PAIEP. Inecuaciones con Valor Absoluto

(1)

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia

PAIEP

Universidad de Santiago de Chile

Inecuaciones con Valor Absoluto

En la sección anterior se estudio la resolución de inecuaciones de primer grado, segundo grado y de grado mayor a dos, además se resolvieron inecuaciones racionales (numerador y denominador ambos polinomios). Ahora se hará el mismo análisis cuando se introduce el valor absoluto que definiremos a continuación. Definición: Seax∈R, se define elvalor absoluto dex(ó módulo dex) al número real, que lo denotaremos por|x|, dado por:

|x|:=                    x six≥0 −x six <0

Geom´etricamente, el valor absoluto dexrepresenta la distancia desde el punto xal origen de la recta real. Ahora enlistaremos algunas propiedades importantes del valor absoluto.

Proposici´on: Seanx, y∈R. Entonces: i) |x| ≥0. ii) |x|= 0⇔x= 0. iii) |x·y|=|x| · |y|. iv) |x y|= |x| |y|, paray6= 0. v) |x|=|−x|. vi) |x+y| ≤ |x|+|y|. vii) |x2 |=|x|2 =x2 . viii) −|x| ≤x≤ |x|.

ix) |x| ≤a⇔ −a≤x≤a, paraa≥0 (resp. con<). x) |x| ≥a⇔x≥a∨x≤ −a, paraa≥0 (resp. con>).

(2)

Más importante que demostrar estas propiedades, es entenderlas e internalizarlas a cabalidad, ya que éstas son muy importantes para la resolución de inecuaciones con valor absoluto, inecuaciones que son mucho más complicadas e interesantes que las que se estudiaron en la sección anterior. En los ejemplos que daremos a continuación, se tratará de resolver este tipo de inecuaciones usando dos métodos, uno de ellos es usar las propiedades enlistadas en la proposición anterior y el otro es usando puntos cr´ıticos.

Ejemplos 1. Resuelva la inecuaci´on|3x+ 2|< 2

3.

Soluci´on: Usando la propiedadix), se tiene

|3x+ 2|< 2 3 ⇔ − 2 3 <3x+ 2< 2 3 ⇔ −2 3−2<3x < 2 3 −2 ⇔ −8 3 <3x <− 4 3 ⇔ −8 9 < x <− 4 9. Luego el conjunto soluci´on de esta inecuaci´on es

S = −8 9,− 4 9 . 2. Resuelva la inecuaci´on|4x−2| ≥x(1−2x).

Soluci´on: Usando la propiedadx), se tiene

|4x−2| ≥x(1−2x)⇔[4x−2≥x(1−2x)]∨[4x−2≤ −x(1−2x)] ⇔[4x−2≥x−2x2 ]∨[4x−2≤ −x+ 2x2 )] ⇔[2x2 −3x−2≥0]∨[2x2 −5x+ 2≥0]

Entonces para encontrar la solución de la inecuación debemos resolver ambas inecuaciones por separado. En efecto, para la primera inecuación note que 2x2

−3x−2 = 2 x+1 2 (x−2). Ahora veamos la tabla de signos para la inecuaci´on 2

x+1 2 (x−2)≥0 −∞ −1/2 2 +∞ (x+ 1/2) − + + (x−2) − − +

(3)

As´ı,S1=]− ∞,−1/2]∪[2,+∞[.

Análogamente para la segunda inecuación el conjunto solución de ésta es S2 =]− ∞,1/2]∪[2,+∞[ (queda de ejercicio). Luego el conjunto solución de esta inecuación es

S =S1∪S2=]− ∞,1/2]∪[2,+∞[.

3. Resuelva la inecuaci´on|x+ 3| −2|x−1|>1.

Soluci´on: Este problema se puede atacar de dos maneras posibles:

(Usando las propiedades) En ese caso, usando la propiedadx), se tiene

|x+ 3|>1 + 2|x−1| ⇔(x+ 3>1 + 2|x−1|)∨(x+ 3<−2|x−1| −1). ⇔ |x−1|<x+ 2 2 ∨ |x−1|<−x+ 4 2 .

