Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 1
TRABAJO PRÁCTICO Nº 5: MATRICES y DETERMINANTES
EJERCICIOS A DESARROLLAR
1) Escribir explícitamente las matrices definidas por:
a) a ∈ R
3x4tal que a
ij= i + j
b) a ∈ C
4x4tal que a
k m=
>
= +
<
−
m k si i 2
m k si i 1
m k si 2
c) a ∈ R
4x4tal que a
i j=
+ +
primo es
no ) j i ( si 0
primo es
) j i ( si 1
d) a ∈ R
5x5tal que a
i j=
>
≤ j i si
! j
j i si
!i
2) Dadas las siguientes matrices :
a =
−
4 3
2
1 b = −
− −
1 5
3 7 c = − −
1 2
0 1
d =
1 3 2
2 0 4 1 5 1
−
−
e =
2 4 1
7 3 2
0 1 1
−
−
Calcular : a) a + c b) 2c - 3b c) d - 5e d) 6 3
10 e + d
3) Determinar los valores de a, b, c, d ∈ R para que se verifique la igualdad:
3. a b c d
a d
a b a d
= −
+ +
+
7
1 2
4
3
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 2
4) Dadas: u = ( 1 − 1 4 ) , x = ( 0 1 2 ) , v = 5 0 1
, y =
−
−
1 1 2 Hallar:
a) u.v + x.y
b) (-u + 5.x) . ( 3v - 2y)
5) Determinar una matriz x ∈ R
2x3tal que:
a + 1
3 .x = b siendo a = 1 0 1 2 2 3 5
−
b =
2 0 1
2 5
3 5 2
−
6) Dadas las matrices de C
2x2a = i
i i
1
− 1 +
b = 2 0 1
− +
i
i i
a) Hallar: 2a + ib
b) Calcular x ∈ C
2x2tal que a + i.x = 2.i.b
7) Dada a = 1 3 4 − 3
, hallar un vector columna u = x y
no nulo tal que a.u = 3.u
8) Dadas las siguientes matrices reales, efectuar todos los productos posibles tomándolas como factores:
a =
1 0 5
3 4 1
1 2 5
−
− −
b = 7 0 2 1 5 1
c = 2 5 1 3 10 4
−
d = 1 1 4 6
−
9) a) Calcular 2 4 4 8
2 4
1 2
−
−
.
b) Calcular 0 0 0 0
2 4
1 2
−
−
.
c) Comparar los resultados de a) con los de b) y sacar conclusiones.
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 3
d) ¿Es verdad que si a.b = 0 entonces b.a = 0? .Justificar la respuesta . 10) Sean las matrices reales:
a =
1 1 0
0 1 0
1 0 2
1 1 1
−
−
b =
1 1 0 1
0 2 1 1
1 0 0 2
−
−
a) Efectuar a . b y b . a b) ¿Está definido a . b - b . a ?
11) Demostrar por inducción completa que :
=
1 0
n 1 1
0 1
1
n12) I) Determinar si es posible x ∈ R
2x2tal que :
a) 1 2 3 0
3 0 3 0
=
. x
b) x
2= x . x = −
1 1 0 1
II) Determinar si es posible x ∈ C
2x2tal que :
a) x
2= x . x = −
1 1 0 1
b) 1 0 1 1
0 2
+
−
= − + +
i
i i x i i
.
13) Sea a
ijel elemento que está en la i-ésima fila y j-ésima columna de a .
¿ En qué fila y en qué columna de a
taparecerá a
ij? 14) Demostrar :
a) El producto de cualquier matriz a ∈ R
nxnpor su traspuesta es una matriz simétrica , es decir : ( a . a
t)
t= a . a
tb) La diferencia entre una matriz cualquiera a ∈ R
nxny su traspuesta , es una
matriz antisimétrica , es decir : ( a - a
t)
t= - ( a - a
t)
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 4
15) Hallar la inversa de las siguientes matrices aplicando el método de Gauss- Jordan.
