TODAS SUS RESPUESTAS DEBEN ESTAR DEBIDAMENTE JUSTIFICADAS

EVALUACIÓN DE DINÁMICA

TODAS SUS RESPUESTAS DEBEN ESTAR DEBIDAMENTE JUSTIFICADAS 1) Se tiene un sistema de dos cuerpos (como el que se observa en la figura) vinculados por un hilo tenso, inextensible y de masa despreciable. Sabiendo que sobre el cuerpo 2 actúa una fuerza y que éste desciende al mismo tiempo que el cuerpo 1 se desliza sobre un plano horizontal con rozamiento:

Fr

a) Realice los diagramas de cuerpo libre para ambos cuerpos.

b) Halle la aceleración del cuerpo 1 en términos de: m1, m2, Fr

, gr , µd. c) Halle Fr

sabiendo que el cuerpo 2 desciende con velocidad constante y que m₁ =20kg, m₂ =3kg, 3

,

=0 µd .

d) Para el valor de Fr

hallado en el punto c), halle el valor de Tr .

2) El cuerpo de la figura asciende deslizándose sobre un plano inclinado con rozamiento. Si partió desde la base del plano con una velocidad inicial de módulo 20m/s,

Datos: m=20kg, µ_d =0,5, 8µ_e =0, , α = 37°.

a) ¿Cuánto tarda en detenerse? ¿Qué distancia recorrió?

b) Una vez que se detiene, ¿comenzará a descender? Justifique.

c) Resuelva nuevamente el punto b) pero suponiendo que el ángulo α = 53°.

d) ¿Cómo se modifican los resultados de los puntos a) y b) si se triplica la masa del cuerpo?

3) Justifique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Si un cuerpo se desplaza con v constante necesariamente sobre ese cuerpo debe estar actuando una fuerza constante.

r

b) Cuando un insecto choca contra el parabrisas de un vehículo que circula con gran rapidez se destruye mientras que al vehículo no le ocurre nada. Esto ocurre porque la fuerza que el auto le ejerce al insecto es mucho mayor que la que el insecto le ejerce al auto.

RESOLUCIÓN

1) a)

Sobre el cuerpo 1 actúan: la fuerza de atracción gravitatoria (peso) como resultado de la interacción entre el cuerpo y la Tierra, de la interacción con la superficie tenemos 2 fuerzas: la Normal (perpendicular a la superficie y hacia fuera de la misma) y la fuerza de rozamiento dinámico (paralela a la superficie y de sentido opuesto al de la velocidad de la partícula relativa a la superficie) y por último, de la interacción con el hilo, tenemos la Tensión.

Como el hilo es inextensible y se halla tenso y el cuerpo 2 desciende, el cuerpo 1 se debe mover hacia la derecha razón por la cual hemos considerado que la fuerza de rozamiento dinámico apunta hacia la izquierda.

Sobre el cuerpo 2 tenemos el peso, la tensión y además una fuerza externa Fr .

Elegimos un sistema de referencia para cada uno de los cuerpos y escribimos las fuerzas de acuerdo con dicho sistema:

( ) ( ) (

)

0

; 2 Cuerpo

2 2

T T

P P

F F

r r

r r

r r

−

=

=

( )

( )

( ) ( )

0

;

; 0

1 Cuerpo

1 1

T T

P P

f f

N N

rd rd

r r

r r

r r

r r

=

−

=

−

=

=

Aquí ya hemos usado que la masa del hilo es despreciable porque le hemos asignado el mismo módulo a las tensiones aplicadas sobre ambos cuerpos.

La segunda Ley de Newton aplicada a cada uno de estos cuerpos nos da como resultado las siguientes ecuaciones dinámicas.

Para el cuerpo 1:

en x:

x

rd T m a

f + = _{1 1}

− r r

(1) en y:

ay

m P

Nr − r₁ = _{1 1}

y como el cuerpo se desliza sobre una superficie con y constante tenemos que

1

1 0 N P

a _y = ⇒ r = r (2) Y para el cuerpo 2:

en x:

a x

m F T

Pr₂ − r + r = _{2 2} (3) en y:

0 0=m₂a_2y ⇒a_2y = (4)

b) Nos piden la aceleración del cuerpo 1 en términos de: m₁, m₂, Fr

, gr , µ_d.

Ya sabemos que la aceleración del cuerpo 1 en y es igual a cero, con lo cual nos falta hallar a_1x.

