Suceso A: Llamamos suceso a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral Ω

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Tema 13. Probabilidad 2^ode Bachillerato Ciencias y Tecnología. 1

Tema 13 Probabilidad.

Experimento aleatorio: Decimos que un experimento es aleatorio cuando no podemos predecir su resultado.

Existen dos tipos de experimentos: simples y compuestos

Espacio muestral: Llamamos espacio muestral Ω asociado a un experimento aleatorio, al conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.

Suceso A: Llamamos suceso a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral Ω. Diremos que un suceso A se cumple cuando al efectuar el experimento aleatorio obtenemos uno de los resultados del suceso A

Tipos de suceso.

1. Suceso seguro. Aquel suceso que se cumple siempre. A = Ω 2. Suceso imposible. Aquel suceso que nunca se cumple. A = ∅

3. Suceso contrario de A. Aquel suceso que contiene los elementos que no están en A. Se representa con una barra encima del nombre del suceso A.

Operaciones. Unión e intersección.

1. La unión de los sucesos A y B se dene como el suceso que se cumple cuando se da A o B. A ∪ B = A o B 2. La intersección de los sucesos A y B se dene como el suceso que se cumple cuando se da A y B al mismo

tiempo. A ∩ B = A y B.

3. La diferencia de dos sucesos A y B se dene como el suceso que se cumple cuando obtenemos un elemento de Aque no está en B. A − B = A ∩ B

Sucesos incompatibles

Dados dos sucesos A y B se dice que son incompatibles cuando no se pueden dar ambos sucesos al mismo tiempo es decir A ∩ B = ∅

Propiedades

1. Asociativa A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 2. Conmutativa A ∪ B = B ∪ A

3. Idempotente A ∪ A = A A ∩ A = A

4. Absorción o simplicativa. A ∪ (B ∩ A) = A A ∩ (B ∪ A) = A

5. Distributiva. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 6. De los contrarios A ∪ A = Ω A ∩ A = ∅

7. Del suceso imposible A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅ 8. Del suceso seguro. A ∪ Ω = Ω A ∩ Ω = A 9. Involución de los contrarios A = A

10. Contrarios de los sucesos seguro e imposible Ω = ∅ Ω = ∅ 11. Las Leyes de Morgan (A ∪ B) = A ∩ B (A ∩ B) = A ∪ B

Probabilidad.Regla de Laplace: Dado un suceso A subconjunto de un espacio Ω cuyos sucesos elementales son equiprobables (todos tienen la misma probabilidad), denimos la probabilidad del suceso A:

P (A) = n^o de casos f avorables n^o de casos posibles

Denición axiomática de Probabilidad: Sea Ω un espacio muestral nito de un experimento aleatorio denimos probabilidad P como una función de los subconjuntos de Ω, P (Ω), en el intervalo [0, 1] vericando las siguientes condiciones (axiomas)

1. P (Ω) = 1.

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Alpajés Profesor Andrés Díaz Jiménez

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2. Para cada par de sucesos A y B incompatibles (A ∩ B = ∅) se cumple que P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Propiedades

1. P (A) es un número que se encuentra entre 0 y 1.

2. P (A) = 1 − P (A) 3. P (∅) = 0

4. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) 5. P (A − B) = P A ∩ B = P (A) − P (A ∩ B)

Denición de Probabilidad Condicionada

Sea Ω el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y sean A y B dos sucesos A, B ⊂ P (Ω) denimos la probabilidad de A condicionada a B

P (A/B) =P (A ∩ B) P (B) Consecuencia

P (A ∩ B) = P (A)P (B/A) = P (B)P (A/B)

Sucesos independientes: Sea Ω un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y sean A y B dos sucesos entonces decimos que A y B son dos sucesos independientes:

P (A/B) = P (A)

La ocurrencia o no de uno no inuye en la probabilidad que se verique el otro Consecuencia: Sean A y B dos sucesos independientes entonces

P (A ∩ B) = P (A) · P (B) Propiedades

1. P (A/A) = 1

2. P (A1∩ A2∩ · · · ∩ An) = P (A1) P (A2/A1) P (A3/A1∩ A2) · · · P (An/A1∩ A2∩ · · · An−1) 3. Si A1, A2, ..., An son independientes entre sí entonces

