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Movimiento de una carga en campo magnetico uniforme

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Academic year: 2022

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(1)

Movimiento de una carga en campo magnetico uniforme

• Supongamos que ⃗" es perpendicular a #

• La ecuación de movimiento de una carga

$ de masa % y velocidad ⃗" en un campo magnético uniforme # es:

&(())

&+ = $ ⃗"×#

Es decir que la fuerza . es perpendicular a / y produce una curvatura en la

trayectoria de la partícula pero no cambia / ni su energía cinética.

#

⃗0

⃗0

(2)

Aplicaciones:

Espectrómetro de masa

(separa iones de acuerdo a

su masa)

12 = "3453

$ # %

(3)

Campo magnético de un hilo recto de corriente

Experimentalmente, se sabe que el campo magnético de un hilo recto de corriente I genera un campo en el

sentido de las líneas azules.

También experimentalmente se obtiene que # es propor- cional a la corriente

I

e in- versamente proporcional a la distancia al hilo

R.

# ∝ :

;

Corriente eléctrica Campo magnético

R

(4)

Monopolos eléctricos y magnéticos

El campo eléctrico de un hilo de carga decae como < ∝ >= ya que sumabamos monopolos eléctricos cuyos campos decaían como >=?.

Hasta ahora, no hay evidencia de la existencia de monopolos magnéticos, pero si existieran, el campo magnético generado por uno de ellos vararía como >=?.

Sin embargo, este pensamiento indica que si dividiéramos el hilo de corriente en tramos infinitesimales, el campo magnético generado por cada uno de ellos debería variar como >=?.

(5)

Ley de Biot-Savart

• Biot y Savart plantearon un formalismo para obtener el campo a partir de contribuciones de elementos de corriente :@A.

• El diferencial de campo magnético @# a partir de un elemento de corriente :@A en el punto

⃗1 = 1 ̂1 se puede escribir como:

@# = C

1D :@A× ̂1 ̂1

@A ✕@#

(6)

Ley de Biot-Savart

Mediante experimentos se comprueba que en el sistema SI.

C = 10GH I JD

Entonces, por similitud con la electrostática se

define la permeabilidad magnética del vacío KL tal que: C = OPMN

Entonces

KL = 4R 10GH ST? = 1,25 10GX ST?

̂1

@A ✕@#

(7)

Campo magnético de un hilo infinito

• Consideremos una corriente I a lo largo de un hilo paralelo al eje z.

• El elemento de corriente es : @A = : @Y ̂Y

• Desde el elemento de corriente, el punto P donde evalúo @# se indica con el vector ⃗1 = 1 ̂1 que forma un ángulo Z con el eje z.

• R es la distancia desde el eje a P.

Y

@Y

(8)

Campo magnético de un hilo infinito

• Por la ley de la mano derecha @#

se dirige hacia adentro de la pantalla ( [\ en coordenadas

cilíndricas). Integrando a lo largo del hilo tengo #.

# = KL 4R ]

G^

^ :@Y sin Z 1D \[

• Donde 1D = >?

bcd e ? y −Y = ghd e>

Y

@Y

(9)

Campo magnético de un hilo infinito

Lo anterior indica que

@Y = ;

sin Z D @Z

Poniendo todo en función de ; y Z

# = KL: 4R ]

L

P sin Z @Z

; \[

Entonces

# = KL: 2R; \[

Y

@Y

(10)

Campo magnético de un hilo infinito

• Entonces si tenemos

R = 10 cm

I = 100 A

• B ~ 2 10-4 T = 2 Gauss

• 1 Gauss = 10-4 T

• 1 nanoTesla = 105 Gauss

Y

@Y

(11)

El campo magnético terrestre

La brújula indica la dirección del campo magnético terrestre

(12)

Pregunta

• ¿Cuánto me tengo que alejar de un hilo con : = 100 J para que el campo terrestre sea más importante?