Para esto necesitaremos utilizar la ecuación 1. Podemos escribir el peso y la fuerza de rozamiento de la siguiente manera:

g m Pr = r Y el módulo de la fuerza de rozamiento como:

g m N

f_{rd d} r _d r

r

1 2 ecuación Por la µ

µ =

=

Sólo nos queda la tensión. La forma de “eliminar” la tensión es utilizar la otra ecuación dinámica en la que aparece, la ecuación 3. Por ejemplo, sumando miembro a miembro nos queda:

x x

dm₁ g + T +m₂ g −T + F =m₁a₁ +m₂a₂

−µ r r r r r

Como el hilo es inextensible y se halla tenso cuando el cuerpo 1 se desplaza una cierta distancia en el sentido de los x positivos el cuerpo 2 se desplaza la misma distancia y también en el sentido de los x positivos de acuerdo con el sistema de referencia adoptado (para ver cómo cambia esto si uno adopta los

sistemas de referencia de otra manera ver las resoluciones de Evaluación 2 y Evaluación 3). En consecuencia:

x x x

x v a a

v x

x₁ =∆ ₂ ⇒ ₁ = ₂ ⇒ ₁ = ₂

∆ Usando este hecho podemos despejar a_1x.

2 1

2 1

1 1 2 1 1 2

1 m m

F g m g a m

a m a m F g m g

m _{x x x} ^d

d +

+ +

= −

⇒ +

= + +

−

r r r r

r

r µ

µ

c) Si el cuerpo 2 desciende con velocidad constante eso implica que ar₂ =0. Pero si y reemplazando en lo hallado en el punto b) se puede hallar el valor de

0 0

0 _{2 1}

2 = ⇒a _x = ⇒a_x =

ar Fr

. s N

kg m s

kg m g

m g m m F

m

F g m g

a_x ^dm _d 0,3.20 .10 3 .10 30

0 _{1 2 2 2}

2 1

2 1

1 ⇒ = − = − =

+

+ +

= −

= r r r r r r

µ µ

d) Como nos dicen que es para el valor de Fr

hallado en el punto anterior y ese valor hacía que ar₂ =0 entonces sabemos que . Reemplazando esta información en la ecuación 1 podemos obtener el valor de

1_x =0 a Tr

.

s N kg m g

m f

T a

m T

f_rd + = _{1 1x} =0⇒ = _rd = _{d 1} =0,3.20 .10 ₂ =60

− r r r r µ r

Básicamente lo que nos quedó es que para que el cuerpo 1 se mueva con velocidad constante en la dirección x las fuerzas en dicha dirección deben estar equilibradas y por lo tanto la tensión debe ser igual en módulo a la fuerza de rozamiento.

2) a)

Nos preguntan cuánto tarda en detenerse y la distancia recorrida en ese lapso de tiempo. Para hallar esto necesitamos la aceleración y para lo cual aplicamos la segunda Ley de Newton. Entonces necesitamos primero saber cuáles son las fuerzas. Tenemos la fuerza de atracción gravitatoria (peso) como resultado de la interacción entre el cuerpo y la Tierra, de la interacción con la superficie tenemos 2 fuerzas: la Normal (perpendicular a la superficie y hacia fuera de la misma) y la fuerza de rozamiento dinámico (paralela a la superficie y el cuerpo no interactúa con nada más así que no hay otra fuerza.

Realizamos el diagrama de cuerpo libre, elegimos un sistema de referencia y escribimos las distintas fuerzas respecto de dicho sistema.

( ) ( )

(

)

; 0

P sen P P

f f

N N

rd rd

r r

r

r r

r r

−

−

=

−

=

=

La segunda Ley de Newton aplicada a este cuerpo nos da como resultado las siguientes ecuaciones dinámicas.

en x:

x

rd Psen ma

f − =

− ^{r r} α

en y:

α

α 0 cos

cos ma N P

P

Nr − r = _y = ⇒ r = r

Como fr_rd =µ_d Nr , usando lo que se desprende de la ecuación en y y que Pr =mgr obtenemos que:

α µ

α

µ Pcos mg cos fr_{rd d} r _d r

=

=

Con lo cual, reemplazando en la ecuación en x nos queda:

