Calculo de un determinante de orden “n”, mediante su desarrollo por adjuntos

Calculo de un determinante de orden “n”, mediante su desarrollo por adjuntos

Sea el siguiente matriz cuadrada “nxn” (n filas y n columnas) que se pudiera corresponder con los coeficientes de las n incógnitas de un sistema con n ecuaciones:

D

= ( ^{a a a .}

^{a a a .}

^{… a … a … a .}

)

Es posible calcular el determinante de esta matriz de orden “n”, reduciéndolo a la suma de “n”

determinantes de orden “n-1”, de la siguiente forma:

D

=(−1)

a

D

+(−1)

a

D

+….+(−1)

a

D

Para entender mejor esto lo ejemplarizamos en el cálculo del determinante de los coeficientes de un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas:

a₁₁I_{M 1}+a₁₂I_{M 2}+a₁₃I_{M3 = K}

a

I

+ a

I

+a

I

= L

Necesitamos calcular el determinante de los coeficientes de la matriz:

D

= | ^{a a a}

^{a a a}

^{a a a}

|

D

=(−1)

a

| ^{a a}

^{a a}

| ⁺⁽⁻¹⁾

^a

| ^{a a}

^{a a}

| ⁺⁽⁻¹⁾

^a

| ^{a a}

^{a a}

|

D

=(−1)

a

(a

a

−a

a

)+(−1)

a

( a

a

−a

a

)+(−1)

a

(a

a

−a

a

) D

= a

a

a

−a

a

a

−a

a

a

+ a

a

a

+ a

a

a

−a

a

a

D₁₁=a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂−

(

)

Que si nos fijamos son las tres diagonales principales menos las tres diagonales secundarias.

¿Cómo hemos extraído de nuestro determinante 3x3 los tres determinantes de orden 2, D11, D12 y D13? De la siguiente forma:

D

| ^{a a a}

^{a a a}

^{a a a}

| ^D

^{= | a a}

^{a a}

^|

D

= | ^{a a a}

^{a a a}

^{a a a}

| ^D

^{= | a a}

^{a a}

^|

D

= | ^{a a a}

^{a a a}

^{a a a}

| ^D

^{= | a a}

^{a a}

^|

Cuando desarrollamos por la primera fila del determinante 3x3, delante de cada uno de los coeficientes de dicha fila, ponemos (-1) elevado a un número resultado de sumar el número de filas y de columna que ocupa el coeficiente en cuestión. Por ejemplo: a11 está en la primera fila, primera columna, por eso ponemos (-1)^(1F+1C)a11.

Para entender mejor esto lo ejemplarizamos en el cálculo del determinante de los coeficientes de un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas:

5 I

−2 I

+ 0 I

−2 I_{M 1}+12 I_{M 2}−4 I_{M 3 = 0}

0 I

−4 I

+ 16 I

=−60

Necesitamos calcular el determinante de los coeficientes de la matriz:

D

= | ^{− 5 0 2 12 −4 − −4 2 16 0} | ⁼⁽⁻¹⁾

^{5 | − 12 −4 4 16 | +(−1)}

^{(−2) | −2 −4 0 16 | +(−1)}

^{0 | −2 12 0 −4 |}

Aparte:

| − ^{12 −4} 4 16 | ^{=12 x 16− (} (−4) x (−4 ) ) =192−16=176

− 4

(¿

x 0

=−32

| ^{−2 −4} 0 16 | =(−2)x 16−¿

D

= | ^{− 5 0 2 12 −4 −2 −4 16 0} | ⁼⁽⁻¹⁾

x 5 x 176+(−1)

x (−2) x (−32)=880−64=816