ONDAS
ONDAS
1.- MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.
2.- CINEMÁTICA DEL M.A.S.
3.- DINÁMICA DEL M.A.S.
4.- ENERGÍA DE UN OSCILADOR MECÁNICO.
5.- MOVIMIENTO ONDULATORIO. TIPOS DE ONDAS.
6.- DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO.
7.- ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS.
8.- ENERGÍA ASOCIADA AL MOVIMIENTO ONDULATORIO.
9.- PRINCIPIO DE HUYGENS.
10.- PROPIEDADES DE LAS ONDAS.
11.- INTERFERENCIAS. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.
12.- ONDAS ESTACIONARIAS..
EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
El movimiento armónico simple (M.A.S.), se llama así porque se puede expresar mediante funciones armónicas (que repiten una secuencia de valores entre dos extremos), como el seno y el coseno, de una sola variable.
Si dejamos oscilar libremente un objeto colgado de un muelle, éste describe un movimiento armónico simple.
muelle horizontal
Si O es la posición de equilibrio, cuando se suelta el objeto desde la
posición -A, comenzará a moverse hacia O con cierta aceleración
(acelera); rebasado el punto O, va disminuyendo su velocidad (frena)
hasta llegar al punto A, en que se detendrá. Después volverá a
moverse hacia O, y así sucesivamente. Si se desprecian los
rozamientos, el objeto continuará oscilando indefinidamente, siendo
-A simétrico de A, respecto de O.
Características fundamentales del M.A.S. son:
El movimiento es rectilíneo, es decir, recorre indefinidamente un segmento de recta.
Es un movimiento periódico. Son movimientos cuyas magnitudes características se repiten regularmente.
La aceleración del mismo no es constante. La aceleración depende del desplazamiento experimentado por el cuerpo que vibra: acelera cuando se dirige hacia el centro y frena cuando se desplaza desde el centro hacia los extremos.
Si la aceleración no es constante, en virtud de la segunda ley de Newton, tampoco lo será la fuerza que actúa sobre el objeto.
El péndulo Muelle
Magnitudes del M.A.S.
La elongación (y) es la distancia a que se encuentra el objeto del punto de equilibrio. Su unidad en el S.I. es el metro.
La amplitud (A) es la elongación máxima, es decir, la máxima separación del móvil de la posición de equilibrio.
El período (T) es el tiempo empleado en realizar una oscilación completa. Si el objeto parte de A, es el tiempo que tarda en volver a A. Su unidad en el S.I. es el segundo.
La frecuencia (f) es el número de oscilaciones que repite el móvil en la unidad de tiempo. Es, por tanto, la inversa del período. Su unidad en el S.I. es el segundo
-1y recibe el nombre de Herz (Hz).
-A A
y O
CINEMÁTICA DEL M.A.S.
Para describir el M.A.S. necesitamos una ecuación que nos proporcione la posición del objeto en función del tiempo y = y (t).
La ecuación de la posición que se obtiene es del tipo:
y = A · sen ( t +
0)
donde:
“y” es la elongación.
“A” representa la amplitud del movimiento.
( t +
0) es lo que se conoce como fase del movimiento. Su valor determina el estado de la vibración. Su unidad en el S.I. son radianes.
recibe el nombre de pulsación o frecuencia angular.
Representa el incremento del ángulo de fase en la unidad de tiempo. Su unidad en el S.I es radianes/segundo.
= 2 = 2 · · f T
0es la fase inicial. Su valor determina el estado de vibración
para t = 0. Si empezamos a contar el tiempo cuando la partícula
pasa por la posición de equilibrio, resulta
0= 0.
Si la fase inicial es cero, la elongación “y” pasa por los siguientes valores a lo largo de una vibración (T representa el período).
A partir de la ecuación de movimiento, podemos obtener la ecuación de la velocidad derivando la ecuación y=A·sen(t +
0) con respecto al tiempo.
Si la fase inicial es cero, la gráfica de la velocidad en función del tiempo tiene la forma:
y = A · sen ( t +
0)
velocidad del oscilador
v dy
dt A t
cos(
0)
El valor de la aceleración, se obtiene volviendo a derivar la ecuación de la velocidad respecto del tiempo.
Si derivamos v = A · · cos ( t +
0)
como la elongación y = A · sen ( t +
0), la aceleración puede ponerse expresarse como:
Si la fase inicial es cero, la gráfica de la aceleración en función del tiempo tiene la forma:
- De 0 a T/2 la velocidad va disminuyendo y la aceleración es negativa.
- De T/2 a T la velocidad va aumentando y la aceleración será positiva.
A
- A a
T / 4 T / 2 3 T / 4 T t i e m p o
a dv
dt A t
2 sen(
0)
a
2y
DINÁMICA DEL M.A.S.
Conocida la aceleración de que está animado todo movimiento armónico, la segunda ecuación de la Dinámica, F = m · a, permite encontrar qué tipo de fuerza es la causante del movimiento.
Si la partícula que vibra tiene una masa “m”, como:
Debido a que m ·
2es constante, la fuerza se puede poner en la forma:
expresión se conoce con en nombre de ley de Hooke e indica que, la fuerza es proporcional al desplazamiento, pero de sentido contrario. A estas fuerzas se le denomina fuerzas recuperadoras o elásticas
La constante K se conoce con el nombre de constante recuperadora. Sus unidades en el S.I. son Newton/metro (N/m)
a
2 y F m ω
2 y
y K F
El período de las oscilaciones, cuando la fuerza es de naturaleza elástica, no depende de la amplitud de las oscilaciones sino de la masa del cuerpo y de la constante recuperadora.
