entonces el punto fijo en [a,b] es único.

(1)

Puntos Fijos

Introducción

Definición

Un punto fijo para una función g es un número p para el cual g (p) = p.

Por ejemplo, la función

gHxL =x, 0£ x£ 1 tiene puntos fijos para cada x en el intervalo [0,1].

La importancia de este método numérico radica en que se puede establecer una equivalencia entre encontrar las raíces de una función f (x) y encontrar un punto fijo para la función g, donde g se puede definir, por ejemplo, como g (x) = x - f (x) ó g (x) = x - 3 f (x).

Nuestro primer objetivo será decidir cuando una función tiene un punto fijo y como determinar este punto. El siguiente resultado proporciona las condiciones bajo las cuales se garantiza la existencia y unicidad de un punto fijo.

Teorema 1 (Existencia y unicidad)

Si g es una función continua en el intervalo [a,b] y g (x) Î [a,b] " x Î [a,b], entonces g tiene un punto fijo en [a,b]. Supongamos además que g '(x) existe en (a,b) y que 0 < k < 1 es una constante tal que

(1) g ' H x L b k < 1, " x Î H a, b L ,

entonces el punto fijo en [a,b] es único.

(2)

Import@"K:\Terecer

Semestre\Materias\Análisis Numérico\Punto Fijo\PF.JPG"D

DEMOSTRACIÓN Si g (a) = a ó g(b) = b, la existencia de un punto fijo es clara.

Supongamos que esto no es cierto; entonces se debe cumplir que g (a) > a y g (b) < b.

Sea h (x) = g (x) - x, entonces, como g es continua, h es también continua en [a,b] y (2) hHaL =gHaL -a>0, hHbL =gHbL -b<0.

El Teorema del Valor Intermedio implica que existe p Î (a, b) , para el cual h (p) = 0.

Entonces es claro que g (p) - p = 0 y p es un punto fijo de la función g.

Ahora, supongamos que la desigualdad (1) se cumple, y sean p, q dos puntos fijos en [a,b] tales que p ¹ q. Por el Teorem del valor Medio, existe un punto Ξ entre p y q tal que

g 'H^Ξ^{L =} ^g^H^p^{L -}^g^H^q^L (3) p-q

.

Entonces

p-q = gHpL -gHqL = g 'H^ΞL ÈÈp-q bk p-q < p-q ! Esta contradicción proviene de haber supuesto que p ¹ q. Por lo tanto p = q y el punto medio en [a,b] es único.

Un método iterativo

Definición

Sea g una función con valores en R y continua en el intervalo [a,b]. Supongamos que

g (x) Î [a,b] " x Î [a,b]. Dado

x0

Î [a,b]

la recursión definida por

(4) x_k+1=gHx_kL, k=0, 1, 2, ...

se dice que es una iteracón simple.

OBSERVACIÓN Si la secuencia 8x_k<kr0 definida en (4) converge, entonces el limite es el punto fijo de g, pues como g es continua en [a,b], se tiene que

(3)

p=lim

k® ¥ pk=lim

k® ¥ gHp_k-1L =gJlim

k® ¥ p_k-1N =gHpL

siempre y cuando p

Î

(a,b). Este método se conoce iteración de punto fijo o iteración funcional.

Teorema 2 (Punto fijo)

Sea g una función continua en [a,b] y supongamos que g(x)

Î [a,b] " x Î [a,b].

Supong- amos que g' existe en (a,b) con

(5) g 'HxL b k < 1 " x Î Ha, bL.

Si p0 es cualquier número en [a,b], entonces la secuencia definida por p_n =gHp_n-1L nr1,

converge al único punto fijo p

Î [a,b].

DEMOSTRACIÓN Por el primer Teorema existe un único punto en [a,b]. Como g : [a,b] [a,b], la sucesión 8p_n<nr0 está definida para toda n r 0 y p_n

Î [a,b] para toda n.

Utilizando la desigualdad (5) y por el Teorema del Valor Medio, se tiene que

pn-p (6)

g 'HΞL ÈÈp_n-1-p bk p_n-1-p , donde Ξ Î (a,b). Al aplicar esta desigualdad de manera inductiva se tiene que

p_n-p bk p_n-1 -p bk² p_n-2-p b ...bkⁿ p₀-p . (7) Como 0 b k < 1, entonces

lim

n® ¥ pn-p blim

n® ¥ kⁿ p0-p = 0, y entonces 8p_n<nr0 converge a p.

