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Este conjunto está constituido por todos los números que pueden escribirse de la forma p/q ( donde p y q son números enteros y q diferente de cero.

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MATEMÁTICAS I

ASESORÍAS PREVENTIVAS DEL SEGUNDO PARCIAL

NÚMEROS RACIONALES

Este conjunto está constituido por todos los números que pueden escribirse de la forma p/q ( donde p y q son números enteros y q diferente de cero.)

Un número racional puede interpretarse como:

a. Una división b. Una fracción c. Una razón d. Un porcentaje A una fracción también se le llama número fraccionario o número quebrado Representación de fracciones

a. Fracción común b. Decimal finito c. Decimal periódico repetitivo 2/5 0.4,0.5,-0.25, etc. 0.33….,0.1666….,etc.

2—Numerador 5---Denominador Denominador

Indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad entera.

Numerador

Indica cuántas partes de la unidad dividida se han tomado

Clasificación de fracciones (de acuerdo al tipo de denominador) a. Fracciones Homogéneas

Son las que tienen el mismo denominador. Ejem 2/6, 13/6, 58/6, etc.

b. Fracciones Heterogéneas

Son aquellas que tienen diferente denominador. Ejem 9/17, 2/9, 3/5, etc

Clasificación de fracciones ( a partir de la comparación del numerador con el denominador)

a. Fracción Propia

Es aquella que tiene el NUMERADOR MENOR QUE EL DENOMINADOR. Ejem 2/16, 58/67, 24/9 1, etc.

(2)

2

b. Fracción Impropia

Es la fracción que tiene el NUMERADOR MAYOR QUE EL DENOMINADOR. Ejem 9/12, 6/4,135/90, etc.

c. Número Mixto

Consta de una PARTE ENTERA Y DE UNA FRACCIÓN PROPIA. Son otra manera de representar a la fracción impropia. Ejem 32/4, 51/6, etc.

Conversión de fracción impropia a número mixto 58/16=310/16=35/8

Número Con parte fraccionaria simplificada Mixto

Se divide 58

3 El cociente es la parte entera 16 58

10 El residuo es el numerador de la parte fraccionaria El divisor (16) es el denominador de la parte fraccionaria Conversión de número mixto a fracción impropia 32/7=23/7

Se multiplica el denominador de la parte fraccionaria (7) por la parte entera (3) y se le suma el numerador (2) y obtenemos el NUMERADOR de la FRACCIÓN IMPROPIA, conservando el MISMO DENOMINADOR (7)

7(3)=21+2=23/7

Fracciones Equivalentes

Son las que se ESCRIBEN DE MANERA DIFERENTE, pero REPRESENTAN EL MISMO VALOR.

3/5=18/30

Esto se cumple si:

3(30)=5(18) 90= 90

Estas fracciones se obtienen:

(3)

3

Multiplicando su numerador y denominador por UN MISMO NÚMERO ENTERO DISTINTO DE CERO.

4x3 =12 7x3 21

Dividiendo ( o Simplificando) su NUMERADOR Y DENOMINADOR POR UN MISMO NÚMERO ENTERO DISTINTO DE CERO.

8 =4 =2 = 1 =1/3 24 12 3

Para simplificar una fracción se DIVIDE SUCESIVAMENTE EL NUMERADOR y el DENOMINADOR POR UN DIVISOR COMÚN, hasta que el único sea el número 1 Criterios de Divisibilidad de un número

a. Un número es DIVISIBLE POR 2 SI TERMINA EN 0,2,4,6,8

b. Un número es DIVISIBLE POR 3 SI LA SUMA DE SUS DÍGITOS ES DIVISIBLE POR 3 c. Un número es DIVISIBLE POR 5 SI TERMINA EN 0 Ó 5

Ejem. Simplifica 120/144 , como el numerador termina en 0 y el denominador termina en 120 =60

144 72

Como es el mismo caso anterior, lo dividimos entre 2 el numerador y entre 2 el denominador (le sacamos mitad)

120 = 60 = 30 =30/36 144 =72 36

Volvemos a sacar MITAD AL NUMERADOR Y AL DENOMINADOR, PORQUE TERMINAN EN 0 Y 6

120 =60 = 30 = 15 144 =72 36 18

Dividimos ENTRE 3 (sacar tercera) al numerador y al denominador, ya que la suma de sus dígitos (1+5=6) y (1+8=9); 6 y 9 son divisibles por 3

120 =60 = 30 = 15 =5 = 5/6

(4)

4

144 72 36 18 6

Comparación de fracciones

a. Si dos fracciones tienen el MISMO DENOMINADOR, la que tiene MAYOR NUERADOR ES LA MAYOR

9/12 es mayor que 4/12, se escribe así: 9/12 4/12

.b. Si dos fracciones tienen el MISMO NUMERADOR, entonces la que tiene MENOR DENOMINADOR ES LA MAYOR

7/24 es mayor que 7/29, y lo expresamos así:

7/24 7/29

El signo (― menor que‖ ) El signo ( ― mayor que ―) El signo = (― igual que ―)

Se usan para ORDENAR LAS FRACCIONES en forma CRECIENTE O ASCENDENTE ( de menor a mayor) o de forma DECRECIENTE O DESCENDENTE ( de mayor a menor).

A C T I V I D A D E S

I. Escribe los números mixtos siguientes como fracciones impropias 1. 53/6= 4. 64/5=

2. 11/9= 5. 86/7= 3. 232/3= 6. 121/4=

II. Escribe las siguientes fracciones impropias como números mixtos 1. 54/12= 4. 256/48=

2. 109/36= 5. 93/5=

3. 78/7= 6. 81/24=

III. Encuentra el numerador o denominador faltante

1. 3/4= /52 6. 9/-11= -63/

2. 1/8= /72 7. -7/16= /-48 3. -5/4= -15/ 8. 2/9= 18/

4. 12/30=72/ 9. 8/7= /56

(5)

5

5. 7/13= 84/ 10. 5/12= /48

IV. Reduzca las fracciones siguientes a sus términos mínimos 1. 24/40= 4. 12/30=

2. 96/128= 5. 35/28=

3. 144/176= 6. 225/360=

V. Obtenga los valores de las expresiones siguientes 1. 2+11 = 3. -8-10 = 2 6-12

2. 6-17 = 4. 14-6 = 3 7-3

OPERACIONES DE FRACCIONES

I. SUMA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS ( Tienen el mismo denominador ) Cuando se suman o restan fracciones con MISMO DENOMINADOR el resultado es OTRA FRACCIÓN cuyo NUMERADOR ES LA SUMA O RESTA DE TODOS LOS NUMERADORES Y CUYO DENOMINADOR ES EL DENOMINADOR COMÚN.

Ejem.

1. 3/5+4/5 = 7/5 =12/5 Número Mixto Fracción

impropia 3+4= 7

I, SUMA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS ( Tienen distinto denominador ) Solución por Productos Cruzados

1. Se MULTIPLICAN LOS DENOMINADORES, por MULTIPLICACIONES CRUZADAS se obtienen los NUMERADORES.

(6)

6

2. Se RESUELVE LA SUMA, si el resultado es una FRACCIÓN PROPIA SE REDUCE ( si se puede ) y si es FRACCIÓN IMPROPIA se convierte a Número Mixto.