El período de las oscilaciones, puede calcularse a partir de la expresión:
despejando el período:
K m m
2 T
22
4
T m
2 K
ENERGÍA DE UN OSCILADOR MECÁNICO
Una partícula que está animada de M.A.S. (oscilador mecánico) tiene dos tipos de energía: una asociada al movimiento (energía cinética) y otra asociada al dispositivo que vibra (potencial elástica).
La energía cinética de la partícula que vibra es:
Como:
Resulta y
puesto que
m·
2es la constante K
Es decir, la energía cinética depende de la posición. Tiene su valor máximo en el centro de la trayectoria (y =0) y es cero en los extremos.
E 1
2 m v
C
2v A cos( t
0)
E 1
2 m A t
C
2
2 cos (
2
0)
cos (2 0) sen ( ) 20 1
t t
E 1
2 m A t
C
2 2 1 sen (2 0) 12 m2
A2 A2 sen (2 t 0)
y A sen( t
0) E
C2 1 m A y
2 2
2
E
C 1 K A
2 y
22
y - A A
½ K a2 E
Las fuerzas elásticas son fuerzas conservativas, tienen, por tanto, una función energía potencial que depende exclusivamente de la posición.
el trabajo realizado por la fuerza elástica para trasladar la partícula de la posición de elongación y
1a la de elongación y
2. Tomando un desplazamiento infinitesimal “dy” en el que la fuerza es constante (de módulo K·y) y sumando para todo el camino:
Integrando la expresión anterior entre las posiciones 1 y 2:
Por otro lado:
El trabajo realizado por la fuerza elástica para trasladar la partícula entre dos posiciones no depende del camino seguido y es igual a menos el incremento de la energía potencial asociada a esas posiciones.
W1 2 F dy K y dy
y y
y y
1 2
1 2
2 1 2
2 y
y 2 2
1 K y
2 y 1 2K 1 2
y W K
2
1
W
1 2 E
P (E
P2 E )
P1 E
P2 E
P1ΔE
pW
Comparando ambas expresiones, resulta que la energía potencial elástica asociada a una partícula situada en la posición de elongación y es:
La energía potencial tiene su valor máximo en los extremos de la trayectoria y es cero en el centro.
La energía mecánica es la suma de las energías cinética y potencial:
de dónde se obtiene que:
En un movimiento armónico la energía mecánica permanece constante mientras no haya rozamiento. Al vibrar la masa en uno y otro sentido, la energía se transforma de potencial a cinética y de cinética a potencial.
Energía mecánica
E 1
2 K y
p
22 2
P 2 C
m
K y
2 ) 1
y (A
2 K E 1
E
E
E 1
2 K A
m
2y - A A
½ K a2 E
MOVIMIENTO ONDULATORIO
Al tirar una piedra en un estanque, observamos círculos concéntricos que se propagan por la superficie del estanque. Si agitamos una cuerda por extremos, observamos que la agitación se transmite a lo largo de la cuerda.
De igual forma al conectar la radio captamos una señal que ha sido enviada desde cierta distancia; a su vez, el altavoz emite un sonido, que percibimos a distancia del lugar donde se produce.
En todos estos ejemplos se aprecia una característica común: cierta situación física (una perturbación), producida en un punto se propaga, alcanzando otros puntos
Denominamos onda o, en general, movimiento ondulatorio, al
fenómeno de transmisión de una perturbación de un punto a otro
del espacio sin que exista un transporte neto de materia entre
ambos.
- TIPOS DE ONDAS
La ondas existentes en la naturaleza se pueden clasificar atendiendo a varios criterios:
1.- Según la naturaleza del medio en que se propagan.
- Ondas materiales o mecánicas:
Necesitan un medio material para propagarse. Las ondas se originan al perturbar un medio elástico (cuerda, agua o aire) y se transmiten gracias a la elasticidad del medio. Sin él no habría propagación.
Como ejemplo de ondas mecánicas podemos citar: las ondas sonoras, las ondas en cuerdas, las ondas en el agua.
- Ondas electromagnéticas: No
necesitan de un medio material para
propagarse, sino que lo hacen en el
vacío. Por ejemplo: la luz.
2.- Según la relación entre la dirección de propagación y la dirección de vibración.
Una onda mecánica lleva asociados dos movimientos:
a.- El movimiento de propagación de la onda a través del medio.
b.- El movimiento vibratorio, de las partículas del medio.
- Ondas longitudinales: cuando la dirección de vibración de las partículas coincide con la dirección de propagación.
Este tipo de ondas se propaga en cualquier medio material.
El sonido o las vibraciones producidas al comprimir y dilatar un muelle.
Cuando este tipo de ondas se propaga en el seno de un fluido (gas o líquido) se denominan ondas de presión.
O.longitudinales y O. de presión
- Ondas transversales: cuando la dirección de propagación de la onda es perpendicular a la dirección en que vibran las partículas.
Estas ondas sólo se propagan en los medios sólidos o en la superficie de los líquidos, pero no en el interior de estos.
Cuando agitamos una cuerda verticalmente se produce una onda
transversal.
ondas en una cuerda3.- Según el número de dimensiones en las que se propaga la energía, son:
Ondas unidimensionales, cuando la energía se propaga a lo largo de una línea. Por ejemplo, al onda que se propaga en una cuerda.