(4)

Import@"C:\Users\KODAMA\Desktop\Punto Fijo\Antia H.bmp"D

Corolario (Error)

Si g satisface las hipótesis del Teorema 2, las cotas para el error involucrado al usar

pnpara aproximar p están dadas por

p_n-p bkⁿmáx8p₀-a, b-p₀<

y

pn -p b kⁿ 1-k

p0-p1 , " nr1.

DEMOSTRACIÓN La primer cota se sigue de la desigualdad (7), pues p_n-p bkⁿ p₀-p bkⁿmáx8p₀-a, b-p₀<,

pues p

Î [a,b]

. Ahora, para n r 1

p_n+1-p_n = gHp_nL -gHp_n-1L bk p_n -p_n-1 b ...bkⁿ p₁ -p₀ , Para m > n r 1,

(5)

pm-pn = pm-pm-1+pm-1-...+pn+1- b pm-p_m-1 + p_m-1-p_m-2 +...+ p_n-1-pn

bk^m-1 p₁-p₀ + k^m-2 p₁-p₀ +...+ kⁿ p1-p0

= kⁿI1+k+k² +...+k^m-n-1M p₁ -p₀ .

Como limm® ¥pm = p, entonces

p-pn = lim

m® ¥ pm-pn bkⁿ p1-p0 â

i=0

¥

kⁱ,

y como 0 ^b k < 1, se tiene que

p-pn b kⁿ 1-k

p0-p1 .

Algoritmo (Puntos Fijos)

Para encontrar una solución a p = g(p) en [a,b] dada una una aproximación inicial p₀ :

INPUT: valor inicial p0, número máximo de iteraciones N.

OUTPUT: solución aproximada p y g(p).

æ PASO 1: Iniciar i = 1.

æ PASO 2 : Si i < N, hacer los pasos 3-5.

æ PASO 3: Sea p = g(p₀). (cálculo de p_iL æ PASO 4: Sea i = i+1.

æ PASO 5: Sea p₀ = p. (actualización de p₀) æ PASO 6: OUTPUT ( "pi", i = 0,...,N), ( " p " ), ( " g(p) " ).

(6)

Ejemplo

ã Rutina en Mathematica

FixedPointIteration@x0_, max_D:=

Module@8<, p0 = N@x0D; k = 0;

Print@" p"₀, " = ", PaddedForm@p₀, 815, 15<DD; While@k<max,

Module@8<, p₁ = g@p₀D; k = k+1;

Print@" p"_k, " = ", PaddedForm@p1, 815, 15<D D; p0 = p1;D;D;

p = p₀; Print@" "D;

Print@"La función es g@xD = ", g@xDD; Print@" p = ", PaddedForm@p, 815, 15<DD;

Print@"g@pD = ", PaddedForm@g@pD, 815, 15<DD; D; Mediante el método de punto fijos vamos a determinar los puntos fijos de

gHxL =1+x- x² 3

Primero gráficamos la función para determinar visualmente los posibles puntos fijos:

(7)

g@x_D =1+x- x² 3

;

gr1 =Plot@8x, g@xD<, 8x, -2, 4<D gr1 =PlotB8x, g@xD<, 8x, 0, 4.82<,

PlotRange®880, 4<, 80, 3<<, AspectRatio® 3 4F

-2 -1 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Ahora vamos a utilizar la rutina programada en Mathematica para encontrar el punto fijo:

FixedPointIteration@3.0, 7D;

(8)

p₀ = 3.000000000000000 p₁ = 1.000000000000000 p₂ = 1.666666666666670 p₃ = 1.740740740740740 p₄ = 1.730681298582530 p₅ = 1.732262046161430 p₆ = 1.732018113970970 p₇ = 1.732055864929790

La función es g@xD = 1+x- x²

3 p = 1.732055864929790 g@pD = 1.732050025183900

¿Son 7 iteraciones suficiente para localizar el punto fijo?

FixedPointIteration@3.0, 20D;

(9)

p₀ = 3.000000000000000 p₁ = 1.000000000000000 p₂ = 1.666666666666670 p₃ = 1.740740740740740 p₄ = 1.730681298582530 p₅ = 1.732262046161430 p₆ = 1.732018113970970 p₇ = 1.732055864929790 p₈ = 1.732050025183900 p₉ = 1.732050928604050 p₁₀ = 1.732050788844670 p₁₁ = 1.732050810465520 p₁₂ = 1.732050807120770 p₁₃ = 1.732050807638200 p₁₄ = 1.732050807558150 p₁₅ = 1.732050807570540 p₁₆ = 1.732050807568620 p₁₇ = 1.732050807568920 p₁₈ = 1.732050807568870 p₁₉ = 1.732050807568880 p₂₀ = 1.732050807568880

