La ED lineal de segundo orden homogénea. y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = 0 (1)

Texto completo

(1)

MATEM ´ATICAS ESPECIALES II - 2018 PR ´ACTICA 8

Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anal´ıticos. Parte 1 - Soluciones alrededor de un punto ordinario.

La ED lineal de segundo orden homog´enea

y00(x) +p(x)y0(x) +q(x)y(x) = 0 (1)

se encuentra entre las m´as importantes desde el punto de vista de las aplicaciones.

La caracter´ıstica central de este tipo de ED es que el comportamiento de las soluciones en un entorno del puntox0 depender´a del comportamiento de los coeficientes p(x) yq(x) en un entorno dex0.

I Definici´on. El punto x0 es un punto ordinario de la ecuaci´on (1) sip(x) yq(x) son anal´ıticas en x0. Si al menos una de estas funciones no es anal´ıtica enx0, entoncesx0es un punto singular de (1). I Teorema. Sea x0 un punto ordinario de la ecuaci´on diferencial (1). Entonces, existe una ´unica soluci´on y(x), que tambi´en es anal´ıtica enx0, y satisface las condiciones iniciales

y(x0) =a y0(x0) =b.

M´as a´un, si los desarrollos en series de Taylor de p(x) y q(x) son v´alidos en |x−x0| < r, entonces, el desarrollo en series de Taylor dey(x) tambi´en ser´a v´alido en el mismo intervalo.

Ejemplos.

IEncontrar la soluci´on general de la ecuaci´on y00−xy0+ 2y= 0 en una vecindad del puntox0= 0.

En este caso,p(x) =−xyq(x) = 2. Ambas funciones son polinomiales y, por lo tanto, anal´ıticas en todo punto. Consecuentemente, todo punto x (en particular, x0 = 0) es un punto ordinario para esta ecuaci´on. Luego, existir´a una soluci´on de la formay(x) =X

k≥0

akxk que converge en|x|<∞.

Para encontrar la soluci´ony(x) es necesario determinar los coeficientes ak para todo k. Para ello, seguiremos el siguiente procedimiento conocido como m´etodo de series de potencias o m´etodo de los coeficientes indeterminados. Consta de cinco pasos.

Primer paso: se sustituyen y(x) =X k≥0 akxk, y0(x) =X k≥1 k akxk−1, y00(x) =X k≥2 k(k−1)akxk−2 en la ecuaci´on diferencial y00(x)−xy0(x) + 2y(x) =X k≥2 k(k−1)akxk−2−x X k≥1 k akxk−1+ 2 X k≥0 akxk = 0.

Segundo paso: se suman las series; para ello, primero se agrupan los t´erminos con iguales potencias dex 2a0+ 2a1x+ 2 X k≥2 akxk | {z } 2 X k≥0 akxk −a1x−X k≥2 k akxk | {z } −xX k≥1 k akxk−1 +X k≥0 (k+ 2)(k+ 1)ak+2xk | {z } X k≥2 k(k−1)akxk−2 = 0

(2)

2a0+ 2a1x+ 2X k≥2 akxk−a1x−X k≥2 k akxk+ 2·1a2+ 3·2a3x+X k≥2 (k+ 2)(k+ 1)ak+2xk | {z } X k≥0 (k+ 2)(k+ 1)ak+2xk = 0

(2a0+ 2·1a2) + (2a1−a1+ 3·2a3)x+X k≥2

(2ak−k ak+ (k+ 2)(k+ 1)ak+2)xk = 0

Tercer paso: la expresi´on anterior debe ser id´enticamente cero para todox; esto implica que el coeficiente de cada potencia dexdebe ser igual a cero; es decir,

a0+a2= 0; a1+ 6a3= 0; (2−k)ak+ (k+ 2)(k+ 1)ak+2= 0; k= 2,3,4,· · · El resultdo anterior puede escribirse de la siguiente manera

a2=−a0; a3=−a1 6 ; ak+2= k−2 (k+ 1)(k+ 2)ak; k= 2,3,4,· · · | {z } relaci´on de recurrencia

Cuarto paso: se usa la f´ormula de recurrencia para determinar los corficientesak parak≥2; es decir, k= 2 → a4= 0, k= 3 → a5= 1 4·5a3, k= 4 → a6= 2 5·6a4= 0, k= 5 → a7= 3 6·7a5, k= 6 → a8= 4 7·8a6= 0, · · · k= 2n−2 → a2n= 0, n= 1,2,3,· · · k= 2n−1 → a2n+1= 2n−3 2n(2n+ 1)a2n−1, n= 1,2,3,· · ·.