Ondas bidimensionales, cuando la energía se propaga en un plano. Por ejemplo, las ondas que se propagan en la superficie del agua.
Ondas tridimensionales, cuando se propagan por todo el espacio.
Por ejemplo, el sonido en el aire.
DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
Pulso. Se trata de una onda de poca duración. Cada partícula está en reposo hasta que le llega el pulso. En ese instante se mueve durante cierto tiempo y después vuelve al reposo. Cualquier punto que se encuentre en reposo antes de que pase el pulso volverá al reposo después de que haya pasado.
Pulso
Si en lugar de dar un golpe al extremo lo movemos continuamente hacia arriba y hacia abajo, estamos produciendo una sucesión de pulsos que viajarán a lo largo de la cuerda. En este caso todas las partículas de la cuerda se están moviendo y decimos que se ha generado un tren de ondas.
De ahora en adelante siempre que hablemos de ondas nos estamos refiriendo a trenes de ondas
v
Tren de ondas
Para que una onda mecánica se propague, el medio ha de cumplir dos requisitos debe tener elasticidad e inercia. La elasticidad del medio da lugar a la aparición de fuerzas restauradoras cuando una porción del mismo es apartada de su posición de equilibrio. La inercia del medio es que en última instancia explica el tipo de movimiento debido a la perturbación. Ambas propiedades del medio son las que determinan finalmente la velocidad a la que se propaga una onda.
- Magnitudes características de una onda
Velocidad de propagación (v) es la rapidez con la que se desplaza la perturbación por un medio. Esta magnitud depende de las características del medio y es independiente de las del foco emisor.
Para un medio determinado y un tipo de perturbación es una cantidad constante. Por ejemplo es sonido se propaga en el aire a una velocidad de 340 m/s y en el agua a 1400 m/s.
Está comprobado que, en general, la velocidad de propagación de una onda en un medio puede expresarse como:
Aunque estas propiedades son diferentes para cada medio, no es lo mismo que la onda se propague en el agua, por una cuerda o en el aire.
inercial propiedad
elástica propiedad
v
Velocidad de vibración (v
vibración) es la rapidez con la que se desplaza una partícula del medio en torno a su posición de equilibrio. Esta magnitud se modifica de un instante a otro.
Período (T) es el tiempo que tarda cada punto en estar en el mismo estado de vibración, es decir, en dar una oscilación completa. También es el tiempo que transcurre entre dos pulsos sucesivos. Su unidad en el S.I. es el segundo
Frecuencia (f o ) es el número de vibraciones que realiza una partícula en la unidad de tiempo. También es el número de pulsos producidos en la unidad de tiempo.
La unidad en el S.I. es el herzio (Hz = s
-1)
Pulsación o frecuencia angular () : = 2 · f = 2 / T
Su unidad en el S.I. son radianes/s, aunque su sentido físico no es el de una velocidad angular.
T f 1
Longitud de onda () es la distancia entre dos puntos sucesivos consecutivos que se encuentran en el mismo estado de vibración. La longitud de onda será la distancia que avanza la onda en un período.
Por tanto:
= v · T
Donde v es la velocidad de propagación por un determinado medio y T es el período. Su unidad en el S.I. es el metro.
Número de onda (k) es el número de longitudes de onda contenidas en 2. (A veces se define como el número de longitudes de onda contenidos en la unidad de longitud). Su unidad es el m
-1
Amplitud (A) se define como la distancia máxima que separa un punto de la posición de equilibrio. Representa el valor máximo que alcanza la perturbación en un punto; por tanto sus unidades son aquellas en que se mide la perturbación (longitud, presión, etc.).
Terminología de la Física de ondas
k 2
ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS
El movimiento ondulatorio supone la transmisión de una perturbación de un punto a otro sin transporte neto de materia.
Nuestro objetivo es obtener la expresión matemática que permita conocer el estado de vibración de cada punto a medida que transcurre el tiempo
Ecuación de D’Alembert
x
X Y
ω t k x
sen A
t)
y(x,
puesto que la longitud de onda = v · T y si utilizamos el número de ondas
A esta ecuación se le conoce como ecuación de D’Alembert o ecuación de propagación de las ondas armónicas unidimensionales
Aunque en las deducción hemos considerado una onda que se desplaza por una cuerda, la ecuación obtenida es válida en muchas otras ocasiones.
x
T 2 t
sen A
t) y(x,
k 2
En ocasiones, para ajustarse a las condiciones iniciales, la ecuación anterior debe incluir una constante , que recibe el nombre de fase inicial, quedando la ecuación de D’Alembert
- Consideraciónes sobre la ecuación de D’Alembert
Cuando la diferencia de fase entre dos puntos es 2 radianes, su estado de vibración es el mismo y decimos que están en fase. Y si la diferencia de fase es radianes, los estados de vibración están en oposición de fase.
Al ángulo ( t - k x) se le denomina fase de la onda.
Si partiendo del origen la onda avanza a lo largo de la parte negativa del eje X, puesto que la velocidad va en sentido negativo, la ecuación que describe la perturbación es:
De igual forma puede utilizarse en lugar de la función seno, la función coseno y la ecuación tendrá la forma:
Incluso a veces, la ecuación aparece escrita como
A sen ω t k x t)
y(x,
ω t k x
sen A
t)
y(x,
ω t k x
cos A
t)
y(x,
k x t
sen A
t)
y(x,
- Consideraciones físicas sobre la ecuación de propagación
Si fijamos el tiempo t, la ecuación proporciona la posición en un instante dado de todos los puntos de la cuerda. Describe la forma de la onda en ese instante; es como una fotografía de la onda.
