Funciones. Derivadas y Aplicaciones
1 ◦ Bachillerato Ciencias Sociales
Departamento de Matemáticas
I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA
Curso 2014/15
Índice
1
Introducción
El problema de la tangente
Tasa de variación media e instantánea Derivada de una función en un punto Recta tangente y normal
Función derivada
2
Operaciones con Derivadas Operaciones
3
Cálculo de Derivadas
Derivadas de funciones básicas
4
Aplicaciones de las derivadas Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Problemas de optimización
5
Problemas Propuestos
6
Personajes en la Historia Euler y Lagrange
7
Bibliografía
8
Créditos
Introducción
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1| Introdu ión
Introducción El problema de la tangente
Uno de los problemas que dio origen al concepto de derivada fue el problema de determinar la
recta tangente a una curva cualquiera en un punto. Este problema estaba relacionado con la
óptica, pues para la fabricación de lentes se necesita la recta normal a la superficie de la misma
para poder determinar el ángulo de refracción, y se dieron cuenta que determinar la tangente era
más "fácil" que la normal. Teniendo la tangente, calcular la normal es muy sencillo.
Introducción El problema de la tangente
Uno de los problemas que dio origen al concepto de derivada fue el problema de determinar la recta tangente a una curva cualquiera en un punto. Este problema estaba relacionado con la óptica, pues para la fabricación de lentes se necesita la recta normal a la superficie de la misma para poder determinar el ángulo de refracción, y se dieron cuenta que determinar la tangente era más "fácil" que la normal. Teniendo la tangente, calcular la normal es muy sencillo.
Otro problema, que no parece tener relación con el anterior, es el cálculo de máximos y mínimos.
El problema que tenían era el de la fabricación de barriles de cerveza con superficie mínima (lo
que supone un ahorro en madera, muy cara en aquella época), problema cuya solución pasa por el
concepto de derivada. La solución de este tipo de problemas lo veremos al final del tema.
Introducción El problema de la tangente
Uno de los problemas que dio origen al concepto de derivada fue el problema de determinar la recta tangente a una curva cualquiera en un punto. Este problema estaba relacionado con la óptica, pues para la fabricación de lentes se necesita la recta normal a la superficie de la misma para poder determinar el ángulo de refracción, y se dieron cuenta que determinar la tangente era más "fácil" que la normal. Teniendo la tangente, calcular la normal es muy sencillo.
Otro problema, que no parece tener relación con el anterior, es el cálculo de máximos y mínimos.
El problema que tenían era el de la fabricación de barriles de cerveza con superficie mínima (lo que supone un ahorro en madera, muy cara en aquella época), problema cuya solución pasa por el concepto de derivada. La solución de este tipo de problemas lo veremos al final del tema.
Hubo otros muchos problemas que llevaron al concepto de derivada. Vamos a ver a continuación
como resolvieron el problema de la tangente, que en la literatura matemática viene como
interpretación geométrica de la derivada.