(13)

Campo magnético terrestre en CABA

Fuente. https://www.ngdc.noaa.gov/geomag/calculators/magcalc.shtml?useFullSite=true#igrfwmm

El campo en CABA es aproximadamente 0,2 G

(14)

Fuerza entre hilos de corriente

• Supongamos dos hilos rectilíneos largos paralelos con corrientes :=e :D separados por una distancia 1.

• La corriente := da lugar a un campo magnético #= e la altura del hilo 2:

#= = KL:= 2R1

Fuerza entre hilos de corriente

• Supongamos dos hilos rectilíneos largos paralelos con corrientes (6e (+ separados por una distancia ,.

• La corriente (6 da lugar a un campo magnético !6 e la altura del hilo 2:

!6 = :,(6 2<,

(15)

Fuerza entre hilos de corriente

• Supongamos dos hilos rectilíneos largos paralelos con corrientes (6e (+ separados por una distancia ,.

• La corriente (6 da lugar a un campo magnético !6 e la altura del hilo 2:

!6 = :,(6 2<,

Fuerza entre hilos de corriente

• Supongamos que :D consta de iD cargas por unidad de longitud de carga $D a una velocidad "D.

:D = iD$D"D

• La fuerza de Lorentz sobre cada carga es:

$D"D#=

• Por lo tanto, la fuerza por unidad de distancia es

0D= = :D#= = KL:=:D 2R1

⃗0D=

(16)

Fuerza entre hilos de corriente

• Supongamos dos hilos rectilíneos largos paralelos con corrientes (6e (+ separados por una distancia ,.

• La corriente (6 da lugar a un campo magnético !6 e la altura del hilo 2:

!6 = :,(6 2<,

Fuerza entre hilos de corriente

• La dirección de ⃗0D= por la regla de la mano derecha da una

atracción entre los cables, ya que la fuerza que el hilo 2 le hace al 1 es igual y opuesta.

⃗0=D = − ⃗0D= ⃗0D=

⃗0=D

(17)

Espira circular

• Espira plana circular de radio b por la que circula una corriente :.

• Vamos a calcular el campo en el eje de simetría Y.

• Podemos esperar que el campo en el eje Y será a lo largo del eje Y.

# 0,0, Y = #(Y) ̂Y

THE MAGNET lC FIELD 227

FIGURE 6.15

The magnet~c f~eld 01 a rlng of current, ta) Calculation

Integrating aver the whole ring. we have simply dl = 2mb. so the 01 field on the axis. (b) Some field lines.

field on the axis at any point z is 2rb21

B , = - - - 2~ bZI

c ~ J c(b2 -I- z2)3'2 (field on axis) (4 1 ) At the center or the ring, z = 0, the magnitude of the field is

27cI

B = - (field at center)

' cb (42)

The cylindrical coil of wire shown in Fig. 6.16a i s usually called

a solenoid. We assume the wire is closely and evenly spaced so that the number of turns in the winding, per centimeter length along the cylinder, is a constant, n. Now the current path is actually helical. but if the turns are many and closely spaced. we can ignore this and regard the whole solenoid as equivalent to a stack of current rings. Then we

can use Eq. 41 as a basis for calculating the field at any point. such as the point z, on the axis of the coil. Take first the contribution from the current ring included between radii from the point z making angles 8 and 0

+

dB with the axis. The length of this segment of the

solenoid, shaded in Fig. 6.16b. is r dd/sin 8, and it is therefore equiv-

(18)

Espira circular

• Usando Biot-Savart calculemos el diferencial de la componente Y del campo:

@#j = @# cos Z = KL 4R

: @A

1D cos Z

• Donde 1 es la distancia del elemento de corriente al punto de evaluación y Z es el ángulo entre 1 y el radio de la espira m.

