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As matemáticas do veciño

Iniciación á Investigación Actas do Seminario de

2 018 2 019

Editores

A. Fanjul Hevia A. Fernández Fariña I. Márquez Albés L. J. Pérez Pérez X. Valle Regueiro

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A CTAS DO S EMINARIO DE

I NICIACI ´ ON ´ A I NVESTIGACI ´ ON

CURSO 2018 – 2019

Editores:

Ar´ıs Fanjul Hevia

Alejandro Fern´andez Fari˜na Ignacio M´arquez Alb´es Luis Javier P´erez P´erez Xabier Valle Regueiro

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2019 Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on.c

Instituto de Matem´aticas da Universidade de Santiago de Compostela

Coordina:

Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on (SII) seminarios3c@gmail.com

Edita:

Instituto de Matem´aticas da Universidade de Santiago de Compostela

Imprime:

Imprenta Universitaria Pavill´on de Servizos s/n

Campus Vida

15782 Santiago de Compostela A Coru˜na

ISSN: 2171-6536 Dep´osito Legal:C 1641-2019

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The beauty of mathematics only shows itself to more patient followers.

Maryam Mirzakhani (1977 – 2017)

All mathematicians live in two different worlds. They live in a crystalline world of perfect platonic forms. An ice palace. But they also live in the common world where things are transient, ambiguous, subject to vicissitudes.

Mathematicians go backward and forward from one world to another. They’re adults in the crystalline world, infants in the real one.

Sylvain Cappell (1913 – )

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Prefacio

O co˜necemento que non se comparte ´e co˜necemento morto. De que servir´ıa adquirir o entendemento ´ultimo do universo para logo deixalo esmorecer en andeis cheos de po? Velaqu´ı a primeira virtude do Seminario: que permite compartir para poder seguir constru´ındo sobre o traballo com´un.

M´ais importante a´ında, o Seminario achega persoas de diferentes ´ambitos. Vi- vimos nunha ´epoca paradoxal, en que as novas tecnolox´ıas, o acceso inmediato e practicamente global ´a informaci´on, en vez de achegarnos, af´astanos. Do baleiro pri- mixenio da informaci´on absoluta xurdiron quistes, pequenas burbullas sociais cuxa superficie interior reflicte o que hai nas mesmas, mais non permite percibir o vasto cosmos al´en. A investigaci´on non sa´ıu indemne desta tendencia. ´E cada vez m´ais frecuente atopar grupos de investigaci´on encerrados na microsc´opica e minguante burbulla da s´ua disciplina, aboc´andose a unha hiperespecializaci´on que mata a ins- piraci´on e fai que as ramas irm´as, mesmo aquelas no que tradicionalmente se ten considerado o seu propio campo, resulten alleas, incognoscibles.

O Seminario ´e unha rara e valiosa pedra de Rosetta, o cruzamento de cami˜nos en que nos encontramos uns aos outros, e que nos permite traducir ao noso idioma o saber dos nosos conx´eneres. O Seminario perm´ıtenos conectar e loitar contra o illamento e a soidade intelectual, posibilita a irmandade entre as diferentes ´areas das Matem´aticas que, unha e outra vez, demostra que non son m´ais que distinci´ons arbitrarias, nomes que lles damos ´as diferentes partes dun co˜necemento que ´e ´unico e sen fronteiras.

A terceira virtude do Seminario ´e que pon de manifesto a raz´on de ser da Uni- versidade: por e para os estudantes. Son eles os que toman a iniciativa, os que se arriscan, ensin´andose entre si nas diferentes charlas e actividades. Son eles os que pechan o c´ırculo, tomando o papel de docentes, a´ında que sexa por un d´ıa, para continuar por si mesmos esta empresa conxunta que ´e o proceso ensino-aprendizaxe.

Para conclu´ır, gustar´ıame dicir o orgulloso que estou deles: dos organizadores, dos participantes, dos prologuistas e, en fin, de toda a xente que co seu esforzo e dedicaci´on fai que o Seminario sexa posible d´ıa a d´ıa; e o honor que sup´on pa- ra min, que no seu d´ıa fun organizador do mesmo, poder escribir estas palabras.

Desexar´ıavos sorte, pero non a precisades. O ´exito pert´encevos.

Santiago de Compostela, maio de 2019 F. Adri´an F. Tojo v

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´ Indice xeral

Introduci´on 1

Olga P´erez Barral

“A forma do tempo” 3

Marcos Tella ´Alvarez

“Aspectos topol´oxicos do Teorema de Arzel`a-Ascoli” 9 Laura Davila Pena

“Teor´ıa de colas y su aplicaci´on a un caso cercano” 15 Alvaro Carballido Costas´

“Construcci´on de superficies hiperb´olicas” 21

Jorge Rodr´ıguez L´opez

“O Teorema do punto fixo de Schauder: xeneralizaci´ons e aplicaci´ons” 27 Mar´ıa Pilar P´aez Guill´an

“¿Qu´e pintan las super´algebras en Mec´anica Cu´antica?” 33 Luca Piccotti

“Participaci´on en investigaciones punteras sobre estrellas dobles y m´ultiples en el ´ambito de la Astronom´ıa espa˜nola e italiana.” 39 Branca Garc´ıa Correa

“Investigando el interior de un horno industrial” 45 Laura Freijeiro Gonz´alez

“Big Data para Dummies: introducci´on a los modelos de regresi´on lineal en

alta dimensi´on” 51

Rodrigo Mari˜no Villar

“Todos temos un punto d´ebil” 57

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Brais Gonz´alez Rodr´ıguez

“RAPOSa, una herramienta gratuita para resolver problemas de optimizaci´on

polin´omica” 63

Sebasti´an Buedo Fern´andez

“La derivada de Schwarz en din´amica discreta” 67

Gonzalo Cao Labora

“Problemas de suma-producto” 73

Alfredo R´ıos Albor´es

“El m´etodo de cuadratura de convoluci´on” 79

Unha xornada de divulgaci´on

“Matem´aticas: habelas hainas, seguimos cont´andochas!” 85

Agradecementos 87

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Introduci´ on

Se ben pode parecer que as distintas ´areas das matem´aticas est´an completamen- te separadas, o certo e que ´e imposible que unha das ´areas das matem´aticas progrese sen as achegas que se fan nas outras. Con isto en mente nace o Seminario de Inicia- ci´on ´a Investigaci´on (SII) a comezos do ano 2005. Este xorde como unha iniciativa do alumnado de Terceiro Ciclo da Facultade e como resposta ´as necesidades de crear un seminario que cumprise, cando menos, os seguintes obxectivos:

Fomentar o intercambio de co˜necemento.

Proporcionar un lugar onde poder transmitir e explicar a persoas alleas ao seu campo as ideas fundamentais nas que se centra a s´ua investigaci´on.

Facilitar a pr´actica de falar en p´ublico, m´ais en concreto, dar charlas e afacerse a escoitar e participar activamente neste tipo de eventos.

O presente volume cont´en os resumos das charlas que se impartiron ao longo do curso 2018/2019 no SII. Tal seminario, organizado por alumnado de doutoramento, ten lugar na Facultade de Matem´aticas da Universidade de Santiago de Compostela e enc´adrase dentro das actividades do Instituto de Matem´aticas. Cabe destacar tanto a variedade de tem´aticas como a procedencia dos relatores, contando tam´en con participantes doutros centros. Isto mostra a transversalidade e a capacidade de chamamento do SII.

O comit´e organizador do SII, encargado de organizar estas actividades, facelas p´ublicas e ocuparse da lox´ıstica, ten tam´en a responsabilidade de redactar estas actas que mostran o esforzo posto tanto polos organizadores como polos relatores.

Estes ´ultimos son os encargados de revisar os resumos das charlas, tratando sempre de que corrixan unha ´area diferente ´a propia, o cal propicia a comprensi´on dos resumos por parte de persoas doutras ´areas.

Por ´ultimo engadir que o curso que v´en haber´a cambios destinados a mellorar as actividades que o SII leva a cabo como, por exemplo, a renovaci´on de parte do Comit´e Organizador. Desta forma, d´aselles paso ´as novas xeraci´ons de investigadores para manter vivo o esp´ırito iniciador que o SII trata de ter.

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Actas do Seminario de Iniciaci´ on a Investigaci´ ´ on

- ISSN 2171-6536

A forma do tempo

Area de Xeometr´ıa e Topolox´ıa´

Olga P´ erez Barral

Universidade de Santiago de Compostela 19 de setembro de 2018

A finais do s´eculo XIX comenzaron a facerse evidentes as incompatibilidades existentes entre as d´uas teor´ıas f´ısicas vixentes no momento: a Mec´anica Cl´asica de Newton e as Leis do electromagentismo de Maxwell. Mentres das leis de Maxwell se deduc´ıa que a velocidade da luz ´e constante, Newton defend´ıa que esta depende do movemento do sistema de referencia respecto ao cal se mide.