Claramente, todos los coeficientes impares dependen (por recurrencia) del coeficiente a1. Para establecer esta dependencia expl´ıcitamente, hagamos

a3·a5·a7· · ·a2n−1·a2n+1=− 1 2·3a1 1 4·5a3 3 6·7a5· · · 2n−3 2n(2n+ 1)a2n−1 → a2n+1=− 1·3· · · ·(2n−3) (2n+ 1)! a1. Entonces, los coeficientes ser´an

a2=−a0; a2n = 0; n≥2, a2n+1=−

1·3· · · ·(2n−3)

(2n+ 1)! a1; n≥1. Quinto paso: se sustituyen los coeficientes hallados en la serie que define ay(x); es decir,

y(x) =a0+a1x−a0x2− 1 3!a1x 3+ 0x4 − 1 5!a1x 5+ · · ·=a0(1−x2) +a1 x−X k≥1 1·3· · · ·(2n−3) (2n+ 1)! x 2k+1.

(3)

Entonces, haciendo y0(x) = 1−x2; y1(x) =x− X k≥1 1·3· · · ·(2n−3) (2n+ 1)! x 2k+1 y(x) =a 0y0(x) +a1y1(x); se concluye que y(x) es soluci´on de la ED para cualquier elecci´on de los coeficientes a0 y a1. En particular, eligiendo a0= 1 ya1 = 0, se tiene quey0(x) satisface la ED. De la misma manera, eligiendoa0= 0 ya1= 1, se tiene quey1(x) tambi´en satisface la ED. Adem´as,

W(y1, y2)(0) = y0(0) y1(0) y00(0) y01(0) = 1 0 0 1

= 1 → {y0(x), y1(x)} es linealmente independiente.

? ? ?

1. Considere el PVI

y00−x2y02xy= 0

y(0) = 1, y0(0) = 0 .Probar primero que este problema posee una ´unica soluci´on anal´ıtica enx= 0. Luego, mostrar que la soluci´on est´a dada pory(x) =X

k≥0 x3k

3kk!. D´onde converge? 2. Utilizar el m´etodo de los coeficientes indeterminados para expresar la soluci´on general de cada una de las

siguientes ecuaciones como una serie de potencias alrededor del puntox0= 0 y especificar un intervalo en el que la soluci´on es v´alida.

(a) (2x2+ 1)y00+ 2xy018y= 0

(b) y00+x2y0+ 2xy= 0

3. Las soluciones de la ecuaci´on y00−xy= 0 se denominan funciones deAiry (se encuentra en el estudio de la difracci´on de la luz, la difracci´on de ondas de radio alrededor de la superficie de la Tierra, problemas de la aerodin´amica y la deflexi´on de vigas bajo su propio peso).

(a) Probar que toda funci´on de Airy no trivial tiene infinitos ceros negativos.

(b) Encontrar las funciones de Airy, en forma de series de potencias de x, y verificar directamente que convergen para todox.

(c) Otra forma de la ecuaci´on de Airy es y00+xy = 0. Usar los resultados del inciso anterior para encontrar la soluci´on general de esta ecuaci´on.

Funciones de Airy --

𝑀(𝑥) = √𝐴𝑖

2

(𝑥) + 𝐵𝑖

2

(𝑥)

4. La ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden y00−2xy0+2λy= 0 , dondeλes una constante no negativa,

(4)

(a) Utilizar el m´etodo de coeficientes indeterminados para hallar un conjunto fundamental de soluciones para la ecuaci´on de Hermite.

(b) Mostrar que la ecuaci´on de Hermite tiene una soluci´on polin´omial de gradonsiλ=n(se definen los polinomios de Hermite como las soluciones polin´omicas de la ecuaci´on de Hermite con la siguiente propiedad: los t´erminos que contienen las potencias m´as grandes dexson de la forma2nxn).