THE MAGNET lC FIELD 227

FIGURE 6.15

The magnet~c f~eld 01 a rlng of current, ta) Calculation

Integrating aver the whole ring. we have simply dl = 2mb. so the 01 field on the axis. (b) Some field lines.

field on the axis at any point z is 2rb21

B , = - - - 2~ bZI

c ~ J c(b2 -I- z2)3'2 (field on axis) (4 1 ) At the center or the ring, z = 0, the magnitude of the field is

27cI

B = - (field at center)

' cb (42)

The cylindrical coil of wire shown in Fig. 6.16a i s usually called

a solenoid. We assume the wire is closely and evenly spaced so that the number of turns in the winding, per centimeter length along the cylinder, is a constant, n. Now the current path is actually helical. but if the turns are many and closely spaced. we can ignore this and regard the whole solenoid as equivalent to a stack of current rings. Then we

can use Eq. 41 as a basis for calculating the field at any point. such as the point z, on the axis of the coil. Take first the contribution from the current ring included between radii from the point z making angles 8 and 0

+

dB with the axis. The length of this segment of the

solenoid, shaded in Fig. 6.16b. is r dd/sin 8, and it is therefore equiv-

@#j

Y 1

Z m Atentxs al

triángulo

(19)

Espira circular

• Simplificando :

#j = KL 2

: mD 1n

• Donde 1 es función de Y : 1 = mD + YD

• Entonces en el eje Y:

# 0,0, Y = #j ̂Y = KL 2

: mD

mD + YD n ̂Y

THE MAGNET lC FIELD 227

FIGURE 6.15

The magnet~c f~eld 01 a rlng of current, ta) Calculation

Integrating aver the whole ring. we have simply dl = 2mb. so the 01 field on the axis. (b) Some field lines.

field on the axis at any point z is 2rb21

B , = - - - 2~ bZI

c ~ J c(b2 -I- z2)3'2 (field on axis) (4 1 ) At the center or the ring, z = 0, the magnitude of the field is

27cI

B = - (field at center)

' cb (42)

The cylindrical coil of wire shown in Fig. 6.16a i s usually called

a solenoid. We assume the wire is closely and evenly spaced so that the number of turns in the winding, per centimeter length along the cylinder, is a constant, n. Now the current path is actually helical. but if the turns are many and closely spaced. we can ignore this and regard the whole solenoid as equivalent to a stack of current rings. Then we

can use Eq. 41 as a basis for calculating the field at any point. such as the point z, on the axis of the coil. Take first the contribution from the current ring included between radii from the point z making angles 8 and 0

+

dB with the axis. The length of this segment of the

solenoid, shaded in Fig. 6.16b. is r dd/sin 8, and it is therefore equiv-

@#j

(20)

Espira circular

• Simplificando :

#j = KL 2

: mD 1n

• Donde 1 es función de Y : 1 = mD + YD

• Entonces en el eje Y:

# 0,0, Y = #j ̂Y = KL 2

: mD

mD + YD n ̂Y

THE MAGNET lC FIELD 227

FIGURE 6.15

The magnet~c f~eld 01 a rlng of current, ta) Calculation

Integrating aver the whole ring. we have simply dl = 2mb. so the 01 field on the axis. (b) Some field lines.

field on the axis at any point z is 2rb21

B , = - - - 2~ bZI

c ~ J c(b2 -I- z2)3'2 (field on axis) (4 1 ) At the center or the ring, z = 0, the magnitude of the field is

27cI

B = - (field at center)

' cb (42)

The cylindrical coil of wire shown in Fig. 6.16a i s usually called

a solenoid. We assume the wire is closely and evenly spaced so that the number of turns in the winding, per centimeter length along the cylinder, is a constant, n. Now the current path is actually helical. but if the turns are many and closely spaced. we can ignore this and regard the whole solenoid as equivalent to a stack of current rings. Then we

can use Eq. 41 as a basis for calculating the field at any point. such as the point z, on the axis of the coil. Take first the contribution from the current ring included between radii from the point z making angles 8 and 0

+

dB with the axis. The length of this segment of the

solenoid, shaded in Fig. 6.16b. is r dd/sin 8, and it is therefore equiv-

@#j

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