30 puntos 3. Efectúa: 15 puntos 2. Determina si la siguiente integral converge o diverge 15 puntos 1. Obtén la serie de Taylor de la función alrededor de

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(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SEGUNDO EXAMEN FINAL COLEGIADO

3 de junio de 2019 Semestre 2019-2

INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.

1. Obtén la serie de Taylor de la función

( )

2 x

f x = e

alrededor de

a = 1

15 puntos 2. Determina si la siguiente integral converge o diverge

3

1 1

dx

+ x

15 puntos 3. Efectúa:

( )

2 4

) ) )

1 1

dx x

a b dx c ang tan x dx

x x − + x

  

30 puntos

(2)

2EF19-2

4. Calcula la longitud de arco de la gráfica de la función

f ( ) x = 2 x

3

en el intervalo 1 0

3

,

 

 .

10 puntos

5. Sean

f u v ( , ) = u

2

v

y

u = e

2xy

, v = ln ( ) x y

, calcula

(

1, 1

)

f y

15 puntos

6. Obtén la ecuación cartesiana del plano tangente a la gráfica de la función

2 2

4

z = − xy +

en el punto

P ( 1, 1 )

15 puntos

(3)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

1221

Solución del Segundo Examen Final Semestre 2019 – 2

1.

Sea:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2 3

2 2

2 2

2 2

2 2

2 3

2 2 2 2 2

2 3

2 2 2 2 2

1

1 1

2 3

1

2 1 2

4 1 4

8 1 8

1 1

2 1 4 1 8 1

2 3

2 1 2 1 4 1

3

= =

= + − + − + − +

= =

= =

= =

= =

= + − + − + − +

= + − + − + − +

x

x x

x x

x

x

f x e ; a

f x f a f ' a x a f '' a x a f ''' a x a ...

! !

f x e f e

f ' x e f ' e

f '' x e f '' e

f ''' x e f ''' e

e e e x e x e x ...

! !

e e e x e x e x ...

15 puntos

2.

Es impropia:

3

1

3 3

0

1 1

1 0 1 1

1

1

1

+

− +

+   − = −

+

 

 

=  

+    +   

 

dx x ; x No continua en x

x

dx dx

x lim x

(4)

S2EF19-2

( )

( )

12

1 1

2 2

1 1

2 2

3

3 0 1

1

0

0 3

1

1 1

2 2 1

1 2 1

2 1 3 1 1

2 2 4

4 Convergente 1

 

+

+

+

→ − +

= = +

+ =

= = = + = +

= + +

   

 + =    +   

= + − − +

= − =

= 

+

  

u x

Si I dx

du dx x

du u

I u du C u C

u

I x C

dx lim x

x

lim lim

dx x

15 Puntos

(5)

S2EF19-2 3.

Solución

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2

2

2 2

2 2

2 2

a) Por descomposición en fracciones parciales Sea 1

1 1

1 1 1

1 1

0 1

0 1

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1

= + +

− −

= − + − +

= − + − +

+ = = −

− + = = −

− = =

= − − +

− −

 

=   − − + −   = − − + −

= − + + −

   

A B C

x x ;

x x x

Ax x B x Cx

A x x B x Cx

A C A

A B B

B C

x x

x x x

dx dx dx

I dx

x x x x x x

I ln x ln x x

1 1

 − 

+  =   + +

 

C I ln x C

x x

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

12

2

2 2

4

2

4 2

b) Por sustitución trigonométrica

2 1

2 1

Al sustituir en la integral:

1 1

2 2

1 1

2

   

 

 

 

=

= =

+ =

= =

= + +  = + + + +

 

x tan

xdx sec d ; xdx sec d

x sec

sec d

I sec d

sec

I ln tan sec C I ln x x C

𝜃 1

ඥ1 + 𝑥4 𝑥2

(6)

S2EF19-2

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

2

2

2

2

2 2

2

c) Por partes

1

1 1

2 1 2

1 1

2 2

1

1 1

1 2

1 1

2

 

= =

 =

= +

= −

+

= +

=

=

= = +

+

= + +

+

= − + +

 

u ang tan x

dv dx

dx v x

du x

I x ang tan x x dx

x x

d xdx

xdx d

x dx d

ln C

x

x dx ln x C

x

I x ang tan x ln x C

30 Puntos

(7)

S2EF19-2 4.

( )

( )

( ) ( )

( )

 

32

1 1

2 2

13

32 12

1 32

3 3

2

3

2

2

0

32

0

2 2 0 1

3

1

2 3 3 9

2 1 9

1 9 9 1 9

1 1

1 9 9 9

2 2 1

1 9 1 9 1

27 27 3

2 7 27

14 27

 

= =    

 

= +  

 

=  =    =

= +

= +

=

=

 

+ = =   +

 

 

     

   

=  +  =     +       −  

=

=

 

b

a

f x x x ; ,

L f ' x dx

f ' x x x f ' x x

L xdx

u x

du dx

dx du

xdx u du u C

L x

L

L u

10 Puntos

(8)

S2EF19-2 5.

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( )

2 2

11

2

2

2 2 2

2 2

2 1 1 2 2

11

2 1 1

2 1 1

1 1

2 2

1 2

1 2 1 2

1

x y

,

x y

x y

x y x y x y

x y

,

f u v ; u e ; v ln xy

f ?

y

f f u f v

y u y v y

f f u v x

u; ; e ;

u v y y xy y

f u e

y y

f u e e e

y y y

f e

y y

f e e

y

− − −

= − = =

 =

 =    +   

    

 =  = −  = −  = =

   

 =  − + − 

 = − − = − −

 = − −

 = − − = − −

15 Puntos

(9)

S2EF19-2

6.

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

2 2

0 0 0

4 1 1 2

0

2 2

2 2

1 2 1 2 2 0

2 2 2 2 2 0

2 2 6 0

P

P

z x y ; P , ,

z z

x x y y z z

x y

z z

x x; x

z z

y y; y

x y z

x y z

x y z

= − − +

 

− − − − + − =

 

 = −  = −

 

 = −  = −

 

− − − − − − + − =

− + − + − =

 + + − =

15 Puntos

Figure

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Referencias

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