3 p = 1.732050807568880 g@pD = 1.732050807568880

(10)

P=83.0<;

For@i=2, i£8, i++,

P= Append@P, g@P_P-₁_TD D D; pts=88P_P₁_T, 0<<;

For@i=1, i£Length@PD -1, i++, pts=Append@pts, 8P_PiT, P_P_i+1_T< D; pts=Append@pts, 8P_P_i+1_T, P_P_i+1_T< D;

D;

lin1=ListPlotBpts, PlotJoined®True, PlotRange® 880, 4.82<, 80, 2.1<<, AspectRatio® 2.1

4.82

, PlotStyle®BlueF; ShowBgr1, lin1, PlotRange®880, 4<, 80, 3<<, AspectRatio® 3

4F

0 1 2 3 4

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Ahora vamos a establecer una solución numérica, mediante el comando FindRoot (que lo hace mediante el método de Newton si sólo se le da un valor inicial, y por una variación del método de la secante si se dan dos valores iniciales) para la ecuación

1+x- x² (8) 3

=x

esto con el fin de verificar nuestro el algoritmo planteado.

eqn=g@xD x;

solset = FindRoot@eqn, 8x, 0.5<D; p=solset_P_1,2_T;

Print@" p = ", NumberForm@p, 16D D; Print@" g@pD = ", NumberForm@g@pD, 16D D;

p = 1.732050807568877 g@pD = 1.732050807568878

En efecto, la solución obtenida es congruente con el punto fijo que se habia encontrado.

Pero la forma de g permite establecer una solución analítica a la Ecuación (8), esto medi- ante el comando Solve de Mathematica:

(11)

En efecto, la solución obtenida es congruente con el punto fijo que se habia encontrado.

Pero la forma de g permite establecer una solución analítica a la Ecuación (8), esto medi- ante el comando Solve de Mathematica:

eqn=g@xD x;

solset = Solve@g@xD x, xD; p=solset_P_2,1,2_T;

Print@" ", solsetD;

::x® - 3>,:x® 3>>

Print@" g@pD = ", g@pDD; Print@" g@pD = ", g@-pDD;

g@pD = 3 g@pD = - 3

Entonces se tienen dos puntos fijos, lo que se habia confirmado desde un principio por medio de la gráfica de g. Ahora investigemos el comportamiento de la iteración para establecer el punto fijo p = - 3 :

gr2 = Plot@8x, g@xD<, 8x, -7, 0<,

PlotRange®88-7, 0<, 8-7, 0<<, AspectRatio®1D

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ahora vamos a utilizar nuestra rutina, con p0 = - 2 y con cinco iteraciones:

FixedPointIteration@-2.0, 5D;

(12)

p₀ = -2.000000000000000 p₁ = -2.333333333333330 p₂ = -3.148148148148150 p₃ = -5.451760402377680 p₄ = -14.358990897355400 p₅ = -82.085864094134200

3 p = -82.085864094134200 g@pD = -2327.115558787690000

¿Qué es lo que sucede? ¿Por qué la serie generada con nuestro algoritmo no converge al punto fijo p = - 3 ? Recordemos que, por el teorema de punto fijo, una condición nece- saria para que la serie converga es que | g'(p) | < k b 1. Es decir,

Si p0 pertenece a una vecindad del punto fijo p y g '@pD < 1, entonces la iteración converge a p.

Si p0 pertenece a una vecindad del punto fijo p y g '@pD > 1, entonces la iteración no converge a p.

Print@"La función es g@xD = ", g@xDD; Print@"Su derivada es g'@xD = ", g '@xDD; p= 3 ;

Print@"Èg'@", p, "DÈ = ",

N@Abs@g '@pDDD, " H SI CONVERGE L"D; p= - 3 ;

Print@"Èg'@", p, "DÈ = ",

N@Abs@g '@pDDD, " H NO CONVERGE L"D;

3 Su derivada es g'@xD = 1-

2 x 3

Èg'@ 3DÈ = 0.154701 H SI CONVERGE L Èg'@- 3DÈ = 2.1547 H NO CONVERGE L

De hecho la divergencia se puede comprobar gráficamente:

(13)

P=FixedPointList@g, -2.0, 10D; pts=88P_P₁_T, 0<<;

For@i=1, i£Length@PD -1, i++, pts=Append@pts, 8P_P_i_T, P_P_i+1_T< D; pts=Append@pts, 8P_Pi+1T, P_Pi+1T< D;