Introducción El problema de la tangente
Queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en A
Introducción El problema de la tangente
Queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en A
Para ello, partimos de la recta secante
que pasa por los puntos A y B
Introducción El problema de la tangente
Queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en A
Para ello, partimos de la recta secante que pasa por los puntos A y B De la trigonometría sabemos que
m AB = f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
Introducción El problema de la tangente
Para ello, partimos de la recta secante que pasa por los puntos A y B De la trigonometría sabemos que
m AB = f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
Ahora aproximamos B hacia A
Introducción El problema de la tangente
Para ello, partimos de la recta secante que pasa por los puntos A y B De la trigonometría sabemos que
m AB = f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
Ahora aproximamos B hacia A Cuanto más nos aproximamos,
más pequeño se hace h
Introducción El problema de la tangente
Para ello, partimos de la recta secante que pasa por los puntos A y B De la trigonometría sabemos que
m AB = f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
Ahora aproximamos B hacia A Cuanto más nos aproximamos,
más pequeño se hace h
Estamos haciendo que h → 0
Introducción El problema de la tangente
Para ello, partimos de la recta secante que pasa por los puntos A y B De la trigonometría sabemos que
m AB = f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
Ahora aproximamos B hacia A Cuanto más nos aproximamos,
más pequeño se hace h Estamos haciendo que h → 0
La pendiente de la tangente en A
Introducción El problema de la tangente
Para ello, partimos de la recta secante que pasa por los puntos A y B De la trigonometría sabemos que
m AB = f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
Ahora aproximamos B hacia A Cuanto más nos aproximamos,
más pequeño se hace h Estamos haciendo que h → 0
La pendiente de la tangente en A será
h→0 lim m AB = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
Introducción El problema de la tangente
A este límite le llamamos derivada de f (x) en x = x 0
f
′(x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
Introducción El problema de la tangente
Veamos la secuencia completa
Derivada de f (x) en x = x 0
f
′(x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
Introducción El problema de la tangente
Veamos la secuencia completa
Derivada de f (x) en x = x 0
f
′(x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
Introducción El problema de la tangente
Veamos la secuencia completa
Derivada de f (x) en x = x 0
f
′(x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
Introducción El problema de la tangente
Veamos la secuencia completa
Derivada de f (x) en x = x 0
f
′(x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
Introducción El problema de la tangente
Veamos la secuencia completa
Derivada de f (x) en x = x 0
f
′(x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
Introducción El problema de la tangente
Veamos la secuencia completa
Derivada de f (x) en x = x 0
f
′(x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
Introducción El problema de la tangente
Veamos la secuencia completa
Derivada de f (x) en x = x 0
f
′(x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
Introducción Tasa de variación media e instantánea
Tasa de variación media
Se llama tasa de variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente
T .V .M([a, b]) = f (b) − f (a) b − a
Como vemos la T.V.M. mide el aumento o disminución de la función en el intervalo considerado
Introducción Tasa de variación media e instantánea
Tasa de variación media
Se llama tasa de variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente
T .V .M([a, b]) = f (b) − f (a) b − a
Como vemos la T.V.M. mide el aumento o disminución de la función en el intervalo considerado
Tasa de variación instantánea
Se llama tasa de variación instantánea de una función en un punto de abscisa x 0 al límite siguiente
T .V .I .(x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
Como vemos la T.V.I. nos dice, punto a punto, como varía (aumenta o disminuye) la función en
ese punto.
Introducción Tasa de variación media e instantánea
Ejemplo
Dada la función f (x) = x 2 , determina la T.V.M. en el intervalo [0, 2] y en el intervalo
[−2, 0], y la T.V.I. en el punto x 0 = 1 y en el punto x 0 = −1 .
Introducción Tasa de variación media e instantánea
Ejemplo
Dada la función f (x) = x 2 , determina la T.V.M. en el intervalo [0, 2] y en el intervalo [−2, 0], y la T.V.I. en el punto x 0 = 1 y en el punto x 0 = −1 .
Solución.-
T.V.M en [0, 2] y [−2, 0]: como f (0) = 0 2 = 0, f (2) = 2 2 = 4, f (−2) = (−2) 2 = 4, tenemos que
T .V .M ([0, 2]) = f (2) − f (0) 2 − 0 = 4 − 0
2 − 0 = 2
T .V .M ([−2, 0]) = f (0) − f (−2) 0 − (−2) = 0 − 4
2 = −2
Introducción Tasa de variación media e instantánea
Ejemplo
Dada la función f (x) = x 2 , determina la T.V.M. en el intervalo [0, 2] y en el intervalo [−2, 0], y la T.V.I. en el punto x 0 = 1 y en el punto x 0 = −1 .