3. Se REDUCE LA PARTE FRACCIONARIA del número mixto 3/4 + 7/8 = 24+28 =52 =120/32 =15/8

32 32

4x8 =32 3( 8 ) =24 7( 4 ) =28

Solución calculando el mcd ( mínimo común denominador )

1. SIMPLIFICA LAS FRACCIONES QUE SE VAN A SUMAR (en caso de ser necesario) 2. HALLA EL mcd =mcm ( mínimo común múltiplo ),es decir, los múltiplos de los

denominadores.

3. DIVIDE el mcm ( mcd ) ENTRE CADA DENOMINADOR. El COCIENTE obtenido se MULTIPLICA por cada NUMERADOR y así se obtienen fracciones homogéneas.

4. Se SUMAN los NUMERADORES.

5. Se SIMPLIFICA si es FRACCIÓN PROPIA ( en caso de ser necesario ) y si es FRACCIÓN IMPROPIA se convierte a NÚMERO MIXTO.

3/4+ 7/8 = 6+7 =13 = 15/8 8 8

múltiplos del 4 --- m4– 4,8 …….. Tabla o Serie del 4 múltiplos del 8 ---m8----8,………. Tabla o Serie del 8 Obtención de Numeradores

8 =2 8 2(3) =6 1(7) = 7

II. RESTA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS ( De igual denominador )

1. Se RESTAN LOS NUMERADORES y se conserva EL MISMO DENOMINADOR.

2. Se SIMPLIFICA si se obtiene FRACCIÓN PROPIA ( en caso necesario ) y si es FRACCIÓN IMPROPIA se convierte a NÚMERO MIXTO.

7/8 -1/8 = 6/8 = 3/4 Fracción reducida Fracción propia

(7)

7

7-1 =6

II”. RESTA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS ( De diferente denominador ) Solución por Productos Cruzados

2/3 -4/18 = 36-12 =24 =4

54 54 9 Mismo procedimiento que la suma, sólo que se RESTAN LOS NUMERADORES.

Calculando el mcd

2/3- 4/8 = 12-4 =8 =4 =4/9 18 18 9 mcd =mcm( 3,18) =18 m3 =3, 6 ,9, 12, 15, 18,…….

m18 =18,…………..

III. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

El producto de fracciones es otra FRACCIÓN, CUYO NUMERADOR ES EL PRODUCTO de sus RESPECTIVOS NUMERADORES y cuyo DENOMINADOR es también el PRODUCTO DE SUS RESPECTIVOS DENOMINADORES.

7 *5 =35 =117/18 2. 32/4 * 1 = 14 * 1 =14 =7 = 7/18 9 7 (5) =35 9(2) =18

3. 5* 6 =30 =36/8 =33/4 8 8

IV. DIVISIÓN DE FRACCIONES Solución por Productos Cruzados

(8)

8

1. Se MULTIPLICA el NUMERADOR de la PRIMERA FRACCIÓN por el

DENOMINADOR de la SEGUNDA y se obtiene el NUMERADOR.

2. Se MULTIPLICA el NUMERADOR de la SEGUNDA FRACCIÓN por el DENOMINADOR de la PRIMERA y se obtiene el DENOMINADOR de la FRACCIÓN RESULTANTE.

Ejemplo

5 9 = 60 =10 =5 =5/6 Fracción propia reducida 8 12 72 12 6

5(12) =60 9(8) =72

Solución Multiplicando la fracción dividendo por el recíproco o inverso multiplicativo de la fracción divisor

5 9=5 *12 =60 =10 =5 =5/6 Fracción propia reducida

9/12 Se invirtió la fracción ( recíproco o inverso multiplicativo ) = 12/9 La división se cambió a multiplicación

V. POTENCIACIÓN DE FRACCIONES

La operación que se efectúa al potenciar es la Multiplicación REGLAS PARA BASES NEGATIVAS

1. Bases Negativas elevadas a un EXPONENTE IMPAR da RESULTADO NEGATIVO (Potencia). Ejemplo ( - 1/3 )3 = -1/27

2. Bases Negativas elevadas a un EXPONENTE PAR da RESULTADO POSITIVO.(Potencia). Ejemplo ( -3/4 )2 = 9/16

Ejemplos

1. ( 4/6 )2= 42/62 =4x4 =16 =4 =4/9 6x6 36 9

2. ( - 2/5 )3 = (-2)3 = -2x-2x-2 = -8 = -8/125 (5)3 5x5x5 125

(9)

9

3. ( -1/3 )4 = 1 =1/81

VI. RADICACIÓN DE FRACCIONES

Radicación es la OPERACIÓN INVERSA O CONTRARIA a la Potenciación √ =√ /√ =

5 = 5/7

7

En éste ejemplo es como si nos preguntarán QUÉ NÚMERO MULTIPLICADO POR SÍ MISMO 2 VECES ( porque tiene índice de radical 2, aunque no se escriba) es igual a 25/49, siendo el número 5/7, porque (5/7)2 =25/49 Ejemplos

1.

√ = √ /√ =10/6 =1

4

/ 6= 1

2

/

3 2.

√ = -4/2 = -2

3. √ No tiene solución ( En el campo de los Números reales) 4. √ =6/4 =12/4 =11/2

REGLAS PARA RADICANDOS NEGATIVOS

1. RADICANDOS NEGATIVOS CON ÍNDICE DE RADICAL IMPAR, da resultado ( Raíz ) NEGATIVO. Ejem. √ =-3/4

2. RADICANDOS NEGATIVOS CON ÍNDICE DE RADICAL PAR, NO TIENE SOLUCIÓN. Ejem. √ =NO TIENE SOLUCIÓN (En el campo de los números reales ).

A C T I V I D A D E S

Efectúa las operaciones indicadas ( Simplifica o convierte a Número Mixto ) 1. 1/4 +3/8 =

2. 5/6 -1/4 = 3. 1/6 +8/9-13/12 = 4. 4/9 + 5/6 = 5. 21/3 +2/3 + 5/3 = 6. 5/16 – 13/16 = 7. 17/8 * 4/21 = 8. 5/2 x 8/15 =

(10)

10

9. 13 / 25 ( - 18/9 ) =

10. 15/4 9/8 = 11. 24/32 ( -3/5 ) = 12. ( -3/4 )3 =

13. √ = 14. ( -1/100 )2 = 15. √ =

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE FRACCIONES 1. Para preparar un pastel, se necesita:

1/3 de un paquete de 750 g de azúcar

3/4 de un paquete de harina de kilo 3/5 de una barra de mantequilla de 150 g

Halla, en gramos, las cantidades que se necesitan para preparar el pastel

2. Un depósito contiene 120 litros ( l ) de agua. Se consumen los 3/4 de su contenido. ¿ Cuántos litros de agua ( H2O ) quedan?

3. Ana ha recorrido 750 m, que son los ¾ del camino de su casa al instituto. ¿ Qué distancia 4. En un frasco de jarabe caben 3/8 de litro. ¿ Cuántos frascos se pueden llenar con 4 litros y

medio de jarabe?

5. Dos atletas llevan recorrido los 3/12 y los 8/32 de una carrera respectivamente. ¿ Cuál de los dos va delante?

6. Un paseante camina con pasos regulares de 5/6 de metro, si da dos pasos regulares cada 3 segundos. ¿Qué distancia recorrerá en ½ hora?

