentada en 2.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7

(10)

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Ecuación cuadrática I NIVEL BÁSICO

1. Calcule la suma de las raíces no comunes de las ecuaciones

3x2+2=5x 9x2 – 4=0

A) – 1/3 B) 2/3 C) – 2/3 D) 1/3 E) – 2

2. Indique la menor raíz de la ecuación x2 – 4x+2=0

A) 2 2 B) 2− 2 C) − +2 2 D) 1+ 2 E) 1− 2

3. Sean x1 y x2 las raíces de x2 – 5x – 2=0 halle el valor de 1 5 1 5 12 1 22 2 xx +xx A) 1 B) – 1 C) 0 D) 1/2 E) – 1/2 4. Si la ecuación x2 – 8x – 5=0

tiene por raíces x1 y x2 halle el valor de (x1+1)(x2+1)

A) 14 B) 4 C) – 12 D) 0 E) – 8

5. Las raíces de la ecuación x2 – 6x+2=0

son x1 y x2. Indique el valor de x x x x 1 2 2 1 6 6 − + − A) 2 B) – 2 C) 1 D) – 1 E) – 1/2

6. Las raíces de la ecuación x2 – (n – 2)x+n –11=0

son simétricas. Determine el producto de las raíces. A) – 1 B) – 4 C) – 9 D) – 16 E) – 25 NIVEL INTERMEDIO 7. Halle a – 1 si la ecuación ax2 – x – a+1=0

tiene raíces enteras positivas consecutivas. A) 3 B) 1/2 C) 2 D) 1/3 E) 1

8. La ecuación en x x2+3x – n – 3=0 x2+2x – n+2=0

tiene una raíz en común, halle n. A) 35 B) 33 C) 42 D) 39 E) 37

9. Sean x1 y x2 las raíces de x2 – 2x – 1005=0

halle el valor de x1(x1 – 1)+x2(x2 – 1) A) 1007 B) 2010 C) 1003 D) 2012 E) 2008

10. Si x1 y x2 son las raíces de x2 – 3x+n=0 tal que x1x2=5 Halle el valor de n. A) 4 B) – 4 C) 2 D) – 2 E) 3 11. En la ecuación 3k2x2 – 6kx – (k+2)=0 ; k ≠0

si la suma de sus raíces es igual al doble de su producto, halle k.

A) 1 B) 1/2 C) – 1/2 D) 2 E) – 2

(11)

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12. Si a y b son raíces de la ecuación x2 – 6x+c=0,

entonces halle el valor de a2 b2 2c 9 + +     A) 2 B) 6 C) 4 D) 1 E) 12 NIVEL AVANZADO 13. Si el complejo 1– i es raíz de x2+3x+m+5i=0, calcule el valor de m. A) 1 B) – 3 C) 5 D) – 2 E) 4

14. Si x1 es una raíz de la ecuación (x+1)2=x calcule el valor de x x 115 115 1 + . A) 1 B) – 1 C) 2 D) – 2 E) 0

15. Las raíces de la ecuación 2x2 – (2n – 1)x+n – 1=0

son recíprocas. Indique la menor raíz.

A) 2

B) 3

C) 1/3

D) 1/2 E) – 1

(12)

Anual SM

E

cuacióncuadrática

i

01 - D 02 - B 03 - A 04 - B 05 - B 06 - C 07 - A 08 - E 09 - D 10 - B 11 - C 12 - C 13 - B 14 - C 15 - D 01 - D 02 - B 03 - A 04 - B 05 - B 06 - C 07 - A 08 - E 09 - D 10 - B 11 - C 12 - C 13 - B 14 - C 15 - D

t

EoríadEEcuacionEs 01 - B 02 - E 03 - A 04 - C 05 - D 06 - D 07 - E 08 - C 09 - B 10 - C 11 - B 12 - D 13 - C 14 - A 15 - D 01 - B 02 - E 03 - A 04 - C 05 - D 06 - D 07 - E 08 - C 09 - B 10 - C 11 - B 12 - D 13 - C 14 - A 15 - D

i

ntroducciónalosnúmEroscomplEjos

01 - D 02 - C 03 - C 04 - A 05 - A 06 - B 07 - D 08 - D 09 - D 10 - E 11 - A 12 - B 13 - B 14 - A 15 - B 01 - D 02 - C 03 - C 04 - A 05 - A 06 - B 07 - D 08 - D 09 - D 10 - E 11 - A 12 - B 13 - B 14 - A 15 - B

F

actorización

ii

01 - C 02 - E 03 - E 04 - A 05 - E 06 - D 07 - B 08 - D 09 - B 10 - D 11 - E 12 - C 13 - E 14 - E 15 - B 01 - C 02 - E 03 - E 04 - A 05 - E 06 - D 07 - B 08 - D 09 - B 10 - D 11 - E 12 - C 13 - E 14 - E 15 - B

F

actorización

i

01 - B 02 - E 03 - A 04 - C 05 - A 06 - D 07 - B 08 - B 09 - D 10 - C 11 - E 12 - C 13 - D 14 - A 15 - C 01 - B 02 - E 03 - A 04 - C 05 - A 06 - D 07 - B 08 - B 09 - D 10 - C 11 - E 12 - C 13 - D 14 - A 15 - C

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