AREA DE MECANICA DE FLUIDOS Y AERODINÁMICA.

(1)

Máster de Ensayos en Vuelo

AREA DE MECANICA DE FLUIDOS Y AERODINÁMICA

José Meseguer, Ángel Sanz

www.idr.upm.es

(2)

Índice

Características generales de los fluidos Equilibrio de gases. Atmósfera estándar Ecuaciones generales

Regímenes de vuelo

Ecuación de Bernoulli. Régimen incompresible Magnitudes de remanso en gases ideales

Ondas de choque

Interacción onda de choque - capa límite Movimiento irrotacional.

Aerodinámica. Efecto de la viscosidad

Fuerzas sobre un perfil. Teorema de Kutta-Yukovski Borde de salida afilado de los perfiles

Capa límite

(3)

Características generales de los fluidos

Capacidad para deformarse indefinidamente bajo la acción de fuerzas exteriores

Carecen de forma, adaptándose a las condiciones externas (gases, líquidos)

No presentan resistencia a la deformación, pero sí a la velocidad de deformación (viscosidad)

(4)

Características generales de los fluidos

Estructura molecular de la materia Fluido como medio continuo

Energía interna Presión

Temperatura Entropía

(5)

Características generales de los fluidos

Termodinámica del equilibrio

Equilibrio mecánico y térmico

Variables de estado (p, ρ, T, e, s,..) Ecuaciones de estado

líquidos ρ = cte ; gases p/ρ = R_gT Principios de la termodinámica

Equilibrio termodinámico local

(6)

Características generales de los fluidos

Fenómenos de transporte por difusión Calor por conducción. Ley de Fourier

conductividad térmica

Masa. Ley de Fick

difusión de especies

Cantidad de movimiento.

viscosidad

Fenómenos de transporte por convección

(7)

Equilibrio de gases. Atmósfera estándar

Equilibrio de una columna de gas

p

p+dp

dz

d d

g ( )

g

p g z p g z

p R T T z

ρ ρ

= − ⎫

⎬ =

= ⎭

0

d d ln d

( ) ( )

z

g o g

p g z p g z

p = R T z → p = −R

∫

T z

Se supone una distribución T(z), obtenida experimentalmente

(8)

Equilibrio de gases. Atmosfera estándar

Equilibrio de una columna de gas

ESTRATOSFERA

TROPOSFERA z (km)

T (K) 32

23

11

270 288

0

(9)

Equilibrio de gases. Atmosfera estándar

Troposfera: T z( ) = −T_o

α

z (T_o = 288 K;

α

= 6.5 K/km)

g 1 g

g g

R R

o

o o o

T z

p z

p T T

α α

⎛ − ⎞ ⎛ ⎞

=⎜⎝ ⎟⎠ = −⎜⎝ ⎟⎠

1 1 1

g 1 g

g g

R R

o

o o o o o

T z p T z

T p T T

α α

ρ α α

ρ

− − −

⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠ = −⎜⎝ ⎟⎠

Atmósfera estable:ρ disminuye con la altura

→

1 0

g

αR ^{− >} g ^{34,9 K/km}

g α < R

(10)

Equilibrio de gases. Atmosfera estándar

Atmósfera estable:ρ disminuye con la altura

1 0

g

αR ^{− >} ^{34,9 K/km}

g

g α < R

Condición necesaria, pero no suficiente:

Hay otros efectos (p.e calentamiento del suelo)

Inversión térmica, dT/dz>0. Niveles de contaminación altos.

Estratosfera: marcadamente estable, peligro para contaminación.

(11)

Ejemplo: Aerodinámica

(12)

A380

(13)

Sistema de ejes viento U_∞

x z y

sustentación L M. guiñada

fuerza lateral Fy M. cabeceo

resistencia aerodinámica D M. balance

(14)

Los medios continuos satisfacen cuatro principios fundamentales: 1) conservación de la materia, 2) segunda ley de Newton (balance de la cantidad de movimiento), 3) primer principio de la Termodinámica (conservación de la energía), y 4) segundo principio de la Termodinámica.