Solución.-
T.V.M en [0, 2] y [−2, 0]: como f (0) = 0 2 = 0, f (2) = 2 2 = 4, f (−2) = (−2) 2 = 4, tenemos que
T .V .M ([0, 2]) = f (2) − f (0) 2 − 0 = 4 − 0
2 − 0 = 2
T .V .M ([−2, 0]) = f (0) − f (−2) 0 − (−2) = 0 − 4
2 = −2 T.V.I. en x 0 = 1 y x 0 = −1: Como f (1 + h) = (1 + h) 2 = 1 2 + 2h + h 2 ,
f (−1 + h) = (−1 + h) 2 = (−1) 2 − 2h + h 2 , f (1) = 1 2 y f (−1) = (−1) 2 , tenemos que
T .V .I .(x 0 = 1) = lim
h→0
(1 2 + 2h + h2) − 1 2
h = lim
h→0
2h + h2
h = 2
T .V .I . (x 0 = −1) = lim
h→0
((−1) 2 − 2h + h2) − (−1) 2
h = lim
h→0
−2h + h2
h = −2
Introducción Derivada de una función en un punto
Derivada de una función en un punto
La derivada de una función en un punto de abscisa x 0 , que denotamos como f
′(x 0 ), es el límite, si existe y es finito
f
′(x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h También se usa la definición equivalente
f
′(x 0 ) = lim
x →x
0f (x) − f (x 0 )
x − x 0
Introducción Derivada de una función en un punto
Derivada de una función en un punto
La derivada de una función en un punto de abscisa x 0 , que denotamos como f
′(x 0 ), es el límite, si existe y es finito
f
′(x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h También se usa la definición equivalente
f
′(x 0 ) = lim
x →x
0f (x) − f (x 0 ) x − x 0
Como ejemplo, calculemos la derivada de f (x) = 1
x 2 en x 0 = 1.
Introducción Derivada de una función en un punto
Derivada de una función en un punto
La derivada de una función en un punto de abscisa x 0 , que denotamos como f
′(x 0 ), es el límite, si existe y es finito
f
′(x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h También se usa la definición equivalente
f
′(x 0 ) = lim
x →x
0f (x) − f (x 0 ) x − x 0
Como ejemplo, calculemos la derivada de f (x) = 1
x 2 en x 0 = 1.
f (1 + h) − f (1) = 1 (1 + h) 2 − 1
1 2 = −2h − h 2 (1 + 2h + h 2 )
f
′(x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h = lim
h→0
−2h−h
2(1+2h+h
2)
h = lim
h→0
−2 − h
1 + 2h + h 2 = −2
Introducción Derivada de una función en un punto
Derivada de una función en un punto
La derivada de una función en un punto de abscisa x 0 , que denotamos como f
′(x 0 ), es el límite, si existe y es finito
f
′(x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h También se usa la definición equivalente
f
′(x 0 ) = lim
x →x
0f (x) − f (x 0 ) x − x 0
Como ejemplo, calculemos la derivada de f (x) = 1
x 2 en x 0 = 1.
f (1 + h) − f (1) = 1 (1 + h) 2 − 1
1 2 = −2h − h 2 (1 + 2h + h 2 )
f
′(x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h = lim
h→0
−2h−h
2(1+2h+h
2)
h = lim
h→0
−2 − h 1 + 2h + h 2 = −2
Como vemos el cálculo de derivadas aplicando la definición se hace algo "pesado". Más adelante
estudiaremos una tabla de derivadas de funciones elementales, que junto con las operaciones con
derivadas, nos permitirán un cálculo rápido de las mismas.
Introducción Recta tangente y normal
En la introducción vimos que la derivada de una función en un punto de abscisa x 0 representaba
la pendiente de la recta tangente a la curva (función) en ese punto. Por tanto tenemos que
Introducción Recta tangente y normal
En la introducción vimos que la derivada de una función en un punto de abscisa x 0 representaba la pendiente de la recta tangente a la curva (función) en ese punto. Por tanto tenemos que Recta tangente y recta normal
La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto P = (x 0 , f (x 0 )) es, en forma punto-pendiente
y − f (x 0 ) = f
′(x 0 ) · (x − x 0 ) y la recta normal en el punto P = (x 0 , f (x 0 )) es
y − f (x 0 ) = − 1
f
′(x 0 ) · (x − x 0 )
Introducción Recta tangente y normal
En la introducción vimos que la derivada de una función en un punto de abscisa x 0 representaba la pendiente de la recta tangente a la curva (función) en ese punto. Por tanto tenemos que Recta tangente y recta normal
La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto P = (x 0 , f (x 0 )) es, en forma punto-pendiente
y − f (x 0 ) = f
′(x 0 ) · (x − x 0 ) y la recta normal en el punto P = (x 0 , f (x 0 )) es
y − f (x 0 ) = − 1
f
′(x 0 ) · (x − x 0 )
Como ejemplo, calculemos las recta tangente y normal de la función f (x) = 1
x 2 en x 0 = 1.