a = 2 1 1 1
b =
1 3 3 1 4 3 1 3 4
c =
1 2 0 0 0 3 0 0 0 0 2 1 0 0 0 3
16) Calcular el valor del determinante de las siguientes matrices :
a = 1 3 2 5
b =
7 12 3
6 3 7
4 1 9
−
c =
3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 6
d =
2 3 1 0
2 1 0 0
1 0 3 0
1 1 2 1
−
−
e = x x
−
−
1 2
4 3 d = k
k
− +
3 9
2 4 1
1 0 3
17) a) Calcular el determinante de la matriz :
a =
2 4 1
5 3 1
1 0 1
−
−
b) Usando el valor calculado en a), hallar el valor del determinante de las siguientes matrices :
a =
2 5 1
4 3 0
1 1 1
−
−
b =
5 3 1
2 4 1
1 0 1
−
−
c =
10 20 5
5 3 1
1 0 1
−
−
d =
2 4 1 7 7 0 1 0 1
−
e =
4 12 1
10 9 1
2 0 1
−
−
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 5
18) Sabiendo que D = = 1 i h g
f e d
c b a
y utilizando propiedades de los
determinantes, calcular:
a)
h i
g
e f
d
e b f c d a
−
−
−
+ +
+ 3 3 3
b)
g h i
a b c
d e f
3 3
2 2 6
19) i) Determinar los valores de x ∈ R para que
a ) det −
−
= − x
x 1
5 5 10 b ) det 4
1 3 1
1 2 x
0 x 2
−
=
−
−
−
−
ii) Determinar el valor de k ∈ R para que :
det
2 3 6
2 1 2
4 1 2
0
− −
− +
+ −
= k
k k
20) Hallar el valor de z que haga posible la siguiente igualdad :
det
−
−
−
=
+
−
−
1 1 3
0 1
3 2 1 2 det
1
3
1 z
z z
21) Calcular las inversas de las siguientes matrices , si existen :
a = 2 1 1 1
b = 1 1
1 1
+
−
i
i c =
3 2 1
4 1 1
2 0 1
− −
− −
d =
1 2
0 1 1
0
− +
−
i i
i i
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 6
22) Sean las matrices a = 1 3 2 − 1
y b = 2 1 1 3
−
a) Probar que no existe c ∈ R
2x2inversible tal que : a . c = c . b b) ¿ Existe c si no se pide que sea inversible ?
23) Sea a ∈ R
nxntal que a
3≠ 0 y a
4= 0 . Probar que : (id - a)
-1= id + a + a
2+ a
324) a) Demostrar que ∀ x ∈ Q la matriz a =
1 2
1 2 1
1 2 0
x x
x
− −
−
es inversible.
b) Determinar los x ∈ Q tales que det (a) = 20 .
25) Dada a =
2 1 2
4 1 2
2 3 6
− +
+ −
− −
x x
x
Probar que es inversible sii x.(x - 2)(x + 3) ≠ 0 26) Dadas las matrices a , b y c ∈ C
2x2a = 1 1
1 1
+
−
i
i b = i i
i i
2
2 5
+
− −
c = k k
−
1 1 a) Determinar si existe k ∈ C tal que det (c) = 0.
b) Determinar si existe k ∈ R tal que a.c = c.b
27) Dada a = i i i 1 1
+
−
determinar una matriz x ∈ C
2x2tal que a.x = a 28) Dadas las matrices :
a = 1 1
1 1
+
−
i
i b = 2 1 1 1
c = 1 1 0
−
i Hallar x ∈ C
2x2tal que :
a) x.a.b = c
b) a.x.b = c
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 7
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Dadas las matrices de IR
2x2a = 1 2 3 4
b = −
1 5
3 7 c =
−
1 2 0 1 a) Calcular: a + b ; 2a - 3b ; 2a + 3b + 1
3 c
b) Determinar una matriz x ∈ IR
2x2tal que a + 2.x = b c) Determinar matrices x , y ∈ IR
2x2tales que : 2.a + 1
3 .x = c y 2.x - 5.y = 3a
2) Efectuar los siguientes productos de matrices:
a)
−
− 1 5 2
7 2 . 1 4 1
3
2 b) 2 1
1 0
0 1 1 0
−
.
c)
1 1 0
2 1 1
1 0 1
3 0 0 0 3 0 0 0 3
−
−
. d)
− −
−
1 1 0
2 1 1
1 0 1
1 0 0 0 2 0 0 0 3 .
e) ( )
−
− +
1 2 .
1 i i i i f) 1 1 2 1
0 1
+ −
−
+
−
i i
i i
i . i
3) Sean las matrices reales:
a =
1 0 1 1 1 1 0 1 2
−
b =
0 1 0 0 1 0 1 2 1
a) Calcular: (a + b)
2= (a + b).(a + b) y comparar con a
2+ 2.a.b + b
2. b) Calcular: (a - b).(a + b) y comparar con a
2- b
2.