Grazas aos traballos de cient´ıficos como Lorentz, Poincar´e ou Einstein, entre outros, conseguiuse po˜ner fin a este problema: non existe tal controversia se con- sideramos a Mec´anica Cl´asica como un caso particular doutra teor´ıa na que te˜na cabida o estudo dos fen´omenos que ocorren a velocidades similares ´a da luz. Di- ta teor´ıa foi publicada por Albert Einstein en 1905, e consta dos dous seguintes postulados:

1. Principio de relatividade de Galileo: non existe a noci´on de velocidade absoluta para una part´ıcula material;

2. Universalidade da velocidade da luz (Einstein): a velocidade da luz c ´e cons- tante no baleiro e independente do sistema de referencia respecto ao cal se mide.

A base matem´atica desta teor´ıa consiste en realizar un cambio nas coordenadas do espazo e do tempo, consider´andoos agora combinados nunha mesma entidade, o espazo-tempo de Minkowski, L4. O noso obxectivo ser´a servirnos da xeometr´ıa de dito espazo para comprender a mec´anica de Einstein, as´ı como para dar unha explicaci´on razoable a aqueles fen´omenos relativistas que semellaban paradoxais dende o punto de vista das teor´ıas f´ısicas m´ais cl´asicas.

Observaci´on 1. Por simplicidade, asumiremos que a velocidade da luz ´e c = 1 e adimensional.

A informaci´on contida no presente resumo est´a baseada principalmente nos tra- ballos de [1, 2].

Palabras Clave: espazo-tempo de Minkowski; Relatividade Especial; observador; intervalo ou separaci´on.

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4 SII A forma do tempo

Xeometr´ıa no espazo-tempo de Minkowski

Un espazo-tempo ´e un espazo vectorial de dimensi´on catro dotado dunha m´etrica que permita definir unha distancia entre os puntos do espazo, que denominamos sucesos ou eventos.

O espazo-tempo de Minkowski non ´e m´ais que o espazo vectorial R4 dotado da m´etrica de Minkowski:

d((x0, x1, x2, x3), (y0, y1, y2, y3))2=−x0y0+

3

X

i=1

xiyi,

onde (x0, x1, x2, x3), (y0, y1, y2, y3)∈ R4. Notemos que se trata dunha expresi´on ben similar ´a do produto escalar usual, pero con sinatura lorentziana, ´e dicir, coa seguinte configuraci´on de signos: (− + ++). Ao non ser unha m´etrica definida positiva, as normas dos vectores do espazo non son necesariamente positivas. En funci´on do seu signo, distinguimos tres tipos de vectores.

Definici´on 1 (Car´acter causal). Denotemos por || · ||2 := d(·, ·)2 o cadrado da distancia inducida pola m´etrica de Minkowski. Diremos que un vector v∈ L4 ´e:

espacial, se ||v||2 > 0;

temporal, se ||v||2 < 0;

nulo, se ||v||2= 0.

O comportamento dos vectores do espazo-tempo de Minkowski depende do seu car´acter causal. Os vectores nulos, que se corresponden con part´ıculas luminosas, pertencen ao cono de ecuaci´on−t2+x2+y2+z2 = 1, co˜necido como cono de luz. Os vectores temporais son os pertencentes ao interior do cono de luz (cono temporal), e corresp´ondense f´ısicamente coas part´ıculas que viaxan a velocidades inferiores ´a da luz.

Observadores. Diagramas de espazo-tempo

Un observador nun espazo-tempo non ´e m´ais que un sistema de eixos coorde- nados, e facer unha observaci´on consiste en asignar a cada evento do espazo unhas coordenadas (t, x, y, z) nas que o observador observa que dito evento ocorre.

A maneira natural de estudar os observadores ´e mediante o seu diagrama de espazo-tempo, no cal representamos os sucesos e o movemento das part´ıculas me- diante puntos e curvas, respectivamente. En concreto, unha part´ıcula que se move con velocidade constante v ser´a representada mediante unha recta de pendente 1/v.

Notemos que un fot´on ou part´ıcula lum´ınica corresp´ondese cunha recta de pendente un, pertencente polo tanto ao cono de luz.

En Relatividade Especial, moitas das conclusi´ons que obtemos poden resultar paradoxais polo feito de comparar medici´ons tomadas por observadores distintos. A

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Olga P´erez Barral SII 5

continuaci´on, e co obxectivo de aprender a comparar ditas observaci´ons, construire- mos o diagrama de espazo-tempo dun obsevadorO0, con coordenadas (t0, x0), que se move con velocidade relativa respecto doutro observadorO, con coordenadas (t, x), na direci´on positiva do seu eixo x. Ao considerar que nos movemos nunha ´unica direci´on do espazo, x, omitiremos, por simplicidade, a escritura das variables y e z.

En primeiro lugar, o eixo t0, ´e dicir, o conxunto de sucesos tales que x0 = 0, resulta ser unha recta de pendente 1/v.

Para determinar a posici´on relativa do eixo x0 respecto de O, realizaremos pri- meiro unha construci´on que nos permita caracterizar os eventos de dito eixo. Consi- deremos o diagrama de espazo-tempo deO0 e sexa P o suceso pertencente o eixo t0 con coordenada t0 =−a. Dado que c = 1, un fot´on partindo de P intersecar´a o eixo x0 nun suceso Q con x0 = a. Se este raio ´e reflectido, novamente, pola universalidade da velocidade da luz, intersecar´a ao eixo t0 en t0 = a. As´ı, podemos caracterizar os eventos do eixo x0 como aqueles que reflicten raios de luz que volven ao eixo t0= a cando partiron deste mesmo eixo en t0=−a, para todo a.

Realizando esta mesma construci´on, agora sobre o eixo t0 relativo aO, obtemos o eixo x0 como a recta que une o suceso Q coa orixe de coordenadas. V´exase a Figura 1.

Figura 1: Construci´on do diagrama deO0 relativo ao de O

Notemos que as part´ıculas lum´ınicas sempre se moven nunha recta de pendente un (universalidade de c), mentres que a pendente dos eixos cambia dun diagrama a outro. Isto perm´ıtenos extraer unha primeira conclusi´on en relaci´on ´a simultaneidade de eventos. Un observador O percibe como simult´aneos os eventos pertencentes ´a mesma recta t = constante ou, equivalentemente, os sucesos pertencentes ´as rectas paralelas ao eixo x. Posto que as rectas t = constante e t0 = constante non son paralelas, os sucesos simult´aneos para o observador O non o ser´an para O0.

Invarianza do intervalo ou separaci´on

Un dos conceptos m´ais importantes da teor´ıa da Relatividade Especial ´e o de intervalo. Consideremos dous sucesos P e Q pertencentes ao mesmo raio de luz. En tal caso, e posto que a velocidade da luz ´e c = 1, satisfaise a seguinte relaci´on:

0 =−(∆t)2+ (∆x)2+ (∆y)2+ (∆z)2.

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6 SII A forma do tempo

Se lemos agora estes dous mesmos sucesos en coordenadas do observador O0, pola universalidade da velocidade da luz tam´en se verifica:

0 =−(∆t0)2+ (∆x0)2+ (∆y0)2+ (∆z0)2.

Def´ınese en xeral a intervalo ou separaci´on entre dous sucesos calquera P e Q coma:

∆s2 =−(∆t)2+ (∆x)2+ (∆y)2+ (∆z)2.

Notemos que o intervalo ou separaci´on entre sucesos coincide exactamente co cadrado da distancia inducida pola m´etrica de Minkowski.

A continuaci´on amosamos o resultado m´ais importante desta teor´ıa, a invarianza do intervalo, que nos permitir´a extraer consecuencias con relevante significado f´ısico a partir dos postulados da Relatividade Especial.

Teorema 1. O intervalo entre dous sucesos P, Q ∈ L4 ´e independente do ob- servador. ´E dicir, se O e O0 denotan observadores con coordenadas (t, x, y, z) e (t0, x0, y0, z0), respectivamente, ent´on ∆s2 = ∆s02.

Podemos clasificar os diversos sucesos do espazo-tempo de Minkowski segundo o signo da s´ua separaci´on. As´ı, dous sucesos dinse espacialemte separados se ∆s2 > 0 e dinse temporalmente separados se ∆s2 < 0. Diremos que dous sucesos te˜nen separaci´on nula se ∆s2 = 0 ou, equivalentemente, se pertencen ao mesmo raio lum´ınico.

Os sucesos temporalmente separados dun suceso dado, P , son os pertencentes ao seu cono temporal. Notemos que, por estar estes sucesos temporalmente separados de P , ´e posible chegar a eles mediante un obxecto f´ısico, ´e dicir, mediante unha curva con punto inicial P e con velocidade inferior a 1 en cada punto. Por este motivo, dicimos que os eventos do cono temporal de P constit´uen o seu pasado e o seu futuro. Non existe tal posibilidade no caso dos eventos espacialmente separados:

non ´e posible chegar dun a outro mediante unha part´ıcula material. Notemos tam´en que non existen sucesos simult´aneos con P .

