Esta décima edición de Matemáticas para Administración y Economía
proporciona los fundamentos matemáticos necesarios para los estudiantes de administración de empresas, economía y ciencias sociales. Inicia con temas como álgebra, ecuaciones, funciones, álgebra de matrices, programación lineal y matemáticas financieras. Luego, avanza a través, tanto del cálculo de una como de varias variables. Las demostraciones y los desarrollos, son descritos de manera suficiente, pero sin cansar demasiado al estudiante. Los argumentos intuitivos e informales conservan una claridad apropiada.
Esta obra presenta una gran cantidad y variedad de aplicaciones, para que el estudiante vea, de manera continua, cómo puede aplicar en la práctica las matemáticas que está aprendiendo.
Al inicio de cada capítulo se incluyen temas introductorios, y cada uno presenta una aplicación en la vida real de las matemáticas que se cubren en cada capítulo.
Más de 850 ejemplos son resueltos en detalle. Algunos incluyen una
estrategia diseñada de manera específica para guiar al estudiante a través de la logística de la solución, antes de que se obtenga ésta.
Se incluye una gran cantidad de diagramas (casi 500) y ejercicios (más de 5000).
Cada capítulo (excepto el 0), tiene una sección de repaso que contiene una lista de términos y símbolos importantes, un resumen del capítulo, gran cantidad de problemas de repaso y un proyecto real (Aplicación práctica).
El libro cuenta con una página en Internet en la siguiente dirección:
www.pearsonedlatino.com/haeussler
Esta página, en inglés, contiene ejercicios, proyectos para desarrollar con Excel y vínculos a diversos sitios.
Esta décima edición de Matemáticas para Administración y Economía
proporciona los fundamentos matemáticos necesarios para los estudiantes de administración de empresas, economía y ciencias sociales. Inicia con temas como álgebra, ecuaciones, funciones, álgebra de matrices, programación lineal y matemáticas financieras. Luego, avanza a través, tanto del cálculo de una como de varias variables. Las demostraciones y los desarrollos, son descritos de manera suficiente, pero sin cansar demasiado al estudiante. Los argumentos intuitivos e informales conservan una claridad apropiada.
Esta obra presenta una gran cantidad y variedad de aplicaciones, para que el estudiante vea, de manera continua, cómo puede aplicar en la práctica las matemáticas que está aprendiendo.
Al inicio de cada capítulo se incluyen temas introductorios, y cada uno presenta una aplicación en la vida real de las matemáticas que se cubren en cada capítulo.
Más de 850 ejemplos son resueltos en detalle. Algunos incluyen una
estrategia diseñada de manera específica para guiar al estudiante a través de la logística de la solución, antes de que se obtenga ésta.
Se incluye una gran cantidad de diagramas (casi 500) y ejercicios (más de 5000).
Cada capítulo (excepto el 0), tiene una sección de repaso que contiene una lista de términos y símbolos importantes, un resumen del capítulo, gran cantidad de problemas de repaso y un proyecto real (Aplicación práctica).
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Ernest F. Haeussler, Jr. • Richard S. Paul
Formacion quark pearson 29/11/07 8:59 AM Page 1
Si , donde , entonces
. x = -b ; 2b2 - 4ac
2a a Z 0
ax2 + bx + c = 0 Fórmula cuadrática
Si , entonces .
Si y , entonces .
Si y , entonces .
a(-c) 7 b(-c) c 7 0 a 6 b
ac 6 bc
c 7 0 a 6 b
a + c 6 b + c a 6 b
Desigualdades
donde
logb m = loga m loga b blogbm = m logb br = r logb b = 1 logb 1 = 0
logb mr = r logb m logb
m
n = logb m - logb n logb (mn) = logb m + logb n
x = by logb x = y
Logaritmos
alfa A Å
beta B ı
gamma ˝
delta Î
épsilon E ´
zeta Z ¸
eta H Ó
theta ¨
iota I ˆ
kappa K
lambda Ò
mu M Â
nu N v
xi Ô
ómicron o
pi ∏
rho P ‰
sigma Í
tau T ˇ
Ípsilon Á
fi Ï„
ji X ˛
psi Ç
omega ◊
°
£
© ß
¶
™
¢
Alfabeto griego
(fórmula de la pendiente) (forma punto-pendiente) (forma pendiente- ordenada al origen) (recta vertical) (recta horizontal) y = constante
x = constante y = mx + b y - y1 = m(x - x1)
m = y2 - y1 x2 - x1
Líneas rectas
D É C I M A E D I C I Ó N
Matemáticas para administración
y economía
Ernest F. Haeussler, Jr.
The Pennsylvania State University
Richard S. Paul
The Pennsylvania State University
TRADUCCIÓN
Víctor Hugo Ibarra Mercado Universidad Anáhuac del Norte REVISIÓN TÉCNICA
Roberto Valadez Soto Salvador Sandoval Bravo Universidad de Guadalajara
Centro Universitario de Ciencias Económico- Administrativas
Linda Medina Herrera
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Ciudad de México Dora Elia Cienfuegos Zurita
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Monterrey
Faustino Yescas Martínez
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Estado de México Alejandro Narváez Herazo
Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla Jesús Castillo García
Universidad de las Américas, Puebla Carlos Francisco Javier Báez Teutli
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Authorized translation from the English language edition, entitled Introductory Mathematical Analysis, Tenth Edition by Ernest F.
Haeussler, Jr. and Richard S. Paul, published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2002. All rights reserved.
ISBN 0-13-008750-5
Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Introductory Mathematical Analysis, Tenth Edition, por Ernest F. Haeussler, Jr. y Richard S. P, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE-HALL INC., Copyright © 2002. Todos los dere- chos reservados.
Esta edición en español es la única autorizada.
Edición en español
Editor: Guillemo Trujano Mendoza
e-mail: [email protected] Supervisor de desarrollo: Diana Karen Montaño Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño Fotografía portada: Photo Stock México
DÉCIMA EDICIÓN, 2003
D.R. © 2003 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco 500-5to. piso Col. Industrial Atoto
53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México E-mail: [email protected]
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031
Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.
ISBN 970-26-0383-8
Impreso en México. Printed in Mexico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 06 05 04 03 Datos de catalogación bibliográfica
HAEUSSLER, F., ERNEST JR.
Matemáticas para administración y economía Décima edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2003 ISBN: 970-26-0383-8
Área: Universitarios
Formato: 21 × 27 cm Páginas: 912
Edición en inglés
Acquisition Editor: Quincy McDonald Editor in Chief: Sally Yagan
Vice President/Director of Production and Manufacturing: David W. Riccardi
Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Senior Managing Editor: Linda Mihatov Behrens Assistant Production Manager: Bayani DeLeon
Production Management: Elm Street Publishing Services, Inc.