Introducción Recta tangente y normal
En la introducción vimos que la derivada de una función en un punto de abscisa x 0 representaba la pendiente de la recta tangente a la curva (función) en ese punto. Por tanto tenemos que Recta tangente y recta normal
La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto P = (x 0 , f (x 0 )) es, en forma punto-pendiente
y − f (x 0 ) = f
′(x 0 ) · (x − x 0 ) y la recta normal en el punto P = (x 0 , f (x 0 )) es
y − f (x 0 ) = − 1
f
′(x 0 ) · (x − x 0 )
Como ejemplo, calculemos las recta tangente y normal de la función f (x) = 1
x 2 en x 0 = 1.
Del ejercicio anterior sabemos que f
′(1) = −2 y el punto será P = (x 0 ,f (x 0 )) = (1, 1) Así pues, la recta tangente será
y − 1 = −2 · (x − 1) y la normal
y − 1 = 1
2 · (x − 1)
Introducción Función derivada
Función derivada
La función derivada de una función f dada o simplemente derivada de f , es una función que asocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f
′(x); es decir
f
′: IR −→ IR x −→ y
′= f
′(x) f
′(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Introducción Función derivada
Función derivada
La función derivada de una función f dada o simplemente derivada de f , es una función que asocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f
′(x); es decir
f
′: IR −→ IR x −→ y
′= f
′(x) f
′(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x) h
Nota I: cuando hablamos de derivada en un punto estamos obteniendo un valor numérico
(la pendiente), mientras que cuando hablamos de función derivada estamos obteniendo una
nueva función.
Introducción Función derivada
Función derivada
La función derivada de una función f dada o simplemente derivada de f , es una función que asocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f
′(x); es decir
f
′: IR −→ IR x −→ y
′= f
′(x) f
′(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x) h
Nota I: cuando hablamos de derivada en un punto estamos obteniendo un valor numérico (la pendiente), mientras que cuando hablamos de función derivada estamos obteniendo una nueva función.
Nota II: cuando hallamos la derivada de la función derivada obtenemos la derivada segunda
de f y lo representamos como f
′′(x).
Introducción Función derivada
Función derivada
La función derivada de una función f dada o simplemente derivada de f , es una función que asocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f
′(x); es decir
f
′: IR −→ IR x −→ y
′= f
′(x) f
′(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x) h
Nota I: cuando hablamos de derivada en un punto estamos obteniendo un valor numérico (la pendiente), mientras que cuando hablamos de función derivada estamos obteniendo una nueva función.
Nota II: cuando hallamos la derivada de la función derivada obtenemos la derivada segunda de f y lo representamos como f
′′(x).
Como ejemplo, calculemos la función derivada de f (x) = 1
x 2 .
Introducción Función derivada
Función derivada
La función derivada de una función f dada o simplemente derivada de f , es una función que asocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f
′(x); es decir
f
′: IR −→ IR x −→ y
′= f
′(x) f
′(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x) h
Nota I: cuando hablamos de derivada en un punto estamos obteniendo un valor numérico (la pendiente), mientras que cuando hablamos de función derivada estamos obteniendo una nueva función.
Nota II: cuando hallamos la derivada de la función derivada obtenemos la derivada segunda de f y lo representamos como f
′′(x).