Polinomios de Hermite

La aplicaci´on m´as conocida de los polinomios de Hermite est´a relacionada con la teor´ıa del oscilador lineal arm´onico en mec´anica cu´antica.

5. La ecuaci´on diferencial (1−x2)y00−xy02y= 0, dondeλes una constante, se conoce como laecuaci´on

de Tchebycheff y se presenta en muchas ´areas de la matem´atica y la f´ısica.

(a) Hallar dos soluciones linealmente independientes de la ecuaci´on de Tchebycheff v´alidas para|x|<1. (b) Mostrar que la ecuaci´on de Tchebycheff tiene una soluci´on polinomial de gradon siλ=n(a estos

polinomios, multiplicados por constantes adecuadas, se los denomina polinomios de Tchebycheff).

Polinomios de Tchebycheff

6. La ecuaci´on diferencial (1−x2)y00(x)2xy0(x) +λ(λ+ 1)y(x) = 0 dondeλes una constante, se conoce

comoecuaci´on de Legendre.

(5)

(b) Mostrar que la ecuaci´on de Legendre tiene una soluci´on polinomial de grado n si λ = n (a estos polinomios, multiplicados por constantes adecuadas, se los denomina polinomios de Legendre).

Polinomios de Legendre

7. La ecuaci´on diferencial de Legendre conλ= 0 tiene el polinomio soluci´on Φ1(x) = 1 y una soluci´on Φ2(x) dada por una serie de potencias. Demostrar que la suma de la serie Φ2(x) viene dada por la funci´on

Φ2(x) = 1 2ln 1 +x 1−x ; |x|<1.

Comprobar directamente que la funci´on Φ2(x) es una soluci´on de la ecuaci´on de Legendre cuando λ= 0. 8. La ecuaci´on de Legendre puede escribirse en la forma: ((x21)y0)0l(l+ 1)y= 0.

(a) Sia, b, cson constantes, siendo a > b y 4c+ 1>0 , demostrar que una ecuaci´on diferencial del tipo ((x−a)(x−b)y0)0 −cy = 0 puede transformarse en una ecuaci´on de Legendre por un cambio de variable de la forma x=At+B, siendo A >0 . DeterminarA yB en funci´on deayb.

(b) Aplicar el m´etodo sugerido en en inciso anterior para transformar (x2−x)y00+ (2x−1)y0−2y= 0 en una ecuaci´on de Legendre y resolver.

9. ?La funci´on en el lado izquierdo de la siguiente expresi´on 1

1−2tx+t2 =P0(x) +P1(x)t+P2(x)t 2+

· · ·+Pn(x)tn+· · · 0< t <1. es la funci´on generatriz de los polinomios de Legendre. Utilice esta relaci´on para demostrar que

(a) Pn(1) = 1 y Pn(−1) = (−1)n (b) P2n+1(0) = 0

10. ?Los polinomios de Legendre satisfacen la relaci´on de recurrencia (se puede demostrar usando la funci´on generatriz)

(n+ 1)Pn+1(x)−(2n+ 1)xPn(x) +nPn−1(x) = 0.

(a) Sabiendo queP0(x) = 1 y P1(x) =x, calcularP2(x), P3(x) y P4(x).

(b) Exprese el polinomio f(x) = 1−3x+x4 como combinaci´on lineal de los polinomios de Legendre hallados.

(6)

11. ?La f´ormula de Rodrigues permite calcular los polinomios de Legendre por diferenciaci´on; Pn(x) = 1 2nn! dn dxn (1−x 2)n. Probar las siguientes relaciones de recurrencia:

(a) Pn+10 (x)−Pn0−1(x) = (2n+ 1)Pn(x) (b) (n+ 1)Pn(x) =Pn+10 (x)−xPn0(x)

12. ?Probar la condici´on de ortogonalidad

Z 1 −1 Pm(x)Pn(x)dx= ( 0, sim6=n 2 2n+ 1, sim=n .