Manufacturing Buyer: Alan Fischer Manufacturing Manager: Trudy Pisciotti
Marketing Manager: Patric Lumumba Jones Assistant Editor of Media: Vince Jansen
Editorial Assistant/Supplements Editor: Joanne Wendelken Art Director: Heather Scott
Art Studio: Artworks Senior Manager: Patty Burns Production Manager: Ronda Whitson Manager, Production Technologies: Matt Haas Project Coordinator: Jessica Einsig
Illustrator: Steve McKinley
Prefacio ix
C A P Í T U L O 0
Repaso de álgebra 1
0.1 Objetivo 2
0.2 Conjuntos y números reales 2
0.3 Algunas propiedades de los números reales 3 0.4 Operaciones con números reales 7
0.5 Exponentes y radicales 10
0.6 Operaciones con expresiones algebraicas 18 0.7 Factorización 23
0.8 Fracciones 26
Aplicación práctica: Modelado del comportamiento de una celda de carga 33
C A P Í T U L O 1
Ecuaciones 35
1.1 Ecuaciones lineales 36
1.2 Ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales 43 1.3 Ecuaciones cuadráticas 47
1.4 Deducción de la fórmula cuadrática 55 1.5 Repaso 56
Aplicación práctica: Crecimiento real de una inversión 58
C A P Í T U L O 2
Aplicaciones de ecuaciones y desigualdades 61
2.1 Aplicaciones de ecuaciones 62 2.2 Desigualdades lineales 70 2.3 Aplicaciones de desigualdades 75 2.4 Valor absoluto 79
2.5 Repaso 83
Aplicación práctica: Grabación con calidad variable 85
C A P Í T U L O 3
Funciones y gráficas 87
3.1 Funciones 88
3.2 Funciones especiales 95 3.3 Combinación de funciones 99
3.4 Gráficas en coordenadas rectangulares 104 3.5 Simetría 115
C O N T E N I D O
v
3.6 Traslaciones y reflexiones 120 3.7 Repaso 122
Aplicación práctica: Una experiencia con los impuestos 125
C A P Í T U L O 4
Rectas, parábolas y sistemas de ecuaciones 127
4.1 Rectas 128
4.2 Aplicaciones y funciones lineales 136 4.3 Funciones cuadráticas 144
4.4 Sistemas de ecuaciones lineales 152 4.5 Sistemas no lineales 163
4.6 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones 166 4.7 Repaso 176
Aplicación práctica: Planes de cobro en telefonía celular 179
C A P Í T U L O 5
Funciones exponencial y logarítmica 181
5.1 Funciones exponenciales 182 5.2 Funciones logarítmicas 195 5.3 Propiedades de los logaritmos 202
5.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 210 5.5 Repaso 216
Aplicación práctica: Dosis de medicamento 220
C A P Í T U L O 6
Álgebra de matrices 223
6.1 Matrices 224
6.2 Suma de matrices y multiplicación por un escalar 231 6.3 Multiplicación de matrices 239
6.4 Método de reducción 252
6.5 Método de reducción (continuación) 262 6.6 Inversas 268
6.7 Determinantes 277 6.8 Regla de Cramer 286
6.9 Análisis de insumo-producto con una calculadora gráfica 291 6.10 Repaso 295
Aplicación práctica: Requerimientos de insulina como un proceso lineal 298
C A P Í T U L O 7
Programación lineal 301
7.1 Desigualdades lineales con dos variables 302 7.2 Programación lineal 307
7.3 Soluciones óptimas múltiples 317 7.4 Método simplex 319
7.5 Degeneración, soluciones no acotadas y soluciones óptimas múltiples 332
vi Contenido
Contenido vii 7.6 Variables artificiales 338
7.7 Minimización 349 7.8 Dual 354
7.9 Repaso 362
Aplicación práctica: Terapias con fármacos y radiación 365
C A P Í T U L O 8
Matemáticas financieras 367
8.1 Interés compuesto 368 8.2 Valor presente 373 8.3 Anualidades 378
8.4 Amortización de préstamos 388 8.5 Repaso 393
Aplicación práctica: Bonos del tesoro 395
C A P Í T U L O 9
Límites y continuidad 397
9.1 Límites 398
9.2 Límites (continuación) 409
9.3 Interés compuesto continuamente 419 9.4 Continuidad 422
9.5 Continuidad aplicada a desigualdades 430 9.6 Repaso 434
Aplicación práctica: Deuda nacional 438
C A P Í T U L O 1 0
Diferenciación 441
10.1 La derivada 442
10.2 Reglas de diferenciación 451
10.3 La derivada como una razón de cambio 459 10.4 Diferenciabilidad y continuidad 470 10.5 Reglas del producto y del cociente 472
10.6 La regla de la cadena y la regla de la potencia 483 10.7 Repaso 492
Aplicación práctica: Propensión marginal al consumo 497
C A P Í T U L O 1 1
Temas adicionales de diferenciación 499
11.1 Derivadas de funciones logarítmicas 500 11.2 Derivadas de funciones exponenciales 505 11.3 Diferenciación implícita 511
11.4 Diferenciación logarítmica 518 11.5 Derivadas de orden superior 521 11.6 Repaso 525
Aplicación práctica: Cambio de la población con respecto al tiempo 528
C A P Í T U L O 1 2
Trazado de curvas 531
12.1 Extremos relativos 532
12.2 Extremos absolutos en un intervalo cerrado 543 12.3 Concavidad 546
12.4 Prueba de la segunda derivada 554 12.5 Asíntotas 556
12.6 Repaso 566
Aplicación práctica: Bosquejo de la curva de Phillips 570
C A P Í T U L O 1 3
Aplicaciones de la diferenciación 573
13.1 Aplicación de máximos y mínimos 574 13.2 Diferenciales 587
13.3 Elasticidad de la demanda 593 13.4 Método de Newton 598 13.5 Repaso 603
Aplicación práctica: Cantidad económica de pedido 606
C A P Í T U L O 1 4
Integración 609
14.1 La integral indefinida 610
14.2 Integración con condiciones iniciales 617 14.3 Más fórmulas de integración 622
14.4 Técnicas de integración 631 14.5 Sumatoria 637
14.6 La integral definida 640
14.7 El teorema fundamental del cálculo integral 649 14.8 Área 660
14.9 Área entre curvas 664
14.10 Excedente de los consumidores y de los productores 672 14.11 Repaso 675
Aplicación práctica: Precio de envío 680
C A P Í T U L O 1 5
Métodos y aplicaciones de la integración 683
15.1 Integración por partes 684
15.2 Integración por medio de fracciones parciales 689 15.3 Integración por medio de tablas 696
15.4 Valor promedio de una función 702 15.5 Integración aproximada 705 15.6 Ecuaciones diferenciales 710
15.7 Más aplicaciones de las ecuaciones diferenciales 718 15.8 Integrales impropias 726
15.9 Repaso 730
Aplicación práctica: Dietas 734 viii Contenido
Contenido ix
C A P Í T U L O 1 6
Cálculo de varias variables 737
16.1 Funciones de varias variables 738 16.2 Derivadas parciales 744
16.3 Aplicaciones de las derivadas parciales 751 16.4 Diferenciación parcial implícita 758 16.5 Derivadas parciales de orden superior 761 16.6 Regla de la cadena 764
16.7 Máximos y mínimos para funciones de dos variables 768 16.8 Multiplicadores de Lagrange 778
16.9 Rectas de regresión 786
16.10 Un comentario sobre funciones homogéneas 793 16.11 Integrales múltiples 795
16.12 Repaso 799
Aplicación práctica: Análisis de datos para un modelo de enfriamiento 803 Apéndice A Conjuntos 805
Agrupaciones y lo que se puede hacer con ellas 805 A.1 Idea intuitiva de conjunto 805
A.2 Conceptos básicos 807
A.3 Operaciones con conjuntos 811 A.4 Cardinalidad de conjuntos 817 A.5 Repaso 822
Apéndice B Tablas de interés compuesto 827 Apéndice C Tabla de integrales seleccionadas 843 Respuestas a los ejercicios con número impar RESP1 Índice I1
Esta décima edición de Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida continúa proporcionando los fundamentos matemáti- cos para estudiantes de negocios, economía y ciencias sociales y de la vida.