La formulación se completa con las relaciones constitutivas; p. e., la o las ecuaciones de estado para los fluidos, o la ley de viscosidad de Stokes

Ecuaciones generales

(15)

Ecuación de conservación de la masa

D dv

ds n

V

S

d d d 0

d v s

t

∫ ρ

+

∫ ρ

^{V n}⋅ =

D S

D ρ /Dt = ∂ ρ /∂t + V·∇ ρ

(16)

Balance de cantidad de movimiento

d d ( ) d d d d

d v s p s s v

t ∫ ρ ^V + ∫ ρ ^{V V n} ⋅ = − ∫ ⁿ + ∫ ⁿ ⋅ τ ^′ + ∫ ρ ^F

^m

D S S S D

ρ ^D _D ^V _t = −∇ + ∇ ⋅ ′ + p τ ρ ^F

_m

(17)

Ecuación de la energía (1/2)

( )

D

^v ^rq

e k T p Q

ρ t = ∇ ⋅ ∇ − ∇ ⋅ + Φ − ∇ ⋅ V q

_r

+

( ) ( )

v

τ ^′ τ ^′

Φ = ∇ ⋅ ⋅ V − ∇ ⋅ ⋅ V

(18)

Ecuación de la energía (2/2)

( )

p

D D

^v ^rq

T p

c k T Q

t t

ρ = + ∇ ⋅ ∇ + Φ − ∇ ⋅ q

_r

+

(19)

ρ ^D _D ^V τ ρ F

_m

t = −∇ + ∇ ⋅ ′ + p

ˆ = C x

x ρ

^ˆ

ρ ρ

_∞

= ˆ t

t = C U_∞ ˆ

U_∞

= V

V ˆ p

p = p_∞ ˆ

= g^m

m

F F

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ

ˆ 3

p gC

t U p U C U

ρ ρ μ ρ

ρ ρ

∞

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

∂∂ + ⋅∇ = − ∇ + ⎡⎢⎣Δ + ∇ ∇ ⋅ ⎤⎥⎦ + ^m

V V V V V F

2 2

M U

p

γ

_∞

ρ

^{∞ ∞}

∞

= Fr U

²

gC

=

∞

Re ρ U C

∞ ∞

μ

=

(20)

2

Fr U 1

gC

=

∞

>>

Re ρ U C 1

∞ ∞

μ

= >>

ρ ^D D V

t = −∇ p

D 1

2

1 ( ) ( )

D 2 V p

t t t ρ

∂ ∂

= + ⋅∇ = + ∇ − × ∇× = − ∇

∂ ∂

V V V

V V V V

Puede integrarse en algunos casos

(21)

Re ρ U C 1

∞ ∞

μ

= >>

Efecto de la viscosidad despreciable salvo en ciertas zonas localizadas del dominio fluido (capas limites y estelas)

(22)

Ecuación de la energía

( )

p

D D

^v

T p

c k T

t t

ρ = + ∇ ⋅ ∇ + Φ

c T U

p

C

ρ

_∞ _{∞ ∞} ²

2

U C

μ

_∞

2

kT C

∞

2 p

M

D Re

D

v

T c t

ρ

Φ

∞

( )

p

1 D Re Pr

D k T c T

ρ t

∇ ⋅ ∇

⋅

(23)

Ecuación de la energía

D D s

t s

= ∂ + ⋅∇ =

∂ V 0

Si la entropía es constante (y la misma) en el infinito corriente arriba, es la misma constante en

todo el campo

relación de barotropía: la relación entre la presión y la densidad es única en todo el campo fluido, no

dependiendo de la temperatura de forma independiente, - movimientos de líquidos (ρ =cte)

- movimientos isentrópicos de gases (p/ρ^γ ^=cte) Ecuación de estado

(24)

- líquidos ρ = cte

- gases perfectos p = ρRT

R= 287 m²·s^-2·K^-1 Ecuación de estado

(25)

Regímenes de vuelo Número de Mach Regímenes de vuelo

Número de Mach

Régimen incompresible: 0 ≤ M_∞ ≤ 0,3 Régimen incompresible: 0 ≤ M_∞ ≤ 0,3

Régimen compresible Régimen compresible Subsónico: 0,3 ≤ M_∞ ≤ 0,8 Transónico: 0,8 ≤ M_∞ ≤ 1,1 Supersónico: 1,1 ≤ M_∞ ≤ 5,0

Hipersónico: 5,0 ≤ M_∞

(26)

Compresibilidad

Propagación de una perturbación en diversos regímenes de vuelo a) Subsónico bajo, b) subsónico alto, c) supersónico

(27)

Compresibilidad

Configuraciones fluidas alrededor de un perfil para diversos números de Mach

(28)

Ecuación de Bernoulli

2 2

0

1 1

2

ρ

_∞U + p = 2

ρ

_{∞ ∞}U + p_∞ = p Movimiento incompresible

Movimiento compresible Ecuación de Euler- Bernoulli

2

2 2 2 2

1 1

; / ; 1.4

2 1 2 1

a a

U U a γ p ρ γ

γ ^∞ γ ^∞

+ = + = =

− −

p. dinámica p. estática p. remanso

(29)

Magnitudes de remanso en gases ideales

Movimiento sin adición de calor, fluido ideal. Se conserva la entropía.