Hip´erbolas invariantes e calibrado dos eixos

As hip´erbolas definidas mediante as ecuaci´ons −t2+ x2+ y2+ z2 = a2 e −t2+ x2+ y2+ z2 =−b2 constit´uen os conxuntos de puntos que est´an a unha separaci´on constante da orixe. Servir´emonos destas hip´erbolas invariantes para calibrar o eixo t0 do observadorO0, sendo an´alogo o procedemento para o calibrado do eixo x0.

Por simplicidade, traballamos unicamente en d´uas dimensi´ons. Consideremos ent´on a hip´erbola−t2+x2 =−1 e sexan A e B os sucesos que resultan da intersecci´on de dita hip´erbola cos eixos t e t0, respectivamente. Por pertencer A ao eixo t, ter´a coordenada x = 0. Da ecuaci´on da hip´erbola −t2+ x2 = −1 obtemos que, ent´on, t = 1. Analogamente, por pertencer B ao eixo t0 ter´a coordenada x0 = 0. Pola invarianza do intervalo,−t02+ x02 =−1 para o observador O0, co que t0 = 1 para B. V´exase a Figura 2.

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Olga P´erez Barral SII 7

Notemos que en distancia euclidiana, B est´a m´ais afastado da orixe que B.

Por´en, a separaci´on da orixe ´e a mesma para os dous eventos.

Figura 2: Calibrado dos eixos

Algunhas consecuencias importantes

Das transformaci´ons de Lorentz podemos extraer conclusi´ons con significado f´ısico realmente ´utiles. Supo˜namos que desprazamos un obxecto dende a orixe ata o suceso B (v´exase a Figura 2). Ao chegar a B, o obxecto ten coordenada t0 = 1, pero a lectura da coordenada temporal de B respecto do observadorO ´e t = 1/√

1− v2, polo que semella que o tempo transcorre m´ais lento paraO. Este fen´omeno co˜n´ecese como dilataci´on temporal, e res´umese na seguinte ecuaci´on:

(∆t)O = (∆t0)O0

√1− v2.

De maneira totalmente an´aloga ded´ucese que as lonxitudes semellan ser menores para o observadorO, fen´omeno co˜necido como contracci´on de Lorentz :

(∆x)O= (∆x0)O0p 1− v2. Transformaci´ons de Lorentz

Co˜necida a posici´on relativa do observador O0 respecto de O, as´ı como o cali- brado dos eixos, dispomos das ferramentas necesarias para poder expresar as coor- denadas dun sistema de referencia respecto doutro.

Botando man de ferramentas de ´alxebra linear, deducimos que as coordenadas do observadorO0 respecto das deO son:

t0= √t− v x

1− v2, x0= √x− v t 1− v2.

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8 SII A forma do tempo

Destas ecuaci´ons, habitualmente denominadas transformaci´ons de Lorentz, de- d´ucense de xeito inmediato os fen´omenos de dilataci´on temporal e contracci´on de Lorentz expostos na secci´on anterior. Dende logo, p´odense extraer moitas outras conclusi´ons. Mostramos algunhas delas a continuaci´on.

Aplicaci´on: a Lei de Einstein de composici´on de velocidades

Como aplicaci´on, empregaremos estas transformaci´ons para xeneralizar a Lei de Galileo de adici´on de velocidades. Sexa α unha part´ıcula que viaxa con velocidade W na direci´on x0deO0. En tal caso, ∆x0/∆t0 = W . Tr´atase de determinar a velocidade da part´ıcula α medida agora polo observadorO. Denotando esta velocidade por fW obtemos, botando man das transformaci´ons de Lorentz,

W =f ∆x

∆t = (∆x0+ v ∆t0)/√ 1− v2 (∆t0+ v ∆x0)/√

1− v2 = W + v 1 + v W.

Esta relaci´on ´e co˜necida como a Lei de Einstein de composici´on de velocidades.

Notemos esta ecuaci´on xeneraliza a Lei de Galielo de adici´on de velocidades. En efecto, se |W |  1 e |v|  1, ent´on, posto que 1 + v W ≈ 1, podemos aproximar o cociente anterior por fW ≈ W + v.

Fen´omenos relativistas: o paradoxo dos xemelgos

Quizais un dos fen´omenos relativistas m´ais co˜necidos sexa o paradoxo dos xe- melgos. Tr´atase de resolver o seguinte problema: Fred comeza unha viaxe espacial afast´andose do seu irm´an xemelgo, George, en li˜na recta a unha velocidade constan- te v = 24/25. Pasados 7 anos dende a s´ua partida, medidos polo seu tempo, Fred volve, simetricamente, xunto ao seu irm´an George. Que xemelgo ´e maior ao regreso de Fred?

Empregando as transformaci´ons de Lorentz, podemos determinar exactamente o tempo transcorrido para cada un dos irm´ans:

Fred: 7 + 7 = 14 anos;

George: √ 7

1−(24/25)2 +√ 7

1−(24/25)2 = 50 anos.

Bibliograf´ıa

[1] O’Neill, B. (1983). Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press.

[2] Schutz, B. (1997). A First Course in General Relativity, Cambridge University Press.

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Actas do Seminario de Iniciaci´ on a Investigaci´ ´ on

- ISSN 2171-6536

Aspectos topol´ oxicos do Teorema de Arzel` a-Ascoli

Area de An´´ alise Matem´atica

Marcos Tella ´ Alvarez

Universidade de Santiago de Compostela 3 de outubro de 2018

Resumo

O ben co˜necido Teorema de Arzel`a-Ascoli ´e un resultado cl´asico enunciado e demostrado a finais do s´eculo XIX con numerosas e importantes aplicaci´ons. Ini- cialmente entend´ıase como un resultado puramente anal´ıtico, pero anos despois comezouse a descubrir a s´ua esencia topol´oxica, o cal deu p´e a novas reformulaci´ons e novos ´ambitos de aplicaci´on do mesmo.

As´ı, foron aparecendo diversas xeneralizaci´ons anal´ıticas, nas que se require me- nos regularidade ´as funci´ons, e topol´oxicas, nas que se debilitan as hip´oteses do do- minio e codominio das mesmas. A continuaci´on veremos algunhas das consecuencias topol´oxicas e anal´ıticas destas xeneralizaci´ons e comentaremos as s´uas semellanzas e diferenzas, as´ı como a s´ua posible relaci´on.

O Teorema e algunhas xeneralizaci´ ons

Entre os anos 1883 e 1895 os profesores Cesare Arzel`a e Giulio Ascoli publicaron unha serie de resultados nos que, en resumidas contas, daban condici´ons necesarias e suficientes para que unha sucesi´on de funci´ons contivese subsucesi´ons converxentes.

Se ben case todas as ferramentas que empregaron eran xa co˜necidas na ´epoca, tiveron que introducir un concepto novo, recollido na seguinte definici´on.

Definici´on 1. Sexa (fn)n∈N unha sucesi´on de funci´ons de variable real definidas no intervalo [a, b]. Diremos que a sucesi´on (fn)n∈N ´e equicontinua se, para cada ε∈ R+, existeδ ∈ R+ tal que, se x, y∈ [a, b], |x − y| < δ, ent´on

|fn(x)− fn(y)| < ε, para todon∈ N.

Este concepto d´ebeselle, en concreto, a Ascoli. Esencialmente, o que nos est´a a dicir ´e que unha sucesi´on ser´a equicontinua cando todas as s´uas funci´ons sexan continuas e se “parezan” entre si. M´ais adiante comprobaremos a importancia desta ferramenta.

Palabras Clave: equicontinuidade; compacidade; espazos de funci´ons.

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10 SII O Teorema de Arzel`a-Ascoli

Foi no ano 1895 cando o profesor Arzel`a recolleu en [1] de forma conxunta todos os resultados logrados ata o momento baixo o seguinte enunciado.

Teorema 1. Sexa unha sucesi´on (fn)n∈N de funci´ons continuas de variable real definidas no intervalo [a, b] uniformemente limitada. Daquela:

1. Se a sucesi´on(fn)n∈N ´e converxente ent´on dita sucesi´on ´e equicontinua.

2. Se a sucesi´on (fn)n∈N ´e equicontinua ent´on cada subsucesi´on de (fn)n∈N ad- mite unha subsucesi´on converxente.

Apareceu as´ı o primeiro enunciado do que hoxe se co˜nece como Teorema de Arzel`a-Ascoli. Como se pode ver, a equicontinuidade xoga un papel esencial den- tro do resultado. Tam´en ´e destacable a s´ua formulaci´on en termos completamente anal´ıticos, pois daquela non exist´ıa a Topolox´ıa. Foi nos primeiros anos do s´eculo XX cando botou a andar esta nova disciplina das Matem´aticas, e esta deu lugar ´a seguinte reinterpretaci´on do Teorema 1.