7. El litro de limpiador líquido está formado por 1/6 de glicerina, 5/18 de sosa,1/4 de aromatizante y el resto de agua. ¿Qué fracción de agua ( H2O ) debe añadir?

(11)

11

8. Si 1 microgota es 1/3 de gota. ¿Cuántas microgotas habrá en 900 gotas?

9. La mamá de Manuel compró en el mercado 31/2 kg de plátano,21/4 kg de manzana y 3/4 kg de kiwi. Si guarda toda la fruta en su bolsa. ¿Cuánto pesa? Si de regreso le regala 11/2 kg de plátano y 3/4 kg de manzana a la abuelita de Miguel. ¿Con qué peso quedó la bolsa?

10. En un hospital se organizan rondas cada ¾ de hora. ¿Cuántas rondas se efectúan en 1 día?

RAZÓN

Es el COCIENTE INDICADO DE DOS NÚMEROS O CANTIDADES

La razón entre dos cantidades a y b puede representarse de las siguientes formas:

a:b, a/b, a , donde b

0 ( b es diferente de c e r o ) a:b

, se lee ― a es a b‖

Ejemplo

Si en un salón de clases hay 12 hombres y 4 mujeres, la razón de hombres a mujeres es 12:4, 12/4 o 12

4 =3 ( Significa que en el salón hay 3 hombres por cada mujer )

PROPORCIÓN

Es una expresión que indica que DOS RAZONES SON IGUALES.

(12)

12

ES UNA IGUALDAD DE DOS RAZONES. Ejem 4:5, = 12:15, 2/9 =18/81. Nos PERMITE

CONOCER EL VALOR DE UN TÉRMINO DESCONOCIDO.

Propiedad fundamental de las proporciones

Establece que el Producto de los Extremos de una proporción es igual al producto de sus Medios.

Cálculo de un término desconocido de una proporción Resuelve la proporción

1. 4 =8 5 x

Se despeja la x ( Multiplicaciones cruzadas ) 4x =5(8)

4x = 40

x = 40/4 El 4 se pasa al miembro derecho de la ecuación dividiendo ya que está multiplicándose con la x

x =10

2. 4 =x 7 56 7x =4(56) 7x =224 x =224/7 x =3

A C T I V I D A D E S

(13)

13

Resuelve los problemas de aplicación siguientes donde el modelo matemático es una proporción

1. En cierta ciudad, de una muestra de 150 habitantes, 12 resultaron con gripe. Si la población es de 300000 habitantes. ¿Cuántos se estima que tengan gripe?

2. Si 1 kg equivale a 1000g. ¿Cuántos gramos serán 64.8 kg?

3. Si 60 microgotas equivale a 1 mililitro. ¿Cuántas microgotas habrá en 792 mililitros (ml)?

4. Un automóvil recorre 120 km con 15 litros ( l ) de gasolina. ¿Cuántos km puede recorrer con 34 litros?

5. Se requieren 2 kg de maíz para elaborar 80 tamales. ¿Cuántos kg se deben comprar para preparar 540 tamales?

PORCENTAJE O TANTO POR CIENTO Se representa con el símbolo %

Cuando se habla del porcentaje de un número significa que ése número puede dividirse en 100 partes iguales, de las cuales se toma un tanto ( justo el % de que se habla ).

PORCENTAJE O TANTO POR CIENTO SIGNIFICA TANTAS PARTES DE CADA CIEN Todo porcentaje puede expresarse como una fracción o como un número decimal.

Ejemplos 6% =6/100=0.06 24% =24/100 =0.24 100% =100/100 =1 135% =1.35 200% =2.00

4.27% = 4.27/100 =0.0427

Ejemplos

Rebajas y Descuentos

1. En cuánto se venderá un refrigerador si su precio normal es de $12600 y la tienda ofrece 18% de descuento?

(14)

14

S o l u c i ó n

1. El porcentaje lo convertimos a número decimal dividiéndolo entre 100 18% =18/100 =0.18

2. Multiplicamos 0.18 por 12600

12600 x 0.18 = $ 2268 es el descuento

3. Se resta el descuento anterior $2268 al precio normal ($12600)

$ 12600 - $ 2268 =$ 10332

El refrigerador se venderá a $10332

Este ejemplo también se puede resolver de la siguiente manera:

S o l u c i ó n

1. Si un precio está rebajado, por ejemplo como en éste caso 18%, quiere decir que el precio actual es el precio inicial menos 18 %

100% -18% =82% ( es lo que realmente vamos a pagar )

2. Se divide el porcentaje entre 100 ( conversión de porcentaje a número decimal ) 82% =82/100 =0.82

3. Se multiplica 0.82 por 12600 ( que es el precio normal ) 12600 x 0.82 =$ 10332

El refrigerador se venderá a $ 10332

2. Sears ofrece 15% de descuento en toda la ropa. Ana compra una blusa de $380, un pantalón de $495 y un vestido de $640. ¿Cuánto pagará Ana en caja?

S o l u c i ó n 10 Se suman los precios de la ropa 380 + 495 + 640 =1515

2o El porcentaje lo convertimos a número decimal dividiéndolo entre 100

(15)

15

15% =15/100 =0.15

3o Se calcula el 15% ( descuento ) del total de la compra ( $1515), multiplicando 0.15 x1515 1515 x 0.15 = $ 227.25

4o Se resta el descuento anterior $227.25 al valor de la suma de la ropa 1515 -227.25 =$ 1287.75

$1287.75 pagará Ana en caja

También se puede resolver de la siguiente manera

1o Se resta el % de descuento ( 15% ) al 100% ( para conocer el % que se aplicará ) Total – descuento = Ofertas

100% -- 15% = 85% ( Es el porcentaje que se aplicará ) 2o Se suman los precios de las prendas

380 + 495 +640 = $ 1515

3o Dividimos el porcentaje entre 100 para convertirlo en número decimal 85% =85/100 = 0.85

$1515 x 0.85 = 1287.75

$ 1287.75 pagará Ana en caja

Aumentos o Incrementos

1. Fernanda gana $17000 al mes. ¿Cuánto ganará si su salario se incrementa 12%?

S o l u c i ó n

1o El porcentaje lo convertimos a número decimal dividiéndolo entre 100 12% =12/100 = 0.12

2o Multiplicamos 0.12 x 17000 ( para conocer cuánto es lo que se va a incrementar o aumentar el salario )

17000 x0.12 =$ 2040

$ 2040 es el aumento que tendrá Fernanda en su salario

(16)

16

3o Se suma el incremento del sueldo ( $ 2040 ) a lo que gana actualmente ( $ 17000 ) $ 17000 + $ 2040 =$ 19040

$ 19040 es lo que ganará Fernanda con el aumento o incremento de su sueldo del 12%

También se puede resolver expresándolo como PROPORCIÓN ( o Regla de tres simple ) S o l u c i ó n

100% corresponde a 17000 112% corresponde a x

112% porque tiene un aumento de salario del 12%

100% +12% = 112%

100 ---17000 Regla de tres simple 112 ---- x

17000 = 100 Proporción

x 112

100x =112 ( 17000 )

100x = 1904000 ( Se multiplicó 112 x 17000 ) = 1904000 ) x = 1904000/100 ( Se despeja la x )

x = 19040

$ 19040 es lo que ganará Fernanda con el aumento del 12%

2. Una compañía debe comprar un automóvil nuevo para uno de sus representantes de ventas. ¿Cuánto dinero necesita si su costo es de $ 94000 más 15% de impuesto?