En proceso estacionario, despreciando efectos de las fuerzas másicas (v² >> gL) se conserva la entalpía de remanso.

1 2 o 2

h = +h v

1 2 o 2

h = +h v

2 2 2

1 2 1 1 1

2 2 2 2

p o p o o

p p

p g

v T v v

c T c T v T T

c T c T c p

ρR

= + → = + → = + = + =

2 2 2

2

1 1 1

2 v 2 v 2 M

p a

γ γ γ

γ ρ

− − −

+ = + = + 1 1 ₂ ^1/2

o o 2

a T

a T M

γ −

⎡ ⎤

= = +⎢⎣ ⎥⎦

(30)

Condiciones críticas: cuando se alcanza M = 1

1/ 1 1/ 1 / 1

1 1 1 1

1 ; ;

* 2 2 * 2 * 2

o po To

p T

γ γ γ γ

ρ γ γ γ γ

ρ

− − −

− + + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +⎢⎣ ⎥⎦ = ⎢⎣ ⎥⎦ = ⎢⎣ ⎥⎦ =

1/ 1 / 1

2 2

1 1

1 ; 1

2 2

o po

M M

p

γ γ γ

ρ γ γ

ρ

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +⎢⎣ ⎥⎦ = +⎢⎣ ⎥⎦

Utilizando la ecuación de estado y evolución isentrópica

(31)

31

0 1 0,528

0 M

1

p/p_o p_s1/p_o

p_s2/p_o

M_s2

M_s1

2( 1)1

1 2

* 1 1 2

* * 1

2 U M

AA U M

γγ

ρ γ

+−

⎡ + − ⎤

⎢ ⎥

= = ⎢ + ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A*: área necesaria para

alcanzar condiciones críticas a partir de un área dada A

(32)

Ondas de choque

Normales

v₁ v₂

M₁> 1 ρ₁ p₁

M₂< 1 ρ₂

p₂

v₁ d₁ d₂ v₂

1 1

d v

t f

v d

= = ₂ ² ₂ ²

2 2

d v

t f

v d

= =

Se conserva la entalpía de remanso

(33)

Ondas de choque

M₁>M₂> 1 M₁> 1

M₁> 1

δ < δ_max δ> δ_max

Oblicuas

M₁> 1 M₂< 1 M₃> 1

Curvas

(34)

Ondas de choque

Expansión de Prandtl-Mayer

M₁ > 1

M₂ > M₁ p₁

ρ₁

ρ₂ < ρ₁ p₂ < p₁

(35)

Interacción onda de choque - capa límite

Onda de choque normal y una capa límite turbulenta

Corriente principal: fluido que pasa a través de la onda de choque.

Capa intermedia: fluido pasa a través de la onda oblicua (tendrá una presión de remanso diferente de la del flujo principal) Capa viscosa: incluye la zona de separación.

(36)

La forma de la interacción depende del espesor de la capa límite Interacción onda de choque - capa límite

Sistemas de ondas en presencia de :

(a) una capa límite delgada, y (b) una capa límite gruesa

(37)

37

Movimiento irrotacional.

Γ =

_C

∫

^V⋅d^l Circulación

(^{U x W z}^d ^d ) ^U ^W ^{d d}^{x z}

z x

∂ ∂

⎛ ⎞

Γ =

_C

∫

+ =

∫∫

_S ⎜⎝ ∂ − ∂ ⎟⎠

Circulación a lo largo de C, es el flujo del rotor a través de S (Teorema de Stokes)

( )

d d

σ

Γ =

_C

∫

^V ⋅ =^l

∫∫

_S ∇×^{V n}⋅

d U W d d

z x x z

∂ ∂

⎛ ⎞

Γ = ⎜⎝ ∂ − ∂ ⎟⎠ Giro de la partícula

(38)

Hilos de torbellinos

Conservación de la Circulación

( ) ^d

₃

4π

o

r

×

= Γ ∫ ^x ^r

V x

C

Ley de Biot-Savart

(39)

Movimiento irrotacional

Si el irrotacional en S es nulo, la circulación a lo largo de C también

Si la circulación es nula en cualquier línea, no depende del dominio de integración, el integrando es una diferencial exacta, V·dl = dΦ .