Basta ahora con resolver estas dos inecuaciones con valor absoluto. Para la primera inecuaci´on, usando la propiedadix), se tiene

|x−1|< x+ 2 2 ⇔ − x+ 2 2 < x−1< x+ 2 2 ⇔ −x−2<2x−2< x+ 2 ⇔(x−2−<2x−2)∧(2x−2< x+ 2) ⇔[x >0]∧[x <4]

As´ı, el conjunto solución de esta inecuación (que lo llamaremosS1) esS1=]−∞,4[∩]0,+∞[=]0,4[. Para la segunda inecuación, usando la propiedadix), se tiene

|x−1|<−x+ 4 2 ⇔ x+ 4 2 < x−1<− x+ 4 2 ⇔x+ 4<2x−2<−x−4 ⇔(x+ 4<2x−2)∧(2x−2<−x−4) ⇔x >6∧3x <−2 ⇔x >6∧x <−2 3

As´ı, el conjunto soluci´on de esta inecuaci´on (que lo llamaremosS2) esS2=]− ∞,−2/3[∩]6,+∞[=

∅. Finalmente el conjunto soluci´on esS=S1∪S2=]0,4[.

(Usando puntos cr´ıticos) Lo primero es aclarar que un punto cr´ıtico de la inecuaci´on (en este

contexto) es un punto donde cada valor absoluto sea igual a cero (recuerde que|x|= 0⇔x= 0). Resolveremos esta inecuaci´on por 3 pasos, el primero es escribir el valor absoluto de cada sumando, lo segundo es escribir sin valor absoluto, y finalmente resolver las inecuaciones que sean necesarias. En efecto, primero tenemos de la definici´on de valor absoluto que

(4)

|x+ 3|=                    x+ 3 six+ 3≥0 −(x−3) six+ 3<0 =                    x+ 3 six≥ −3 −x−3 six <−3 |x−1|=                    x−1 six−1≥0 −(x−1) six−1<0 =                    x−1 six≥1 −x+ 1 six <−1

Con los puntos cr´ıticos de la inecuaci´on, que en este caso sonx=−3 yx= 1, escribiremos sin valor absoluto la expresi´onP =|x+ 3| −2|x−1|mediante la siguiente tabla.

−∞ −3 1 +∞ |x+ 3| −x−3 x+ 3 x+ 3 |x−1| 1−x 1−x x−1 P x−5 3x+ 1 −x+ 5 As´ı, |x+ 3| −2|x−1|=                                  x−5 six <−3 3x+ 1 si −3≤x <1 −x+ 5 six≥1

(5)

En el primer caso, tenemos x > 6 y asi el conjunto soluci´on para esta inecuaci´on en el intervalo ]− ∞,−3[ esS1=]− ∞,−3[∩]6,+∞[=∅.

En el segundo caso, tenemosx >0 y asi el conjunto soluci´on para esta inecuaci´on en el intervalo [−3,1[ esS1=]−3,1[∩]0,+∞[=]0,1[.

En el tercer caso, tenemosx <4 y asi el conjunto soluci´on para esta inecuaci´on en el intervalo [1,+∞[ esS1= [1,−∞[∩]− ∞,4[= [1,4[.

Finalemte el conjunto soluci´on de la inecuaci´on con valor absoluto de este problema esS=S1∪S2∪S3= ]0,4[.

Si encuentras alg´

un error en el documento, env´ıanos un mensaje

(6)

Ejercicios Propuestos 1. Resuelva la inecuación|4x2 − |x+ 2|| ≥3. 2. Resuelva la inecuación|x+ 1|+ 5x <|3x−2|. 3. Resuelva la inecuación|x−2| ≤2x. 4. Resuelva la inecuación|x2 −4|>2x−4. 5. Resuelva la inecuación 2|x|<|x−1|. 6. Resuelva la inecuación|x2 −2x|+x|x+ 3| ≥3. 7. Resuelva la inecuación |x 2 −2x+ 1| |x2₋_3x_{+ 2}_|≤1.