P (A1∩ A2∩ · · · ∩ An) = P (A1) · P (A2) · · · P (An) 4. Si A y B son dos sucesos incompatibles, A ∩ B = ∅ entonces

P (A/B) = 0 P (B/A) = 0 5. P B/A = 1 − P (B/A)

6. Si A y B independientes también lo son A y B, B y A, A y B

Sistema completo de sucesos: Dado un experimento aleatorio de espacio muestral Ω se dice que el conjunto de sucesos A1, A2, ..., Anes un sistema completo de sucesos, si se verican la dos condiciones siguientes:

1. Los sucesos son incompatibles dos a dos. Ai∩ Aj= ∅ 2. La unión de todos ellos es igual al espacio muestral Ω

Teorema de la Probabilidad Total: Sean A1, A2, ..., An un sistema completo de sucesos tales que P (Ai) 6= 0 para i = 1, 2...n y B un suceso cualquiera entonces se verica

P (B) = P (A1)P (B/A1) + P (A2)P (B/A2) · · · P (An)P (B/An) =

n

X

i=1

P (Ai)P (B/Ai)

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Teorema de Bayes: Sean A1, A2, ..., An un sistema completo de sucesos tales que P (Ai) 6= 0para i = 1, 2...n y B un suceso cualquiera entonces se verica

P (Ai/B) = P (Ai)P (B/Ai)

P (A1)P (B/A1) + P (A2)P (B/A2) · · · P (An)P (B/An) = P (Ai)P (B/Ai)

n

X

i=1

P (Ai)P (B/Ai) Ejemplos de Probabilidad Condicionado, Teorema de Bayes y de la Probabilidad Total.

1. En un centro de trabajo hemos realizado una encuesta sobre los hábitos de tabaco de los trabajadores obteniendo el siguiente resultado.

Hombres Mujeres Total

Fumadores 25 20 45

No fumadores 50 40 90

total 75 60 135

Se elige un trajador al azar calcular la probabilidad de : a) Ser un hombre.

b) Ser una mujer.

c) Ser un trabajador fumador.

d) Ser un hombre fumador.

e) Ser una mujer fumadora.

f ) Sabiendo que es un hombre que sea fumador.

g) Sabiendo que es fumador que sea mujer.

2. Una conocida orquesta sinfónica está com- puesta por un 55 % de varones y un 45 % de mujeres. En la orquesta un 30 % de los instrumentos son de cuerda. Un 25 % de las mujeres de la orquesta interpreta un instrumento de cuerda. Calcúlese la probabilidad de que un intérprete de dicha orquesta elegido al azar:

a) Sea una mujer si se sabe que es intérprete de un instrumento de cuerda.

b) Sea una mujer si se sabe que es intérprete de un instrumento de cuerda.

3. Disponemos de tres urnas que contienen bolas negras y blancas. La primera urna contiene 2 bolas negras y 4 blancas; la segunda urna contiene 4 bolas negras y 2 blancas y la tercera urna 5 bolas blancas y 1 negra.

Lanzamos un dado y elegimos la primera urna si obtenemos un 1 o un 2; elegimos la segunda urna si obtenemos un 3,4 o 5 y elegiremos la tercera urna si sacamos un 6 a continuación sacamos una bola al azar de la urna elegida y resulta que es blanca ¾cuál es la probabilidad de que la hayamos elegido de la tercera urna?

4. El 70 % de las clientes de una compañía de seguros de automóviles tiene más de 25 años. Un 5 % de los clientes de ese grupo tiene algún accidente a lo largo del año . En el caso de los clientes meores de 25 años este porcentaje es del 20 %.

a) Si escogemos un asegurado al azar, calcula la probabilidad de que tenga algún accidente este año.

b) Si una persona tuvo algún accidente, calcula la probabilidad de que sea menor de 25 años.

5. Al 80 % de los trabajadores en educación (E) que se jubilan sus compañeros les hacen una esta de despedida (F D), también al 60 % de los trabajadores de justicia (J) y al 30 % de los de sanidad (S). En el última año se jubilaron el mismo número de trabajadores en educación que en sanidad, y el doble en educación que en justicia.

a) Calcúlese la probabilidad de que a un trabajador de estos sectores, que se jubiló, le hicieran una esta.

b) Sabemos que a un trabajador jubilado elegido al azar de entre estos sectores, no le hicieron esta. Calcúlese la probabilidad de que fuera de sanidad.