Teorema 2. Sexa C([a, b]) o espazo das funci´ons reais continuas con dominio o intervalo[a, b] xunto coa norma do supremo e F ⊂ C([a, b]). Ent´on F ´e relativamente compacto se, e s´o se,F ´e uniformemente limitado e equicontinuo para todo x∈ [a, b].

Co paso do tempo foron aparecendo diversos escenarios nos que a aplicaci´on do Teorema 1 non ´e posible. Un exemplo sinxelo obtense se consideramos a seguinte clase de funci´ons.

Definici´on 2. Sexa f unha funci´on real de variable real definida no intervalo[a, b].

Diremos quef ´e unha funci´on regrada no punto x0 ∈ [a, b] se existen os seus l´ımites lateraisf (x+0) e f (x0) en x0.

Sef ´e regrada para todo x∈ [a, b], ent´on diremos que f ´e regrada. Denotaremos porR([a, b]) o espazo das funci´ons reais regradas con dominio o intervalo [a, b].

Foi ent´on cando Theophil Henry Hildebrandt botou man da Topolox´ıa para xeneralizar en [2] o Teorema 1 da seguinte maneira.

Teorema 3. SexaF un subconxunto da claseR das funci´ons regradas definidas no intervalo [a, b]. Daquela F ser´a relativamente compacto se, e s´o se, se satisf´an as seguintes condici´ons:

1. F ´e uniformemente limitado,

2. para cadax0 ∈ [a, b] tense que, dado ε ∈ R+, existeδ0ε∈ R+ ( respectivamente, existe δε00 ∈ R+) de xeito que, se x ∈ (x0− δ0ε, x0), (respectivamente, se x ∈ (x0, x0+ δε00) ), se satisfai que

|f(x) − f(x0)| < ε,

(respectivamente, |f(x) − f(x+0)| < ε), para toda f ∈ F . A esta condici´on chamar´emoslle equiconverxencia.

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Marcos Tella ´Alvarez SII 11

Notemos que a equiconverxencia e unha parente directa da equicontinuidade, e segue a xogar un papel esencial. De feito, cando as funci´ons son continuas ambos conceptos coinciden. Observemos tam´en que a xeneralizaci´on dada polo Teorema 3

´e anal´ıtica, pois estamos a trocar a clase das funci´ons continuas do Teorema 1 pola das regradas.

Se nos fixamos, ata o de agora s´o tratamos con funci´ons reais de variable real.

Grazas ´a Topolox´ıa p´odense considerar dominios e codominios m´ais xerais. As´ı, ´e sinxelo atop´armonos na literatura con resultados nos que se xeneraliza o Teorema 1 para espazos de funci´ons con dominio un espazo topol´oxico compacto e codominio un espazo m´etrico. Por´en, resulta complicado encontrar enunciados onde o codominio sexa algo m´ais feble como, por exemplo, un espazo uniforme. No que segue X ser´a un conxunto. Denotaremos por ∆ ao conxunto de puntos (x, x)∈ X × X (diagonal de X). Se U ⊂ X × X, definimos

U−1:={(x, y) | (y, x) ∈ U}.

Ademais, se V ⊂ X × X, definimos

U◦ V := {(x, z) | (x, y) ∈ U, (y, z) ∈ V }.

Definici´on 3. Unha uniformidade diagonal dun conxunto X ´e unha familia non baleira U de subconxuntos de X × X que satisf´an as seguintes propiedades:

1. cada elemento de U cont´en a ∆, 2. se U ∈ U, ent´on U−1∈ U,

3. se U ∈ U, logo V ◦ V ⊂ U, para alg´un V ∈ U, 4. se U, V ∈ U, daquela U ∩ V ∈ U e

5. se U ∈ U e U ⊂ V ⊂ X × X, logo V ∈ U.

Os elementosU ∈ U recibir´an o nome de contornas da uniformidade U.

Definici´on 4. Un espazo uniforme ´e un par (X,U), onde X ´e un conxunto e U ´e unha uniformidade de X.

Un espazo uniforme X ´e, en resumidas contas, un conxunto dotado de certa estrutura que lle ser´a dada pola uniformidadeU. As caracter´ısticas de tal estrutura, recollidas na Definici´on 3, gardan certa similitude coas caracter´ısticas dunha m´etrica (condici´ons 1, 2 e 3) e coas dunha topolox´ıa (condici´ons 4 e 5). Vexamos ent´on a xeneralizaci´on do Teorema 1 feita por John Leroy Kelley en [3] para funci´ons con codominio un espazo uniforme.

Teorema 4. Sexa C a familia de funci´ons continuas con dominio un espazo topo- l´oxico regular e localmente compacto X e codominio un espazo uniforme Hausdorff (Y,V), xunto coa topolox´ıa da converxencia uniforme relativa ´a familia de subcon- xuntos compactos deX, K. Ent´on un subconxunto F ⊂ C ´e compacto coa topolox´ıa da converxencia uniforme se, e s´o se,

(22)

12 SII O Teorema de Arzel`a-Ascoli

1. F ´e pechado en C;

2. F (x) ={y ∈ Y | y = f(x), f ∈ F } ten clausura compacta para cada x ∈ X e 3. F ´e equicontinuo.

De novo, a equicontinuidade xoga un papel esencial no Teorema 4. Ademais, tam´en podemos ver de forma expl´ıcita o rol que desenvolve a Topolox´ıa en todo o resultado.

Para rematar, mostraremos de contado un enunciado no que se leva a cabo unha xeneralizaci´on analitica forte do Teorema 1, pois non se lle requirir´a ning´un tipo de regularidade ´as funci´ons obxecto de estudo. Esta d´ebeselle a Klaus Vala, e p´odese consultar en [4]. Previamente vexamos dous conceptos necesarios.

Definici´on 5. Sexaf unha aplicaci´on con dominio un conxuntoX e codominio un espazo m´etrico Y . Diremos que f ´e unha aplicaci´on precompacta se f (X) ⊂ Y ´e un subespazo precompacto en Y .

Denotaremos por K(X, Y ) ao conxunto de todas as aplicaci´ons precompactas con dominio X e codominio Y . Esta ser´a a clase de funci´ons coas que traballaremos.

Definici´on 6. Sexa F ⊂ K(X, Y ). Diremos que F ´e equivariante se, para cada ε∈ R+, existe unha cobertura finita {Uj | j ∈ J} de X tal que, se x, y ∈ Uj, j∈ J, daquela

d(f (x), f (y)) < ε, para todaf ∈ F .

A equivarianza ser´a o substituto natural da equicontinuidade. Vexamos ent´on a xeneralizaci´on da que falamos.

Teorema 5. Sexa F ⊂ K(X, Y ). Daquela, F ser´a un subespazo precompacto se, e s´o se, se satisf´an as seguintes condici´ons:

1. O conxunto F (x) = {y ∈ Y | y = f(x), f ∈ F } ´e precompacto para todo x∈ X.

2. F ´e equivariante.

Como se pode observar, non estamos a pedir ningunha regularidade ´as funci´ons.

Ademais, o dominio das mesmas pode ser un conxunto calquera. Vexamos un exem- plo no cal se pode empregar o Teorema 5.

Exemplo 1. Sexa(fn)n∈Nunha sucesi´on de funci´ons reais de variable real definidas no intervalo[0, 1] onde, para cada n∈ N, se ten

fn(x) =

 1

n, sex∈ [0, 1] ∩ Q, 0, noutro caso.

(23)

Marcos Tella ´Alvarez SII 13

f1

f2

f3

1 0

.. .

Figura 1: Sucesi´on (fn)n∈N. Este ´e un exemplo no que observamos con- verxencia claramente, pero no que non se pode aplicar o Teorema 1.

Ata o de agora non podiamos aplicar ning´un resultado dos vistos para conclu´ır algo sobre a sucesi´on dada. Vexamos que podemos aplicar o Teorema 5.

Claramente, a sucesi´on(fn)n∈N´e precompacta, pois, para cadan∈ N, fn([0, 1]) = {0,n1} ´e un compacto. Se agora tomamos como cobertura de [0, 1] os conxuntos U1= [0, 1]∩ Q e U2 = [0, 1]\ Q, obtemos de xeito inmediato que a sucesi´on tam´en ´e equivariante. Logo estamos nas condici´ons do Teorema 5, polo que podemos asegurar a existencia dunha subsucesi´on converxente, algo que se pode intu´ır xa na Figura 1.