S o l u c i ó n

1o Convertimos 15% en número decimal

15% = 15/100 =0.15

2o Se multiplica 0.15 x 94000 ( para conocer el valor del impuesto ) 94000 x 0.15 = 14100

(17)

17

3o Se suma el 15% del impuesto ( $14100 ) al costo del automóvil ( $ 94000 )

94000 + 14100 = $108100

$ 108100 es lo que se pagará por el coche incluyendo impuestos

También se puede resolver expresándolo como PROPORCIÓN o

Regla de tres simple 100% corresponde a 94000

115% corresponde a x

115% porque tiene un aumento del 15% correspondiente al impuesto 100% + 15% = 115%

100--- 94000 Regla de tres simple 115 ---- x

100x = 115( 9400 ) Multiplicaciones cruzadas 100x = 10810000

Se despeja la x

x = 10810000/100 Se pasa dividiendo el 100 al miembro derecho de la ecuación ya que está multiplicándose con la x

x =10810000/100 x = 108100

$ 108100 es el costo del automóvil incluyendo el impuesto Solución como Proporción

94000 = 100

x 115

Despeje de x

100x = 115 ( 94000 ) Multiplicaciones cruzadas 100x = 10810000 115 ( 94000 ) = 10810000

x =10810000/100 Se pasó el 100 dividiendo, ya que se está multiplicando con la x x = 108100 Se efectúa la división, eliminando el mismo número de ceros en el numerador y en el denominador ( es decir, 2 ceros )

(18)

18

$ 108100 es el costo del automóvil incluyendo el impuesto

A C T I V I D A D E S

Resuelve los problemas de aplicación siguientes donde el modelo matemático es el porcentaje

1. Luis gana actualmente $ 15000 al mes. ¿Cuánto ganaría si su salario se incrementara 12%?

2. Mario compró un terreno en $ 320000.Si desea venderlo y con ello obtener una ganancia de 18%. ¿ A qué precio debe venderlo?

3. Raúl gana actualmente $ 15000 al mes.¿ Cuánto ganaría si su salario se incrementara 23%?

4. El precio de lista de una computadora es de $ 11800. Si te ofrecen 8% de descuento y pagas con 11 billetes de a $ 1000 ¿Cuánto dinero debes de recibir de cambio?

5. En un hotel de 400 habitaciones están ocupadas el 65%. ¿Cuántas quedan libres?

6. En una clase de 28 alumnos han aprobado todas las materias sólo 7 alumnos. ¿Qué tanto por ciento de alumnos ha aprobado todo?

7. En una piscina se han vaciado 570.4 litros ( l ) de agua que representan el 82% de su capacidad total. ¿Cuántos litros le caben a ésta piscina?

.

ASESORÍAS PREVENTIVAS DEL TERCER PARCIAL

(19)

19

Á L G E B R A

TERMONOLOGÍA ALGEBRAICA

En Álgebra se usan además de números concretos, las letras del alfabeto para representar cantidades ( números ) conocidas o desconocidas.

Expresión algebraica

Es cualquier expresión que indica una o varias de las operaciones algebraicas. Ejem. ( 3x)2, x2 + 16x +64, 9a, ( 7a +4 )2, √ 2, etc

Término algebraico

Es la expresión algebraica más sencilla, compuesta por números concretos y letras que también representan números relacionados entre sí mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación.

Ejemplos

6c : representa el producto del número 6, por el número literal c

7x2 : representa el producto del número 7 por el cuadrado del número literal x Elementos de un término algebraico

-4x2 2- exponente

x – literal, variable o incógnita ( Parte literal ) -4 – coeficiente numérico con signo negativo

Signo de un término algebraico

En caso de que se omita el signo de un término, se considera QUE TIENE SIGNO POSITIVO. Así 9b equivale a +9b.

Coeficiente numérico

Es la parte numérica de un término algebraico. Es el número que va antes de la literal o literales.

Ejem. los coeficientes numéricos de 8h-6k son 8 y -6

Parte literal

La constituyen las LETRAS DEL TÉRMINO ALGEBRAICO CON SUS RESPECTIVOS EXPONENTES. Ejem. la parte literal de -7x4y19z es x4y19z

La parte literal de 24ab3c8 es ab3c8 Exponente

(20)

20

Es el número que se escribe en la parte superior derecha de un número, literal ( letra ) o expresión algebraica ( base ) que indica el NÚMERO DE VECES QUE SE VA A MULTIPLICAR POR SI MISMA LA BASE.

Ejemplo 16a9b13 ( El exponente de a es 9 y de b es 13 ) Grado de un término algebraico

Se obtiene SUMANDO TODOS LOS EXPONENTES DE LAS LITERALES DEL TÉRMINO.

Ejemplo

1. 18m --- Término de primer grado ( ya que m tiene exponente 1, pero no se escribe ) 2. -6a4b9c5 ---- Término de grado 18 ( SUMANDO 4+9+5 =18 ; siendo los exponentes de a,b y

c )

Grado de un polinomio

Es el grado máximo de los exponentes de las variables de los monomios que lo componen.

Ejemplo

-12x2y9+9xy4-x5y19

Suma de los exponentes de cada monomio -12x2y9 ( 2 +9=11 )

9xy4 ( 1+4 =5 ) -x5y19 ( 5+19=24 )

Como 24 es el mayor valor de las sumas, entonces EL POLINOMIO ES DE GRADO 24 Lenguaje algebraico

Con frecuencia se requiere escribir una expresión algebraica que representa un enunciado verbal y viceversa.

Ejemplos

Enunciado verbal Expresión algebraica El triple del cubo de un número 3y3

El cociente de dos números m/n La raíz cuadrada del producto de dos números √ Un cuarto de un número 1/4t El doble de un número aumentado en 9 2r+9

(21)

21

Términos semejantes

Son los que tienen LA MISMA PARTE LITERAL, es decir, LAS MISMAS LETRAS AFECTADAS DE IGUALES EXPONENTES.

24c2d8 y 2/3c2d8

Reducción de términos semejantes

Es la operación que consiste en SUSTITUIR DOS O MÁS TÉRMINOS SEMEJANTES POR UNO SOLO, que resulta de la SUMA O RESTA ALGEBRAICA DE SUS COEFICIENTES NUMÉRICOS multiplicados por su parte literal.

Ejemplos

1. 12ab+ab=

S o l u c i ó n

1o Se suman los coeficientes numéricos ( SIGNOS IGUALES SE SUMAN Y CONSERVAN EL MISMO SIGNO )

12 +1 =13

El coeficiente de ab es 1, ya que TODO TÉRMINO QUE NO TENGA COEFICIENTE, se considera QUE ES 1.

2o Después de sumar los coeficientes, SE ESCRIBE LA PARTE LITERAL

12ab +ab = 13ab 2 4x-8x = S o l u c i ó n

1o Se restan los coeficientes y CONSERVAN EL SIGNO DEL NÚMERO CON MAYOR VALOR ABSOLUTO.