Inicia con temas que no son de cálculo, como ecuaciones, funciones, álgebra de matrices, programación lineal y matemáticas financieras. Después avanza a través tanto de cálculo de una como de varias variables. Las demostraciones y condiciones técnicas, son descritas de manera suficiente pero sin abundar dema- siado. En ocasiones, para conservar la claridad se dan argumentos intuitivos e informales.
Aplicaciones
Una gran cantidad y variedad de aplicaciones, destinadas al lector, aparecen en esta obra; de manera continua, los estudiantes ven cómo pueden utilizarse las matemáticas que están aprendiendo. Estas aplicaciones cubren áreas tan diversas como administración, economía, biología, medicina, sociología, psico- logía, ecología, estadística, ciencias de la tierra y arqueología. Muchas de estas situaciones de la vida cotidiana se tomaron de la literatura existente y las refe- rencias están documentadas. En algunas se dan los antecedentes y el contexto con el fin de estimular el interés. Sin embargo, el texto prácticamente es inde- pendiente, en el sentido de que no supone un conocimiento previo de los con- ceptos sobre los cuales están basadas las aplicaciones.
Cambios en la décima edición
Temas introductorios de capítulo
Lo nuevo en la décima edición es que aparecen temas introductorios al principio de cada capítulo. Cada tema introductorio presenta una aplicación de la vida real de las matemáticas del capítulo. Este nuevo elemento proporciona a los es- tudiantes una introducción intuitiva a los temas que se presentan en el capítulo.
Actualización y ampliación de las aplicaciones prácticas
Para la décima edición, esta popular característica se ha ampliado para que aparezca al final de los capítulos 0 al 16. Cada aplicación práctica proporciona una interesante, y en ocasiones novedosa aplicación que incluye las matemá- ticas del capítulo en el que aparecen. Cada una de las aplicaciones prácticas contiene ejercicios —lo que refuerza el énfasis del capítulo en la práctica. El último ejercicio de cada aplicación incluye preguntas que son adecuadas para la discusión en grupo.
Exámenes de repaso del capítulo
En los problemas de repaso del capítulo 1 al 16, hay problemas seleccionados que son adecuados para que los estudiantes los utilicen como exámenes de práctica para medir su dominio del material del capítulo. Todos éstos son
P R E F A C I O
xi
problemas con número impar, de modo que los estudiantes pueden verificar su trabajo contra las respuestas al final del texto.
Características que se conservaron
A lo largo del texto se encuentran muchas notas de advertencia para el estu- diante, que señalan errores que se comenten con frecuencia. Estas notas de ad- vertencia se indican con el título Advertencia. Las definiciones se establecen y muestran de manera clara. Los conceptos importantes, así como las reglas y fórmulas importantes, se colocan dentro de cuadros para enfatizar su importan- cia. Asimismo, a lo largo del texto se colocan notas al margen para el estudian- te. Éstas sirven para hacer una reflexión rápida que complementa el estudio.
Más de 850 ejemplos se resuelven en detalle. Algunos incluyen una es- trategia diseñada de manera específica para guiar al estudiante a través de la logística de la solución, antes de que ésta sea obtenida.
Se incluye una gran cantidad de diagramas (casi 500) y ejercicios (más de 5000). En cada conjunto de ejercicios, los problemas agrupados están dados en orden creciente de dificultad. En muchos conjuntos de ejercicios los problemas van desde los de tipo de habilidades básicas que se resuelven en forma mecáni- ca, hasta los más interesantes que obligan a reflexionar. Se incluyen muchos pro- blemas que se presentan en la vida cotidiana con datos reales. Se ha hecho un esfuerzo considerable para alcanzar el balance apropiado entre los ejercicios de tipo mecánico, y los problemas que requieren de la integración de los conceptos aprendidos. Muchos de los problemas han sido actualizados o revisados.
Con el objetivo que el estudiante aprecie el valor de la tecnología actual, a lo largo del texto aparece material opcional para calculadoras gráficas, tan- to en la exposición como en los ejercicios. Esto se incluye por varias razones:
como una herramienta matemática, para visualizar conceptos, como un auxi- lio computacional y para reforzar conceptos. A pesar de que pantallas para una calculadora TI-83 acompañan el estudio de tecnología correspondiente, nuestro enfoque es suficientemente general, de modo que puede aplicarse en otras calculadoras gráficas.
En los conjuntos de ejercicios, los problemas que se resuelven con calcu- ladora se indican por medio de un icono. Para proporcionar flexibilidad para la planeación de asignaciones del instructor, estos problemas están colocados al final de un conjunto de ejercicios.
El elemento Principios en práctica provee a los estudiantes de más aplica- ciones. Ubicados en los márgenes de los capítulos 1 al 16, estos ejercicios adicio- nales dan a los estudiantes aplicaciones del mundo real, y más oportunidades para ver el material del capítulo y ponerlo en práctica. Un icono indica las aplicaciones de Principios en práctica que pueden resolverse por medio de una calculadora gráfica. Las respuestas a las aplicaciones de Principios en práctica aparecen al final del texto.
Cada capítulo (excepto el 0), tiene una sección de repaso que contiene una lista de términos y símbolos importantes, un resumen del capítulo y gran cantidad de problemas de repaso.
Las respuestas a los problemas con número impar aparecen al final del li- bro. Para muchos de los problemas de diferenciación, las respuestas aparecen en forma no simplificada y simplificada. Esto permite a los estudiantes verifi- car con prontitud su trabajo.