Como ejemplo, calculemos la función derivada de f (x) = 1 x 2 . f (x + h) − f (x) = 1
(x + h) 2 − 1
x 2 = −2xh − h 2 (x 2 + 2xh + h 2 )x 2
f
′(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h = lim
h→0
−2xh−h
2(x
2+2xh+h
2)x
2h = lim
h→0
−2x − h
(x 2 + 2h + h 2 )x 2 = −2
x 3
Operaciones con Derivadas
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2| Opera iones
on derivadas
Operaciones con Derivadas Operaciones
Derivadas de las operaciones con funciones
Sean f (x) y g (x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:
Operaciones con Derivadas Operaciones
Derivadas de las operaciones con funciones
Sean f (x) y g (x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:
Derivada de las suma o diferencia de dos funciones
(f ± g)
′= f
′± g
′Operaciones con Derivadas Operaciones
Derivadas de las operaciones con funciones
Sean f (x) y g (x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:
Derivada de las suma o diferencia de dos funciones
(f ± g)
′= f
′± g
′Derivada del producto de un número real por una función
(k · f )
′= k · f
′Operaciones con Derivadas Operaciones
Derivadas de las operaciones con funciones
Sean f (x) y g (x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:
Derivada de las suma o diferencia de dos funciones
(f ± g)
′= f
′± g
′Derivada del producto de un número real por una función
(k · f )
′= k · f
′Derivada del producto de dos funciones
(f · g)
′= f
′· g + f · g
′Operaciones con Derivadas Operaciones
Derivadas de las operaciones con funciones
Sean f (x) y g (x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:
Derivada de las suma o diferencia de dos funciones
(f ± g)
′= f
′± g
′Derivada del producto de un número real por una función
(k · f )
′= k · f
′Derivada del producto de dos funciones
(f · g)
′= f
′· g + f · g
′Derivada del cociente de dos funciones
f
g
′= f
′· g − f · g
′g 2
Operaciones con Derivadas Operaciones
Derivadas de las operaciones con funciones
Sean f (x) y g (x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:
Derivada de las suma o diferencia de dos funciones
(f ± g)
′= f
′± g
′Derivada del producto de un número real por una función
(k · f )
′= k · f
′Derivada del producto de dos funciones
(f · g)
′= f
′· g + f · g
′Derivada del cociente de dos funciones
f
g
′= f
′· g − f · g
′g 2 Derivada de una función de función. Regla de la cadena
[g (f )]
′= g
′(f ) · f
′Cálculo de Derivadas
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3| Cál ulo de
derivadas
Cálculo de Derivadas Derivadas de funciones básicas
Tabla de derivadas
f (x) = k, k ∈ IR f
′(x) = 0
f (x) = x f
′(x) = 1
f (x) = x a o f (x) = g a f
′(x) = a · x a−1 o f
′(x) = a · g a−1 · g
′f (x) = √
nx o f (x) = √
ng f
′(x) = 1
n· √
nx
n−1o f
′(x) = g
′
n· √
ng
n−1f (x) = e x o f (x) = e g f
′(x) = e x o f
′(x) = e g · g
′f (x) = a x o f (x) = a g f
′(x) = a x · ln a o f
′(x) = a g · ln a · g
′f (x) = ln x o f (x) = ln g f
′(x) = 1 x o f
′(x) = g
′
g
f (x) = log a x o f (x) = log a g f
′(x) = x ·ln a 1 o f
′(x) = g
′
g ·ln a
f (x) = sen x o f (x) = sen g f
′(x) = cos x o f
′(x) = cos g · g
′f (x) = cos x o f (x) = cos g f
′(x) = −sen x o f
′(x) = −sen g · g
′f (x) = tg x o f (x) = tg g f
′(x) = 1 + tg 2 x = o f
′(x) = [1 + tg 2 g ] · g
′Función simple y compuesta Derivadas
Aplicaciones de las derivadas
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4| Apli a iones
de las derivadas
Aplicaciones de las derivadas Crecimiento y decrecimiento
Si observamos la gráfica anterior vemos que en el tramo donde hemos representado la tangente (en verde), la pendiente de ésta es positiva. Este hecho nos lleva a la siguiente definición de función creciente:
Función creciente
Decimos que una función f (x) es creciente en un punto de abscisa x 0 cuando la derivada en ese punto es positiva; es decir
f
′(x 0 ) > 0 ⇒ f (x) creciente en x = x 0
Para estudiar los intervalos de crecimiento debemos resolver la inecuación
Aplicaciones de las derivadas Crecimiento y decrecimiento
De la misma manera que antes, de la gráfica vemos que en el tramo donde hemos representado la tangente (en marrón), la pendiente de ésta es negativa. Este hecho nos lleva a la siguiente definición de función decreciente:
Función decreciente
Decimos que una función f (x) es decreciente en un punto de abscisa x 0 cuando la derivada en ese punto es positiva; es decir
f
′(x 0 ) < 0 ⇒ f (x) decreciente en x = x 0
Para estudiar los intervalos de decrecimiento debemos resolver la inecuación
Aplicaciones de las derivadas Crecimiento y decrecimiento
Ejemplo
Dada la función f (x) = 1 3 x 3 − 3 2 x 2 − 4x + 1, determina los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la misma .