4-8 = -4

2o Después de restar los coeficientes SE ESCRIBE LA MISMA PARTE LITERAL 4x -8x = -4x

Si se requiere reducir tres o más términos semejantes que tienen diferente signo se siguen los siguientes pasos:

a. Se reducen a un solo término todos los que tienen signo positivo (+ ) b. Se reducen a un solo término todos los que tienen signo negativo (- )

(22)

22

c. Se aplica la regla de los signos ( SIGNOS DIFERENTES SE RESTAN Y CONSERVAN EL

SIGNO DEL NÚMERO CON MAYOR VALOR ABSOLUTO ).

Clasificación de polinomios de acuerdo al número de términos

Monomio --- Es un polinomio que consta de un solo término. Ejem. 7x2 Binomio --- Es un polinomio que consta de dos términos. Ejem. 5b-8c4 Trinomio ---- Es un polinomio que consta de tres términos. Ejem. x2+ 14x +49

OPERACIONES CON POLINOMIOS I. SUMA DE POLINOMIOS

Para sumar dos o más polinomios se requiere REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES de los polinomios que se suman. Éstos se ordenan respecto a una misma letra ( en forma

descendente o ascendente ).

Ejemplos

Suma los polinomios indicados

a. 7x3-10x+5x2-x4-8x ; 3x-6x2-7x+x3-2x4; -9x3-3x4+21+5x-x2

1o ORDENAMOS LOS POLINOMIOS EN FORMA DESCENDENTE RESPECTO A X y los escribimos en renglones.

-x4 +7x3 +5x2-8x-10 -2x4 +x3-6x2+3x-7 -3x4-9x3-x2+5x+21

2o REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES ( Aplicando la regla de los signos ) -x4 +7x3 +5x2 -8x -10

-2x4 +x3 -6x2 +3x -7 -3x4 -9x3 –x2 +5x +21 -6x4 –x3-2x2 +4

b. Determina la expresión polinomial que represente el perímetro de la figura geométrica siguiente:

(23)

23

A C

( x2 +3x +1 ) B ( 5x2 +x -4 ) D S o l u c i ó n

Como la figura es un rectángulo el perímetro se obtiene sumando todos sus lados P = Suma de sus lados

P = 5x2 +x -4 +5x2 +x -4 +x2 +3x +1 +x2 +3x +1 Reducción de términos semejantes

P = 12x2 +8x -6

II. RESTA DE POLINOMIOS

Para restar dos polinomios SE SUMA EL MINUENDO CON EL INVERSO ADITIVO DEL SUSTRAENDO.

Se escribe en un renglón los términos del minuendo y debajo de éste los TÉRMINOS QUE CORRESPONDEN AL INVERSO ADITIVO DEL SUSTRAENDO ( los términos semejantes estarán colocados en una misma columna ) y por último se REDUCEN TÉRMINOS SEMEJANTES.

Ejemplos

a. Resta el polinomio -12x4 +10x3 -9x -6 +7x2 de 12x2 -8x4+x-13 –x3 S o l u c i ó n

1o ORDENAMOS LOS POLINOMIOS RESPECTO A X EN FORMA DESCENDENTE

Polinomio minuendo ( primer polinomio ) Polinomio sustraendo ( segundo polinomio ) -12x4 +10x3 +7x2 -9x -6 -8x4 –x3 +12x2 +x -13

2o EL POLINOMIO MINUENDO ( al que le vamos a restar ) es el que ESTÁ DESPUÉS DE LA PREPOSICIÓN ― de ―, ES EL QUE SE ESCRIBE PRIMERO ( ARRIBA ).

-8x4 –x3 +12x2 +x -13

3o AL POLINOMIO SUSTRAENDO ( está ANTES DE LA PALABRA ― de ― ) le cambiamos los signos ( de positivo a negativo o de negativo a positivo ) y se escribirán en la correspondiente columna de términos semejantes ).

-8x4 –x3 +12x2 +x -13 12x4 -10x3 -7x2 +9x +6

(24)

24

4 o REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES ( aplicando la regla de los signos )

-8x4 –x3 +12x2 +x -13 12x4 -10x3 -7x2 +9x +6 4x4- 11x3 +5x2 +10x -7

b. Resta el segundo polinomio del primero

x3 +3x2y -5xy2 -4y3 ; 2y3 -4xy2 +2x3 -7x2y S o l u c i ó n

1o Como PRIMERO está después de la palabra “del “ éste será el polinomio minuendo ( el que va primero, al que le vamos a restar )

x3 +3x2y -5xy2 -4y3

2o El SEGUNDO POLINOMIO es el POLINOMIO SUSTRAENDO y por lo tanto, se le cambiará el signo ( contrario ) a cada término.

x3 +3x2y -5xy2 -4y3 -2x3 +7x2y +4xy2 -2y3

Reducción de términos semejantes aplicando la regla de los signos x3 -2x3 = -x3 ; 3x2y +7x2y =10x2y ; -5xy2 +4xy2 = -xy2 ; -4y3 -2y3 = -6y3 N O T A

En Suma y Resta de Polinomios SOLO SE RESUELVEN LAS OPERACIONES CON LOS COEFICIENTES y se deja LA MISMA PARTE LITERAL

III. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

1. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

En la multiplicación de dos o más monomios se aplican las reglas de los signos, las leyes de los exponentes y las propiedades de la multiplicación.

P A S O S

1o Se MULTIPLICAN LOS SIGNOS de los Monomios

2o Se MULTIPLICAN LOS COEFICIENTES NUMÉRICOS

(25)

25

3o Se MULTIPLICAN LAS PARTES LITERALES, aplicando las leyes de los exponentes

respectivas ( SE SUMAN LOS EXPONENTES DE LAS MISMAS BASES; MISMAS LETRAS )

Ejemplos

( -7m4n9 )( -8m3n ) =

S o l u c i ó n

1o Se MULTIPLICAN LOS SIGNOS DE LOS MONOMIOS ( - )( - ) = +

2o Se MULTIPLICAN LOS COEFICIENTES NUMÉRICOS ( 7 )( 8 ) =56

( -7m4n9 )(-8m3n) =56

3o Se MULTIPLICAN LAS LITERALES SUMANDO LOS EXPONENTES DE LAS

MISMAS LETRAS.

( m4 )(m3 ) =m4+3 =m7 ( n9 )( n ) = n9+1 =n10

Literal, número o expresión algebraica que NO TENGA EXPONENTE se considera QUE ES 1

c. ( -2x3y5 )3 = S o l u c i ó n

1o Se aplica la LEY DE LOS EXPONENTES ( POTENCIA DE UNA POTENCIA ). EL EXPONENTE DEL PRODUCTO ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS EXPONENTES, por lo tanto:

( -2x3y5 )3 =-21x3x3x3y5x3 =-23x9y15

2o Se POTENCIA el -23 y se conserva la parte literal -23 =-8x9y15 -23 =-2x-2x-2 =-8

2. MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO

Se utiliza LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA de la Multiplicación, que indica que se MULTIPLICA EL MONOMIO POR CADA UNO DE LOS TÉRMINOS DEL POLINOMIO.

