Un par ordenado es una colección ordenada de dos objetos, se representa por: (a, b).

(1)

2. FUNCIONES REALES 2.1. Relaciones

2.1.1. Par ordenado

Si (𝒂, 𝒃) es un par ordenado se dice que: ➢ a es el primer componente ➢ b es el segundo componente

No es sino en la teoría de conjuntos donde el concepto de par ordenado encuentra una definición al ser considerado como un tipo especial de conjunto, en realidad existen varias definiciones de par ordenado dentro de la teoría de conjuntos, aunque la más común, es aquella donde el par ordenado (𝒂, 𝒃) se define por:

(𝒂, 𝒃) = {{𝒂}, {𝒂, 𝒃}}

La primera componente del par (𝒂, 𝒃) se llama elemento original, mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen. Cuando 𝒃 es el elemento imagen del elemento 𝒂 por la correspondencia R. se denota 𝒃 = 𝑹(𝒂)

En general, si 𝒂



𝒃, entonces (𝒂, 𝒃)



(𝒃, 𝒂), la idea de esta descripción es garantizar que el orden de los componentes de un par ordenado importe, y además (𝒂, 𝒃) = (𝒄, 𝒅) si y sólo si 𝒂 = 𝒄 y 𝒃 = 𝒅.

La definición de par ordenado se puede generalizar inductivamente para cualquier número n de componentes, mediante:

(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, … … . . 𝒂𝒏)

La importancia del par ordenado se desprende de la simplicidad (facilidad, claridad, comodidad) con que a partir de el se puede estructurar una red de definiciones con los principales elementos de la matemática clásica.

La utilización del par ordenado se puede observar en la siguiente lista: ➢ Producto Cartesiano

➢ Relación, relación unívoca, relación de equivalencia, relación de orden. ➢ Función

➢ Relación de Orden

➢ Números naturales, enteros, fraccionarios, reales, complejos. ➢ Estructura Métrica

➢ Estructura Algebraicas ➢ Leyes de Composición ➢ Estructura Lineal (Vectorial) ➢ Coordenadas Cartesianas ➢ Grafos

2.1.2. Teoremas del par ordenado Teorema 1.-

(𝒙, 𝒚) = (𝒂, 𝒃) ⇔ {𝒙 = 𝒂 𝒚 = 𝒃

Un par ordenado es una colección ordenada de dos objetos, se representa por: (𝒂, 𝒃).

(2)

Teorema 2.- (𝒙, 𝒚) = (𝒚, 𝒙) ⇔ 𝒙 ≡ 𝒚 (𝒙, 𝒚) ≠ (𝒚, 𝒙) ⇔ 𝒙 ≠ 𝒚 Teorema 3.- (𝒙, 𝒙) = {{𝒙, 𝒙}, {𝒙}} 2.1.3. Producto cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos 𝐴𝑥𝐵 es el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar con el primer elemento perteneciente al conjunto A y el segundo elemento del conjunto B.

En los conjuntos A y B, el producto cartesiano, de A y B se denota con 𝐴𝑥𝐵, y se define como 𝑨 × 𝑩 = {(𝒂, 𝒃) tales que 𝒂



𝑨



𝒃



𝑩}.

Ejemplo: En un mazo de naipes francés. A = {oro, copa, basto, espada}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

AxB = {(oro, 1), (oro, 2), (oro, 13), (copa, 1), .…, (copa, 13), (basto, 1), (basto, 13), (espada, 1), …..…, (espada, 13)}

A tiene 4 elementos, B tiene 13 elementos

AxB tiene 52 elementos (todas las cartas del mazo)

Se puede generalizar aún más el producto cartesiano a un número infinito de conjuntos: ∏ 𝑨_𝒊 es el conjunto de las sucesiones (𝒂_𝒊), con ai en 𝑨_𝒊, para todo i que pertenece a ℝ. En

efecto, si 𝑨_𝟏, 𝑨𝟐, 𝑨𝟑, ⋯ 𝑨𝒏, es una colección de conjuntos entonces el producto cartesiano 𝑨𝟏× 𝑨𝟐× 𝑨𝟑× ⋯ × 𝑨𝒏, que se define como el conjunto de nuplas.

Ejemplo: Nuplas

• ℝ2es el plano real.

• ℝ3_{es el espacio tridimensional, visto como un conjunto de puntos y ambos como}

espacio vectorial.

El cardinal, o sea, el número de elementos del producto cartesiano es el producto de los cardinales de los conjuntos: |A×B| = |A|·|B|.

La representación geométrica de ℝ × ℝ = ℝ2 es el plano cartesiano llamado también plano numérico.

Ejemplos

1. Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano AxB será: AxB = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}.

(3)

• La representación geométrica de ℝ 𝒙 ℝ = ℝ2_{es el plano} cartesiano.

• El cardinal del producto cartesiano es el producto de los cardinales de los conjuntos: |𝑨 × 𝑩| = |𝑨| · |𝑩|.

El producto cartesiano puede ser representado de las siguientes formas: ➢ Diagrama de flechas;

➢ Diagrama de árbol; ➢ Tablas y

➢ Gráficos cartesianos.