4) Determinar en cada caso x ∈ IR
2x2tal que:
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 8
a) 1 1 0 1
0 0 0 0
=
. x
b) x . 1 2 3 0
3 0 3 0
=
5) Dar ejemplos de matrices pertenecientes a IR
2x2que verifiquen las propiedades indicadas en cada caso:
a) a . b = 0 , a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 b) a . b = 0 ∧ b . a ≠ 0
c) a
2= a ∧ a ≠ 0 ∧ a ≠ id d) a
2= 0 ∧ a ≠ 0
6) Para la implicación dada, en la que a y b son matrices cuadradas de igual orden:
a) Escribir sobre la línea punteada su recíproca, su contraria y su contrarrecíproca
b) Evaluar el valor de verdad de cada una de ellas y escribir V o F dentro del paréntesis.
c) Demostrar lo evaluado para la recíproca.
Implicación a . b = 0 ⇒ a = 0 b = 0 ( )
Recíproca . . . ( )
Contraria . . . ( ) Contrarrecíproca . . . ( )
7) Sea a = 1 2 0 1
a) Calcular a
2y a
3b) Proponer la generalización para a
n. Demostrar su validez para todo n∈IN.
8) Demostrar que el cuadrado de una matriz antisimétrica a ∈ IR
nxnes una
matriz simétrica.
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 9
9) Demostrar que si a ∈ IK
nxnes simétrica entonces a
tes simétrica.
10) a) Determinar si existe a ∈ IR
2x2tal que a . a
t= b siendo b = −
−
1 0
0 1
b) ¿Y si a ∈
2x2?
11) Hallar todas las x ∈ IR
2x2que verifiquen:
y . x = x
t. y siendo y = 1 0 1 1
12) Calcular el valor del determinante de las siguientes matrices:
a = i i i 1 1 2 +
−
b =
1 4 2
1 5 2
3 7 0
−
−
c =
1 0 1
1 0
0 2
− +
−
i i i
i
d =
2 0 0 0 2 0 0 0 2
13) Demostrar la identidad
det ( ).( ).( )
. .
.
1 1
1
c b c a b a b a a c c b
b a a c c
b = − − −
+ +
+
14) Determinar los valores de x ∈ IR para que:
det
2 1 2
4 1 2
2 3 6
0
− +
+ −
− −
= x x
x
15) Dada la matriz A=
−
− +
0 2 1 1
0 5 1 x
x 5 2 x 3
0 1 2 3
hallar el/los valores de x ∈ IR
para los cuales A = - 25
16) Determinar todos los λ ∈ IR para los cuales a ∈ IR
3x3no es inversible.
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 10
a = λ
λ λ 1 1
1 1
1 1
17) ¿Cuándo una matriz diagonal es inversible? ¿Cuál es su inversa?
a = a
a
a
nn11 22
0 0
0 0
0 0
L L L
M O
M M O
M M O
18) Demostrar que si a es una matriz inversible y a . b = a . c entonces b=c .
19) Determinar, si existe, a ∈ IR tal que x
-1= y siendo:
x =
− −
−
a a a
a a a
14 7
0 1 0
4 2
y =
2 0 7 0 1 0 1 2 1
20) Indicar verdadero o falso según corresponda y justificar:
a) La matriz a =
a d a
b e b
c f c
2 2 2
es inversible.
b)
i g e
h f d
c b a
i g
e
i h g f e d
c b
a
≠ + +
+
c) 2
14 10 6
8 4 16
6 2 4 7
5 3
4 2 8
3 1
2 −
=
−
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 11
d)
1 2 3 0 4
3 0 1 0 2
0 1 3 0 1
2 0 1 3 4
1 1 2 5 3
1 2 3 0 4
3 0 1 0 2
0 1 3 0 1
2 0 2 3 4
1 1 7 5 3
−
−
−
=
−
−
e) Si a ∈ IR
3x3y det a = 5 entonces det ( 3 a
-1) = 3 5
21) Sean las matrices:
a =
1 1 3 1 1 2 4 1 4
−
y b = ( 3 -1 2 ) ; resolver matricialmente la ecuación a.x = b
t22) Hallar x ∈
2x2tal que x .c det a = b si:
a = 2 3 1 0
b = i i
−
−
1
1 1 c = 0 2 1 − 1
23) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando en todos los casos.
a) Si A es una matriz de orden 3 tal que A = 5 y B es la matriz que se obtiene multiplicando por 2 la fila 3 de A, entonces B = 2 . A .
b) Si P es una matriz cuadrada y la matriz Q se obtiene multiplicando por 8
− 1
la fila 2 de P y por 16 la columna 1 de P, entonces Q
t= − 2 . P .
c)
3 0 5
4 1 2
21 0 17
3 0 5
4 1 2
1 5 7
−
=
− (Justificar aplicando propiedades)
d) Si 2 1
1 1 1
3 4 3
0 3
=
− k
entonces k = - 9.