Conclusi´ ons

O primeiro que debe chamar a nosa atenci´on ´e a gran diferenza existente entre os distintos resultados vistos ata o de agora, a pesar de seren xeneralizaci´ons do mesmo teorema. Tal feito d´ebese, en parte, a que moitos deles surxiron a partir necesidade dunha ferramenta para a resoluci´on dun problema particular. Isto provocou que non exista ning´un tipo de unificaci´on, e como consecuencia, que moitas veces se estea a falar de cousas case id´enticas en termos moi distintos.

Con todo, logo da an´alise dos resultados expostos, chegamos ´a conclusi´on de que son precisos dous ingredientes b´asicos no Teorema 1 e nas s´uas respectivas xenerali- zaci´ons: a compacidade e a proximidade. Esta ´ultima fai acto de presenza tanto nas condici´ons requiridas ao codominio das funci´ons como na equicontinuidade, equi- converxencia ou equivarianza. As´ı, podemos facernos unha idea do tipo de marcos nos que poder tentar aplicar o Teorema 1 ou algunha das s´uas xeneralizaci´ons. Isto resulta de gran utilidade para saber como enfrontarnos a problemas (tanto anal´ıticos como topol´oxicos) relacionados coa compacidade en espazos de funci´ons.

Tam´en debemos reparar en que o grao de xeneralizaci´on que alg´un dos enuncia- dos alcanza resulta ´as veces un inconveniente, pois tal abstracci´on fai que sexan moi complicados de empregar. No Exemplo 1 podemos ver un caso onde o Teorema 5 ´e aplicable pero, en xeral, non ´e un resultado nada doado de usar. Isto l´evanos a refle- xionar que ser´ıa interesante traballar en posibles aplicaci´ons a casos m´ais pr´acticos,

(24)

14 SII O Teorema de Arzel`a-Ascoli

no canto de seguir buscando m´ais xeneralidade.

Bibliograf´ıa

[1] Arzel`a, C. (1895). Sulle funzioni di linee, Memorie dell’Acaddemia delle Scienze dell’Instituto di Bologna. Clase di Scienze Fisiche e Matematiche, 5(5), pp. 55–

74.

[2] Hildebrandt, T.H. (1966). Compactness in the space of quasi-continuous fun- ctions, The American Mathematical Monthly, 73(4), pp. 144–145.

[3] Kelley, J. L. (1955). General Topology, Springer-Verlag.

[4] Vala, K. (1964). On compact sets of compact operators, Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ, 1(351).

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Actas do Seminario de Iniciaci´ on a Investigaci´ ´ on

- ISSN 2171-6536

Teor´ıa de colas y su aplicaci´ on a un caso cercano

Area de Estad´ıstica e Investigaci´´ on Operativa

Laura Davila Pena

Universidade de Santiago de Compostela 17 de octubre de 2018

Introducci´ on

La teor´ıa de colas es una disciplina que se engloba dentro de la Investigaci´on Operativa y cuyo objetivo es el estudio y an´alisis de situaciones en las que un cliente demanda un servicio, de tal forma que dicho servicio no puede ser satisfecho instant´aneamente, por lo cual se provocan esperas.

El t´ermino “cliente” se emplea de modo general y no implica necesariamente que se trate de una persona. Por ejemplo, un cliente ser´ıa un coche esperando en un sem´aforo en rojo, un programa de ordenador esperando a ser ejecutado, o bien una botella en una cadena de producci´on esperando a ser etiquetada.

Un sistema sencillo de colas se muestra en la Figura 1.

Figura 1: Esquema b´asico de un sistema de colas.

El estudio de los procesos de colas se centra en entender caracter´ısticas como el n´umero medio de clientes en el sistema, o el promedio de tiempo que emplean en

´el. Para ello, se analizan diversas cuestiones, como por ejemplo: ¿cu´antos servidores deber´ıan estar disponibles?, ¿cu´an r´apidos deber´ıan ser? o ¿c´omo deber´ıa estar dise-

˜

nado el sistema? La teor´ıa de colas trata de responder a estas preguntas empleando un an´alisis matem´atico detallado.

Palabras Clave: teor´ıa de colas; clientes; procesos estoc´asticos; servicio; tiempo de espera.

15

(26)

16 SII Teor´ıa de colas y su aplicaci´on a un caso cercano

Procesos estoc´ asticos

Los procesos estoc´asticos juegan un papel fundamental a la hora de modelizar sistemas de colas. En esta secci´on realizaremos una introducci´on a dichos procesos, definiendo algunos de los m´as relevantes en la teor´ıa de colas, siguiendo la notaci´on de [1].

Definici´on 1. Un conjunto de variables aleatorias {X(t), t ∈ T } definidas en un espacio de probabilidad com´un, Ω, se denomina proceso estoc´astico. El conjunto E⊂ R de los posibles valores que una variable aleatoria X(t) puede tomar se conoce como espacio de estados, mientras que el conjunto de ´ındicesT se denomina espacio de tiempos.

Seg´un los conjuntos E y T sean finitos (o infinitos numerables) o contengan, al menos, un intervalo, se hablar´a de procesos estoc´asticos con espacio de estados discreto o continuo y en tiempo discreto o continuo, respectivamente.

Los procesos estoc´asticos que verifican la propiedad markoviana, o propiedad de falta de memoria, se denominan procesos de Markov. De forma intuitiva, decimos que, conocido el presente, la distribuci´on de probabilidad de posibles valores futuros del proceso depende solamente del valor del proceso en el presente y no de los valores que toma el proceso en el pasado. Cuando el espacio de estados es discreto, el proceso de Markov se denomina cadena de Markov.

Otro tipo especial de procesos estoc´asticos son los procesos de contar, que se denotan como{N(t), t ≥ 0}, donde N(t) es el n´umero de eventos ocurridos a partir del instante 0 pero no despu´es del instante t.

Definici´on 2. Un proceso de contar {N(t), t ≥ 0} es un proceso de Poisson con par´ametro λ > 0 si se cumplen las siguientes hip´otesis:

El proceso presenta incrementos independientes.

Los incrementos del proceso son estacionarios.

La probabilidad de que exactamente un suceso tenga lugar en cualquier inter- valo de tiempo de longitud h es λh + o(h).

La probabilidad de que m´as de un suceso ocurra en cualquier intervalo de tiempo de longitud h es o(h).

Una generalizaci´on de estos ´ultimos son los procesos de nacimiento y muerte, ya que contemplan la posibilidad de que el n´umero de ocurrencias disminuya.

Definici´on 3. Consideremos un proceso estoc´astico {X(t), t ≥ 0} con espacio de estados discreto,E ={0, 1, 2, ... }. Supongamos que este proceso describe un sistema que se encuentra en estadoEn,n = 0, 1, 2, ... , en el instante t, si y solo si X(t) = n.

Entonces se dice que dicho proceso es un proceso de nacimiento y muerte si existen tasas de nacimiento y muerte no negativas{λn, n = 0, 1, 2, ...} y {µn, n = 1, 2, ...}, respectivamente, que satisfacen las siguientes condiciones:

(27)

Laura Davila Pena SII 17

Los ´unicos cambios de estado permitidos son del estado En al estado En+1 o del estado En al En−1 para n≥ 1, y del estado E0 al E1.

Si en el instante t el sistema se encuentra en el estado En, la probabilidad de que ocurra una transici´on del estado En al En+1 (lo cual se denota por En→ En+1) entre los instantest y t+h, es igual a λnh+o(h), y la probabilidad de que ocurra En→ En−1 (si n≥ 1) es µnh + o(h).

La probabilidad de que ocurra m´as de una transici´on en el intervalo de tiempo entre t y t + h es o(h).

Cuando describimos un sistema de colas como un proceso de nacimiento y muer- te, pensamos en el estado En como el momento en el que se encuentran n clientes en el sistema, bien esperando o bien recibiendo el servicio. De tal modo, estaremos interesados en conocer la probabilidad Pn(t) = P (X(t) = n). Obtenemos as´ı las llamadas ecuaciones diferenciales de balance:

dPn(t)

dt = λn−1Pn−1(t)− (λn+ µn)Pn(t) + µn+1Pn+1(t) y dP0(t)

dt =−λ0P0(t) + µ1P1(t).

En ciertas ocasiones nos encontraremos ante sistemas estacionarios, es decir, donde Pn(t) se aproxima a un valor constante pn independiente del tiempo. En tal caso, las ecuaciones de balance ser´ıan:

0 = λn−1pn−1+ µn+1pn+1− (λn+ µn)pn, n≥ 1 (1)

0 = µ1p1− λ0p0. (2)

Existe una t´ecnica m´as ´util e intuitiva para deducir las ecuaciones diferencia- les (1) y (2), que implica el uso de un diagrama de tasa de transici´on entre estados, el cual se ilustra en la Figura 2, y el principio que nos dice que, para cada estado, la tasa de flujo entrante coincide con la tasa de flujo saliente.

0 1 2 n− 1 n n + 1 . . .