Aplicaciones de las derivadas Crecimiento y decrecimiento
Ejemplo
Dada la función f (x) = 1 3 x 3 − 3 2 x 2 − 4x + 1, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la misma .
Solución.-
Hallamos en primer lugar su derivada
f
′(x) = x 2 − 3x − 4
Aplicaciones de las derivadas Crecimiento y decrecimiento
Ejemplo
Dada la función f (x) = 1 3 x 3 − 3 2 x 2 − 4x + 1, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la misma .
Solución.-
Hallamos en primer lugar su derivada
f
′(x) = x 2 − 3x − 4
Para estudiar el crecimiento o decrecimiento resolvemos la inecuación x 2 − 3x − 4 > 0
cuya solución gráfica es
bc bc
−1 4
+ − +
Aplicaciones de las derivadas Crecimiento y decrecimiento
Ejemplo
Dada la función f (x) = 1 3 x 3 − 3 2 x 2 − 4x + 1, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la misma .
Solución.-
Hallamos en primer lugar su derivada
f
′(x) = x 2 − 3x − 4
Para estudiar el crecimiento o decrecimiento resolvemos la inecuación x 2 − 3x − 4 > 0
cuya solución gráfica es
bc bc
−1 4
+ − +
Así pues, la función es creciente en (−∞, −1) ∪ (4, ∞) y decreciente en (−1, 4) .
Aplicaciones de las derivadas Máximos y mínimos
Aplicaciones de las derivadas Máximos y mínimos
En la figura tenemos representadas las rectas tangentes a la curva en los puntos máximo y
mínimo, y lo que observamos es que estas rectas no tienen inclinación, es decir, su pendiente es
cero. Esto nos lleva a las siguientes definiciones:
Aplicaciones de las derivadas Máximos y mínimos
En la figura tenemos representadas las rectas tangentes a la curva en los puntos máximo y mínimo, y lo que observamos es que estas rectas no tienen inclinación, es decir, su pendiente es cero. Esto nos lleva a las siguientes definiciones:
Máximos y mínimos
Si una función f (x) presenta un máximo o un mínimo en el punto de abscisas x 0 , se cumple que f
′(x 0 ) = 0. Así pues, para determinar los máximos y mínimos de una función debemos resolver la ecuación
f
′(x) = 0
Además, si f
′′(x 0 ) < 0, entonces tenemos un máximo en x 0 , y si f
′′(x 0 ) > 0 tenemos un mínimo
Aplicaciones de las derivadas Máximos y mínimos
Ejemplo
Determinar los máximos y mínimos de la función f (x) = x 3 − 6x 2 + 9x + 1.
Aplicaciones de las derivadas Máximos y mínimos
Ejemplo
Determinar los máximos y mínimos de la función f (x) = x 3 − 6x 2 + 9x + 1.
Solución.-
Primero: calculamos la derivada primera y segunda de la función f
′(x) = 3x 2 − 12x + 9
f
′′(x) = 6x − 12
Aplicaciones de las derivadas Máximos y mínimos
Ejemplo
Determinar los máximos y mínimos de la función f (x) = x 3 − 6x 2 + 9x + 1.