(Sugerencia: ((1−x2)y0(x))0+n(n+ 1)y(x) = 0) es una expresi´on equivalente de la ED de Legendre.) 13. Sea y(x) = X

k≥0

ckxk una soluci´on de la ecuaci´on y00+p(x)y0+q(x)y = 0 en el intervalo |x|< r;r >0. Sup´ongase que p(x) =X

k≥0

pkxk y que q(x) =X k≥0

qkxk en ese mismo intervalo. Demostrar que:

ck+2=− 1 (k+ 1)(k+ 2) k X j=0 [(j+ 1)pk−jcj+1 +qk−jcj]

14. Expresar la soluci´on general de la siguiente ecuaci´on diferencial no homog´enea 3y00−xy0+y=x2+ 2x+ 1 como una serie de potencias alrededor del puntox0= 0.

? ? ?

I Comentario final. En los ejemplos tratados, nos hemos encontrado con lo que se denomina f´ormulas de recurrencia de dos t´erminos para la determinaci´on de los coeficientes de las series soluci´on. La simplicidad de estas f´ormulas permite encontrar una expresi´on general para los coeficientes. Sin embargo, esta simplicidad no debe esperarse en todos los casos. Por ejemplo, para la ecuaci´on diferencial y00(x) + (p+1

2− 1 4x

2)y(x) = 0; dondepes una constante, se tiene

y(x) =X k≥0 akxk → (k+ 1)(k+ 2)ak+2+ (p+ 1 2)ak− 1 4ak−2= 0 | {z }

f´ormula de recurrencia de tres t´erminos

(7)

MATEM ´ATICAS ESPECIALES II - 2018 PR ´ACTICA 8

Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anal´ıticos. Parte 2 - Soluciones alrededor de un punto singular regular.

Consideremos nuevamente la ecuaci´on diferencial

y00(x) +p(x)y0(x) +q(x)y(x) = 0. (2)

Supongamos ahora quex0es un punto singular de esta ecuaci´on.

I Definici´on. Se dice que x0 es unpunto singular regular de la ecuaci´on (2) si las funciones P(x) = (x−x0)p(x) (y) Q(x) = (x−x0)2q(x)

son anal´ıticas en x0. Si al menos una de estas funciones resulta no anal´ıtica enx0, entonces se dice que x0es unpunto singular irregular de la ecuaci´on (2).

Obs´ervese que, six0es un punto singular regular, la ecuaci´on (1) puede escribirse de la forma (x−x0)2y00(x) + (x−x0)P(x)y0(x) +Q(x)y(x) = 0

| {z }

P(x), Q(x)→funciones anal´ıticas enx0

.

No se excluye la posibilidad de quex0=∞. Para estudiar el comportamineto de la ED en un entorno del infinito se aplica el cambio de variableζ= 1/xy el estudio se lleva a cabo sobre la ecuaci´on transformada en el puntoζ0= 0.

Ejemplo.

IHallar y clasificar los puntos singulares (finitos) de la ecuaci´on x2(x21)y00+ 5(x+ 1)y0+ (x2x)y= 0. Comencemos escribiendo la ED en la forma normal; es decir,

y00+ 5 x+ 1 x2(x21) | {z } p(x) y0+ x 2x x2(x21) | {z } q(x) y= 0 →      p(x) = 5 x2(x1) q(x) = 1 x(x+ 1) → x=−1 x= 0 x= 1    puntos singulares. Parax0= 1, se tiene P(x) = (x−1)p(x) = 5 x2 Q(x) = (x−1) 2q(x) = (x−1)2 x(x+ 1) | {z }

anal´ıticas enx0=1 → x0=1 es singular regular

.

Parax0= 0, se tiene

P(x) =xp(x) = 5 x(x−1)

| {z }

no es anal´ıtica enx0=0 → x0=0 es singular irregular

Parax0=−1, se tiene P(x) = (x+ 1)p(x) = 5 x+ 1 x2(x1) Q(x) = (x+ 1) 2q(x) =x+ 1 x | {z }

anal´ıticas enx0=−1 → x0=−1 es singular regular

(8)

Consideremos la ecuaci´on diferencial

y00(x) +p(x)y0(x) +q(x)y(x) = 0. (3)

Asumamos, que tiene un punto singular regular en el origen (esto no implica p´erdida de generalidad ya que el cambio de variableu=x−x0desplaza el punto singularx0al origen).