λ0 λ1 λn−1 λn

µn+1

µn

µ2

µ1

Figura 2: Diagrama de tasa de transici´on entre estados.

(28)

18 SII Teor´ıa de colas y su aplicaci´on a un caso cercano

Teor´ıa de colas

Para describir los sistemas de colas utilizaremos la notaci´on A/B/C/D/E/F desarrollada por el matem´atico ingl´es David G. Kendall en el a˜no 1953. Presentamos dicha terminolog´ıa en la Tabla 1.

A Distribuci´on del M exponencial tiempo entre llegadas D determin´ıstica B Distribuci´on del Ek Erlang (orden k)

tiempo de servicio G general C N´umero de servidores

D Capacidad del sistema Puede ser un n´umero E Poblaci´on potencial entero positivo, o bien ∞

de clientes

F Disciplina de la cola FCFS, LCFS, RSS, PRI...

Tabla 1: Notaci´on de Kendall para un sistema de colas.

En algunas situaciones la notaci´on ser´a simplificada como A/B/C, asumiendo de este modo que tanto la capacidad del sistema como la poblaci´on potencial de clientes es infinita, siendo la disciplina de la cola FCFS (primero en llegar, primero en ser servido).

Dos de los modelos estudiados son el M/M/1 y M/M/s. En ambos, tanto el tiempo entre llegadas como el tiempo de servicio siguen una distribuci´on ex- ponencial. El primero presenta un servidor mientras que en el segundo tenemos s servidores. Estos modelos se pueden ver como casos particulares de los procesos de nacimiento y muerte, donde los nacimientos se corresponden con las llegadas de los clientes y las muertes con las salidas una vez atendidos. Por ser casos particulares de estos procesos estoc´asticos, podemos calcular las probabilidades pn y, a partir de ellas, medidas como el n´umero medio de clientes en el sistema o en la cola (L y Lq) o el tiempo medio de espera en el sistema o cola (W y Wq, respectivamente). Para la realizaci´on de estos c´alculos es preciso conocer las f´ormulas de Little:

L = λW, Lq= λWq.

Sin embargo, podr´ıamos estar interesados no solo en el tiempo medio de espera, sino en conocer si un determinado cliente va a tener que esperar un tiempo superior a t en la cola o en el sistema. En tal caso, tendr´ıamos que calcular la distribuci´on de probabilidad de las variables tiempo de espera en el sistema y tiempo de espera en la cola,W y Wq, respectivamente.

Pero estos modelos se centran en atender a un cliente que llega en demanda de un servicio y se marcha tan pronto como sea atendido. Muy a menudo nos encontramos ante situaciones en las que un usuario requiere m´as de un servicio, o

(29)

Laura Davila Pena SII 19

diferentes tipos de servicio, proporcionados por distintos servidores. As´ı, puede ser necesario esperar en distintas colas para cada uno de los servicios. Para modelizar estos casos se emplean las redes de colas. La red estar´a formada por un conjunto de nodos, donde cada uno de ellos contiene el sistema de una cola. Los clientes que salen servidos de un nodo podr´an no solo abandonar el sistema, sino tambi´en dirigirse a cualquiera de los otros nodos. Por tanto, para especificar completamente una red de colas, ser´a preciso conocer no solo las tasas de llegada y servicio asociadas al total de la misma, sino tambi´en las probabilidades que rigen las transiciones entre los distintos nodos de la red.

Las redes de colas se conocen como redes de Jackson en honor al matem´atico estadounidense James Jackson. Dependiendo de si se permite o no intercambio de clientes con el exterior de la red, se distinguen dos tipos fundamentales de redes de colas: las redes abiertas y las redes cerradas.

Aplicaci´ on de la teor´ıa de colas

En esta secci´on presentamos una aplicaci´on de la teor´ıa de colas que hemos estudiado. Se trata de un problema todav´ıa en desarrollo y que considera incidencias detectadas estad´ısticamente en las muestras de sangre trasladadas a trav´es de varias rutas de ambulancias al Complexo Hospitalario Universitario de Santiago (CHUS).

El ´area cl´ınica de Santiago de Compostela est´a compuesta por 69 centros m´edicos pertenecientes al Servizo Galego de Sa´ude (SERGAS) y coordinados en gran medida por el CHUS. Desde este centro se emiten resultados cl´ınicos de diversas pruebas en sangre. Diariamente, se realizan extracciones de sangre en cada ambulatorio de los ayuntamientos que componen el ´area cl´ınica de Santiago. Estas muestras son posteriormente trasladadas en ambulancia al CHUS mediante 8 rutas existentes.

Con el paso del tiempo se han ido a˜nadiendo nuevos centros m´edicos a las rutas sin una revisi´on precisa de estas, detect´andose as´ı algunos problemas:

Existencia de una gran cantidad de pacientes cuyas concentraciones de potasio eran m´as altas de lo normal.

Diferencias en los valores dependiendo del ´area del que provengan las muestras.

Despu´es de realizar una serie de investigaciones y estudios estad´ısticos, en [2]

concluyeron, mediante modelos de regresi´on, que los pacientes procedentes de las zonas m´as alejadas del CHUS eran los que presentaban niveles m´as altos de este mineral.

De este modo, surgen diversas cuestiones acerca de las posibles causas. Algunas de ellas son:

Ciertas muestras tardan demasiado en llegar al laboratorio, con su correspon- diente deterioro.

Algunos repartidores tienen que desviarse en exceso, de modo que ciertas muestras podr´ıan ser trasladadas al hospital mediante otras rutas.

(30)

20 SII Teor´ıa de colas y su aplicaci´on a un caso cercano

En algunas ocasiones, varios repartidores llegan al mismo tiempo al hospital.

Esto genera un colapso del sistema, dando lugar a una cola a la entrada del laboratorio que no puede ser procesada a una velocidad adecuada. El hecho de que las muestras est´en paradas contribuye a su deterioro y da lugar a un resultado err´oneo de la anal´ıtica, arrojando niveles de potasio m´as altos que los reales.

Dentro de nuestro contexto de trabajo, nos hemos centrado en estudiar el ´ultimo punto, modelizando el sistema de colas generado a la entrada de las muestras al hospital. Lo primero que se ha hecho ha sido conseguir una base de datos proveniente del hospital y de los propios repartidores, con los par´ametros de inter´es. Una vez analizada, se plantean una serie de propuestas para solventar este problema:

Modelizar los sistemas de colas en los nodos objeto de estudio, que en nuestro caso son la recepci´on de muestras y el MUT. El MUT es una m´aquina que clasifica, ordena y separa las muestras atendiendo al tipo de prueba que se va a realizar. De esta forma, se podr´ıan tratar de simular las tasas de llegada y servicio ´optimas de modo que se espaciasen las llegadas para evitar los colapsos que se producen a determinadas horas del d´ıa.

Modificar la disciplina de la cola: cuando las muestras llegan al MUT, el perso- nal que all´ı se encuentra las introduce en la m´aquina de forma aleatoria, dentro de una misma ruta, sin tener en cuenta de d´onde vienen. Lo que proponemos es que las muestras provenientes de lugares m´as lejanos sean las primeras en introducir en el MUT, de forma que se reduzcan sus tiempos de espera y, en consecuencia, su posibilidad de deterioro.

Estudios m´as profundos acerca de rutas.

Este problema, como ya se ha mencionado, est´a todav´ıa en fase de estudio. El objetivo que se pretende con la realizaci´on de este trabajo es poner de manifiesto la utilidad de la teor´ıa de colas en problemas reales y, en este caso, un problema pr´oximo.

Bibliograf´ıa

[1] Cao Abad, R. (2002). Introducci´on a la Simulaci´on y a la Teor´ıa de Colas, Cat´alogo General, Netbiblo.

[2] Espasand´ın Dom´ınguez, J., Cadarso Su´arez, C., Kneib, T., Casas M´endez, B., Benitez Est´evez, A.J., Barreiro Mart´ınez, T. y Gude, F. (2016). Utilidad de los modelos de regresi´on distribucional aditivos estructurados en la toma de decisiones cl´ınicas. A prop´osito del potasio, in Proceedings of the II Encontro Galaico-Portugu´es de Biometr´ıa, Santiago de Compostela, Spain, July 2016.

Available in:

http://biometria.sgapeio.es/descargas/Libro Actas BIOAPP2016.pdf

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Actas do Seminario de Iniciaci´ on a Investigaci´ ´ on

- ISSN 2171-6536

Construcci´ on de superficies hiperb´ olicas

Area de Geometr´ıa y Topolog´ıa´

Alvaro Carballido Costas ´

Universidade de Santiago de Compostela 31 de noviembre de 2018

Acciones propiamente discontinuas

Definici´on 1. Sean G un grupo y X un conjunto. Una acci´on de G sobre X, denotada porG y X, es una aplicaci´on

ϕ : G× X −→ X verificando:

(1) ϕ(1, x) = x, ∀x ∈ X,

(2) ϕ(gh, x) = ϕ(g, ϕ(h, x)), ∀g, h ∈ G, ∀x ∈ X.