Planeación del curso
Ya que los instructores planifican el perfil del curso, para que sirva a las nece- sidades individuales de una clase y temario particular, no intentamos propor- cionar directrices de cursos. Sin embargo, dependiendo de los antecedentes de xii Prefacio
1 3
5 3
Suplementos xiii los estudiantes, algunos instructores elegirán omitir el capítulo 0, Repaso de ál- gebra, o el capítulo 1, Ecuaciones; otros podrían excluir los temas de álgebra matricial y programación lineal. Ciertamente, hay otras secciones que pueden omitirse a juicio del instructor. Como una ayuda para planificar un de curso, tal vez algunos comentarios podrían ser útiles. La sección 2.1 introduce térmi- nos de administración, como ingreso, costo fijo, costo variable y utilidad. La sección 4.2 introduce la noción de ecuaciones de oferta y demanda, y en la sec- ción 4.6 se estudia el punto de equilibrio. Secciones opcionales, que no causa- rán problemas si se omiten son: 7.3, 7.5, 13.4, 15.1, 15.2, 16.4, 16.6, 16.9 y 16.10.
La sección 15.8 puede ser omitida, para aquellos que carezcan de bases de pro- babilidad.
Suplementos
Para los instructores
Instructor’s Solution Manual. Se encuentra disponible en inglés y ofrece las so- luciones desarrolladas para todos los ejercicios y aplicaciones de principios en práctica.
Archivo de preguntas de examen. Proporciona más de 1700 preguntas de exa- men, clasificadas por capítulo y sección.
Examen Personalizado de Prentice Hall. Permite al instructor ingresar al archi- vo de preguntas de examen computarizado, y preparar e imprimir exámenes personalmente. Incluye una característica de edición que permite agregar y cambiar preguntas.
Para instructores y estudiantes
Website acompañante de PH. Disponible en inglés y diseñado para comple- mentar y expandir el texto, el website ofrece una variedad de herramientas de aprendizaje interactivas, que incluyen: enlaces a sitios de la red, trabajos prác- ticos para estudiantes y la capacidad para que los instructores revisen y evalúen el trabajo de los estudiantes en el website. Para más información, contacte a su representante local de Prentice Hall.
www.prenhall.com/Haeussler
Reconocimientos
Expresamos nuestro agradecimiento a los colegas siguientes quienes contribu- yeron con comentarios y sugerencias que fueron valiosos para nosotros en el desarrollo de este texto:
R. M. Alliston (Pennsylvania State University); R. A. Alo (University of Houston); K. T. Andrews (Oakland University); M. N. de Arce (University of Puerto Rico); G. R. Bates (Western Illinois University); D. E. Bennett (Murray State University); C. Bernett (Harper College); A. Bishop (Western Illinois University); S. A. Book (California State University); A. Brink (St.
Cloud State University); R. Brown (York University); R. W. Brown (University of Alaska); S. D. Bulman-Fleming (Wilfrid Laurier University); D. Calvetti (National College); D. Cameron (University of Akron); K. S. Chung (Kapiola- ni Community College); D. N. Clark (University of Georgia); E. L. Cohen (University of 0ttawa); J. Dawson (Pennsylvania State University); A. Dollins (Pennsylvania State University); G. A. Earles (St. Cloud State University); B. H.
Edwards (University of Florida); J. R. Elliott (Wilfrid Laurier University); J.
Fitzpatrick (University of Texas at El Paso); M. J. Flynn (Rhode Island Junior College); G. J. Fuentes (University of Maine); S. K. Goel (Valdosta State University); G. Goff (Oklahoma State University); J. Goldman (DePaul Univer- sity); J. T. Gresser (Bowling Green State University); L. Griff (Pennsylvania State University); F. H. Hall (Pennsylvania State University); V. E. Hanks (Wes- tern Kentucky University); R. C. Heitmann (The University of Texas at Austin);
J. N. Henry (California State University); W. U. Hodgson (West Chester State College); B. C. Horne Jr. (Virginia Polytechnic Institute y State University);
J. Hradnansky (Pennsylvania State University); C. Hurd (Pennsylvania State University); J. A. Jiménez (Pennsylvania State University); W. C. Jones (Western Kentucky University); R. M. King (Gettysburg College); M. M. Kostreva (University of Maine); G. A. Kraus (Gannon University); J. Kucera (Washington State University); M. R. Latina (Rhode Island Junior College); J. F. Longman (Villanova University); I. Marshak (Loyola University of Chicago); D. Mason (Elmhurst College); F. B. Mayer (Mt. San Antonio College); P. McDougle (Uni- versity of Miami); F. Miles (California State University); E. Mohnike (Mt. San Antonio College); C. Monk (University of Richmond); R. A. Moreland (Texas Tech University); J. G. Morris (University of Wisconsin-Madison); J. C. Moss (Paducah Community College); D. Mullin (Pennsylvania State University);
E. Nelson (Pennsylvania State University); S. A. Nett (Western Illinois Universi- ty); R. H. Oehmke (University of lowa); Y. Y. Oh (Pennsylvania State University);
N. B. Patterson (Pennsylvania State University); V. Pedwaydon (Lawrence Technical University); E. Pemberton (Wilfrid Laurier University); M. Perkel (Wright State University); D. B. Priest (Harding College); J. R. Provencio (University of Texas); L. R. Pulsinelli (Western Kentucky University); M. Racine (University of Ottawa); N. M. Rice (Queen’s University); A. Santiago (University of Puerto Rico); J. R. Schaefer (University of Wisconsin-Milwaukee); S. Sehgal (The Ohio State University); W. H. Seybold, Jr. (West Chester State College); G.
Shilling (The University of Texas at Arlington); S. Singh (Pennsylvania State University); L. Small (Los Angeles Pierce College); E. Smet (Huron College);
M. Stoll (University of South Carolina); A. Tierman (Saginaw Valley State University); B. Toole (University of Maine); J. W. Toole (University of Maine);
D. H. Trahan (Naval Postgraduate School); J. P. Tull (The Ohio State Univer- sity); L. O. Vaughan, Jr. (University of Alabama in Birmingham); L. A. Vercoe (Pennsylvania State University); M. Vuilleumier (The Ohio State University); B.
K. Waits (The Ohio State University); A. Walton (Virginia Polytechnic Institute, and State University); H. Walum (The Ohio State University); E. T. H. Wang (Wilfrid Laurier University); A. J. Weidner (Pennsylvania State University); L.
xiv Reconocimientos
Reconocimientos xv Weiss (Pennsylvania State University); N. A. Weigmann (California State Uni- versity); G. Woods (The Ohio State University); C. R. B. Wright (University of Oregon); C. Wu (University of Wisconsin-Milwaukee).