V = ∇Φ,

.d d U x V y W zd d d dx dy dz .d

x y z

∂Φ ∂Φ ∂Φ

= Φ = + + = + + = ∇Φ

∂ ∂ ∂

V l l

Φ(x,y,z,t), potencial de velocidades

( , , )

x y z

∂Φ ∂Φ ∂Φ

= = ∇Φ

∂ ∂ ∂

V

(40)

Aerodinámica

De las hipótesis de número de Reynolds alto y capa límite adherida, fuerzas másicas despreciables y número de Mach pequeño (la densidad del aire se puede suponer constante), se deduce que la circulación del vector velocidad a lo largo de una línea fluida cerrada se debe mantener constante. Como además se supone que el avión se mueve a través del aire en calma, el movimiento es irrotacional corriente arriba y por tanto irrotacional en todo el dominio fluido.

En estas circunstancias la velocidad del fluido deriva de un potencial de velocidades, Φ, que ha de satisfacer la ecuación de Laplace

2 2 2

2 2 2 0

∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ

ΔΦ = + + =

∂ ∂ ∂

( ) ⁰

∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇Φ = ΔΦ = V

(41)

Efecto de la viscosidad

(42)

IDR/UPM, E.T.S.I. AERONÁUTICOS

Fuerzas sobre un perfil. Teorema de Kutta- Yukovski

Cálculo de las fuerzas aerodinámicas globales sobre el perfil

Volumen de control para aplicar el teorema de

conservación de la

cantidad de movimiento Cálculo de las fuerzas aerodinámicas globales sobre el perfil

Volumen de control para aplicar el teorema de

conservación de la

cantidad de movimiento

θ

l = ρ

_∞

ΓU

_∞ fórmula de Kutta

d = 0

(43)

Borde de salida afilado de los perfiles.

Hipótesis de Kutta

Borde de salida afilado de los perfiles.

Hipótesis de Kutta

La corriente se acelera en el extradós y se frena en el intradós

¿Qué pasa si el borde de salida es romo?

(44)

Generación de sustentación Generación de

sustentación

Borde de salida afilado de los perfiles.

Generación de circulación

Borde de salida afilado de los perfiles.

Generación de circulación

(45)

Borde de salida afilado de los perfiles. Hipotesis de Kutta Borde de salida afilado de los perfiles. Hipotesis de Kutta

Generación de sustentación Generación de

sustentación

(46)

Distribución de fuerzas sobre un perfil Distribución de fuerzas sobre un perfil

La distribución de presión genera una La distribución de presión genera una

(47)

Números de Reynolds altos: la viscosidad se aprecia sólo en la capa límite, que es muy delgada, y en la estela viscosa.

capa límite 1/6 capa límite 1/6

- La presión es constante a lo largo de rectas perpendiculares a la superficie del perfil - No influye en el campo exterior de presiones

(48)

capa límite 2/6 capa límite 2/6

Ensanchamiento: va gastando la cantidad de movimiento

gradiente de presiones favorable: la capa límite se acelera y gana cantidad de movimiento, lo que ayuda a equilibrar el

τ_w

p p + dp

fricción, deceleración de láminas contiguas gradientes adversos de presión

(49)

49

capa límite 3/6

desprendimiento

-gradiente adverso de presión: las láminas fluidas más cercanas a la pared se deceleran comparativamente más que las más alejadas -las partículas próximas a la pared terminan por retroceder en vez de avanzar

p1

p2 p₃

p₁< p₂< p₃

(50)

La hipótesis de que la capa límite es delgada puede dejar de ser válida incluso antes del desprendimiento.

En estas condiciones la viscosidad influye en el campo de presiones sobre el obstáculo.

capa límite 4/6

desprendimiento

(51)

Laminar: las láminas fluidas se mueven ordenadamente y entre ellas hay sólo un intercambio viscoso (a escala molecular) de cantidad de movimiento.

- inestable (pasa a turbulenta: transición)

- mezcla poco eficaz, perfil poco lleno, baja fricción, poco resistente

capa límite 5/6

Laminar/turbulenta

a) b)

(52)

Turbulenta: las partículas fluidas, que inicialmente se movían paralelamente entre sí, siguen trayectorias que se entrecruzan de forma muy complicada

Intercambio de cantidad de movimiento tiene lugar a escala macroscópica.

- mezcla muy eficaz - perfil muy lleno - alta fricción

- resistente a gradientes adversos de presión

Régimen de crucero: interesa retrasar la transición (perfiles laminares) Retrasar desprendimiento: generadores de turbulencia

capa límite 6/6

Laminar/turbulenta

(53)

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