Por hip´otesis, los desarrollos en series P(x) =x p(x) =X k≥0 pnxn=p0+ X k≥1 pnxn y Q(x) =x2q(x) = X k≥0 qnxn=q0+ X k≥1 qnxn

ser´an v´alidos en|x|< R, para alg´unR >0. Obs´ervese que p0=P(0) = lim

x→0xp(x) y q0=Q(0) = limx→0x 2q(x).

I Definici´on. I(ν) =ν(ν−1) +p0ν+q0se denomina polinomio indicial asociado a la ecuaci´on (3).

Teorema (de Frobenius). Supongamos que la ecuaci´on indicial I(ν) = 0 tenga ra´ıces ν1 y ν2; Reν2≤Reν1. Entonces, la ecuaci´on (3) tiene al menos una soluci´on de la forma

y1(x) =|x|ν1

X

k≥0

ckxk; c06= 0; convergente en 0<|x|< R.

M´as a´un, se puede determinar otra soluci´on de (3), linealmente independiente dey1(x), tambi´en v´alida en 0<|x|< R, cuya forma depender´a fuertemente de la relaci´on entreν1−ν2;

- siν1−ν2 no es un entero;y2(x) =|x|ν2 X k≥0 dkxk; d06= 0, - siν1=ν2;y2(x) =y1(x) ln|x|+|x|ν1X k≥1 dkxk, - siν1−ν2 es un entero;y2(x) =D y1(x) ln|x|+|x|ν2 X k≥0

dkxk; d06= 0; D es una constante fija. Todas los coeficientes que aparecen en estas expresiones se obtienen reemplazando

y(x) =|x|νX

k≥0 ckxk

directamente en la ecuaci´on diferencial

x2y00(x) +x2p(x) | {z } xP(x) y0(x) +x2q(x) | {z } Q(x) y(x) = 0 (4)

y utilizando el m´etodo de los coeficientes indeterminados.

Ejemplos.

I Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on x2y00(x) +x(x−1 2)y

0(x) + 1

2y(x) = 0. Determinar el dominio de validez de la soluci´on.

Comparando la ED a resolver con la expresi´on (4), es evidente que P(x) =x−1

2 y Q(x) = 1 2;

(9)

ambas funciones son anal´ıticas en x0 = 0 y sus desarrollos en series de potencias de xconvergen en|x|<∞. En este caso, las ra´ıces del polinomio indicial ser´an

I(ν) =ν(ν−1) +P(0)ν+Q(0) =ν(ν−1)−1 2ν+ 1 2 = 0 → ν1= 1 ν2=12 → ν1−ν26∈Z. Luego, por Teorema de Frobenius, podemos asegurar que existen soluciones de la forma

y1(x) =xX k≥0

ckxk e y2(x) =p|x|X k≥0

dkxk,

que son linealmente independientes y v´alidas en 0<|x|<∞.

Supongamosx >0. Determinaremosy1(x) aplicando el m´etodo de los coeficientes indeterminados; procederemos por pasos.

Primer paso: se sustituyen y(x) =X k≥0 ckxk+1, y0(x) =X k≥0 (k+ 1)ckxk, y00(x) =X k≥0 (k+ 1)k ckxk−1 en la ecuaci´on diferencial x2X k≥0 (k+ 1)k ckxk−1+x(x−1 2) X k≥0 (k+ 1)ckxk+1 2 X k≥0 ckxk+1= 0

Segundo paso: se suman las series; para ello, primero se agrupan los t´erminos con iguales potencias dex

X k≥0 (k+ 1)k ckxk+1+ X k≥0 (k+ 1)ckxk+2− 1 2 X k≥0 (k+ 1)ckxk+1 | {z } x(x−1 2) X k≥0 (k+ 1)ckxk +1 2 X k≥0 ckxk+1= 0 X k≥0 ((k+ 1)k−1 2(k+ 1) + 1 2) | {z } k(k+1 2) ckxk+1+X k≥0 (k+ 1)ckxk+2=X k≥1 k(k+1 2)ckx k+1+X k≥0 (k+ 1)ckxk+2= 0 X k≥0 (k+ 1)(k+3 2)ck+1x k+2 | {z } X k≥1 k(k+1 2)ckx k+1 +X k≥0 (k+ 1)ckxk+2 =X k≥0 (k+ 1)((k+3 2)ck+1+ck)x k+2= 0