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 12
24) ¿Es cierto que todas las soluciones de la ecuación
6 1 x 0 0 3
1 0 1 0
8 1 4 7
1 0 2 1 x
= +
−
−
−
pertenecen al conjunto A = { x ∈ IR / 1 − 2 x ≤ 3 } ?
25) Si X es una matriz de orden 3 tal que X = 5
−1, calcular y justificar con las propiedades aplicadas.
a) El 25 % del determinante de la matriz traspuesta de X.
b) El determinante del quíntuplo de la matriz X.
c) El determinante de una nueva matriz Y que se obtiene intercambiando las columnas C
1y C
3de la matriz X y duplicando la fila F
2de dicha matriz.
d) El determinante de otra matriz Z que se obtiene reemplazando F
2de la matriz X por la mitad de F
1de dicha matriz.
26) Sabiendo que A =
i h g
f e d
c b a
= - 2, completar sobre las líneas punteadas.
Justificar en todos los casos.
a)
i ....
h ...
g ....
f ....
e ....
d ....
c ....
b ...
a ....
= - 60 b)
...
...
...
f e d
c b a
= 0
c)
...
c ...
...
b ...
...
a ...
= - 2 d)
i h ...
g
f ...
e ...
d ...
c b ...
a
= - 30
27) Evaluar verdadero (V) o falso (F) y demostrar:
a) Sean a y b dos matrices cuadradas del mismo orden; entonces a=b si y sólo si det(a)= det(b)
b) Si a ∈ IR
nxn, entonces a .a
to a - a
tson matrices simétricas.
c) Si a y a
-1son matrices inversas entre sí, entonces sus determinantes son
números inversos.
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 13
d) Que a ∈ IK
nxnsea una matriz antisimétrica, es condición necesaria y suficiente para que “a” no sea inversible.
e) Si a y b son dos matrices cuadradas del mismo orden y se cumple que a.b = b.a = Id entonces det(a) . det(b) = 1
f) Si a ∈ IR
nxnes una matriz inversible, entonces es no singular.
28) ¿Vale la recíproca de la proposición del ejercicio 27) vi)? Escribe en una sola proposición lo afirmado en la implicación directa y en la recíproca.
29) Evaluar verdadero (V) o falso (F) y demostrar:
a) Si a ∈ IK
nxny b ∈ IK
nxnson singulares entonces a.b es singular.
b) Si a ∈ IK
nxny b ∈ IK
nxnson no singulares entonces (a.b)
−1= b
−1. a
−130) Completar para obtener proposiciones verdaderas:
a) a = a
−1entonces det a = ...
b) Si a ∈ IK
nxny k ∈ IK entonces det (ka) = ...
RESPUESTAS DE EJERCICIOS A DESARROLLAR
1) a) a =
2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7
b) a =
1 2 2 2
2 1 2 2
2 2 1 2
2 2 2 1
+ − − −
+ − −
+ − +
i
i i
i i i
i i i i
c) a =
1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0
d) a =
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
1 2 6 6 6
1 2 6 24 24 1 2 6 24 120
2) a) 0 4 3 5
−
b) 1 19 9 23
−
c)
− −
− −
− −
9 17 3
33 15 6
1 0 4
d) 3 2
33 10
6 5 24
5 9 5
12 5 3
10 21 10
9 10
−
−
−
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 14
3) a = 2 ; b = 9
2 ; c = 4
3 ; d = 3 4) a) 12 b) -11
5) x = 3 0 0
1 6 9
− −
6) a) 1 4 2 1 2 1 3
+
− − +
i
i i b) x = 3 2
1 2 1 3
−
+ +
i i
i i
7) u =
3 x 2 x
Existen infinitas soluciones, una de ella es:
2 3
1
si x = 1
8) a . b =
32 5 24 3 28 3
− −
a
2=
− −
−
4 10 20 16 14 16 10 2 18
b . c =
