UNIDAD 3. Traslación y rotación de ejes.

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UNIDAD 3

Traslación y rotación de ejes.

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Las cónicas se analizan en el sistema de coordenadas cartesianas en el plano de dos dimensiones, para cualesquiera de las que has estudiado: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Sucede que estas formas geométricas no siempre se localizan en ejes paralelos a la horizontal y vertical, sino con una inclinación que se puede indicar en grados; para ello es necesario trasladar y/o rotar los ejes para establecer una ecuación más simple que se resuelva de una manera más rápida.

En esta unidad se resolverán ejercicios donde las cónicas se encuentran inclinadas y debes aplicar las ecuaciones de rotación y/o traslación para su solución. Una vez aplicadas, el procedimiento algebraico es el mismo que en la unidad anterior, donde es necesario usar en algunas ocasiones el método de completar el trinomio cuadrado perfecto, también se debe identificar en algunas ocasiones la cónica que se está utilizando por medio de la ecuación general de las cónicas y analizando los coeficientes para aplicar las fórmulas y procedimientos que correspondan a la figura que sea el objeto de estudio.

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1. Usarás la ecuación general de segundo grado en la identificación del tipo de cónicas.

3.1. Ecuación general de las cónicas.

3.1.1. Reducción a forma canónica.

3.1.2. Determinación del tipo de curva considerando los coeficientes, A y C.

3.1.3. Determinación del tipo de curva, considerando el término Bxy.

3.1.4. Discriminante de la ecuación.

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3.1. Ecuación general de las cónicas.

3.1.1. Reducción a forma canónica.

Una forma usual de considerar las cónicas es considerando su expresión analítica en el plano cartesiano.

La ecuación representativa de las cónicas en una de sus formas es:

2 2

0 Ax + Cy + Dx + Ey + = F

En donde los coeficientes A, C, D, E y F, son números reales que determinan el tipo de curva correspondiente que, en caso de existir, podríamos tener: la línea recta, la circunferencia, la parábola, la elipse o una hipérbola.

En otros casos la curva, puede presentarse como una recta o un par de rectas, también puede ser un punto o el conjunto vacío.

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3.1.2. Determinación del tipo de curva considerando los coeficientes, A y C.

Tomando en consideración la forma de la ecuación:

2 2

0 Ax + Cy + Dx + Ey + = F

(1) se nos presentan los que casos veremos a continuación:

1. Si los coeficientes A y C son iguales a cero, es decir: A = C = 0

La gráfica es una recta. De acuerdo a la ecuación (1) nos queda reducida a la forma:

0 Dx+Ey+ =F

Que nos representa a la ecuación general de la recta, vista anteriormente.

2. Si los coeficientes A y C son diferentes a cero; es decir A ≠ 0 y C ≠ 0, es decir:

A = C ≠ 0

La gráfica será una circunferencia, un punto o el conjunto vacío.

3. También puede presentarse que uno de los coeficientes de las variables al cuadrado sea igual a cero, por lo que la gráfica de la curva será una parábola, una línea recta, dos líneas rectas o un conjunto vacío.

4. Si se cumple que el producto de los coeficientes A y C es un resultado mayor que cero, la gráfica representará una elipse, un punto o un conjunto vacío. Es decir que:

(A) (C) > 0

La gráfica es una hipérbola o dos líneas rectas que se intersectan.

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3.1.3. Determinación del tipo de curva, considerando el término Bxy.

La ecuación general de segundo grado de la parábola, elipse e hipérbola es de la forma:

2 2

0 Ax + Bxy Cy + + Dx + Ey + = F

Como vimos anteriormente los coeficientes de los términos de segundo grado son los que definen a la curva correspondiente dada una ecuación. El término Bxy aparece solamente cuando la curva tiene sus ejes inclinados con respecto a los ejes cartesianos.

La elipse, la parábola y la hipérbola reciben el nombre general de curvas de segundo grado, porque, como ya vimos, cada una de ellas está representada por una ecuación de segundo grado. También es muy común llamarlas cónicas, porque resultan de un cono de revolución al ser cortado por un plano, ya sea oblicuamente a la base, perpendicularmente a ella o paralelamente a la generatriz.

3.1.4. Discriminante de la ecuación.

A partir de la ecuación general: Ax2+Bxy Cy+ 2+Dx+Ey+ =F 0 podemos saber de qué cónica se trata recurriendo al binomio B2-4AC, llamado discriminante de la ecuación, el cual se representa con la letra D de donde:

2 4

D=BAC Por lo cual tenemos los casos siguientes:

Si D=B2−4AC<0, se trata de una ELIPSE Si D=B2−4AC=0, se trata de una PARÁBOLA Si D=B2−4AC>0, se trata de una HIPÉRBOLA

Quiere decir que: Si el valor del discriminante de una ecuación es negativo, cero o positivo nos indica que la ecuación corresponde a una elipse, a una parábola o a una hipérbola respectivamente.

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1.

Simplifica la ecuación eliminando los términos de primer grado.

2 2

a) x + y + 6x - 10y +12 = 0

2 2

b) x + y + 6x +4y +8 = 0

2 2

c) x + 3y - 4x - 30y + 76 = 0

2 2

d) 3x + 2xy+3y -8x-8y=0

2 2

e) 8x -24xy+15y +4y-4=0

2 2

f) 16x -12xy+9y +32x-161=0

2 2

g) 3x -7xy+3y -10=0

2 2

h) 25x -10x+25y +20y-180=0

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2. Usarás la traslación y rotación de ejes en la solución de problemas.

3.2. Movimientos de traslación y rotación de ejes coordenados en la solución de problemas.

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3.2. Traslación y rotación de ejes coordenados.

En todos los temas tratados en relación con la línea recta, y los que veremos con respecto a la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola, se considerada el sistema de coordenadas rectangulares.

Con el propósito de identificar y trazar la gráfica de una curva de segundo grado, se procede a su reducción a forma canónica. Se lleva a cabo esta reducción por medio de una adecuada transformación de coordenadas (por ejemplo, cambio de sistema de referencia), en dos etapas o transformaciones sucesivas:

Rotación de ejes.

Traslación de ejes.

Figura 26: Rotación y traslación de ejes

3.2.1. Traslación paralela de los ejes.

El conocimiento de las fórmulas de traslación nos ayuda a simplificar muchos problemas de la geometría analítica.

De acuerdo a la siguiente figura verás como se pueden trasladar las ecuaciones de las curvas de un sistema cartesiano x o y, hasta ocupar una posición x´ o y´ de ejes paralelos a los primeros.

Designamos el nuevo origen por 0’ (h, k), referido al sistema de coordenadas x, y. Por el punto 0´ trazamos rectas paralelas al eje x y al eje y, las que tomaremos como los nuevos ejes x´ y y´. Todo punto P(x, y) en el sistema original tendrá P´(x´, y´) referidos al nuevo sistema de ejes. Según la figura 27:

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Figura 27. Traslación de los ejes coordenados.

Las coordenadas originales del punto P(x, y) son:

,

AP=x EP= y Así mismo, tenemos:

', '

BP=x DP= y Que son las nuevas coordenadas del punto P´ (x´, y´).

De la figura también se deduce que:

' AP=BP+AB= +x h

' EP=DP+AB= +y k Sustituyendo obtenemos que:

x = x´+ h ……. (1) y = y´ + k .……. (2)

Figure

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