D;

lin2=ListPlot@pts, PlotJoined®True, PlotRange®

88-7, 0<, 8-7, 0<<, AspectRatio®1, PlotStyle®BlueD; Show@gr2, lin2, PlotRange®88-7, 0<, 8-7, 0<<, AspectRatio®1D

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Puntos fijos en Rⁿ

Vamos a estudiar la convergencia del comportamiento de una serie x_i que ha sido generada por una función de iteración F:

x_i+1= FHx_iL, i=0, 1, 2, ...

en la vecindad de un punto fijo Ξ de F. Nos vamos a concentrar en el caso en donde el espacio métrico y normado corresponde a Rⁿ. Usando una norma || • || en Rⁿ podemos medir la diferencia entre dos vectores X y Y en Rⁿ mediante || X - Y ||. Una serie de vec- tores Xi Î Rⁿ converge al vector X si para toda Ε > 0 existe un entero N (Ε) tal que

ÈÈXl-XÈÈ < Ε " lrNHΕL.

Se puede verificar que esta definición de convergencia es independiente de la elección de la norma. Finalmente, el espacio Rⁿ es completo en el sentido de que el criterio de Cauchy se satisface:

Una secuencia x_i Î

Rⁿes convergente si y sólo si para cadaΕ > 0 existe N HΕL Î N tal que ÈÈxl - xm ÈÈ < Ε " l, m r N HΕL.

(14)

Una secuencia xi Î

Rⁿes convergente si y sólo si para cadaΕ > 0 existe N HΕL Î N tal que ÈÈx_l - x_m ÈÈ < Ε " l, m r N HΕL.

Sea F una función iterativa en Rⁿ. Sea Ξ un punto fijo de F. Para cualquier vector inicial x₀ tomado de una vecindad de N (Ξ) y para la secuencia generada xi+1 = FHx_iL, i = 0,1,2,...

la desigualdad

ÈÈxi+1- ΞÈÈ bCÈÈxi+1- ΞÈÈ^p

se cumple para toda i r 0, donde C < 1 si p = 1. Entonces el método iterativo definido definido por F se dice que es un método de orden p - ésimo para determinar Ξ.

Teorema 3

Todo método de orden p - ésimo para determinar un punto fijo Ξ es localmente convergente, en el sentido en que existe una vecindad N (Ξ) de Ξ con la propiedad de que para todo vector inicial x0Î N (Ξ), la secuencia xi generada por F converge a Ξ.

ã OBS Si N (Ξ) se considera como Rⁿ, entonces se dice que el método es globalmente convergente.

Teorema 4

Si la función F : Rⁿ®Rⁿ tiene un punto fijo F (Ξ) = Ξ. Además si Sr (Ξ) : ={ Z : || Z - Ξ || < r } es una vecindad de Ξ tal que F es una mapeo contractivo en S_r (Ξ) , es decir

ÈÈ F HXL - F HYL ÈÈ bKÈÈX-YÈÈ, 0bK<1

para culesquiera vectores X, Y Î S_r (Ξ) . Entonces para todo x₀Î S_r (Ξ) la suseción generada xi+1 = FHxiL, i = 0,1,2,... satisface las siguientes propiedades:

a) x_iÎ S_r (Ξ) " i = 0, 1, 2, ...

b) || x_i+1 - Ξ || b K || x_i - Ξ || b Kⁱ⁺¹ ÈÈ x0 - Ξ ||, es decir, x_iconverge, al menos linealmente.

(15)

Teorema 5 (Puntos Fijos en Rⁿ)

Sea F : Rⁿ®Rⁿ una función iterativa, x0Î Rⁿ un vector inicial, y x_i+1= FHx_iL, i = 0,1,2,...

. Además sea S_r (x₀) : = { x : || x - x₀ || < r } una vecindad de x₀ y existe una constante K, 0 < K < 1, tal que

a) || F (x) - F (y) || b K || x - y ||, " x, y Î SrHx0L := { x : || x - x0 || b r }, b) || x1 - x0 || = || F (x0) - x0 || b (1 - K ) r < r.

Entonces se sigue que

1) x_iÎ S_r (x₀) " i = 0,1,2,...

2) F tiene exactamente un punto fijo, Ξ, en S_r (x₀) y lim

i® ¥ x_i = Ξ, ÈÈx_i+1- ΞÈÈ bKÈÈx_i- ΞÈÈ, así como

ÈÈx_i- ΞÈÈ £ Kⁱ

1-K ÈÈx_i-x₀ÈÈ.