La ecuación de propagación es una función de dos variables
La ecuación de ondas es doblemente periódica, con un período espacial, caracterizado por la longitud de onda y un período temporal, caracterizado por el período T.
Es periódica en el espacio, la perturbación se repite en todos los puntos cuyas distancias al origen son múltiplos de la longitud de onda. Es decir, en un instante dado t, la onda tiene el mismo valor en las posiciones x, x + , x + 2, etc.
Por tanto, en un instante determinado están en fase las partículas separadas por una distancia igual a un número entero de longitudes de onda.
ω t k x
sen A
t)
y(x,
Es periódica en el tiempo con un período T. Para cualquier posición dada x, la función “y”
toma el mismo valor en los tiempo t, t + T, t, + 2T, etc.
Es decir, que para un punto determinado están en fase los instantes separados en el tiempo por un número entero de períodos
Si, por el contrario, se mantiene fija la posición x, es decir, si
consideramos un punto fijo de la cuerda, la ecuación nos indica cómo
varía la posición de ese punto con el tiempo. Nos describe el
movimiento vibratorio de la partícula situada en la posición x.
Velocidad y aceleración de la onda armónica.
Conocida la ecuación de la onda, se calcula la velocidad de vibración de un punto derivando la posición respecto del tiempo:
Conocida la velocidad, se calcula la aceleración derivando la posición respecto del tiempo:
ω t k x
sen A
t)
y(x,
A cos( ω t k x)
dt
x k t
ω sen d(A
dt
v dy
ω t k x
os c A t)
v(x,
A sen ( ω t k x)
dt
x k t
ω os c A d(
dt
a dv
2 )
t
,
x
(
y
a
2
S.1
La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa es:
y(x,t) = 0,05 sen 2π (25 t – 2 x) (S.I.)
a) Explique de qué tipo de onda se trata y en qué sentido se propaga e indique cuáles son su amplitud, frecuencia y longitud de onda.
b) Calcule la velocidad de propagación de la onda y la
velocidad del punto x = 0 de la cuerda en el instante t = 1
s y explique el significado de cada una de ellas.
S.2
a) Explique qué es una onda armónica y escriba su ecuación.
b) Una onda armónica es doblemente periódica. ¿Qué
significado tiene esa afirmación? Haga esquemas para
representar ambas periodicidades y coméntelos.
S.3
La ecuación de una onda armónica que se propaga por una cuerda es:
y (x, t) = 0,08 cos (16 t - 10 x) (S.I.)
a) Determine el sentido de propagación de la onda, su amplitud, periodo, longitud de onda y velocidad de propagación.
b) Explique cómo se mueve a lo largo del tiempo un punto
de la cuerda y calcule su velocidad máxima.
S.4
Por una cuerda tensa (a lo largo del eje x) se propaga una onda armónica transversal de amplitud A = 5 cm y de frecuencia f = 2 Hz con una velocidad de propagación v = 1,2 m s
- 1.
a) Escriba la ecuación de la onda.
b) Explique qué tipo de movimiento realiza el punto de la
cuerda situado en x = 1 m y calcule su velocidad máxima.
ENERGÍA ASOCIADA AL MOVIMIENTO ONDULATORIO
Un movimiento ondulatorio supone la propagación de una perturbación de un punto del espacio a otro, sin que exista transporte neto de materia.
Vamos a evaluar la energía que se transfiere en el movimiento ondulatorio.
Si consideramos ondas armónicas, cada partícula del medio describe un M.A.S. y comunica a sus vecinas dicho movimiento.
La energía total de una de esas partículas será la suma de la energía cinética y potencial:
donde K representa la constante elástica del medio (no confundir con el nº de onda k).
Cuando la partícula alcanza la máxima elongación (A), su velocidad es cero y, como ya vimos, toda la energía de la partícula es:
E 1
2 m v 1
2 K y
part vibración
2 2
E 1
2 K A
part
2
El resultado muestra que la energía que se transfiere de una partícula a otra es función del cuadrado de la frecuencia de la onda (f
2) y del cuadrado de la amplitud (A
2).
Teniendo en cuenta que K = m ·
2y que 2 f
E 1
2 m A f A
part
2 2 2 m 2 2 2
Si el medio es homogéneo, la energía se irradia por igual en todas las direcciones, repartiéndose en superficies concéntricas de centro el foco emisor y cuyo radio aumenta en el transcurso del tiempo. La energía se distribuye a lo largo del frente de ondas.
Al avanzar la onda, la cantidad de partículas puestas en vibración aumenta, por lo que la energía se reparte para más partículas y les toca a menos cantidad, por lo que la amplitud disminuye y la onda se atenúa.
Si hubiera pérdidas de energía
por rozamiento, viscosidad, etc,
supone que parte de la energía
va siendo absorbida por el
medio y, por tanto, la onda se
debilita, acaba por amortiguarse
y desaparece. A este
debilitamiento se le conoce con
el nombre de absorción.
Para un punto cualquiera, la intensidad de onda (I) es la energía que atraviesa, por unidad de tiempo, la unidad de superficie colocada perpendicularmente a la dirección de propagación en dicho punto.
- Intensidad de onda
donde E representa la suma de todas las energías de las partículas que componen la superficie, P la potencia y S la superficie. Esta superficie depende de si la onda es unidimensional, bidimensional o tridimensional
Una magnitud adecuada para representar la rapidez con la que se transfiere la energía es la intensidad de onda.
�= � � · � = �
�
Como la intensidad es proporcional a la energía y ésta al cuadrado
de la amplitud de las partículas que vibran y, además, la frecuencia
es constante, por ser una característica del centro emisor, podemos
relacionar la amplitud de una onda con la distancia al foco
PRINCIPIO DE HUYGENS
Para explicar los fenómenos ondulatorios Huygens, en 1678, ideó un método geométrico que permite conocer como se pasa de un frente de onda al siguiente y por tanto cómo se propaga la energía a través del medio.
Entendemos por frente de onda los puntos a los que ha llegado la perturbación.
Huygens (1629-1695)
Si tenemos un frente de ondas en un instante t, cada punto del frente de ondas se convierte en un foco secundario de emisión que emite ondas de características idénticas a la original. Al cabo de un tiempo t’, estas ondas elementales alcanzarán los puntos a’, b’ c’, simultáneamente. Uniendo estos puntos, tenemos el nuevo frente de ondas.
Observaciones
PROPIEDADES DE LAS ONDAS
El fenómeno de la reflexión es propio de cualquier tipo de ondas y se produce cuando al encontrarse la onda con una superficie que separa dos medios (aire- cristal plateado, aire-pared), “rebota”
hacia atrás, propagándose por el mismo medio de donde provenía y cambiando de dirección y sentido.
Vamos a realizar un breve análisis cualitativo de los siguientes fenómenos:
- Reflexión
La reflexión cumple las leyes experimentales siguientes
1)
La dirección de propagación de la onda incidente y de la onda reflejada están en un mismo plano, que es perpendicular a la superficie de separación y contiene a la normal.
La onda incidente y la normal a la
superficie determinan un plano y no hay
ninguna razón que aparte de dicho plano a
las ondas reflejadas y refractadas
La segunda ley se justifica con ayuda del principio de Huygens:
supón que tenemos un frente de onda AB y que llega con cierta inclinación “i” a la superficie de separación de dos medios.
Cuando el punto A del frente de onda alcanza la superficie de separación, el punto B dista un segmento BC de la misma.
De ese modo, cuando el punto B llegue a la superficie de separación, las ondas emitidas por A, X, Y, Z habrán originado un nuevo frente de ondas, envolvente de las ondas secundarias, el A’C que constituye la onda reflejada.
En ese instante, el punto alcanzado por A se convierte en un foco emisor de ondas secundarias. A medida que transcurre el tiempo, ocurre lo mismo con los puntos X, Y, Z.
Si la onda incidente forma un ángulo “i” con la superficie y la onda reflejada un ángulo “r”, resulta: sen i = BC/AC sen r = AA’/AC
La onda no cambia de medio, el módulo de la velocidad no se modifica, y por tanto BC = AA´, puesto que se emplea el mismo tiempo en recorrerlas. Por tanto:
ángulo de incidencia (i) = ángulo de reflexión (r)
2)
El ángulo que forma la dirección de propagación de la onda incidente con la normal, ángulo de incidencia (i), es igual al ángulo que forma la dirección de propagación de la onda reflejada con la normal, ángulo de reflexión (r)-Refracción
Un hecho curioso que habrás observado alguna vez es que al introducir, por ejemplo, una pajita recta en agua esta parece torcida. Este fenómeno es debido a la refracción de la luz al pasar del agua al aire y, al igual que con la reflexión, ocurre con todos los tipos de ondas.
La refracción se produce cuando la onda atraviesa la superficie que separa dos medios y se propaga por el segundo medio, modificando su velocidad de propagación y dirección.
La refracción cumple dos leyes similares a las de la reflexión:
1)
La dirección de propagación de la onda incidente y de la onda refractada están en un mismo plano, que es perpendicular a la superficie de separación y contiene a la normal.2) La relación que existe entre el seno del ángulo de incidencia (i) y el seno del ángulo que forma la onda refractada con la normal, ángulo de refracción (t), es la misma que la que existe entre las velocidades de propagación de la onda en los dos medios.
Ley de Snell
v
1representa la velocidad de propagación en el medio incidente y v
2la velocidad de propagación por el medio en que se refracta.
De esta relación se deduce que cuando la onda accede a un medio por el que se propaga más despacio, el ángulo de refracción es menor que el de incidencia (la dirección de propagación se acerca a la normal). En caso contrario, el ángulo de refracción es mayor que el de incidencia (la dirección de propagación se aleja de la normal)
sen sen
i
t v v
1 2
Ley de Snell
La ley de Snell puede justificarse con el principio de Huygens, teniendo en cuenta que la velocidad de la onda al penetrar en el segundo medio varía por tener éste características diferentes al primero.
Supongamos que un frente de ondas plano incide sobre la superficie que separa los dos medios. Sean v1 y v2 las velocidades de propagación de la onda en los medios 1 y 2 respectivamente.
Cuando el punto A es alcanzado por el frente de ondas se comportará como foco emisor de ondas secundarias, en ese caso hacia el segundo medio, y lo mismo ocurrirá con los puntos X, Y, Z, a medida que son alcanzados por la onda.
Durante el tiempo que emplea B en llegar hasta C, se ha generado en el segundo medio un nuevo frente de ondas, A’C,
De la figura se deduce:
Si v
1y v
2son las respectivas velocidades de propagación en cada uno de los medios, tendremos:
BC = v
1· t AA’ = v
2· t
siendo t el tiempo que emplea la onda en pasar de A a A’, idéntico al que emplea en pasar de B a C.
y dividiendo miembro a miembro:
que es la ley de Snell.
AC sen t AA'
; AC i BC
sen
AC v t
sen t
; AC
v t i
sen
1
2
sen sen
i
t v
v
1 2
- Difracción
La difracción es el fenómeno que se produce cuando en la propagación de una onda ésta encuentra un obstáculo o una abertura de tamaño comparable al de su longitud de onda.
La difracción es característica del movimiento ondulatorio. Si existe difracción, el fenómeno tiene naturaleza ondulatoria
Si en el camino de las ondas colocamos un obstáculo cuyo tamaño sea del orden del de la longitud de onda se observa que los puntos del frente de ondas que no están tapados por el obstáculo se convierten en centros emisores de nuevos frentes de ondas, logrando la onda bordear el obstáculo y propagarse detrás del mismo.
El sonido es capaz de bordear obstáculos pequeños que encuentre en su camino, ya que su longitud de onda está comprendida entre unos cm y varios m.
Hecho que nos permite escuchar a las personas situadas al otro lado de una esquina aunque no las veamos. Sin embargo, no puede salvar obstáculos como un edificio o una montaña.
Si en vez de un obstáculo interponemos en el camino de la onda incidente un orificio del tamaño de la longitud de onda, el orificio se convierte en centro emisor. La onda incidente difiere tanto más de la difractada cuánto más próximo sea el tamaño del orificio al de la longitud de onda. Difracción
- Polarización
Una onda transversal puede vibrar en cualquiera de los posibles planos perpendiculares a la dirección de propagación, pero si forzamos, por medio de algún dispositivo, a que las vibraciones se produzcan en un único plano, decimos que hemos polarizado la onda.
El plano determinado por las direcciones de propagación y de vibración de la onda se denomina plano de polarización.
Al generar una onda en una cuerda, las partículas pueden vibrar en cualquier dirección. Si en el camino de la cuerda ponemos una ventana estrecha, las ondas que son paralelas a la ranura pueden pasar al otro lado porque están orientadas debidamente, pero las que vibran en cualquier otra dirección no atravesarán la ventana.
La polarización es una propiedad que sólo tiene sentido en las ondas transversales y cobra especial importancia en el caso de la luz, ya que sirvió para demostrar su carácter de onda transversal.
Polarizador
S.5
Por una cuerda se propaga un movimiento ondulatorio caracterizado por la función de onda:
Razone a qué distancia se encuentran dos puntos de esa cuerda si:
a) La diferencia de fase entre ellos es de π radianes.
b) Alcanzan la máxima elongación con un retardo de un cuarto de periodo.
T
t λ 2π x sen A y
S.6
Se hace vibrar transversalmente un extremo de una cuerda de gran longitud con un período de 0,5 s y una amplitud de 0,2 cm, propagándose a través de ella una onda con una velocidad de 0,1 m s
– 1.
a) Escriba la ecuación de la onda, indicando el razonamiento seguido.
b) Explique qué características de la onda cambian si:
i)se aumenta el período de la vibración en el extremo de la cuerda;
ii)se varía la tensión de la cuerda.
INTERFERENCIAS. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Al encuentro en un punto del espacio de dos o más movimientos ondulatorios que se propagan por en mismo medio se le llama interferencia.
El hecho de que dos pulsos se crucen sin alterar su naturaleza es una propiedad fundamental de las ondas y caracteriza al movimiento ondulatorio
Este comportamiento constituye la base experimental que permite enunciar lo que se conoce como el principio de superposición.
“Cuando se propagan dos o más ondas por un medio, la perturbación resultante en cada punto del medio es igual a la suma de las perturbaciones que producirían cada una de las ondas por separado”
Tras la coincidencia, cada onda vuelve a conservar su forma original como si no hubiera pasado nada.
El principio de superposición permite estudiar analíticamente qué ocurre cuando por un medio se propaga más de una onda: basta sumar los efectos de cada una de las ondas individuales.
Cuando la perturbación resultante de la superposición de dos o más ondas supone un refuerzo, se habla de interferencia constructiva, y la perturbación resultante es mayor que las originales.
Si la perturbación resultante es menor que las originales, la interferencia es destructiva.
El estudio de la interferencia de dos ondas cualesquiera es
demasiado complejo para ser tratado aquí. Resolveremos
únicamente algunas situaciones simples.
Vamos a resolver un caso sencillo de interferencia de ondas:
1º.- Supondremos que las ondas que interfieren son idénticas, es decir, tienen la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud.
2º.- Además, tendrán la misma fase o una diferencia de fase constante. A este tipo de fuentes se les llama coherentes.
3º.- Consideramos que la propagación se produce en un plano, como las ondas que se propagan por la superficie del agua, generadas por dos agitadores idénticos.
Considera que disponemos de dos focos emisores de ondas armónicas, F1 y F2 y que estamos interesados en determinar la perturbación resultante en un punto P cualquiera.
De ese modo, las perturbaciones que producen en P cada uno de los focos, suponiendo que están en fase, son:
y
1= A · sen ( t - k d
1) ; y
2= A · sen ( t - k d
2)
donde d
1y d
2son las respectivas distancias de los focos al punto P.
Aunque A, k y son idénticas para cada onda, no lo son las
perturbaciones y
1e y
2en el instante t, ya que la distancia del punto P a
cada uno de los focos no tiene por qué ser la misma.
ONDAS ESTACIONARIAS
Estudiaremos ahora el caso de que las ondas no se propaguen por un medio abierto, por ejemplo, si en una cuerda con un extremo fijo y el otro libre generamos una onda en el extremo libre, ésta se propaga hasta el extremo fijo y se refleja volviendo por la cuerda hasta el extremo libre.
La onda incidente y la reflejada (si no existe amortiguamiento) tienen las mismas características, pero viajan en sentidos contrarios. ¿Cómo interfieren esas dos ondas?
El resultado de esta interferencia es que unos puntos están siempre en reposo y otros presentan movimiento vibratorio armónico de distintas amplitudes. Esta onda se denomina onda estacionaria porque el perfil de la onda no se desplaza debido a que existen unos puntos para los cuales la amplitud es siempre cero.
Ondas estacionarias
La interferencia de dos ondas de idéntica amplitud, frecuencia y longitud de onda que se propagan en la misma dirección pero en sentido contrario se le llama onda estacionaria.
La ecuación de la onda estacionaria es de la forma:
y = 2 · A sen (kx) · cos (t)
ecuación que depende del tiempo y de la posición separadamente:
- A es la amplitud de las ondas que por superposición originan la onda estacionaria.
- es la frecuencia angular de las ondas originales
- k el nº de ondas de las ondas que originan la onda estacionaria - x es la distancia de cualquier punto al extremo fijo.
Si denominamos amplitud resultante (A
r) a : A
r= 2 A sen kx la ecuación de la onda estacionaria es.
y = A
rcos t
Esta onda estacionaria resultante, tiene la misma frecuencia y longitud de onda que las ondas originales y la amplitud depende de la localización de la partícula en la cuerda y no del tiempo.
opcione s
Analicemos la expresión de la amplitud resultante:
A
r= 2 A sen kx
- La amplitud A
res máxima cuando: sen kx = 1
por lo que: con n = 0, 1, 2 ...
Como k = 2/ , resulta:
Es decir, todos los puntos que distan del origen un número impar de cuartos de longitudes de onda vibran con la amplitud máxima. Estos puntos se denominan vientres.
- La amplitud resultante será nula en los puntos que verifiquen:
kx = n con n = 0, 1, 2 ...
A estos puntos se les denomina nodos, y al tener amplitud nula, permanecen constantemente en reposo.
2 1) π (2n
2 nπ
kx π
4 1 λ 2n
x
2
n λ
x
De ello se deriva una conclusión muy importante:
Si a lo largo de la cuerda existen una serie de puntos que permanecen en reposo (nodos), resulta imposible transmitir energía más allá de ellos, por lo que la energía no se puede propagar por el medio. La onda estacionaria no es una onda viajera; de ahí el nombre de estacionaria.
Como se observa en la figura, todos los puntos, salvo los nodos, se mueven con M.A.S. de la misma frecuencia y amplitud variable, de acuerdo con su posición. Todos vibran a la vez y alcanzan simultáneamente los posiciones de equilibrio.
Observa que la distancia entre dos nodos o dos vientres consecutivos es
/2
La distancia entre un nodo y un vientre /4
Applet
Ondas estacionarias
Un caso especialmente interesante de ondas estacionarias es el que ocurre en una cuerda fija por sus dos extremos en la que provocamos una perturbación.
Si la cuerda es de longitud L, al estar fijos ambos extremos, los puntos x = 0 y x = L han de ser nodos de las ondas estacionarias.
Por tanto, en la longutid L debe haber un número entero de semilongitudes de onda, esto es:
Las posibles longitudes de onda han de cumplir:
La figura muestra los tres primeros modos de vibración de una cuerda. La longitud de onda del primer modo (n =1) es 2 L. Para el siguiente modo de vibración (n = 2) es símplemente L y así sucesivamente.
2 n λ L
n 2 L
Recordando la relación que existe entre la longitud de onda y la frecuencia,
Denominamos frecuencia fundamental de vibración al valor con n = 1
Observa que sólo son posibles aquellas ondas cuya frecuencia de vibración es un múltiplo de la frecuencia fundamental y que la frecuencia no varía de forma continua, sino que lo hace adquiriendo valores que se diferencian en v/(2L).
Podemos afirmar que estas ondas están “cuantizadas”, siendo ello consecuencia de las condiciones de contorno (longitud de la cuerda L y sus extremos fijos).
Esta situación se da con frecuencia en física, ocurre, por ejemplo, con las ondas estacionarias asociadas al movimiento del electrón en el átomo y con la interpretación de los niveles energéticos de dicho electrón.
Las ondas sonoras que se generan en los instrumentos de cuerda, así como las formadas en los tubos sonoros son estacionarias.
L 2 n v f v
f v
2 L
S.7
a) Explique las diferencias entre ondas transversales y ondas longitudinales y ponga algún ejemplo.
b) ¿Qué es una onda estacionaria? Comente sus
características.
S.8
La ecuación de una onda en una cuerda es:
y(x,t)= 0,4 sen(12π x)· cos(40π t) (S.I.)
a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitud de onda y velocidad de propagación.
b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos
con amplitud cero.
S.9
En una cuerda tensa de 16 m de longitud, con sus extremos fijos, se ha generado una onda de ecuación:
a) Explique de qué tipo de onda se trata y cómo podría producirse. Calcule su longitud de onda y su frecuencia.
b) Calcule la velocidad en función del tiempo de los puntos de la cuerda que se encuentran a 4 m y a 6 m, respectivamente, de unos de los extremos y comente los resultados
.) . ( ) 8 cos(
4 ) ( 02
, 0 ) ,
(x t sen x t S I
y
S.10
Por una cuerda tensa se propaga la onda:
a) Indique las características de la onda y calcule la distancia entre el 2º y el 5 nodo.
b)Explique las características de las ondas cuya superposición daría lugar a esa onda, escriba sus ecuaciones y calcule su velocidad de propagación.
.) . ( ) 50 ( )
5 , 0 cos(
10
· 8 ) ,
(x t 2 x sen t S I
y
S.11
La ecuación de una onda es:
y (x, t) = 0,16 cos (0,8 x) cos (100 t) (S. I.)
a) Con la ayuda de un dibujo, explique las características de dicha onda.
b) Determine la amplitud, longitud de onda, frecuencia y
velocidad de propagación de las ondas cuya superposición
podría generar dicha onda.
S.12
a) Se hace vibrar una cuerda de guitarra de 0,4 m de longitud, sujeta por los dos extremos. Calcule la frecuencia fundamental de vibración, suponiendo que la velocidad de propagación de la onda en la cuerda es de 352 m s
- 1.
b) Explique por qué, si se acorta la longitud de una cuerda
en una guitarra, el sonido resulta más agudo.
S.13
En una cuerda tensa, sujeta por sus extremos, se tiene una onda de ecuación:
a) Indique el tipo de onda de que se trata. Explique las características de las ondas que dan lugar a la indicada y escriba sus respectivas ecuaciones.
b) Calcule razonadamente la longitud mínima de la cuerda que puede contener esa onda. ¿Podría existir esa onda en una cuerda más larga? Razone las respuestas.
.) . ( ) 200 cos(
) 4
( 02
, 0 ) ,
( x t sen x t S I
y
S.14
a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de una onda.
b) ¿Tienen igual frecuencia, longitud de onda y velocidad
de propagación la onda incidente, la reflejada y la
refractada?
S.15
a) Comente la siguiente afirmación: “las ondas estacionarias no son ondas propiamente dichas” y razone si una onda estacionaria transporta energía.
b) Al arrojar una piedra a un estanque con agua y al pulsar la cuerda de una guitarra se producen fenómenos ondulatorios. Razone qué tipo de onda se ha producido en cada caso y comente las diferencias entre ambas.
Podemos enunciar el principio de Huygens como sigue:
Todo punto de un frente de onda es centro emisor de nuevas ondas elementales cuya envolvente es el nuevo frente de ondas.
Esta forma de interpretar la propagación de una onda resulta apropiada en el caso de ondas materiales, en las que las vibraciones de las partículas del medio se transmiten de unas a otras, pero carece de significado físico si consideramos las ondas electromagnéticas, que se propagan en el vacío.
Asimismo, si somos rigurosos con la idea de que cada punto del medio alcanzado por una onda se convierte en foco emisor de ondas secundarias, habría que admitir la propagación “hacia atrás”, que realmente no se observa. Una modificación posterior del principio de Huygens, permitió soslayar estos defectos.
Kirchhoff modifica el enunciado original, de modo que el principio puede aplicarse a cualquier tipo de onda y, además, establece que las ondas de retroceso poseen energía nula y , por tanto, no existen. Las dificultades matemáticas añadidas que suponen estas modificaciones harán que aceptemos sin más los resultados obtenidos por Kirchhoff
Kirchhoff (1824-1887)
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ECUACIÓN DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS
Hemos visto que una onda estacionaria es el resultado de la interferencia de dos ondas idénticas que se propagan en sentido opuesto.
Si elegimos como referencia el punto en el que se refleja la onda, la ecuación de la onda que viaja hacia la izquierda es de la forma:
y
1= A sen ( · t + k x)
La onda incidente al reflejarse, en el extremo fijo, sufre un cambio de fase de radianes y como sen ( + ) = - sen , la onda reflejada que viaja hacia la derecha es:
y
2= A sen ( · t - k x + ) = - A sen ( · t - k x)
de modo que la perturbación resultante en cada punto de la cuerda, vendrá dada por:
y = y
1+ y
2= A sen ( · t + k x) - A sen ( · t - k x) y = 2 · A · sen kx · cos t
que es la ecuación de las ondas estacionarias
Utilizando la relación
sena senb 2cosa b2 sen a b2Otras formas de la ecuación de las ondas estacionarias
Aunque en la presentación hemos usado la ecuación y = 2 · A sen (kx) · cos (t)
Es posibles encontrar la ecuación escrita de forma diferente, veamos otras formas posibles:
y = 2 · A cos (kx) · sen (t)
Si con estas ecuación aplicamos la condición de vientre, cos (kx) 1, con lo que resulta x n·/2Y para los nodos cos (kx) 0 y resulta x (2n+1)·/4
Que como vemos es diferente a las posiciones obtenidas con la ecuación (1).
Pero lo importante es que los nodos y los vientres sucesivos están separados igualmente /4
(1)
y = 2 · A cos (kx) · cos (t)
Estas ondas representa con respecto a la de la ecuación (1) un desfase de /2, puesto que cos(kx)sen(kx/2) o bien cos(kx/2) sen (kx)
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