Ejemplos

(26)

26

a. 8x4y2 ( x3 -3x2y +5x -7 ) =

S o l u c i ó n

8x4y2 ( x3 ) +8x4y2 (-3x2y ) +8x4y2 ( +5x ) +8x4y2 ( -7 ) = 8x4+3y2 -24x4+2y2+1 +40x4+1y2 -56x4y2

8x7y2 -24x6y3 +40x5y2 -56x4y2

3. MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO

Se utiliza la Propiedad Distributiva de la Multiplicación. CADA TÉRMINO DEL PRIMER POLINOMIO SE MULTIPLICA POR CADA UNO DE LOS TÉRMINOS DEL SEGUNDO POLINOMIO o cada TÉRMINO DEL SEGUNDO POR LOS TÉRMINOS DEL PRIMERO.

Ejemplos

a. ( 6x -4 ) ( 3x3 -5x2 -2x +7 ) = S o l u c i ó n

1o Se MULTIPLICA CADA TÉRMINO DEL PRIMER POLINOMIO POR CADA UNO DE LOS TÉRMINOS DEL SEGUNDO.

( 6x -4 )( 3x3 -52x2-2x +7 ) = 6x (3x3) +6x (-5x2) +6x (-2x ) +6x (+7 ) -4(3x3) -4(-5x2)-4(-2x)- 4(+7)=

( 6x-4 )( 3x3-5x2-2x+7 )=18x4-30x3-12x2+42x-12x3+20x2+8x-28 2o REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES

( 6x-4)( 3x3-5x2-2x+7) =18x4-42x3+8x2+50x-28

b. Calcula la expresión polinomial del área del rectángulo de la figura siguiente

( 4x-2 ) A =bh

( 3x2-5x+6 ) A =( 3x2-5x+6 )( 4x-2 )

A =4x( 3x2)+4x( -5x)+4x(+6)-2( 3x2)-2(-5x)-2(+6)

A =12x3-20x2+24x-6x2+10x-12 Reducción de términos semejantes A =12x3-26x2+34x-12

PRODUCTOS NOTABLES

(27)

27

SON MULTIPLICACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS en cuyos productos se distinguen algunos rasgos notables que nos permiten efectuar la multiplicación en forma rápida al aplicar la regla correspondiente.

I. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS Se aplica la regla siguiente:

El producto de un binomio por su conjugado es igual al CUADRADO DEL PRIMER TÉRMINO MENOS EL CUADRADO DEL SEGUNDO.

Si se tiene el binomio x+y, entonces x-y es SU CONJUGADO Y VICEVERSA.

Ejemplo ( y2-6 )( y2+6) = S o l u c i ó n

( y2 -6 )(y2 +6 ) =( y2 )2 –( 6 )2 =y4-36 DIFERENCIA DE CUADRADOS

También se puede resolver multiplicando cada término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo.

( y2 -6 )( y2 +6 ) = y2(y2) +y2(+6) -6(y2) -6(+6) ( y2 -6 )( y2 +6 ) = y4 +6y2 -6y2 -36 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES ( y2 -6 )( y2 +6 ) = y4 -36 ya que +6y2 -6y2 =0

II.

CUADRADO DE UN BINOMIO Se aplica la regla siguiente:

El producto de un binomio al cuadrado es igual al CUADRADO DEL PRIMER TÉRMINO, MÁS EL DOBLE DEL PRODUCTO DEL PRIMER TÉRMINO POR EL SEGUNDO, MÁS EL CUADRADO DEL SEGUNDO TÉRMINO.

Ejemplo ( 7x -4y )2 =

S o l u c i ó n Aplicando la regla

( 7x -4y )2 = ( 7x )2 + 2( 7x )( -4y ) +( -4y )2

(28)

28

( 7x -4y )2 = 49x2 -56xy +16y2 Trinomio cuadrado perfecto

También se puede resolver de la siguiente forma:

Multiplicando cada término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo.

( 7x -4y )2 = ( 7x -4y )( 7x -4y )=7x(7x)+7x(-4y)-4y(+7x)-4y(-4y) = 49x2-28xy-28xy+16y2

Reducción de términos semejantes

( 7x -4y )2 =49x2-56xy+16y2

ya que

-28xy-28xy = -56xy

III.

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN

Se aplica la regla siguiente:

Este producto es igual al CUADRADO DEL TÉRMINO COMÚN, MÁS EL PRODUCTO DEL TÉRMINO COMÚN POR LA SUMA DE LOS NO COMUNES, MÁS EL PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS NO COMUNES.

Ejemplo

( 5a +8 )( 5a +3 ) = S o l u c i ó n Aplicando la regla

( 5a +8 )( 5a +3 ) = (5a)2 +5a( 8+3) +3(8) ( 5a +8 )( 5a +3 ) = 25a2 +5a(11) +24

( 5a +8 )( 5a +3 ) =25a2 +55a +24 Trinomio cuadrado de la forma ax2 +bx +c

También se puede resolver MULTIPLICANDO CADA TÉRMINO DEL PRIMER POLINOMIO POR CADA UNO DE LOS TÉRMINOS DEL SEGUNDO.

( 5a +8 )( 5a+3 ) = 5a(5a) +5a(+3) +8(5a) +8(+3) = 25a2 +15a +40a +24

Reducir términos semejantes

Los términos semejantes son +15a y+ 40a ; 15a +40a =55a ( 5a +8 )( 5a +3 ) = 25a2 +55a +24

(29)

29

IV. CUBO DE UN BINOMIO

Se aplica la regla siguiente:

El cubo de un binomio es igual al CUBO DEL PRIMER TÉRMINO, MÁS EL TRIPLE PRODUCTO DEL CUADRADO DEL PRIMER TÉRMINO POR EL SEGUNDO, MÁS EL TRIPLE PRODUCTO DEL PRIMER TÉRMINO POR EL CUADRADO DEL SEGUNDO MÁS EL CUBO DEL SEGUNDO.

Ejemplo a. ( 3n +5 )3 = S o l u c i ó n Aplicando la regla:

( 3n +5 )3 = (3n )3 +3 (3n)2(+5) +3(3n)(+5)2 +( +5 )3 = 27n3 +3 ( 9n2)( +5) +3(3n)(25) +125 ( 3n +5 )3 = 27n3 +135n2 +225n +125

También se puede resolver efectuando la MULTIPLICACIÓN DE DOS BINOMIOS Y EL RESULTADO MULTIPLICARLO POR EL TERCER BINOMIO.

( 3n +5 )3 = (3n +5 )(3n +5 )(3n +5 )

=3n(+3n) +3n( +5 ) +5(+3n) +5(+5) (3n +5 ) = ( 9n2 +15n +15n +25 )( 3n +5 )

Reducir términos semejantes +15n +15n = +30n

( 3n +5 )3 = (9n2 +30n +25)( 3n +5 )

= 3n(9n2) +3n(+30n)+3n(+25)+5(9n2)+5(+30n)+5(+25) = 27n3 +90n2 +75n +45n2 +150n +125

Reducir términos semejantes 90n2 +45n2 =135n2

75n +150n = 225n

( 3n +5 )3 = 27n3 +135n2 +225n +125

b.

