I.E.S. Juan Carlos I
Ciempozuelos (Madrid)
Matemáticas II
* Sistemas de ecuaciones lineales * 1. Determina la compatibilidad de los siguientes sistemas de ecuaciones y resuélvelos cuando
sea posible (es conveniente que alternes los distintos métodos de resolución aprendidos):
a)
{
xyz=6 2x –4y –2z=0 x – y – z=0 b){
3x−2y=5 x3y=−2 2x – y=3 c){
x−yz=2 xyz=2 2x –3yz=1 d){
x3y−z=1 2xz=2 2y−z=5 e){
3x−yz=5 xy2z=2 2x –2y−z=1 f){
xy−z=1 x−yz=1 −xyz=1 g){
x−yz=2 xyz=2 2x –3yz=1 h){
xy−z=0 12x−3y−2z=0 x –2yz=0 i){
xy−z=0 2x−y3z=0 j){
x2y=0 x−y=0 2xy=0 k){
x2y2zu=0 x−yz−2u=0 2xy−zu=0 l){
x3yz=10 x2y−3z=4 2x5y−z=14 m){
x2yz=1 2xy2z=−1 n){
xy=3 2x−3y=1 3x –2y=5 o){
x6y−z=67 3x−y2z=14 xyz=13 p){
x−2y−2zt=4 xyz−t=5 x – y−zt=6 6x−3y−3z2t=32 q){
x−2y=1 yz=2 x−3z=−1 y−z=2 2. (P.A.U. 2009) Dado el sistema de ecuaciones:{
x – y=3 2x –3y=2k3x –5y=k
a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo en los casos en que sea posible.
3. (P.A.U. 2009) Dado el sistema de ecuaciones:
{
x2yz=0x – y2z=0
x –y2z=0
a) Obtener los valores del parámetro λ para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de la trivial: x = y = z = 0.
b) Resolverlo para λ = 5.
4. (P.A.U. 2008) Dado el sistema de ecuaciones:
{
x−a y=2a x – y=a1 se pide:
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la solución sea única.
b) Determinar para qué valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que y=2. 5. (P.A.U. 2008) Resolver el sistema de ecuaciones:
{
x−2y z−3v=−4x2y z3v= 4 2x−4y2z−6v=−8
2x 2z = 0
6. (P.A.U. 2007) Dado el sistema de ecuaciones:
{
xk1y2z=−1k xyz=k
k−1x –2y−z=k1 se pide:
a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones.
7. (P.A.U. 2007) Dado el sistema de ecuaciones:
{
x2y−3z=3 2x3yz=5 se pide:a) Calcular a y b de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma ax + y + bz = 1
el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el sistema original. b) Calcular las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las
8. (P.A.U. 2007) Dado el sistema de ecuaciones:
{
xk yk2z =1 xk y−k z=k2 −xk y−k2z =k2a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo para k = -1.
9. (P.A.U. 2006)
a) Resolver el sistema de ecuaciones:
{
xy−3z=0 2x3y−z=5b) Hallar la solución del sistema dado tal que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a 4.
10.(P.A.U. 2006) Dado el sistema homogéneo:
{
xk y−z=0k x−yz=0
k1xy=0
averiguar para qué valores del parámetro k tiene soluciones distintas de la trivial x=y=z=0. Resolverlo en tales casos.
11. (P.A.U. 2006) Dado el sistema de ecuaciones:
{
2x3y−z=k x2y3z=2k xk y−4z=−1
a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro k.
b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. 12.(P.A.U. 2005) Dado el sistema de ecuaciones:
{
m−1xyz=3m xm−1y3z=2m−1
x2ym−2z=4 a) Discutirlo según los distintos valores de m.
b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. 13.(P.A.U. 2005)
a) Resolver el sistema de ecuaciones:
{
x2y3z=1 2xy−z=2b) Hallar dos constantes a y b de manera que al añadir al sistema anterior una tercera ecuación de la forma 5x + y + az = b el sistema resultante sea compatible
14.(P.A.U. 2005) Dado el sistema homogéneo:
{
x2y=0k x−y3z=0
x−3yk1z=0
averiguar para qué valores del parámetro k tiene soluciones distintas de la trivial x=y=z=0. Resolverlo en tales casos.
15. (P.A.U. 2005)
a) Discutir según los valores del parámetro λ el sistema de ecuaciones:
{
2x2yz=1xy−z=1 4x3yz=2
b) Resolver el sistema en los casos en que sea compatible.
16.(P.A.U. 2005) Considerar el siguiente sistema de ecuaciones en el que a es un parámetro real:
{
−a x4ya z=−a4xa y−a z=a
−x−yz=1 Se pide:
a) Discutir el sistema según los valores de a. b) Resolverlo para a=1.
17.(P.A.U. 2004) Dado el sistema de ecuaciones:
{
1−ax−2y4z=0x−1ayz=0
−xa y−z=0
a) Estudiar la compatibilidad según los valores del parámetro a.
b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. 18.(P.A.U. 2003) Dado el sistema de ecuaciones:
{
3x4y3z=9m x2yz=5
xyz=2
a) Determinar los valores de m para que el sistema dado tenga solución única.
b) Resolverlo para m = 1.