Tercer paso: la expresi´on anterior debe ser id´enticamente cero para todox6= 0; esto implica que el coeficiente de cada potencia dexdebe ser igual a cero; es decir,

(k+3 2)ck+1+ck = 0; k≥0 → ck+1=− 2 2k+ 3ck | {z } relaci´on de recurrencia ; k≥0

Cuarto paso: se usa la f´ormula de recurrencia para determinar los corficientesck parak≥1; es decir, k= 0 → c1=−2

3c0, k= 1 → c2=−

2 5c1,

(10)

k= 2 → c3=−2 7c2, k= 3 → c4=− 2 9c3, · · · k=n−1 → cn=− 2 2n+ 1cn−1, n= 1,2,3,· · ·.

Todos los coeficientes depender´an (por recurrencia) del coeficientec0; recordemos quec0 6= 0. Para establecer esta dependencia expl´ıcitamente, hagamos

c1·c2·c3· · ·cn−1·cn=− 2 3c0· − 2 5c1· − 2 7c2· · · − 2 2n+ 1cn−1 → cn = (−2)n (2n+ 1)!!c0; n≥1 Quinto paso: se sustituyen los coeficientes hallados en la serie que define ay1(x); es decir,

y1(x) =x X n≥0 (−2)n (2n+ 1)!!x n c 0= 1.

Procediendo de la misma manera, se llega a y2(x) = √ xX n≥0 (−1)n n! x n ←d0= 1.

Es f´acil comprobar que ambas series convergen en (0,∞) (por ejemplo, usando el criterio del cociente). Tambi´en es evidente, de la forma de estas soluciones, que ninguna serie es un m´ultiplo constante de la otra; de hecho,

y1(x)∼x; x∈(0, ); ≪1 y2(x)∼ √

x; x∈(0, ); 1.

Por lo tanto, y1(x) ey2(x) son linealmente independientes para todo x >0. Para x <0, se hace la sustituci´on u=−x;u∈(0,∞), y se repiten todos los argumentos. As´ı, por el principio de superposici´on,

y(x) =α|x|X n≥0 (−2)n (2n+ 1)!!x n+βp |x|X n≥0 (−1)n n! x n

representa la soluci´on general de la ED, con dominio de validez en 0<|x|<∞.

IHallar la soluci´on general de la ecuaci´on xy00(x) +x y0(x) +y(x) = 0. Determinar el dominio de validez de la soluci´on.

Comparando la ED a resolver con la expresi´on (4), es evidente que P(x) =x y Q(x) =x;

ambas funciones son anal´ıticas en x0 = 0 y sus desarrollos en series de potencias de xconvergen en|x|<∞. En este caso, las ra´ıces del polinomio indicial ser´an

I(ν) =ν(ν−1) +P(0)ν+Q(0) =ν(ν−1) = 0 →

ν1= 1

ν2= 0 → ν1−ν2∈Z. Luego, por Teorema de Frobenius, podemos asegurar que existe una soluci´on de la forma

y1(x) =xX k≥0

(11)

Procediendo como en el ejemplo anterior, se llega a ck+1=− 1 k+ 1ck; k≥0 → cn= (−1)n n! c0;n≥1| →{z } c0=1 y1(x) =x X n≥0 (−1)n n! x n =xe−x

Para hallar otra soluci´on, linealmente independiente de y1(x) en (0,∞), usaremos el m´etodo de reducci´on del orden. Haciendo esto, se tiene

e−Rxp(η)dη =e−x → y2(x) =y1(x)

Z xeη η2dη Obs´ervese que

Z xeη η2dη= X k≥0 Z xηk−2 k! = lnx− 1 x+ X k≥2 xk−1 k!(k−1). Luego, y2(x) =y1(x) ln(x)−1−X k≥2 xk k!(k−1) e−x | {z } funci´on ana´ıtica enx0=0 → y2(x) =y1(x) ln(x) +X n≥0 dnxn; d06= 0. ? ? ?