14 35 7 7 20 2 13 35 1
−
−
d
2= − −
3 7
28 32 b . d =
7 7
6 4 9 1
−
c . a = 18 18 10 29 48 − 15
c . b = 19 4 61 14
d . c = − − −
1 5 5
26 80 20
9) a) 0 0 0 0
b) 0 0 0 0
10) a) a . b =
1 3 1 2
0 2 1 1
3 1 0 5
0 3 1 0
− −
−
−
b . a =
0 1 1
2 1 1
1 1 2
−
−
b) No
12) I) a) x = 1 0 1 0
b) ∃ x ∈ R
2x2Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 15
II) a) S = i 1 i i i i i i i
2 1 2
0 1
1 2
1 2
0 1
1 2
1 2
0 1
1 2
1 2
0 1
−
− +
− −
−
− − +
−
; ; ;
b) x = i
i i
1 1 2 −
15) a
-1= 1 1 1 2
−
−
b
-1=
7 3 3
1 1 0
1 0 1
− −
−
−
c
-1=
1 2
3 0 0
0 1
3 0 0
0 0 1
2 1 6
0 0 0 1
3
−
−
16) det a = -1 det b = -496 det c = 360 det d = -23 det e = x
2- 4x - 5 det f = 9k - 21
17) a) -7
b) det a = -7 det b = 7 det c = -35 det d = -7 det e = - 42
18) a) 1 b) 6
19) I) a) x = ± 3 b) x = -2 ó x = 1
II) k = 2 ó k = - 3 ó k = 0
20) z = 0 ó z = 7
21) a
-1= 1 1 1 2
−
−
b
-1= 1 1 1 1
− −
− +
i
i c
-1=
1 2 3
2 5 7
2 4 5
− − −
d
-1=
+ +
−
−
−
− +
−
−
−
− +
−
5 i 2 5 i 1 5 2 5 i 1 5 1 5 2
10 i 1 10 i 3 5 3 5 i 1 10
3 10
1
10 i 11 10 i 3 5 3 5 i 1 10
3 10
1
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 16
24) b) x = - 2
26) a) k = ± i b) ∃ k ∈ R
27) x = 1 2 2
2 1 2
−
− − −
i
i
28) a) x = 5 2 5 3 1 2 1 2
− − −
+ −
i i
i i b) x =
− +
−
+
−
−
i 4 i 3
i 4 3 i 3 2
RESPUESTA EJERCICIOS PROPUESTOS
1) a) a + b = 0 7 6 11
2a - 3b = 5 11 3 13
−
− −
2a + 3b + 3 1 c =
−
4 3
59 3 15 88
3
b) x =
−
1 3
2 0 3 2
c) x = − −
− −
9 6
18 21 y =
− −
− −
21
5
18 5
9 54
5
2) a) b) c)
d)
−
−
−
3 0 1
3 2 2
0 2 1
e) ( 1 + 3i ) f) 1 3 1
1 2 1
+ −
− + −
i i
i
3) a) (a + b)
2= a
2+ 2ab + b
2=
(a + b)
2a
2+ 2ab + b
2b) ( a - b ).( a + b ) = a
2- b
2=
( a - b ).( a + b ) a
2- b
2Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 17
4) a) x = 0 0 0 0
b) x = 0 1 0 1
5) A cargo del alumno.
6) a) b)
Implicación a . b = 0 ⇒ a = 0 b = 0 ( F )
Recíproca a = 0 b = 0 ⇒ a . b = 0 ( V )
Contraria a . b 0 ⇒ a 0 b 0 ( V ) Contrarrecíproca a 0 b 0 ⇒ a . b 0 ( F )
c) A cargo del alumno
7) a) a
2=
1 0
4
1 a
3=
1 0
6
1 b) a
n=
1 0
2
1 n
8) y 9) A cargo del alumno.
10) a) a ∈ IR
2x2b) ∃ a ∈
2x211) x = a a 0 0
; a ∈ IR
12) det a = i det b = 82 det c = 5 det d = 8
13) A cargo del alumno.
14) x = -3 ó x = 0 ó x = 2
15) x = 1 ó x = 5
16) λ ∈ { -2 , 1 }
17) a es inversible sii a
ii≠ 0 i ∈ {1 , 2, ..., n}
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 18
a
-1=
1 0 0
0 1
0
0 0 1
11
22
a a
a
nnL L L
M O
M M O
M M O
18) A cargo del alumno.
19) a = 1 5
20) a) F b) F c) F d) V e) F
21) x =
−
−
5 34 14
22) x = 1 6
1 6
1 3 1
3 1 6
1 3 +
− − −
i i
i
23) a) F b) V c) V d) F
24) No, las soluciones de la ecuación son x = -2 ó x = 2. Sólo esta última pertenece a A.
25) a) 20
1 b) 25 c) 5
− 2 d) 0
26) En todos los incisos hay varias posibles respuestas. Se propone sólo un ejemplo en cada caso.
a)
i h
g
f e
d
c b
a
. 2 ...
. 5 ....
. 3
. 2 ...
..
5 ..
. 3 .
..
2 ..
..
5 ...
. 3 ..
= - 60 b)
...
. ...
..
.
... a b c f e d
c b
a
= 0
Trabajo Práctico – Matrices y determinantes – Página 19