Algunos ejercicios se tomaron de los problemas utilizados por los estudiantes de la Universidad Wilfrid Laurier. Deseamos extender nuestros agradecimientos especiales al Departamento de Matemáticas de la Universidad Wilfrid Laurier por conceder permiso a Prentice Hall de utilizar y publicar este material, y tam- bién agradecer a Prentice Hall quien a su vez nos permitió hacer uso de este material.
También agradecemos a LaurelTech por su aportación a los apéndices de conceptos de cálculo, por la verificación de errores del texto y por sus esfuer- zos en el proceso de revisión.
Por último, expresamos nuestra sincera gratitud a la facultad y coordina- dores de cursos de la Universidad Estatal de Ohio y la Universidad Estatal de Columbus, quienes tuvieron un gran interés en la décima edición, y ofrecieron una gran cantidad de valiosas sugerencias.
Ernest F. Haeussler, Jr.
Richard S. Paul
Q
uienquiera que tenga un negocio necesita llevar el registro de cómo van las cosas. Pero, ¿cómo se hace esto? Con frecuencia los profesionales en finanzas miden el desempeño de una compañía por medio del cálculo de fracciones denominadas razones financieras. Existen más de 50 diferentes razones financieras de uso común. ¿Cuál utilizar? Depende de si el analista está tratando de valuar el crecimiento de una compañía, su productividad, su nivel de endeudamiento o algún otro aspecto de su desempeño.Una razón importante en ventas al menudeo es la razón de rotación de inventarios. Para un periodo dado,
,
en donde el inventario se mide en valor total en dólares en el punto de venta.
Cuando sustituimos las expresiones apropiadas para las ventas netas y el inventario promedio, la fórmula se transforma en,
La razón de rotación de inventarios mide qué tan rápido se venden y reabastecen las existencias del vendedor de bienes: entre mayor sea este cociente, más rápida es la rotación. Un cociente muy pequeño significa grandes inventarios en los que los artículos permanecen en el almacén por largos periodos y están sujetos a deterioros. Una razón demasiado alta significa un inventario pequeño y un riesgo asociado para el vendedor, ya sea la pérdida de ventas o el pago de precios altos para reabastecer los artículos en pequeños lotes. La razón de rotación de inventario ideal varía de industria a industria, pero una razón anual ideal de seis es razonable para un detallista de bienes perdurables, como hardware o aparatos electrónicos. Por supuesto que la razón para un vendedor de verduras necesita ser mucho más alta.
La razón de rotación de inventarios es un ejemplo de una expresión algebraica. Su cálculo implica la sustitución de números reales para las cantidades variables (ventas brutas y otras) y la realización de operaciones aritméticas (suma, resta y división). Este capítulo revisará los números reales, las expresiones algebraicas y las operaciones básicas sobre ellos.
= ventas brutas - devoluciones y rebajas inventario inicial + inventario al cierre
2 razón de rotación .
de inventarios
razón de rotación de inventarios = ventas netas inventario promedio
1
C A P Í T U L O 0
Repaso de álgebra
0.1 Objetivo
0.2 Conjuntos y números reales
0.3 Algunas propiedades de los números reales 0.4 Operaciones con
números reales 0.5 Exponentes y radicales 0.6 Operaciones con
expresiones algebraicas 0.7 Factorización
0.8 Fracciones Aplicación práctica Modelado del compor- tamiento de una celda de carga
2 Capítulo 0 ■ Repaso de álgebra
OBJETIVO Familiarizarse con conjuntos, la clasificación de los números reales y la recta de los números reales.
La razón para que q 0, es que no podemos dividir entre cero.
Todo entero es un número racional.
0.1 O
BJETIVOEste capítulo está diseñado para ofrecer un repaso breve sobre algunos térmi- nos y métodos para la manipulación de las matemáticas. Sin duda usted ya es- tudió mucho de este material con anterioridad. Sin embargo, ya que estos temas son importantes para el manejo de las matemáticas que vienen después, tal vez resulte benéfica una rápida exposición de ellos. Destine el tiempo que sea necesario para las secciones en que necesita un repaso.
0.2 C
ONJUNTOS Y NÚMEROS REALESEn términos sencillos, un conjunto es una colección de objetos. Por ejemplo, po- demos hablar del conjunto de números pares entre 5 y 11, es decir, 6, 8 y 10. Un objeto de un conjunto se conoce como elemento o miembro de ese conjunto.
Una manera de especificar un conjunto es hacer una lista de sus ele- mentos, en cualquier orden, dentro de llaves. Por ejemplo, el conjunto anterior es {6, 8, 10}, que podemos denotar por medio de una letra, como A. Un con- junto A se dice que es un subconjunto de un conjunto B si y sólo si todo ele- mento de A también es un elemento de B. Por ejemplo, si y
, entonces A es un subconjunto de B.
Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1, 2, 3, y así sucesivamente, forman el conjunto de los enteros positivos (o números naturales):
Los tres puntos significan que el listado de elementos continúa sin fin, aun cuando se sabe cuáles son los elementos.
Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos , forman el conjunto de los enteros:
El conjunto de los números racionales consiste en números como y , que pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un número racional es aquél que puede escribirse como p/q, donde p y q son en- teros y (el símbolo se lee “no es igual a” o “diferente de”.) Por ejemplo, los números , y son racionales. Observemos que , , , y 0.5 representan todos al mismo número racional. El entero 2 es racional ya que
. De hecho, todo entero es racional.
Todos los números racionales pueden representarse por números decima- les que terminan, como y , o bien por decimales repetidos que no terminan (un grupo de dígitos que se repiten sin fin), como
y Los números que se representan por de- cimales no repetidos que no terminan se conocen como números irracionales.
Un número irracional no puede escribirse como un entero dividido entre un entero. Los números (pi) y son irracionales.
Juntos, los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de los números reales. Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primero seleccionamos un punto en la recta para re- presentar al cero. Este punto es llamado origen (véase la fig. 0.1). Después se elige una medida estándar de distancia, “unidad de distancia”, y se marca suce- sivamente en ambas direcciones a la derecha y a la izquierda del origen. Con cada punto sobre la recta asociamos una distancia dirigida, o número con sig- no, que depende de la posición del punto con respecto al origen. Las posicio- nes a la derecha del origen se consideran positivas (+) y las de la izquierda negativas (- ). Por ejemplo, al punto ubicado a de unidad a la derecha del12
22 p
2
15 = 0.1333 . . .
–4
11 = -0.3636 . . .
2
3 = 0.666 . . . ,
3 2 = 1.5
3 4 = 0.75 2 = 21
–4 –8 3 6 1 2 2 4 –6
–2 –2
7 19 20
“ Z ” q Z 0.
5 3 1 2
conjunto de enteros = { p , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, p }.
-1, -2, -3, . . .
conjunto de enteros positivos = {1, 2, 3, p }.
B = {6, 8, 10, 12}
A = {6, 8, 10}
Los números reales consisten en todos los números decimales.