Determina la expresión polinomial del volumen del cubo de la siguiente figura

(30)

30

S o l u c i ó n V =a3

( x -5 ) V =( x -5 )3 Aplicando la regla

( x -5 )3 = x3 +3(+x)2( -5) +3(+x)(-5)2 +( -5)3 = x3 -15x2 +3x(+25) -125

(x-5)3 = x3 -15x2 +75x -125

También se puede resolver multiplicando dos binomios y el resultado por el tercero ( x-5)3 =( x-5)(x-5)(x-5)

=( +x)(+x) +x(-5) -5( +x) -5(-5) (x-5) = ( x2 -5x-5x +25 )( x-5)

Reducción de términos semejantes -5x-5x =-10x

(x-5)3 =( x2 -10x +25) ( x-5 )

Multiplicación del tercer binomio por el resultado de la multiplicación de los dos primeros

=x (x2) +x( -10x) +x(+25) -5(x2) -5(-10x) -5(+25)

= x3 -10x2 +25x -5x2 +50x -125 Reducción de términos semejantes -10x2 -5x2 = -15x2

+25x +50x =75x

( x -5 )3 = x3 -15x2 +75x -125

IV. DIVISIÓN DE POLINOMIOS

1. DIVISIÓN DE UN MONOMIO ENTRE UN MONOMIO

(31)

31

P a s o s

1o Se DIVIDEN LOS SIGNOS de los coeficientes numéricos 2o Se DIVIDEN LOS COEFICIENTES NUMÉRICOS

3o Se DIVIDEN LAS LITERALES aplicando la ley de los exponentes ( se RESTA el EXPONENTE de la literal del denominador a la del numerador ).

Ejemplos a. 30m4 =

5m9

S o l u c i ó n

1o Se dividen los signos de los coeficientes numéricos ( + )( + ) = +

2o Se dividen los coeficientes numéricos 30 5 =6

3o Se dividen las literales m4 =m4-9 = m-5 = 1 m9

m5 NOTA

Todo número, literal o expresión algebraica con EXPONENTE NEGATIVO, se tiene que expresar como RECÍPROCO O INVERSO MULTIPLICATIVO para convertirlo a POSITIVO.

Entonces el resultado es:

30m4 / 5m9

= 6m

4-9 =6m-5 =6 ( 1 )/m5 =6/m5 NOTA

También se puede mandar el m5 como denominador sin el número 1 como numerador ( siempre y cuando tengamos una literal o número en el numerador.

-4x

5

yz

8

=

-12x2y3z8

S o l u c i ó n

1o Se DIVIDEN LOS SIGNOS DE LOS COEFICIENTES

(32)

32

( - ) ( - ) =

2o Se DIVIDEN LOS COEFICIENTES NUMÉRICOS

4/12, como 4 12 no da un número entero, entonces se reduce 4/12 ( sacarle partes ) ,como 4 y 12 tiene cuarta, dividimos 4 4 =1 ( es el numerador ) y 12 = 3 ( es el denominador )

-4/-12 = 1/3

3o DIVIDIMOS LAS LITERALES

x5 /x2 = x5-2 =x3 y/y3 = y1-3 =y-2 =1/y2

Recuerda:

Todo número, literal o expresión algebraica elevada a la cero potencia ( Exponente cero ) es igual a 1

X0 =1, para todo x 0 Siendo el resultado:

-4x5yz8 = 1x3y-2z0 = x3 -12x2y3z8

3 3y2

2. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

Se aplica la propiedad distributiva de la división, es decir, se divide cada término del polinomio entre el monomio.

Ejemplo

6x4y2-4x3y3-8x2y4 =

-2x

2

y2

S o l u c i ó n

1o Se expresa la división de cada término del polinomio entre el monomio

6x

4

y

2

-4x

3

y

3

-8x

2

y

4

/ -2x2y2 = 6x4y2 /-2x2y2 -4x3y3/-2x2y2-8x2y4/-2x2y2

2o Se dividen los signos de los coeficientes numéricos

Para el primer término ( + ) = ( - ) Para el segundo término ( - ) ( - ) = ( +)

(33)

33

Para el tercer término ( - ) ( - ) = ( + )

3o Se dividen los coeficientes numéricos Para el primer término 6 2 =3 Para el segundo término 4 2 = 2 Para el tercer término 8 2 = 4

6x4y2-4x3y3-8x2y4 = -3_______ +2________ +4 _______

-2x2y2 4o Se dividen las literales ( restando el exponente de la literal del denominador a la del denominador )

Para el primer término x4 =x4-2 =x2 ; y2 = y2-2 =y0 = 1 x2

y2

Para el segundo término x3 =x3-2 =x ; y3 = y3-2 =y

Para el tercer término x2 =x2-2 =x0 =1 ; y4 = y4-2 = y2 x2

y2 Obteniendo:

6x4y2 -4x3y3 -8x2y4 = -3x2 +2xy +4y2

-2x2y2

A C T I V I D A D E S

I Resuelve los problemas de aplicación siguientes donde el modelo matemático es un

porcentaje.

1. José compró un terreno en $379500. Si desea venderlo y con ello obtener una ganancia de 18%. ¿ A qué precio debe venderlo?

2. El precio de lista de una memoria es de $385. Si te ofrecen 10% de descuento y pagas con un billete de $500, ¿Cuánto dinero debes de recibir de cambio?

(34)

34 II. Haz las siguientes operaciones de polinomios

1. ( 18ab +9b -10a –c +5 ) + ( -14 +6a +ab -9b -3c ) = 2. Resta el segundo polinomio del primero

x3 +4x2y -6xy2 -7y3 ; 2y3 -5xy2 +3x3 -9x2y

3. 5a

2

b

4

(

-3a3b2 )(-8ab) =

4.

( -3x3yz2 )2 ( -2x5y)2 =

5.

-4x5y3 ( xy4 -2x +6y -8 ) =

6.

( 2a –b )( 5a4 +ab +b3 ) =

7.

( 3h +6k )( 3h -6k ) =

8.

( 8x -6 )( 3x3 -4x2 -2x +5 ) =

9. Determina la expresión polinomial que represente el perímetro de la figura geométrica siguiente

B AB = 5x -4y -7z +3 BC = -2x +y –z -9 CA = 5x -8y -3z -6

A

C 10. Calcula la expresión polinomial del área del rectángulo de la figura siguiente:

( 5x – 3 ) ( 2x2 -6x +8 )

11. Determina la expresión polinomial que corresponde al volumen del cubo de la figura siguiente

(35)

35

( 4a + 6 )

15x

8

y

4

=

-5x7y

13. -14a7b5c2d2 =

-7a3bc3d2

12.

-3x12yz =

9x7y2z 13. 6x4y2 -4x3y3 -8x2y4 =

-2x2y2 15. 9a7b4 -18a5b3 -21a2b =

F A C T O R I Z A C I Ó N

Factorizar una expresión algebraica es rescribirla como el producto de sus factores con coeficientes enteros; es decir, dado un producto determinaremos sus factores.

Los polinomios primos NO PUEDEN FACTORIZARSE, es decir, no se pueden expresar como el producto de otras expresiones algebraicas.

Polinomios primos

a. x2 +y2 b. 3x +5y2

I. FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN

Factoriza el siguiente polinomio

(36)

36

a. 2a +2b =

S o l u c i ó n

1o Se determina el máximo factor común ( MFC ) de los coeficientes numéricos de los El máximo factor común es igual al Máximo común divisor ( MCD )

El máximo común divisor de 2 es 2 ; ya que 2 sólo se puede dividir entre 2 2a +2b = 2 (

2o Se busca el máximo común divisor de las partes literales de cada uno de los términos del polinomio. En éste ejemplo NO TIENE, ya que NO TIENEN NINGUNA LETRA EN COMÚN.