En lo que sigue escribiremosϕ(g, x) = g.x.

Recordemos que un grupo topol´ogico es un grupo, G, dotado de una topolog´ıa de forma que las aplicaciones de multiplicaci´on

(g, h)∈ G × G −→ gh ∈ G y de inversi´on

g∈ G −→ g−1 ∈ G son continuas.

Definici´on 2. Sean G un grupo topol´ogico y X un espacio topol´ogico. Una acci´on continua de G sobre X es una acci´onG y X de forma que ϕ : G× X → X es una aplicaci´on continua.

En lo que sigue todas las acciones que consideremos van a ser acciones continuas y las seguiremos denotando por G y X.

Sea G y X una acci´on. Dado x∈ X, la ´orbita del punto x es el conjunto G.x ={g.x ∈ X | g ∈ G}.

Las ´orbitas de los puntos definen una relaci´on de equivalencia en el espacio X de la siguiente forma:

x, y∈ X, x ∼ y ⇐⇒ G.x = G.y ⇐⇒ ∃g ∈ G t.q. y = g.x.

Palabras Clave: propiamente discontinua; superficie hiperb´olica; grupo fuchsiano.

21

(32)

22 SII Construcci´on de superficies hiperb´olicas

Definici´on 3. Al espacio cociente definido por la anterior relaci´on de equivalencia se le llama espacio de ´orbitas y se le denota por G\X.

Para que el espacio de ´orbitas tenga un buen comportamiento es necesario que la acci´on de G sobre X tenga unas propiedades especiales. As´ı tenemos las siguientes definiciones:

Definici´on 4. Una acci´on G y X se dice libre si el grupo de isotrop´ıa de cada punto es trivial, es decir, para cada x∈ X, Gx={g ∈ G | g.x = x} = {1}.

Definici´on 5. Una acci´on G y X de un grupo discreto G (es decir, dotado de la topolog´ıa discreta) sobre un espacio topol´ogico Hausdorff X se dice propiamente discontinua si se verifica que:

(1) G\X es un espacio topol´ogico Hausdorff,

(2) Gx ={g ∈ G | g.x = x} es finito para cada x ∈ X,

(3) para cada puntox∈ X existe un entorno Vx dex tal que:

(i) g.Vx∩ Vx=∅, ∀g /∈ Gx, (ii) g.Vx= Vx, ∀g ∈ Gx.

La definici´on dada de acci´on propiamente discontinua es en realidad una carac- terizaci´on. La definici´on original de acci´on propiamente discontinua es acci´on propia de grupo discreto. Para profundizar en esto y ver la equivalencia se recomienda [1].

Un primer resultado muestra el buen comportamiento de este tipo de acciones.

Teorema 1. Sea G un grupo topol´ogico discreto, X un espacio topol´ogico Haus- dorff yG y X una acci´on libre y propiamente discontinua. Entonces la aplicaci´on cociente

π : X −→ G\X es un homeomorfismo local.

El resultado del teorema anterior es m´as fuerte, ya que de hecho, en esas condi- ciones la aplicaci´on cociente es una cubierta y en particular un fibrado localmente trivial de fibra discreta. V´eanse [4] para cubiertas y [2] o [6] para fibrados localmente triviales.

Superficies hiperb´ olicas

El objetivo ahora es dotar a nuestro espacio topol´ogico de una estructura m´as rica, como la de variedad riemanniana, y ver c´omo se comportan los cocientes de las acciones propiamente discontinuas sobre estas variedades.

Teorema 2. SeanM una variedad riemanniana y de Heine-Borel (i.e. los cerrados y acotados son compactos) yΓ un subgrupo de isometr´ıas de M . Entonces la acci´on natural Γ y M es propiamente discontinua si y solo si Γ es discreto.

(33)

Alvaro Carballido Costas´ SII 23

Observaci´on 1. En el teorema anterior, cuando decimos que Γ es discreto, nos referimos a discreto como subespacio deIsom(M ) dotado de la topolog´ıa compacto- abierto. Sin embargo, en las hip´otesis en las que nos movemos, ser discreto equivale a que la ´orbita de cada puntox∈ M, Γ.x ⊂ M, sea un espacio discreto.

Teorema 3. En las condiciones del teorema anterior, si adem´as la acci´onΓ y M es libre, entonces el espacio de ´orbitasG\M adquiere una ´unica estructura de variedad diferenciable de forma que la aplicaci´on cociente

π : M −→ G\M es una isometr´ıa local.

La variedad riemanniana que nos interesa es el plano hiperb´olico, que es un modelo de geometr´ıa hiperb´olica (un tipo de geometr´ıa en la que no se verifica el quinto postulado de Euclides) y que se define formalmente de la siguiente forma:

Definici´on 6. Al semiplano complejo H = {z ∈ C | Im(z) > 0} dotado de la m´etrica g = (dx2+ dy2)/y2 se le llama plano hiperb´olico.

Figura 1: Geod´esicas del plano hiperb´olico

Observaci´on 2. El disco de Poincar´e, D, es un modelo equivalente al del plano hiperb´olico.

Figura 2: Geod´esicas del disco de Poincar´e

(34)

24 SII Construcci´on de superficies hiperb´olicas

La aplicaci´on que nos da el paso de H a D se conoce como aplicaci´on de Cayley y viene dada por

z∈ H −→ Ψ(z) = z− i z + i ∈ D.

El plano hiperb´olico (y por tanto el disco de Poincar´e) son variedades rieman- nianas de Heine-Borel con curvatura constante y negativa igual a -1.

Nos vamos a interesar en un subgrupo muy particular de isometr´ıas del plano hiperb´olico, aquellas que conservan la orientaci´on.

Definici´on 7. El grupo

PSL(2, R) = SL(2, R)/{±Id} = Isom+(H) es el grupo de isometr´as de H que conservan la orientaci´on, donde

SL(2, R) =



z∈ H → az + b

cz + d ∈ H : ad − bc = 1, a, b, c, d ∈ R

 .

A los subgrupos discretos Γ < PSL(2, R) se les conoce como grupos fuchsianos.

Definici´on 8. Sea Γ un grupo fuchsiano sin torsi´on (es decir, la acci´on natural por isometr´ıas Γ y H es libre). Al espacio de ´orbitas Γ\H se le llama superficie hiperb´olica.

Observaci´on 3. En virtud del Teorema 3 y del Teorema Egregium de Gauss, ca- da superficie hiperb´olica admite una ´unica m´etrica riemanniana de forma que su curvatura es constante, negativa e igual a -1 en cada punto.

El objetivo ahora es esbozar la construcci´on del toro con dos agujeros a trav´es de la acci´on de un grupo fuchsiano sobre H, lo que dar´a lugar a enunciar una generalizaci´on conocida como Teorema de Poincar´e.

Para ello, vamos a trabajar en el disco de Poincar´e. Los grupos fuchsianos de H se traspasan a los grupos discretos y sin torsi´on de isometr´ıas de D y viceversa.

Nuestro objetivo es encontrar un subgrupo discreto Γ0 de las isometr´ıas de D, sin torsi´on y de forma que su espacio de ´orbitas sea el oct´ogono regular (donde cada lado es un arco de geod´esica) con las identificaciones mostradas en la figura 3.

Para construir tal grupo Γ0, fijamos el ´area del oct´ogono como 4π. Como en geometr´ıa hiperb´olica fijar ´areas es equivalente a fijar ´angulos, haciendo uso de trigonometr´ıa hiperb´olica somos capaces de encontrar una isometr´ıa, B2, que lleva b2 en b02 con la orientaci´on que queremos. Una vez tenemos B2, podemos construir f´acilmente (mediante rotaciones y reflexiones seguidas de rotaciones) las restantes tres isometr´ıas A1, A2 y B1, que llevan, respectivamente, a1 en a01, a2 en a02 y b1 en b01.

La pregunta es si el grupo generado por estos cuatro elementos, Γ0=|A1, A2, B1, B2|,

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Alvaro Carballido Costas´ SII 25

Figura 3: Oct´ogono regular en D

es el grupo discreto buscado. La respuesta, dada por Poincar´e, es positiva, y como el oct´ogono con las identificaciones dadas es exactamente el toro con dos agujeros, conclu´ımos que tal superficie es una superficies hiperb´olica. Para una construcci´on un poco m´as detallada, v´ease [3].

De hecho, Poincar´e generaliz´o esta construcci´on para cualquier superficie com- pacta de g´enero g > 1 sin m´as que considerar pol´ıgonos hiperb´olicos con suficientes lados. Esta generalizaci´on es lo que se conoce como Teorema de Poincar´e:

Teorema 4. Dada una superficie compacta de g´enero g > 1, Σg, existe un grupo fuchsiano sin torsi´onΓ de forma que

Σg = Γ\H.