Sec. 0.3 ■ Algunas propiedades de los números reales 3
-1.5 2
-
0
Algunos puntos y sus coordenadas
Origen
Dirección positiva
1 2 3
-1 -2 -3
1 2
FIGURA 0.1 La recta de los números reales.
origen, le corresponde el número que se denomina coordenada de ese punto.
En forma similar, la coordenada del punto situado a 1.5 unidades a la izquier- da del origen es - 1.5. En la figura 0.1 están marcadas las coordenadas de algu- nos puntos. La punta de la flecha indica que la dirección hacia la derecha a lo largo de la recta es positiva.
A cada punto sobre la recta le corresponde un número real único, y a cada número real le corresponde un punto único de la recta. Por esta razón decimos que hay una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta y los núme- ros reales. Llamamos a esta recta la recta de coordenadas o recta de números reales. Tenemos la libertad para tratar a los números reales como puntos sobre dicha recta y viceversa.
1 2,
Ejercicio 0.2
En los problemas del 1 al 12, clasifique los enunciados como verdaderos o falsos. Si es falso, dé una razón.
1. es un entero. 2. es racional.
3. es un número natural. 4. 0 no es racional.
5. 5 es racional. 6. es un número racional.
7. no es un entero positivo. 8. es un número real.
9. es racional. 10. es un número natural.
11. está a la derecha de en la recta 12. Todo entero es positivo o negativo.
de los números reales.
-4 -3
23
0 6
225 p
7 0
-3
1
-7 6
OBJETIVO Establecer e ilustrar las propiedades siguientes de los números reales: transitiva, conmutativa, asociativa, inversa y distributiva. Definir la resta y la división en términos de la suma y la multiplicación, respec- tivamente.
0.3 A
LGUNAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALESAhora establezcamos algunas propiedades importantes de los números reales.
Sean a, b y c números reales.
1. Propiedad transitiva de la igualdad
Si a = b y b = c, entonces a = c.
Por tanto, dos números que sean iguales a un tercer número son iguales entre sí. Por ejemplo, si x= y y y= 7, entonces x= 7.
2. Propiedad conmutativa de la suma y de la multiplicación a + b = b + a y ab = ba.
4 Capítulo 0 ■ Repaso de álgebra
Esto significa que dos números pueden sumarse o multiplicarse en cualquier orden. Por ejemplo, 3 + 4 = 4 + 3 y 7(-4) = (-4)(7).
3. Propiedad asociativa de la suma y de la multiplicación a + (b + c) = (a + b) + c y a(bc) = (ab)c.
Esto significa que en la suma o multiplicación, los números pueden agruparse
en cualquier orden. Por ejemplo, en ambos
casos la suma es 9. En forma semejante, 6(13 5) = (6 13) 5.
2x + (x + y) = (2x + x) + y y 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4;
4. Propiedades del inverso
Para cada número real a, existe un único número real denotado por - a tal que,
El número - a es llamado el inverso aditivo o negativo de a.
a + (-a) = 0.
Por ejemplo, ya que 6 + (- 6) = 0, el inverso aditivo de 6 es - 6. El inverso aditivo de un número no necesariamente es un número negativo. Por ejemplo, el inverso aditivo de - 6 es 6, ya que (- 6) + (6) = 0. Esto es, el negativo de - 6 es 6, de modo que podemos escribir - (- 6) = 6.
El cero no tiene inverso multiplica- tivo, ya que no existe número que cuando se multiplica por cero dé como resultado 1.
5. Propiedades distributivas
y (b + c)a = ba + ca. a(b + c) = ab + ac
Por ejemplo, aunque podemos escribir
En la misma forma,
y
La propiedad distributiva puede ser extendida a la forma
De hecho, puede ser extendida para sumas con cualquier número de términos.
La resta se define en términos de la suma:
a - b significa a + (-b), a (b + c + d) = ab + ac + ad.
x(z + 4) = x(z) + x(4) = xz + 4x.
(2 + 3)(4) = 2(4) + 3(4) = 8 + 12 = 20, 2(3 + 4) = 2(3) + 2(4) = 6 + 8 = 14.
2(3 + 4) = 2(7) = 14,
Para cada número real a, excepto el cero, existe un único número real denotado por a-1tal que,
.
El número a-1se conoce como el inverso multiplicativo de a.
a a-1 = 1
Por tanto, todos los números, con excepción del cero, tienen un inverso multiplicativo. Como se recordará, puede escribirse como y también se llama el recíproco de a. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 3 es ya que Por lo que es el recíproco de 3. El recíproco de es 3, ya que (13)(3) = 1.El recíproco de 0 no está definido.
1 3 1
3(13) = 1. 3
1 3,
1
a-1 a
Sec. 0.3 ■ Algunas propiedades de los números reales 5 en donde - b es el inverso aditivo de b. Así, 6- 8 significa 6 + (- 8).
En forma semejante, definimos la división en términos de la multiplica- ción. Si entonces , está definida por
. Como
Así, significa 3 veces , en donde es el inverso multiplicativo de 5. Algunas veces nos referimos a o como la razón de a a b. Observemos que como 0 no tiene inverso multiplicativo, la división entre 0 no está definida.
Los ejemplos siguientes muestran algunas aplicaciones de las propiedades anteriores.
■ EJEMPLO 1 Aplicación de las propiedades de los números reales
a. por la propiedad conmutativa de
la multiplicación.
b. Por la propiedad asociativa de la multiplicación, Por tanto, el resultado de multiplicar 3 por el producto de 4 y 5 es el mismo que el de multiplicar el producto de 3 y 4 por 5. En cualquier caso el resul- tado es 60.
■
■ EJEMPLO 2 Aplicación de las propiedades de los números reales a. Demostrar que
Solución: por la definición de resta, Sin embar- go, por la propiedad conmutativa de la suma,
Así, por la propiedad transitiva, De manera más concisa, omitimos pasos intermedios y escribimos directamente
b. Demostrar que
Solución: al empezar con el lado izquierdo, tenemos
(definición de la resta) (propiedad asociativa) (definición de la resta).
Por lo que, por la propiedad transitiva,
(8 + x) - y = 8 + (x - y).
= 8 + (x - y)
= 8 + [x + (-y)]
(8 + x) - y = (8 + x) + (-y) (8 + x) - y = 8 + (x - y).
2 - 22 = - 22 + 2.
2 - 22 = - 22 + 2.
2 + (- 22) = - 22 + 2.
2 - 22 = 2 + (- 22).
2 - 22 = - 22 + 2.
