MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO

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MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO

A UN PUNTO

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Producto cruz F = 0 i + 0 j – 50 k [N] OA x B = AB sen q Y X Z F O A

Si al brazo de palanca OA se le aplica la fuerza (F) en A, paralela al eje z, dirigida hacia la parte negativa de las cotas (eje z), va a haber una tendencia a producirle un giro en el eje de las ordenadas (eje y).

¿De cuánto? OA = 2 i + 0 j + 0 k [m] M = OA x F = (2 i + 0 j + 0 k) x (0 i + 0 j – 50 k) M = OA x F = 0 + 0 + (2) (50)(sen 90°) j [Nm] M = OA x F = 0 + 0 + (2) (50)(1) j [Nm] M = OA x F = 100 j Nm

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Si al brazo de palanca OA se le aplica la fuerza en A, paralela al eje de las cotas (eje z), dirigida hacia la parte negativa de las cotas (eje z), va a haber una tendencia a producirle un giro en el eje de las ordenadas (eje y), pero también en el eje de las abscisas (eje x).

Otro ejemplo r = 4 i + 2 j + 0 k [m] F = 0 i + 0 j – 100 k [N] M = r X F = 400 j – 200 i Y X Z F O A

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La magnitud del vector momento la obtenemos con el teorema de Pitágoras.

El vector momento lo obtenemos con la multiplicación vectorial (producto cruz) de los vectores posición y fuerza (siempre en ese orden).

El resultado del producto cruz nos indica las componentes del vector momento.

F = 0i + 0 j – 100 k [N] r = 4i + 2j + 0k [m] r X F = 400 j – 200 i M = r X F = -200 i + 400 J M = (− 200)2+ (400)2 M = 40000 + 160000 M = 200000 M = 447.2135… Nm Y X Z F O A

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·

• El vector resultante (vector momento) es un vector

perpendicular al plano que se forma con los dos vectores (posición y fuerza) que se están multiplicando

• El vector momento tiene una magnitud igual al plano

(paralelogramo ) que se forma con los dos vectores que se están multiplicando

• Cuando multiplicamos dos vectores en producto cruz, el resultado es un vector

• La dirección y sentido del vector resultante (vector momento) obedece a la regla de la mano derecha

La perspectiva real del vector momento sería de esta manera:

F = 0 i + 0 j – 100 k [N] r = 4 i + 2 j + 0 k [m]

r X F = 400 j – 200 i M = r X F = -200 i + 400 j

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4 MANERAS PARA CALCULAR EL MOMENTO CON RESPECTO A UN PUNTO Vamos a conocer 4 maneras diferentes para calcular un momento con respecto a un punto: Las cuatro maneras son:

1.- Por producto cruz (matrices). 2.- Por la definición de producto cruz. 3.- Por la descomposición de la fuerza. 4.- Por la descomposición de la distancia.

Suponga que tenemos un vector de posición (brazo de palanca) de manera horizontal y de 2 metros de largo a la cual se le aplica un vector de fuerza de 100 N con una inclinación de 30°, tal como se muestra en la figura.

30°

F = 100 N 2 m

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1.- Vamos a calcular el momento con respecto al punto A, utilizando matrices.

Para ello necesitamos convertir el vector fuerza, que está en coordenada polar, a coordenada rectangular.

Obtenemos por trigonometría sus componentes: X = 100 cos 30° X = 100 (0.8660…) X = 86.60… N Y = 100 sen 30° Y = 100 (0.5) Y = 50 N

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La matriz quedaría de la siguiente manera.

Recuerda que la segunda fila corresponde a los datos del vector posición y la tercera a los datos del vector fuerza .

Se realizan las operaciones en diagonal. Recuerda cambiar de signo las diagonales hacia la izquierda (las marcadas en rojo).

i j k i j 2 0 0 2 0 86.6 50 0 86.6 50 i j k i j 2 0 0 2 0 86.6 50 0 86.6 50 Y el resultado es MA = 100 Nm K

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2.- Por la definición de producto cruz.

r X F = (I magnitud de r I) (I magnitud de F I) (seno del ángulo entre los dos). MA = (I magnitud de r I) (I magnitud de F I) (seno del ángulo entre los dos). MA = (2m) (100 N) (seno 30°)

MA = 100 Nm

MA = 100 Nm k

Por la regla de la mano derecha, establecemos la dirección del vector resultante. En este caso es k.

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3.- Por la descomposición de la fuerza.

En este método necesitamos encontrar la componente de la fuerza que es perpendicular al brazo de palanca.

30°

F = 100 N 2 m

A B

Con trigonometría calculamos la magnitud de la fuerza que es perpendicular al brazo de palanca (flecha roja).

Y = 100 sen 30° Y = 100 (0.5) Y = 50 N

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Ahora multiplicamos el brazo de palanca por la componente de la fuerza perpendicular al brazo de palanca, para encontrar el momento con respecto al punto A.

MA = (2m) (50 N) MA = 100 Nm

MA = 100 Nm k

Por la regla de la mano derecha, establecemos la dirección del vector resultante. En este caso es k.

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4.- Por la descomposición de la distancia.

En este método debemos encontrar la distancia perpendicular a la fuerza aplicada. No debemos mover la fuerza, solo encontrar la componente del brazo de palanca

perpendicular a la fuerza.

Por la Ley de Transmisibilidad , puedo ubicar la fuerza en cualquier lado siempre y cuando respete su magnitud, dirección y sentido.

30°

F = 100 N 2 m

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30° F = 100 N 2 m A B d 30°

Ahora trazo desde el punto A , una línea perpendicular a la línea de acción de la fuerza.

Por trigonometría encuentro el valor de d, ya que tengo un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene una magnitud de 2 y su ángulo es de 30°

Sen 30° = cateto opuesto / hipotenusa Sen 30° = d / 2

d = 2 sen 30° d = 2 (0.5) d = 1 m

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Ahora multiplicamos la componente del brazo de palanca perpendicular a la fuerza, por la fuerza, para encontrar el momento con respecto al punto A.

MA = (1 m) (100 N) MA = 100 Nm

MA = 100 Nm k

Por la regla de la mano derecha, establecemos la dirección del vector resultante. En este caso es k.

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