19.(P.A.U. 2000) Dado el sistema de ecuaciones:
{
a xyz=a−1a2xa yz=a−12a2
xya z=a−13a2
a) Comprobar que es compatible para todo valor del parámetro a.
20.(P.A.U. 1999) Se consideran el siguiente sistema de ecuaciones lineales S y el siguiente determinante D: S :
{
a1x b1y=c1 a2xb2y=c2 a3xb3y=c3 D=∣
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3∣
a) Si S es compatible, ¿se verifica entonces que D=0? b) Si D=0, ¿se verifica entonces que S es compatible?
21.En una granja se venden pollos, pavos y perdices a 2 €/kg, 1,50 €/kg y 4 €/kg
respectivamente. Una semana os ingresos ascendieron a 5700€. Si se sabe que la cantidad de pollo vendida superó en 100 kg a la de pavo, y que se vendió de perdiz la mitad que de pavo, ¿cuántos kilogramos de cada ave se vendieron?.
22. Lucía ha realizado tres exámenes y la nota media ha sido de 8,5. Si la nota media de los dos primeros ha sido 8 y la media de los dos últimos ha sido 9, ¿cuál ha sido la calificación obtenida en cada examen?
23.A Victoria le van a confeccionar su vestido de novia, por el que tendrá que pagar 1742 €. En la confección se usarán 15 metro de tela entre raso, seda y pasamanería bordada. Los metros de raso serán el doble que los de seda, y el coste del raso, seda y pasamanería son 55, 62 y 68 €/m respectivamente.
Si del precio se destinan 500 € a la mano de obra y 350 € para el beneficio del comerciante, ¿cuántos metros de cada tela serán necesarios?
24.Un capitán tiene tres compañías: una de soldados suizos, otra de zuavos y otra de sajones. Al asaltar una fortaleza, el capitán promete una recompensa de 901 escudos que se repartirán de la siguiente forma:
El soldado que primero suba y todos los de su compañía recibirán un escudo, y el resto de la recompensa se repartirá a partes iguales entre todos los demás soldados.
Si el primero en subir es suizo los de las demás compañías recibirán medio escudo. Si, por el contrario, el primero en subir es zuavo, los soldados de otras compañías recibirán un tercio de escudo. Y, por último, si el primero es sajón, los demás conseguirán un cuarto de escudo. Sabiendo todo esto, ¿cuántos soldados hay en cada compañía?
25.Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que cuando uno pierda entregará a cada uno de los otros una cantidad igual a la que tenga cada uno en ese momento. Cada uno perdió una partida, y al final cada uno tenía 24 €. ¿Cuánto tenía cada jugador al empezar?
26.Una compañía de teléfono A cobra cada minuto de llamadas locales a 0,02 €, cada minuto de nacionales a 0,09 € y cada minuto de llamadas a móviles a 0,12 €. Otra compañía B cobra 0,03 €, 0,08 € y 0,14 € respectivamente, una tercera compañía C a su vez 0,03 €, 0,10 € y 0,10 € y por último otra compañía D cobra 0,02 €, 0,10 € y 0,12 €.
Si con lo que he hablado este mes comparo la facturación con cada compañía obtengo lo siguiente:
A: 11,20€ - B: 12 € - C: 11,20 € - D: 11,40€
Sabiendo que, por ley, todas las compañías han de facturar la misma cantidad mensual por el mantenimiento de la línea ¿cuántos minutos de llamadas locales, nacionales y a móviles he tenido este mes?, ¿cuánto me cobran por mantenimiento de línea?
27.Un número capicúa de cinco cifras verifica que: a) La suma de sus cifras es 9.
b) La cifra de las centenas es igual a la suma de la de las unidades y la da las decenas. c) Si se intercambian las cifras de unidades y decenas, el número disminuye en 9 unidades.
Encuentra dicho número.
28.(P.A.U. 2008) El cajero automático de una cierta entidad bancaria sólo admite billetes de 50, 20 y 10 euros. Los viernes depositan en el cajero 225 billetes por un importe total de 7000 euros. Averigua el número de billetes de cada valor depositados en el cajero, sabiendo que la suma de billetes de 50 y 10 euros es el doble que el número de billetes de 20 euros.
29.(P.A.U. 2003) Un mayorista del sector turístico vende a la agencia de viajes A 10 billetes a destinos nacionales, 10 a destinos extranjeros europeos comunitarios y 10 a destinos
internacionales no comunitarios, cobrando por todo ello 12.000 €. A una segunda agencia de viajes B le vende 10 billetes a destinos nacionales y 20 a destinos internacionales no
comunitarios, y cobra 13.000 €. A una tercera agencia C le vende 10 billetes a destinos nacionales y 10 a destinos extranjeros europeos comunitarios, cobrando 7.000 €. Se pide: a) Hallar el precio de cada tipo de billete.
b) Por razones de mercado, el mayorista se ve obligado a bajar un 20% el precio de todos los billetes nacionales. Hallar en qué porcentaje debe incrementarse el precio de todos los billetes extranjeros comunitarios (suponiendo que mantiene constante el precio de todos los billetes internacionales no comunitarios) para mantener constantes sus ingresos totales por las ventas a las tres agencias.