3(4 5) = (3 4)5.
x(y - 3z + 2w) = (y - 3z + 2w)x, a
a b b
1 5 1
5 3
5
a
b = a(b-1) = aa1 bb . b-1 = 1
b,
a
b = a(b-1) a b, o a
b Z 0, b
significa a veces el recíproco de b.
a b
6 Capítulo 0 ■ Repaso de álgebra
c. Demostrar que
Solución: por la propiedad distributiva,
Pero por la propiedad asociativa de la multiplicación, y de manera similar Por tanto,
■
■ EJEMPLO 3 Aplicación de las propiedades de los números reales
a. Demostrar que
Solución: por la definición de división,
Pero por la propiedad asociativa,
Sin embargo, por la definición de la división, . Por tanto,
También podemos demostrar que
b. Demostrar que
Solución: por la definición de la división y la propiedad distributiva,
Sin embargo,
. De aquí que,
Observamos que a Por ejemplo, b + c Z a
b + a c. a + b
c = a
c + b c. a1
c + b1 c = a
c + b c a + b
c = (a + b) 1
c = a1
c + b 1 c. a + b
c = a
c + b
c para c Z 0.
ab c = aa
c bb.
ab
c = aab c b.
b 1 c = b
c (ab)1
c = aa b 1 c b. ab
c = (ab) 1
c para c Z 0.
ab
c = aab
c b para c Z 0.
3(4x + 2y + 8) = 12x + 6y + 24.
3(2y) = 6y.
3(4x) = (34)x = 12x
3(4x + 2y + 8) = 3(4x) + 3(2y) + 3(8).
3(4x + 2y + 8) = 12x + 6y + 24.
Sec. 0.4 ■ Operaciones con números reales 7
■
La única forma para determinar el producto de varios números es consi- derar los productos de los números tomados de 2 en 2. Por ejemplo, para en- contrar el producto de x, y y z podríamos multiplicar primero x por y y después multiplicar el producto resultante por z, esto es, encontrar (xy)z. O, de manera alterna, multiplicar x por el producto de y y z, esto es, encontrar x(yz).
La propiedad asociativa de la multiplicación garantiza que ambos resultados sean idénticos, sin importar cómo se agrupen los números. Por tanto, no es am- biguo escribir xyz. Este concepto puede ampliarse a más de tres números y se aplica de la misma manera a la suma.
Es importante hacer un comentario final antes de terminar esta sección.
No sólo debe tener cuidado al aplicar las propiedades de los números reales, también debe conocer y familiarizarse con la terminología involucrada.
3 2 + 1 Z 3
2 + 3 1.
Ejercicio 0.3
En los problemas del 1 al 10, clasifique los enunciados como verdaderos o falsos.
1. Todo número real tiene un recíproco. 2. El recíproco de es
3. El inverso aditivo de 5 es 4.
5. . 6.
7. 8.
9. 10.
En los problemas del 11 al 20, establezca cuál propiedad de los números reales se usa.
11. 12.
13. 14.
15. 16. .
17. 18.
19. 20.
En los problemas del 21 al 26, demuestre que los enunciados son verdaderos, para ello utilice las propiedades de los números reales.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
■ ■ ■
27. Demuestre que a(b + c + d) = ab + ac + ad. [Sugerencia: b + c + d = (b + c) + d.]
(x + 1)(y + z) = xy + xz + y + z.
x[(2y + 1) + 3] = 2xy + 4x.
2[27 + (x + y)] = 2[(y + 27) + x].
(x + y)(2) = 2x + 2y.
(2 - x) + y = 2 + (y - x).
5a(x + 3) = 5ax + 15a.
(-1)[-3 + 4] = (-1)(-3) + (-1)(4).
(8 + a)b = 8b + ab.
5(4 + 7) = 5(7 + 4).
8 - y = 8 + (-y).
y + (x + y) = (y + x) + y 2(x - y) = (x - y)(2).
6 7 = 617. 2(3y) = (2 3)y.
(x + 5) + y = y + (x + 5).
2(x + y) = 2x + 2y.
8(9x) = 72x.
x + (y + 5) = (x + y) + (x + 5).
3ax 4b = 3x
4. x + 2
2 = x 2 + 1.
(x + 2)(4) = 4x + 8.
-x + y = -y + x
2(3 4) = (2 3)(2 4).
1 5.
5 2.
2 5
OBJETIVO Enlistar e ilustrar las propiedades más comunes de los números reales.
0.4 O
PERACIONES CON NÚMEROS REALESLa lista siguiente establece las propiedades importantes de los números reales que usted debe estudiar a fondo. El ser capaz de manejar los números reales es esencial para tener éxito en matemáticas. A cada propiedad le sigue un ejem- plo numérico. Todos los denominadores son diferentes de cero. Se supone que usted cuenta con un conocimiento previo de suma y resta de números reales.
8 Capítulo 0 ■ Repaso de álgebra
Propiedad Ejemplo(s)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. .
11.
12.
13.
14.
15. . .
16. .
17. .
18.
19.
20. .
21. .
22. .
23.
24.
-2
(-3)(-5) = - 2
3(5) = - 2 15. -a
(-b)(-c) = - a bc.
2
3(-5) = 2
(-3)(5) = -2 3(5) = a
b(-c) = a (-b)(c) =
-a bc = cuando c Z 0.
2 7 = a2
7b a5
5b = 25 75. a
b = aa bb ac
c b = ac bc
2 3 7 = 2
31 7 = 1
32 7 a
bc = aa bb a1
c b = a1 bb aa
c b.
2 7 3 = 2
3 7 = 2 7 3 ab
c = aa
c bb = aab c b.
2 3 4
5 = 2 4 3 5 = 8
15. a
b c d = ac
bd
21 2 = 1.
a1
a = 1 cuando a Z 0.
2a7 2b = 7.
aab a b = b.
2
2 = 1, -5 -5 = 1.
a
a = 1 cuando a Z 0
0 7 = 0.
0
a = 0 cuando a Z 0
-2 -7 = 2
7 -a
-b = a b
2
-7 = -2 7 =
-2 7 . a
-b = - a b =
-a b .
2
7 = 2a1 7b . a
b = aa1 bb .
7
1 = 7, -2 1 = -2.
a 1 = a.
(-2)(-7) = 2 7 = 14.
(-a)(-b) = ab.
(-2)(7) = -(2 7) = 2(-7) = -14 (-a)(b) = -(ab) = a(-b).
2(0) = 0.
a(0) = 0.
-(-2) = 2.
-(-a) = a.
-(2 - 7) = -2 + 7 = 5.
-(a - b) = -a + b.
-(7 + 2) = -7 - 2 = -9.
-(a + b) = -a - b.
6(7 - 2) = 6 7 - 6 2 = 30.
a(b - c) = ab - ac.
6(7 + 2) = 6 7 + 6 2 = 54.
a(b + c) = ab + ac.
-7 = (-1)(7).
-a = (-1)(a).
2 - (-7) = 2 + 7 = 9.
a - (-b) = a + b.
2 - 7 = 2 + (-7) = -5.
a - b = a + (-b).
Sec. 0.4 ■ Operaciones con números reales 9
Propiedad Ejemplo(s)
25.