Bibliograf´ıa

[1] Bourbaki, N. (1971). ´El´ements de Math´ematique. Topologie g´en´erale, chapitres 1 `a 4. C.C.L.S, Paris.

[2] Hector, G. y Hirsch, U. (1986). Introduction to the Geometry of Foliations, Part A. Vieweg & Sohn.

[3] Katok, S. (1992). Fuchsian groups. The University of Chicago Press, Chicago and London.

[4] Massey, W. S. (1967). Algebraic Topology: An Introduction. Springer, New York.

[5] Ratcliffe, J. (2006). Foundations of Hyperbolic Manifolds. Springer-Verlag, New York.

[6] Steenrod, N. (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press.

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Actas do Seminario de Iniciaci´ on a Investigaci´ ´ on

- ISSN 2171-6536

O Teorema do punto fixo de Schauder: xeneralizaci´ ons e aplicaci´ ons

Area de An´´ alise Matem´atica

Jorge Rodr´ıguez L´ opez

Universidade de Santiago de Compostela 14 de novembro de 2018

Introduci´ on

O Teorema do punto fixo de Schauder ´e unha das ferramentas m´ais usadas en an´alise nonlineal ´a hora de probar a existencia de soluci´on para problemas diferen- ciais ou integrais. Dito teorema ´e unha xeneralizaci´on a espazos de dimensi´on infinita do co˜necido Teorema de Brouwer, presente en diversas ´areas das matem´aticas e que enunciamos a continuaci´on.

Teorema 1 (Brouwer, 1912, [3]). Sexa B ⊂ Rn un subconxunto non baleiro, limi- tado, convexo e pechado, e f : B → B unha aplicaci´on continua. Ent´on f ten un punto fixo enB, isto ´e, existe x0∈ B tal que f(x0) = x0.

Obs´ervese que, grazas ao Teorema de Heine-Borel, en espazos euclidianos de dimensi´on finita ser pechado e limitado equivale a ser compacto. Por´en, dita equi- valencia non se obt´en en dimensi´on infinita. Polo tanto, podemos preguntarnos se alg´un dos enunciados do Teorema de Brouwer (ben para subconxuntos pechados e limitados, ou ben para subconxuntos compactos) segue a ser certo en dimensi´on infinita. A resposta a esta cuesti´on atopar´emola na seguinte secci´on da man do Teorema de Schauder.

A aplicabilidade do Teorema do punto fixo de Schauder deu lugar a diversas xe- neralizaci´ons do mesmo. N´os presentaremos aqu´ı a extensi´on a aplicaci´ons multiva- luadas, que nos ser´a de gran utilidade ´a hora de debilitar a condici´on de continuidade requerida neste tipo de teoremas de punto fixo. Como consecuencia podemos obter novos resultados de existencia para problemas diferenciais onde a parte nonlineal pode ser descontinua con respecto da inc´ognita.

O Teorema do punto fixo de Schauder

Sexa (X,k·k) un espazo de Banach, isto ´e, X ´e un espazo vectorial normado (con norma k·k) e completo (onde toda sucesi´on de Cauchy ´e converxente).

Palabras Clave: punto fixo; existencia de soluci´on; ecuaci´ons diferenciais descontinuas.

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28 SII O Teorema do punto fixo de Schauder

Teorema 2(Schauder, 1930, [8]). Sexa K ⊂ X un subconxunto non baleiro, convexo e compacto, e T : K → K unha aplicaci´on continua. Ent´on T ten un punto fixo.

Por outra banda, Dugundji probou que en calquera espazo de dimensi´on infinita existe unha aplicaci´on continua da b´ola pechada unitaria en si mesma sen puntos fixos. Isto indica que en espazos de dimensi´on infinita o car´acter pechado e limitado do dominio non ´e suficiente para obter puntos fixos de aplicaci´ons continuas, sen´on que se necesita unha hip´otese m´ais forte: a compacidade.

Ademais dos espazos Rn, presentamos o seguinte par de exemplos de espazos de Banach, que usaremos a continuaci´on.

Exemplo 1. O espazo das funci´ons continuas definidas en [a, b] con valores en R, C0([a, b]), ten estructura de espazo de Banach coa norma do supremo

kfk= sup{|f(x)| : x ∈ [a, b]}, f ∈ C0([a, b]).

O espazo das funci´ons continuamente diferenciables en [a, b] con valores en R, C1([a, b]), tam´en ´e un espazo de Banach coa norma

kfkC1 =kfk+ f0

, f ∈ C1([a, b]).

Como diciamos ao comezo, o interese do Teorema de Schauder en an´alise nonli- neal ´e debido ´a s´ua aplicabilidade ´a hora de probar a existencia de soluci´ons para problemas diferenciais.

A modo de exemplo, consideremos o seguinte problema de segunda orde con condici´ons de fronteira tipo Dirichlet:

 −x00(t) = f (t, x) t∈ I = [0, 1],

x(0) = x(1) = 0. (1)

Hip´oteses usuais para garantir a existencia de soluci´on para o problema (1) son as chamadas condici´ons de Carath´eodory:

(C1) Para cada x∈ R, a aplicaci´on t ∈ I 7→ f(t, x) ´e medible;

(C2) Para c.t.p. t∈ I, a funci´on x ∈ R 7→ f(t, x) ´e continua;

(C3) Existe M ∈ L1(I) tal que para c.t.p. t∈ I e todo x ∈ R se ten |f(t, x)| ≤ M(t).

Teorema 3. Sef satisfai (C1), (C2) e (C3), ent´on o problema (1) ten polo menos unha soluci´onx∈ W2,1(I).

Observaci´on 1. P´odese identificar o conxuntoW2,1(I) co das funci´ons con valores reais tales que a s´ua derivada ´e unha funci´on absolutamente continua en I.

O Teorema 3 p´odese probar de xeito sinxelo usando o Teorema do punto fixo de Schauder. Vexamos esquematicamente a maneira de proceder.

O primeiro paso ´e atopar un operador T ao que aplicarlle o teorema de punto fixo. Integrando d´uas veces en (1) e aplicando as condici´ons de fronteira, obtense

(39)

Jorge Rodr´ıguez L´opez SII 29

que atopar soluci´ons para o problema diferencial (1) ´e equivalente a atopar funci´ons x∈ C1(I) tales que

x(t) = Z 1

0

G(t, s)f (s, x(s)) ds,

onde G ´e o que se co˜nece como funci´on de Green do problema (1) e v´en dada por G(t, s) =

 (1− t)s se 0≤ s ≤ t ≤ 1, t(1− s) se 0≤ t < s ≤ 1.

E dicir, buscamos puntos fixos do operador T :´ C1(I)→ C1(I) definido como

T x(t) = Z 1

0

G(t, s)f (s, x(s)) ds.

Falta atopar un subconxunto axeitado do espazo de BanachC1(I) no que aplicar o Teorema de Schauder. Consideremos o conxunto

K =



x∈ C1(I) : x(0) = x(1) = 0,

x0(t)− x0(s) ≤

Z t s

M (r) dr

 .

Est´a claro que o conxunto K ´e convexo. Ademais, tam´en se pode probar, por medio do Teorema de Ascoli-Arzel´a, que o conxunto K ´e un subconxunto compacto de C1(I). Tense que T (K)⊂ K.

Para rematar vexamos que T ´e continuo. Para iso, probemos que ´e secuen- cialmente continuo en K. Sexa xn → x en K: pola condici´on (C2) temos que f (t, xn) → f(t, x) para c.t.p. t ∈ I. Ent´on, grazas a (C3) e ao Teorema da con- verxencia dominada de Lebesgue, obtense que T xn→ T x. Polo tanto, T ´e continuo en x.

O Teorema do punto fixo de Schauder garante que T ten un punto fixo en K.

Dito punto fixo ´e unha soluci´on do problema diferencial (1), o que remata a proba do Teorema 3.

Observaci´on 2. A condici´on (C2) resulta chave para probar a continuidade do operador T , ´a s´ua vez necesaria para aplicar o Teorema de Schauder.

Por´en, diversos procesos f´ısicos ou biol´oxicos poden vir modelados por ecuaci´ons diferenciais para as que a condici´on (C2) de continuidade na variable espacial non se cumpre. ´E por iso que estamos interesados en obter resultados de existencia para (1) baixo condici´ons m´ais d´ebiles que a citada (C2). A ferramenta que usaremos no noso prop´osito ser´a a an´alise de aplicaci´ons multivaluadas.

Teoremas de punto fixo para aplicaci´ ons multivaluadas

Sexa K un subconxunto dun espazo de Banach X e consideremos a aplicaci´on multivaluada F : K→ 2X (obs´ervese que unha aplicaci´on multivaluada non ´e outra

Referencias

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