Solución.-
Primero: calculamos la derivada primera y segunda de la función f
′(x) = 3x 2 − 12x + 9
f
′′(x) = 6x − 12
Segundo: resolvemos la ecuación f
′(x) = 3x 2 − 12x + 9 = 0, cuyas soluciones son x = 1 y
x = 3. Estos son los posibles máximos y mínimos.
Aplicaciones de las derivadas Máximos y mínimos
Ejemplo
Determinar los máximos y mínimos de la función f (x) = x 3 − 6x 2 + 9x + 1.
Solución.-
Primero: calculamos la derivada primera y segunda de la función f
′(x) = 3x 2 − 12x + 9
f
′′(x) = 6x − 12
Segundo: resolvemos la ecuación f
′(x) = 3x 2 − 12x + 9 = 0, cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Estos son los posibles máximos y mínimos.
Tercero: llevamos estos valores a la segunda derivada y vemos el signo f
′′(1) = 6 · 1 − 12 = −6 < 0 ⇒ x = 1 es un máximo
f
′′(3) = 6 · 3 − 12 = 6 > 0 ⇒ x = 3 es un mínimo Máximo = (x, f (x)) = (1, 5)
Mínimo = (x, f (x)) = (3, 1)
Aplicaciones de las derivadas Problemas de optimización
Optimización
Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta a
ciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.
Aplicaciones de las derivadas Problemas de optimización
Optimización
Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta a ciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.
Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:
Escribir la función a optimizar.
Aplicaciones de las derivadas Problemas de optimización
Optimización
Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta a ciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.
Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:
Escribir la función a optimizar.
Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante las ligaduras.
Aplicaciones de las derivadas Problemas de optimización
Optimización
Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta a ciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.
Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:
Escribir la función a optimizar.
Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante las ligaduras.
Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones del
enunciado del problema.
Aplicaciones de las derivadas Problemas de optimización
Optimización
Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta a ciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.
Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:
Escribir la función a optimizar.
Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante las ligaduras.
Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones del
enunciado del problema.
Aplicaciones de las derivadas Problemas de optimización
Optimización
Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta a ciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.
Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:
Escribir la función a optimizar.
Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante las ligaduras.
Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones del enunciado del problema.
Veamos un ejemplo: Hallar dos números naturales cuya suma sea 60 y sabiendo que su producto
es un máximo.
Aplicaciones de las derivadas Problemas de optimización
Optimización
Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta a ciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.
Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:
Escribir la función a optimizar.
Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante las ligaduras.
Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones del enunciado del problema.
Veamos un ejemplo: Hallar dos números naturales cuya suma sea 60 y sabiendo que su producto es un máximo.
Si x es un número e y el otro, la función a optimizar es f (x, y ) = x · y.
La ligadura es que la suma de los dos es 60, esto es x + y = 60. Si despejamos la y (y = 60 − x) y sustituimos su valor en la función, tenemos f (x) = x · (60 − x) = 60x − x 2 . Hallamos la deriva : f
′(x) = 60 − 2x e igualamos a cero. f
′(x) = 0 ⇒ x = 30, que efectivamente es un máximo (comprobar).
Así, los números pedidos son x = y = 30.