. .
26. .
27. . .
28. . .
29. . .
30. .
31.
32.
La propiedad 23 es esencialmente el principio fundamental de las fraccio- nes, el cual establece que multiplicar o dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número, excepto el cero, tiene como resultado una fracción equivalente a (esto es, que tiene el mismo valor que) la fracción origi- nal. Así,
Por las propiedades 28 y 23 tenemos
También podemos resolver este problema convirtiendo y en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y después utilizar la propie- dad 26. Las fracciones y , pueden escribirse con un denominador común de 5 · 15,
Sin embargo, 15 es el menor de dichos denominadores comunes, el cual se co- noce como el mínimo común denominador (MCD) de y . Por tanto,
2 5 + 4
15 = 2 3 5 3 + 4
15 = 6 15 + 4
15 = 6 + 4 15 = 10
15 = 2 3.
4 15 2 5
2
5 = 2 15 5 15 y 4
15 = 4 5 15 5.
4 15 2 5
4 15 2 5
2 5 + 4
15 = 2 15 + 5 4 5 15 = 50
75 = 2 25 3 25 = 2
3. 7
1 8
= 7 8
1
8 8 = 56 1 = 56.
2 3 5 = 2
3 5 = 2 31
5 = 2 3 5 = 2
15. a
b c = a
b c = a b 1
c = a bc.
2 3 5
= 2 3
5 = 25
3 = 2 5 3 = 10
3. a
b c
= a b
c = a c b = ac
b.
2 3 7 5
= 2 3 7
5 = 2 35
7 = 2 5 3 7 = 10
21 a
b c d
= a b c
d = a bd
c = ad bc.
4 5 - 2
3 = 4 3 - 5 2 5 3 = 2
15 a
b - c
d = ad - bc bd
4 5 + 2
3 = 4 3 + 5 2 5 3 = 22
15 a
b + c
d = ad + bc bd
2 9 - 3
9 = 2 - 3
9 =
-1 9 a
c - b
c = a - b c
2 9 + 3
9 = 2 + 3
9 = 5
9 a
c + b
c = a + b c .
- 2(3)
5 = - 6 5 (-2)(-3)
-5 =
- ab c (-a)(-b)
-c =
2(3) -5 = (-2)(3)
5 =
2(-3)
5 =
a(-b)
c =
(-a)b c = ab
-c =
10 Capítulo 0 ■ Repaso de álgebra
Del mismo modo,
(MCD
= - 1 24.
= 9 24 - 10
24 = 9 - 10 24
= 24) 3
8 - 5
12 = 33
83 - 52 122
Ejercicio 0.4
Simplifique, si es posible, cada una de las siguientes expresiones.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
17. 18. 19. 20.
21. 22. 23. 24. .
25. 26. 27. 28.
29. 30. 31. 32.
33. 34. . 35. 36.
37. 38. 39. 40.
41. 42. 43. 44.
45. 46. 47. 48. .
49. 50. 51. 0 52. 00.
0. 0
7. 7
0.
-5 4 7 10 k
9 n. 6
x y 2 .
5 - 3 8.
3 2 - 1
4 + 1 6. x
9 - y 9. 2
3 + 7 3. 3
10 - 7 15.
5 12 + 3
4. 1
2 + 1 3. 2
x 5 y. 7
y1 x.
-18y -3x. (2x)a 3
2xb . a
c (3b) 2
3 1 x.
3 -2x. -5x
7y . 7
1. 8a 1
11b .
0(-x).
-(x - 2).
4(5 + x).
3(x - 4).
x(0) (-8)(-8).
(-2)(-4)(-1).
3[-2(3) + 6(2)].
2(-6 + 2).
4 (-2).
-2 (-4).
-3 15.
-[-6 + (-y)].
-12(x - y).
-7(x).
-(-6 + x).
-(-9).
(-1)6.
(-2)(-12).
7(-9).
(-2)(9).
-8 - (-6).
-6 - (-11).
7 - (-4).
7 - 2.
6 + (-4).
-6 + 2.
-2 + (-4).
OBJETIVO Revisar los expo- nentes enteros positivos, el exponente cero, los exponentes enteros negativos, los exponentes racionales, las raíces principales, los radicales y el procedimiento de racionalización del denomi- nador.
0.5 E
XPONENTES Y RADICALESEl producto de se abrevia x3. En general, para un entero positivo n, xn es la abreviatura del producto de n factores, cada uno de los cuales es x. La letra n en xnse denomina exponente y a x se le llama base. Específicamente, si n es un entero positivo tenemos:
x x x
1. .
n factores
2. .
n factores x-n = 1
xn = 1
x x x ... x xn = x x x ... x
t
tSec. 0.5 ■ Exponentes y radicales 11
3. .
4. x0 = 1 si x Z 0. 00 no está definido.
1 x-n = xn
■ EJEMPLO 1 Exponentes
a.
b.
c.
d.
e.
■
Si rn=x, donde n es un entero positivo, entonces r es una raíz n-ésima de x. Por ejemplo, 32=9 y así 3 es una raíz segunda de 9 (por lo común llamada una raíz cuadrada) de 9. Como (- 3)2=9, - 3 también es una raíz cuadrada de 9.
De modo similar, - 2 es una raíz cúbica de -8, ya que (-2)3= -8.
Algunos números no tienen una raíz n-ésima que sea un número real. Por ejemplo, como el cuadrado de cualquier número real es no negativo, no existe número real que sea una raíz cuadrada de - 4.
La raíz n-ésima principal de x es la raíz n-ésima de x que sea positiva si x es positiva, y es la raíz n-ésima negativa si x es negativa y n es impar. Esta raíz la denotamos mediante . Así,
Por ejemplo, y Definimos
El símbolo se denomina radical, Aquí n es el índice, x es el radicando y es el signo radical. Con las raíces cuadradas principales, por lo regular omitimos el índice y escribimos en lugar de Por tanto, .
Advertencia Aunque 2 y - 2 son raíces cuadradas de 4, la raíz cuadrada principal de 4 es 2, no - 2. Por lo que,
Si x es positiva, la expresión , en donde p y q son enteros y q es positi- va, se define como . Por lo que,
4-12 = 224–1 = 214 = 12. 823 = 2382 = 2364 = 4;
x34 = 24x3; 2qxp
xpq
24 = 2.
29 = 3 22x.
2x 2
2n x
2n0 = 0.
23271 = 13. 2- 8 = -23
29 = 3,2
epositiva si x es positiva,
negativa si x es negativa y n es impar.
2n x es 2n x x1 = x.
20 = 1, 0 = 1, (-5)0 = 1.
1
3-5 = 35 = 243.
3-5 = 1
35 = 1
3 3 3 3 3 = 1 243. a1
2b
4
= a1 2b a1
2b a1 2b a1
2b = 1 16.