2.1.3.1. Propiedades del producto cartesiano

Dados cualesquiera conjuntos A, B, C, D y E, se tienen las propiedades del producto cartesiano:

(4)

P2:  𝐴    𝐵  , 𝐴 = 𝐵  𝐴 𝑥 𝐵 = 𝐵 𝑥 𝐴 P3:



𝐴







𝐵





, 𝐴 𝑥 𝐵 = 𝐴´ 𝑥 𝐵´



(𝐴, 𝐵) = (𝐴´, 𝐵´) P4: 𝐴 𝑥 (𝐵



𝐶) = (𝐴 𝑥 𝐵)



(𝐴 𝑥 𝐶) P5: 𝐴 𝑥 (𝐵



𝐶) = (𝐴 𝑥 𝐵)



(𝐴 𝑥 𝐶) P6: 𝐴 𝑥 (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 𝑥 𝐵) − (𝐴 𝑥 𝐶) P7: 𝐴 𝑥 𝐵 =   𝐴 =   𝐵 =  P8: 𝐴



𝐷



𝐵



𝐸



𝐴 𝑥 𝐵



𝐷 𝑥 𝐸 2.1.4. Relaciones

Se denomina relación binaria R entre los conjuntos A y B a un subconjunto no vacío del producto cartesiano 𝑨𝒙𝑩, 𝑹



𝑨𝒙𝑩.

Se considera una relación binaria como un caso particular de correspondencia. El número de subconjuntos no vacíos del producto cartesiano 𝑨𝒙𝑩 es de:

𝑛 = 2𝑖×𝑗_{− 1; {}|𝐴| = 𝑖

|𝐵| = 𝑗 Ejemplos

1. Sean A = {a; b; c}; B = {d; e} y R = {(a; d); (b; e); (c; d); (c; e)}: Entonces aRd; bRe; cRd y cRe.

2. Sean A = {a; b; c}; R = {(a; a); (b; a); (c; b); (c; c)}: Entonces aRa; bRa; cRb y cRc: Representar gráficamente la relación R:

3. Relación entre los elementos de un conjunto.

Dado el conjunto A = {a, b, c, d}, y la relación entre los elementos de este conjunto, representada en la figura 1.1, y que la relación entre los elementos es interior al conjunto.

En este caso se tiene como enumeración de las relaciones entre los elementos del conjunto A:

aRb, bRa, bRc, cRd, dRb, dRd

Figura 2.1

Relación binaria como una correspondencia

a

b

c

d

𝑅 = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴𝑥𝐵: 𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑏} = {(𝑎, 𝑏): 𝑎𝑅𝑏} 𝑎𝑅𝑏



(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅

(5)

También se puede representar una relación binaria como una correspondencia de A sobre A:

Figura 2.2

Tomando como conjunto inicial al conjunto A y como final también el conjunto A, esto permite emplear la estructura de las correspondencias para estudia una relación binaria, teniendo siempre en cuenta, que, si bien el conjunto inicial y final son un mismo conjunto, la relación es unidireccional, y si el elemento a está relacionado con el b no implica, necesariamente, que el b lo esté con el a.

Ejemplos

1. Subconjunto del producto cartesiano Dado el conjunto A:

A = (1, 2,3, 4) El producto AxA es:

AxA = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}

Una relación binaria R como subconjunto del producto cartesiano de AxA será: R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)}

2. La divisibilidad (relación binaria) R = {(x, y)  ℤxℤ: x divide a y}.

Dos números a y b pertenecientes a los enteros ℤ están relacionados por R si a divide a b, o dicho más precisamente: a∣b. Otro modo de definir esta relación será:

aRb  a∣b. 3. De la relación “ser menor que”.

En el conjunto de los números naturales se define la relación “ser menor que”, es decir, diremos nRm si y sólo si n  m. así, 3R5 si están relacionados, mientras que 5R2 no.

2.1.5. Relación identidad

Dado A un conjunto cualquiera, se define la relación Id = {(a; a): x  A}. En otras palabras,

aIdb si y sólo si a = b donde Id A2.

A

a

b

c

d

a

b

c

d

(6)

2.1.6. Dominio

Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota por Dom(R) ó D(R), al conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenadas que pertenecen a R.

Figura 2.3

2.1.7. Rango o codominio

Sea R una relación. Se llama Rango o Imagen de R y se denota por Rgo(R) o C(R) al conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

Figura 2.4

Ejemplos

1. Sean H = {Luís, Juan, Antonio} y M = {Patricia, Carola, María}. En la relación N definida por:

N = {(Luís, María), (Luís, Patricia), (Luís, Carola)}  HxM.

Se tiene,

Dom(N) = {Luís}. C(N) = {María, Patricia, Carola}. 2. En la relación C1  RxR,

Un par ordenado es una colección ordenada de dos objetos, se representa por: (a, b).





































































a

b

c

d



A

A

a

b

c

d

a

b

c

d

A

1

B

2

3

5

1

3

5

7

4

A

1

B

2

3

5

1

3

5

7

4



í







ý



í