{ cos 0,5.10 ² 0,8 10 ² 0,6 10 ²

cos s

m s

m s

sen m g g

a ma sen

g m g

m _{x x d}

f P d

rd

−

=

−

−

=

−

−

=

⇒

=

−

−µ α ^r α µ ^r α ^r α

4 43 4

42 1

r

r r

Como la aceleración es constante y el movimiento es rectilíneo entonces es un MRUV:

s t m s

t m

v_x( )=20 −10 ₂

Se detiene cuando t t s

s m s

v_x =0⇒20m −10 ₂ =0⇒ =2

Y su desplazamiento es

( ) ( )

s s m s t m

a t t t t v t x t x

x _x ^x 20 2 5 4 20

) 2 ( ) ( )

( − ₀ = ₀ − ₀ + − ₀ ² = − ₂ ² =

=

∆

y como se mueve siempre en el mismo sentido la distancia recorrida es 20m.

b)

Si se detiene el rozamiento ahora es estático. Queremos saber si comienza a descender o permanece estático en esa posición. Lo que debemos analizar es si la interacción de rozamiento estático puede ser lo suficientemente intensa como para mantener el cuerpo en reposo. La forma de hacerlo es la siguiente: supongamos que el cuerpo permanece en reposo. De ser así, la fuerza de rozamiento estático, que como toda fuerza de rozamiento es paralela a la superficie, deberá equilibrar a la componente en x del peso. Entonces la sumatoria de fuerzas en x si el cuerpo permaneciese estático resultaría:

N sen

g m sen P f ma

sen P

f _re

estático x

re − α = =0⇒ ^r = ^r α = ^r α =120

43 42 1 r r

Este tendría que ser el módulo de la fuerza de rozamiento estático para que el cuerpo permaneciese en reposo. Ahora hay que analizar si es posible que la fuerza de rozamiento estático tenga este módulo ya que dada una normal y un coeficiente de rozamiento estático el módulo de la fuerza de rozamiento no pude valer cualquier cosa, hay un valor máximo. El módulo de la fuerza de rozamiento estático máxima se calcula:

s N kg m g

m N

f_reMÁX =µ_e ^r =µ_e ^r cosα =0,8.20 .10 ₂ 0,8=128 r

Si el módulo de la fuerza de rozamiento estático necesaria es menor al de la máxima entonces el cuerpo permanecerá en reposo y si es mayor entonces no es posible que haya una fuerza de rozamiento estático con ese módulo y por lo tanto el cuerpo no podrá permanecer estático y comenzará a descender.

Como 120N<128N, el cuerpo permanecerá en reposo.

c) Si ahora el ángulo es de 53° el módulo de la fuerza de rozamiento para que el cuerpo permanezca estático debería ser:

N sen

g m sen P

f_re = ^r α = ^r α =160 r

Y el módulo de la fuerza de rozamiento estático máxima es:

s N kg m g

m N

f_reMÁX =µ_e ^r =µ_e ^r cosα =0,8.20 .10 ₂ 0,6=96 r

Y como 160N>96N, el cuerpo no podrá permanecer en reposo y comenzará a descender.

d) ¿Cómo se modifican los resultados de los puntos a) y b) si se triplica la masa del cuerpo?

Los resultados del punto a) no cambian ya que como se vio la aceleración resultó ser independiente de la masa del cuerpo en este caso. Y los del punto b) tampoco ya que luego de plantear el valor que debería tener

la fuerza de rozamiento estático y la de rozamiento estático máximo vemos que lo que uno debe comparar termina siendo: mgrsenα con µ_emgr cosα con lo cual mgrsenα <µ_emgr cosα ⇔senα <µ_ecosα , y esto también resulta ser independiente de la masa.

3)

a) “Si un cuerpo se desplaza con constante necesariamente sobre ese cuerpo debe estar actuando una fuerza constante.” Esto es falso. Ya la primera Ley de Newton lo plantea, si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza entonces ese cuerpo se moverá con MRU o permanecerá en reposo si estaba en reposo.

vr

b) “Cuando un insecto choca contra el parabrisas de un vehículo que circula con gran rapidez se destruye mientras que al vehículo no le ocurre nada. Esto ocurre porque la fuerza que el auto le ejerce al insecto es mucho mayor que la que el insecto le ejerce al auto.” Esto también es falso. La interacción entre el insecto y el auto es una única interacción y la Tercera Ley de Newton dice que las fuerzas sobre cada uno de los dos objetos que participan de una cierta interacción tienen el mismo módulo y dirección y sentido opuesto. El insecto, como tiene una masa mucho menor que la del auto adquiere una aceleración de mucho mayor módulo (por la 2da Ley de Newton) y como es un objeto extenso (no puntual) esto tiene como consecuencia que se comprima y su cuerpo colapse.