1. Hallar y clasificar todos los puntos singulares (finitos) de las ecuaciones diferenciales que se indican a continuaci´on.

(a) x3(x21)y00x(x+ 1)y0(x1)y= 0

(b) (x+ 1)2xy00+xy0y = 0

(c) (x3−4x)2y00+ 2(x+ 2)y0+ 6y = 0 (d) (ex−1)y00−(x+ 1)y0+ (x−1)y= 0

(e) x3y00+ (sinx)y= 0

2. Probar que, haciendo el cambio de variableζ= 1/x,

y00(x) +p(x)y0(x) +q(x)y(x) = 0 7→ y00(ζ) +2ζ−p(ζ) ζ2 y

0(ζ) +q(ζ)

ζ4 y(ζ) = 0.

Usar este resultado para chequear que la ecuaci´onx(1−x)y00(x) + (1−2x)y0(x) +y(x) = 0 tiene un punto singular regular enx0=∞.

3. Encontrar el polinomio indicial asociado con el punto singular regular en x0 = 0 para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales

(a) 4x2y00(x) +x(2x35)y0(x) + (3x2+ 2)y(x) = 0, (b) x2y00(x) + (5

3 +x)xy

0(x)1

3y(x) = 0, (c) x3y00(x) + (cos 2x1)y0(x) + 2xy(x) = 0,

(d) xy00+ (1−x)y0+λy= 0, λuna constante, (e) x2y00xy0+ (x2λ2)y= 0, λuna constante.

(12)

4. La ecuaci´on diferencial x2y00+axy0+by= 0;aybconstantes reales, se denominaecuaci´on de Euler.

Es el ejemplo m´as simple de una ecuaci´on de segundo orden con un punto singular regular en el origen. (a) Comprobar que la ecuaci´on de Euler puede ser reducida a una ecuaci´on diferencial con coeficientes

constantes por medio de la sustituci´on|x|=et.

(b) El conjunto fundamental de soluciones depender´a de las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico p(r) correspondiente a la ecuaci´on transformada. Sir1yr2 son las ra´ıces dep(r); comprobar que

- si r16=r2; r1, r2∈R, → {|x|r1,|x|r2},

- si r1=r2=α+iβ, → {|x|αcos(βln|x|),|x|αsin(βln|x|)}, - si r1=r2=r → {|x|r,|x|rln|x|}.

(c) Cu´al es la ecuaci´on indicial asociada al punto singular regularx0= 0? 5. Considere la ecuaci´on diferencial 2xy00(x)−(3 + 2x)y0(x) +y(x) = 0.

(a) Comprobar quex0= 0 es un punto singular regular.

(b) Comprobar que las ra´ıces del polinomio indicial son diferentes y su diferencia no es un n´umero entero. (c) Hallar dos soluciones linealmente independientes v´alidas en (0,∞).

6. La ecuaci´on diferencial x(1−x)y00+ [γ(1 +α+β)x]y0αβy= 0; conα, βyγconstantes, se denomina ecuaci´on de Gauss o ecuaci´on hipergeom´etrica. Esta ecuaci´on permite resolver cualquier ecuaci´on diferencial con tres puntos singulares.

(a) Compruebe que x= 0 es un punto singular regular y que las ra´ıces de la ecuaci´on indicial son 0 y 1−γ.

(b) Compruebe quex= 1 tambi´en es un punto singular regular y que las ra´ıces de la ecuaci´on indicial son, en este caso, 0 yγ−α−β.

(c) Compruebe quex=∞es un punto singular regular.

(d) Suponga que γno es un entero. Encuentre dos soluciones de la ecuaci´on hipergeom´etrica v´alidas en 0<|x|< R; cu´al es el valor deR?

7. Considerar la ecuaci´on diferencial x2y00+x(x−3)y0+ 3y= 0.

(a) Demuestre queν= 1 yν = 3 son dos ra´ıces de la ecuaci´on indicial asociada. (b) Encuentre una soluci´on en series de potencias de la forma y1(x) =x3

X

n≥0

anxn,a0= 1. (c) Compruebe quey1(x) puede escribirse comox3e−x.

(d) Halle una segunda soluci´on usando el m´etodo de reducci´on del orden.