2a +2b =2 (

3o Se expresa cada uno de los términos del polinomio como la multiplicación del MFC por el monomio que resulta al dividir cada término entre dicho MFC

2a =a ; 2b =b

2 2 2a +2b = 2( a + b )

b. Factoriza 8a2 -32a3 -24a

Divisores de 8 --- 2, 4.8

Divisores de 24 --- 2, 3 ,4, 6, 8, 12, 24 Divisores de 32 --- 2, 4, 8, 16, 32

Los divisores comunes son 2, 4 y 8. Se toma EL MAYOR ( Máximo ), es decir el 8 8a2 -32a3 -24a = 8

2o El MFC =MCD de las literales a2, a3 y a es a, ya que se toma la letra de MENOR EXPONENTE.

8a2 -32a3 -24a = 8a

3o 8a2 = a ; -32a3 = -4a2 ; -24a = -3

(37)

37

8a 8a 8a

El resultado es:

8a2 -32a3-24a = 8a ( a-4a2 -3 )

II. FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIA DE CUADRADOS Factoriza

25y2 -16 =

S o l u c i ó n

1o Se extrae raíz cuadrada a cada uno de los términos que serán los términos de los dos binomios conjugados.

2 = 5y √ =4

25y2 -16 = ( 5y 4 ) ( 5y 4 )

2o Los signos de los binomios anteriores serán uno positivo y otro negativo o viceversa.

25y2 -16 = ( 5y +4 ) ( 5y – 4 )

FACTORIZA y8 – 81 =

1o8 = y8/2 =y4 √ = 9

y8 – 81 = ( y4 -9 ) (y4 + 9 )

La factorización de una DIFERENCIA DE CUADRADOS es el PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS.

III. FACTORIZACIÓN DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(38)

38

Recibe el nombre de TRINOMIO porque tiene tres términos y CUADRADO PERFECTO porque su primer y último término son POSITIVOS y TIENEN RAÍZ CUADRADA EXACTA ( es decir, ENTERA ).

Ejemplo

Factoriza el siguiente trinomio cuadrado perfecto 36a2 -30ab +25b2 =

S o l u c i ó n

1o Se extrae raíz cuadrada al primer y último término

2 = 6a Raíces

2 =5b

2o Se construyen dos binomios con las raíces obtenidas en el paso anterior 36a2 -30ab +25b2 = ( 6a 5b ) ( 6a 5b )

3o Se multiplica el signo del primer término por el segundo y el segundo por el tercero de la expresión que se está factorizando y serán los signos de los dos binomios.

36a2 -30ab +25b2 =( 6a -5b ) (6a -5b )

S igno del primer término ( + ) por Signo del segundo término ( - ) = ( - ) Signo del segundo término ( - ) por Signo del tercer término ( + ) = ( - ) Como son dos binomios iguales, SE EXPRESAN AL CUADRADO 36a2 -30ab +25b2 = ( 6a -5b ) ( 6a -5b ) = ( 6a -5b )2

IV. FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS DE LA FORMA x2 + bx +c Son los trinomios cuyo tercer término NO TIENE RAÍZ CUADRADA EXACTA.

Ejemplo Factoriza x2 -5x -36 =

S o l u c i ó n

1o Se extrae raíz cuadrada al primer término que será el primer término de los dos binomios.

(39)

39

2 = x

x2 -5x -36 = ( x ) ( x )

2o Se multiplica el signo del primer término por el segundo y el segundo por el tercero que serán los signos de los dos binomios.

( + ) ( - ) = ( - ) ; ( - ) ( - ) = + x2 -5x -36 = ( x - ) ( x + )

3o Se buscan dos números que multiplicados den 36 y sumados o restados den -5 Los números son 9 y 4

4o El término lineal -5x ( el de en medio ) determina el signo del número mayor del par encontrado ( 9 y 4 ), el 9 SERÁ NEGATIVO Y EL 4 SERÁ POSITIVO.

x2 -5x -36 = ( x – 9 ) ( x +4 )

V. FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS DE LA FORMA ax2 +bx +c, POR AGRUPACIÓN, CON a, b y c enteros y a 0

Factoriza 5a2 -8a +3 =

1o Se calcula el producto ac ac = 5 ( 3 ) = 15

2o Se buscan dos números cuyo producto sea ac = 15 y cuya suma o resta sea b = -8, SIENDO -5 y -3

3o Con -5 y -3, se rescribe el término bx, es decir -8a como la suma algebraica de dos términos.

5a2 -8a +3 = 5a2 -5a -3a +3 4o Se factoriza por agrupación 5a2 -8a +3 = ( 5a2 -5a ) –( 3a -3 )

5a2 -8a +3 = 5a ( a -1 ) -3 ( a -1 ) Factorización por Factor Común

5a2 -8a +3 = ( 5a -3 ) ( a -1 ) ( a -1 ) Es factor común de los términos del binomio anterior

(40)

40

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA O ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

Son las que pueden escribirse en la forma ax +b = 0 donde a es diferente de cero.

EXPONENTE al que está elevada la variable ( o sea x ) ES 1 Solución de ecuaciones

RESOLVER UNA ECUACIÓN significa encontrar su conjunto solución, es decir, hallar el o los valores que SATISFACEN ESA ECUACIÓN. Estos valores se llaman también RAÍCES DE LA ECUACIÓN.

Si en el proceso de solución de una ecuación se obtiene una RAÍZ ( Una solución ) que NO SATISFACE LA ECUACIÓN ORIGINAL, ésta se llama RAÍZ EXTRAÑA.

Ejemplos

Resuelve las siguientes ecuaciones a. x = -5

6 S o l u c i ó n

1o Despejar x, es decir dejarla SOLA en el miembro izquierdo, quitándole ― LO QUE LE ESTORBA”, es decir, el 6, éste se pasa al miembro derecho de la ecuación con OPERACIÓN CONTRARIA, es decir, está dividiendo, se pasa MULTIPLICANDO.

x = -5 6

x = -5 (6) Se multiplica -5 x 6 = -30 x = -30

b. -10x = -100 S o l u c i ó n 1o Despejar x

Pasamos el -10 del miembro izquierdo de la ecuación al derecho DIVIDIENDO, ya que se está MULTIPLICANDO CON LA X.

-10x = -100 x = -100 / -10

(41)

41

2o Se efectúa la división en el miembro derecho

-100 / -10 = 10

Por lo tanto x = 10 c. 4x -6 = 30

S o l u c i ó n 1o Despejar x

A la x le “ estorba “ el -6 y el coeficiente 4, primero le “ le quitamos “ el -6 pasándolo al miembro derecho con SIGNO POSITIVO.

4x -6 = 30

4x = 30 + 6 Se resuelve 30 +6 4x = 36

2o El 4 que está multiplicando a la x pasa DIVIDIENDO al miembro DERECHO de la ecuación.

4x -6 = 30 4x = 30 +6 4x = 36

x = 36 Se efectúa la división 36 = 9 4

x = 9

Para saber si x = 9 hace válida la ecuación, se sustituye éste valor en la ecuación anterior y si resulta una identidad numérica resolvimos correctamente.

El valor x = 9 es solución de la ecuación 4x -6 = 30 porque:

4x -6 = 30 4(9) -6 = 30 36 -6 = 30

30 = 30 Identidad numérica

d. 8x -6 = 3x -26

Referencias

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