Problemas Propuestos
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5| Problemas
Propuestos
Problemas Propuestos
Derivada en un punto
Calcula las derivadas de las siguientes funciones en x 0 = 1 aplicando la definición:
f (x) = x + 1 f (x) = 2x + 1
f (x) = x
2f (x) = x
2− 1
f (x) = x
3f (x) = √ x
Rectas tangente y normal
Calcula las rectas tangente y normal de las siguientes funciones en x 0 = 1 :
f (x) = x + 1 f (x) = 2x + 1
f (x) = x
2f (x) = x
2− 1
f (x) = x
3f (x) = √ x
Función derivada
Calcula la función derivada de las siguientes funciones aplicando la definición de derivada :
f (x) = x + 1 f (x) = 2x + 1
f (x) = x
2f (x) = x
2− 1
f (x) = x
3f (x) = √
x
Problemas Propuestos
Cálculo de derivadas
Calcula las derivadas de las siguientes funciones::
f (x) = 4 f (x) = 2x f (x) = 2x + 1 f (x) = x
2f (x) = 3x
2f (x) = 2x
2− 1 f (x) = x
2− 2x + 3 f (x) = (x − 3)
2f (x) = (2x − 3)
3f (x) = 1
x
3f (x) = 5 x
4f (x) = √
x f (x) = p
x − 1 f (x) = √
3x + 2 f (x) = p
5x
2− 1 f (x) = p
3x
2− 2x − 2
f (x) = 2x + 1 3x − 1
f (x) = (2x +3)·(x
2−x +5) f (x) = x
23x − 1 f (x) = (x
3) · (x − 1) f (x) = 2x
5 f (x) = 2x + 1
√x f (x) = 2
xf (x) = 2
3x−1f (x) = 3
3x− 2 f (x) = e
2xf (x) = e
√xf (x) = Ä 1
2
ä
3xf (x) = Ä 1
3
ä
√xf (x) = e
x2 −3xf (x) = e
x2+x+2f (x) = log 2x f (x) = log(2x − 1) f (x) = ln(2x − 1) f (x) = ln 2x + 1
3x f (x) = log
23x f (x) = log
3√ x f (x) = ln[(2x + 1) √
x]
f (x) = ln
2x f (x) = ln
2√
x f (x) = sin √
x f (x) = sin(2x
3− x + 1) f (x) = cos 3x
f (x) = sin
23x f (x) = cos
2√ x f (x) = tan(4x − 1) f (x) = tan p
x
2− 2x + 1 f (x) = sin x
cos 3x
Problemas Propuestos
Monotonía y máximos y mínimos
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos de las siguientes funciones:
f (x) = 4 − 2x f (x) = 2x
2f (x) = x
2+ 1 f (x) = 8x − x
2− 4
f (x) = x
2+ 2x f (x) = 6x
2− x
3f (x) = x
4− 8x
2+ 2
f (x) = x x − 1
f (x) = 1 x
2+ 1 Problemas de optimización
Entre los rectángulos de 4 m de perímetro, determina el de área máxima. ¿Cuál será el de diagonal mínima?.
Entre todos los triángulos rectángulos de igual hipotenusa (10 m), ¿cuál es el de diagonal mínima?.
El área de un rectángulo es de 100m 2 . Si queremos que tenga el menor perímetro posible,
¿cuáles son sus dimensiones?.
Se ha estimado que el el gasto de electricidad de una empresa, de 8 a 17 horas, sigue la siguiente función:
E(t) = 0, 01t 3 − 0, 36t 2 + 4, 05t − 10 donde t pertenece al intervalo (8, 17). Se pide:
¿Cuál es el consumo a las 10 horas?.¿ Y a las 16?.
¿En qué momento del día el consumo es máximo?.¿Y mínimo?.
Personajes en la Historia
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6| Historia
Personajes en la Historia Euler y Lagrange
Historia
Leonhard Paul Euler ( 1707 − 1783)
Matemático y físico suizo. Fue director de la academia de Ciencias de San Petesburgo. Hombre de una memoria prodigiosa trabajó en todos los campos de las matemáticas. La solución que dio al problema de los puentes de de Königsberg es el origen de la teoría de grafos. También aclaró la solución de los llamados problemas variacionales. Su nombre aparece en todas las áreas de la matemática.
Joseph-Louis Lagrange ( 1736 − 1813)
Matemático y físico francés, es junto a Euler el mejor matemático del siglo XVIII. A los 19 años
soluciona un problema que había planteado Euler con relación a los problemas variacionales
mediante un método que se sigue usando actualmente.
Bibliografía
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7| Bibliografía
Bibliografía
Bibliografía
Matemáticas aplicadas a las CC.SS. I, Miguel Antonio y otros, Proyecto La Casa del Saber, Ediciones Educativas de Santillana Educación S.L.
Matemáticas aplicadas a las CC.SS. I, Carlos González García y otros, Editorial EDITEX S.A.
El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, Morris Kline, Alianza Universidad.
www.amolasmates.es
www.vitutor.com
Créditos
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