8. La ecuaci´on diferencial xy00+ (1−x)y0+λy= 0 se denominaecuaci´on de Laguerre de orden λ. (a) Probar que tiene una soluci´on que es anal´ıtica para todoxy que se reduce a un polinomio cuando λ

(13)

Polinomios de Laguerre

(b) Mostrar que siλ=−1, la soluci´on general de la ecuaci´on de Laguerre en cualquier dominio que no contenga al origen est´a dada por

y=c1ex+c2ln|x|+X k≥1 (−1)k k xk k!

ex; c1, c2 son constantes arbitrarias.

9. ? La ecuaci´on diferencial x2y00(x) +xy0(x) + (x2ν2)y(x) = 0 se denomina ecuaci´on de Bessel de

orden ν. Una soluci´on de esta ecuaci´on es Jν(x) = X k≥0 (−1)k Γ(k+ 1)Γ(ν+k+ 1) x 2 2k+ν ;

se denomina funci´on de Bessel de primera clase. Obs´ervese que, siν ≥0, converge en [0,∞). (a) Discutir el comportamiento deJν(x) cuandox→0.

(b) Demostrar que las funcionesJν yJ−ν son linealmente independientes en (0,∞) para todos los valores no enteros deν.

(c) Demostrar que, para todo enterop,Jp(x) = (−1)pJp(x).

10. ? La funci´on de Neumann (o funci´on de Bessel de segunda clase) se define por la f´ormula Yν(x) =

cos(πν)Jν(x)−J−ν(x)

sin(πν) .

Si ν no es entero positivo sabemos queJν(x) yJ−ν(x) son linealmente independientes por lo queYν(x) resulta linealmente independiente deJν(x) (Comprobarlo!). Para un valor entero deν =n, la funci´on de Neumann se puede determinar mediante el paso al l´ımite cuandoν →n. Demostrar que

lim ν→nYν(x) = 1 π ∂Jν(x) ∂ν ν=n−(−1) n∂J−ν(x) ∂ν ν=n .

(14)

Funciones de Bessel

11. (a) Seafα(x) una soluci´on cualquiera de la ecuaci´on de Bessel de ordenαy seag(x) = √

xfα(x), x >0. Demostrar queg(x) satisface la ecuaci´on diferencial

y00+1 +1−4α 2

4x2

y= 0.

(b) Cuando 4α2 = 1, la ecuaci´on diferencial del inciso anterior se reduce a y00+y = 0, cuya soluci´on

general esy=Acosx+Bsinx. Utilizar esta informaci´on para demostrar que, parax >0, J1/2(x) = r 2 πx sinx J−1/2(x) = r 2 πx cosx.

12. La siguiente ecuaci´on diferencial x2y00+xy0+ (m2x2−n2)y = 0 aparece en numerosas aplicaciones. Demuestre que esta ecuaci´on puede reducirse a una ecuaci´on de Bessel mediante el cambio de variable z=mx.

13. Utilizando el m´etodo propuesto en el ejercicio anterior,

(a) compruebe que la soluci´on general de x2y00+xy0+4x2 9 25

y= 0 es y=c1J3/5(2x) +c2J−3/5(2x), (b) compruebe que la soluci´on general de x2y00+xy0+ (3x2−4)y= 0 es y=c1J2(√3x) +c2Y2(√3x),

(c) encuentre la soluci´on de x2y00+xy0+4x21 9

y= 0 que sea continua enx= 0 y tal quey(0.3) = 2. 14. ?A partir de la definici´on deJα(x) probar que:

(a) d dx(x αJα(x)) =xα −1(x), (b) d dx(x −αJ α(x)) =−x−αJα+1(x), α≥0, (c) xJα0(x) =αJα(x)−xJα+1(x), (d) xJα0(x) =−αJα(x) +xJα−1(x),

(e) J3/2(x) sinx−J−3/2(x) cosx=

r

2 πx3.

(15)

15. ?Sup´ongasex >0. A partir de las f´ormulas de derivaci´on, probar que (a) Z x 0 tαJα−1(t)dt=xαJα(x) (b) Z x 0 t−αJα+1(t)dt=−x−αJ α(x) + 1 2αΓ(α+ 1) (c) Z

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :