El producto de dos sigma-´algebras de Borel

(1)

El producto de dos sigma-´

algebras de Borel

Juan Carlos Jim´enez Cervantes

Instituto Polit´ecnico Nacional Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas

M´exico

(2)

Introducci´on

Notaci´

on

Durante la presentaci´on se mantendra la siguiente convenci´on: Sea X un conjunto, C, D ⊂ 2X,

C × D := {A × B | A ∈ C ∧ B ∈ D}.

Sean (X , τ1), (Y , τ2) espacios topol´ogicos,

τ1⊗ τ2:= {W ∈ 2X ×Y | W =

[

α∈I

Aα, donde {Aα}α∈I ⊂ τ1× τ2},

sean B1,B2 sus σ-´algebras de Borel correspondientes,

(3)

Introducci´on

Notaci´

on

C × D := {A × B | A ∈ C ∧ B ∈ D}. Sean (X , τ1), (Y , τ2) espacios topol´ogicos,

τ1⊗ τ2:= {W ∈ 2X ×Y | W =

[

α∈I

(4)

Introducci´on

Notaci´

on

C × D := {A × B | A ∈ C ∧ B ∈ D}. Sean (X , τ1), (Y , τ2) espacios topol´ogicos,

τ1⊗ τ2:= {W ∈ 2X ×Y | W =

[

α∈I

(5)

Introducci´on

Diagrama

Se pasa a las σ-´algebras de Borel

Pasamos a la topolog´ıa producto Pasamos a la σ-álgebra de Borel P asamo s a la σ -álgeb ra del p ro ducto de dos σ -álgeb ras ¿Bτ1⊗τ2⊂B1•B2? ¿B1•B2⊂Bτ1⊗τ2? (X , τ1), (Y , τ2) (X ,B1), (Y ,B2) (X × Y , τ1⊗ τ2) (X × Y ,B1•B2) (X × Y ,Bτ1⊗τ2)

(6)

Introducci´on

Diagrama

(7)

Introducci´on

Diagrama

(8)

Introducci´on

Diagrama

(9)

Primera contenci´on

Lema (Medibilidad de funciones continuas).

Sean (X , τ1), (Y , τ2) dos espacios topol´ogicos,

B1,B2 las σ-´algebras de Borel correspondientes.

Si F ⊃B1 es una σ-´algebra sobre X, entonces

C (X , Y ) ⊂ M(X , F , Y ). (1)

Lema.

B1,B2 sus σ-´algebras de Borel correspondientes,

P ∈B1.

Entonces

(10)

Lema (Medibilidad de funciones continuas).

B1,B2 las σ-´algebras de Borel correspondientes.

Si F ⊃B1 es una σ-´algebra sobre X, entonces

C (X , Y ) ⊂ M(X , F , Y ). (1)

Lema.

B1,B2 sus σ-´algebras de Borel correspondientes,

P ∈B1.

Entonces

(11)

Demostraci´on.

Observamos que π1 : X × Y → X es funci´on continua.

Sea U ∈ τ1,

π₁−1[U] = U × Y ∈ τ1× τ2 ⊂ τ1⊗ τ2.

Del lema sobre la medibilidad de funciones continuas, si P ∈B1

π−1₁ [P] ∈ σ(τ1⊗ τ2) =Bτ1⊗τ2.

(12)

Proposici´on.

B1•B2 la σ-´algebra producto,

Bτ1⊗τ2 la σ-´algebra de Borel de τ1⊗ τ2. Entonces

B1•B2 ⊂Bτ1⊗τ2 (3)

Demostraci´on.

Sea P × Q ∈B1×B2. Observamos que,

P × Q = (P × Y ) ∩ (X × Q) = π₁−1[P] ∩ π−1₂ [Q], por el lema anterior,

π−1₁ [P], π₂−1[Q] ∈Bτ1⊗τ2.

(13)

Segunda contenci´on

Lema (Los b´asicos son rect´angulos medibles).

B1,B2 las σ-´algebras de Borel correspondientes,

B1×B2 el conjunto de rectangulos medibles,

Entonces

τ1× τ2 ⊂B1×B2. (4)

Demostraci´on.

Es inmediato. Sea W ∈ τ1× τ2, esto es

W = U × V

(14)

Lema (Los b´asicos son rect´angulos medibles).

B1×B2 el conjunto de rectangulos medibles,

Entonces

τ1× τ2 ⊂B1×B2. (4)

Demostraci´on.

Es inmediato. Sea W ∈ τ1× τ2, esto es

W = U × V

(15)

Lema (La propiedad der ser segundo numerable se preserva bajo productos).

Sean (X , τ1), (Y , τ2) dos espacios topol´ogicos.

Si los espacios son segundo numerables, i.e. existen bases numerables de cada espacio, entonces τ1⊗ τ2 es segundo numerable.

Demostraci´on.

Sean C, D bases numerables de τ1 y τ2 respectivamente.

(16)

Lema (La propiedad der ser segundo numerable se preserva bajo productos).

Sean (X , τ1), (Y , τ2) dos espacios topol´ogicos.

Si los espacios son segundo numerables, i.e. existen bases numerables de cada espacio, entonces τ1⊗ τ2 es segundo numerable.

Demostraci´on.

Sean C, D bases numerables de τ1 y τ2 respectivamente.

(17)

Segunda contenci´on Sea W ∈ τ1⊗ τ2, luego W = [ α∈I Uα× Vα, con Uα∈ τ1 y Vα ∈ τ2, ∀ α ∈ I .

Sean β ∈ I y x ∈ Uβ× Vβ. A su vez, existen {Cn∗}n∈N ⊂ C y {Dn∗}n∈N ⊂ D tales que

Uβ = [ n∈N C_n∗ ∧ V_β = [ n∈N D_n∗

As´ı pues, ∃n1, n2∈ N tal que x ∈ Cn1∗ × Dn2∗ ⊂ Uβ× Vβ ⊂ W . Como W era arbitrario,

tenemos que C × D es base de τ1⊗ τ2. .

Observaci´on.

(18)

Uβ = [ n∈N C_n∗ ∧ V_β = [ n∈N D_n∗

As´ı pues, ∃n1, n2∈ N tal que x ∈ Cn∗1× D

∗

n2⊂ Uβ× Vβ ⊂ W . Como W era arbitrario,

Observaci´on.

(19)

Uβ = [ n∈N C_n∗ ∧ V_β = [ n∈N D_n∗

As´ı pues, ∃n1, n2∈ N tal que x ∈ Cn∗1× D

∗

n2⊂ Uβ× Vβ ⊂ W . Como W era arbitrario,

Observaci´on.

(20)

Proposici´on.

B1⊗B2 la σ-´algebra producto.

Si los espacios son segundo numerables, entonces

Bτ1⊗τ2 ⊂B1•B2. (5) Demostraci´on. Sea W ∈ τ1⊗ τ2, esto es W = [ n∈N En.

(21)

Proposici´on.

B1⊗B2 la σ-´algebra producto.

Si los espacios son segundo numerables, entonces

Bτ1⊗τ2 ⊂B1•B2. (5) Demostraci´on. Sea W ∈ τ1⊗ τ2, esto es W = [ n∈N En.

(22)

Lo anterior se debe a que W , como es elemento de τ1⊗ τ2, es la uni´on arbitraria de elementos

de C × D (por el lema (8)), esta a su vez es una colecci´on numerable, por lo que W resulta ser solo una uni´on numerable.

Finalmente, como B1•B2 es cerrado bajo uniones numerables, W ∈B1•B2. Luego,

τ1⊗ τ2⊂B1•B2 y esto implica la contenci´on (5). .

(23)

Lo anterior se debe a que W , como es elemento de τ1⊗ τ2, es la uni´on arbitraria de elementos

de C × D (por el lema (8)), esta a su vez es una colecci´on numerable, por lo que W resulta ser solo una uni´on numerable.

Finalmente, como B1•B2 es cerrado bajo uniones numerables, W ∈B1•B2. Luego,

τ1⊗ τ2⊂B1•B2 y esto implica la contenci´on (5). .

(24)

Proposici´on (La σ-´algebra generada por la base de una topolog´ıa).

Sea (X , τ ) espacio topol´ogico segundo numerable con base A. Entonces

Bτ = σ(A)

Demostraci´on.

En general se tiene que σ(A) ⊂ σ(τ ) =Bτ.

Ahora, sea U ∈ τ . As´ı pues, U =S

m∈NAm, con {Am}m∈N⊂ A.

Como σ(A) es cerrado bajo uniones numerables, tenemos que U ∈ σ(A).

(25)

Proposici´on (La σ-´algebra generada por la base de una topolog´ıa).

Sea (X , τ ) espacio topol´ogico segundo numerable con base A. Entonces

Bτ = σ(A)

Demostraci´on.

En general se tiene que σ(A) ⊂ σ(τ ) =Bτ.

Ahora, sea U ∈ τ . As´ı pues, U =S

m∈NAm, con {Am}m∈N⊂ A.

Como σ(A) es cerrado bajo uniones numerables, tenemos que U ∈ σ(A).

(26)

Teorema.

Sean (X , τ1), (Y , τ2) espacios topol´ogicos segundo numerables,

B1•B2 la σ-´algebra producto de las σ-´algebras de Borel.

Entonces

(27)

Extras

Problema.

Sean (X , τ1)y (Y , τ2) dos espacios topol´ogicos, entonces

σ(τ1) × Y ⊂ σ(τ1× Y )?