1º ESO B y C. Ejercicios página 135

1º ESO B y C

Ejercicios página 135

1. ¿Qué fracción de hora son 12 minutos?, Solución:

Si tenemos en cuenta que 1 hora = 60 minutos, este ejercicio es similar a “Si partimos una tarta en 60 partes y comemos 12, ¿qué fracción

representa?”.

Por tanto, la resolución del ejercicio sería la siguiente:

12 60

Recordamos que las fracciones hay que simplificarlas siempre. Para ello, calculamos el

máximo común divisor del numerador y el denominador. Es decir, m.c.d(12, 60)

Si hacemos la descomposición en factores primos de 12 y 60, obtenemos que:

12=2²⋅3 60=2²⋅3⋅5

Como el máximo común divisor de dos números lo representan los factores comunes con el menor exponente, deducimos que

m.c.d(12, 60) = 2²⋅3 = 12.

Finalmente, para calcular la fracción irreducible de 12

60 , dividimos el numerador y el denominador por el máximo común divisor que hemos calculado:

12

60=12 :12 60 :12=1

5 Por tanto, 12 minutos representa 1

5 de una hora.

2. Representa en tu cuaderno, en gráficos como el que tienes a continuación o en otros que tú decidas, las fracciones 8/9 y 15/9.

Solución:

Recordamos cuáles son los significados de “numerador” y “denominador”:

Numerador: Es el número de arriba en una fracción. Representa cuántas partes se cogen, comen, pintan... En este ejercicio, representará cuántas partes del rectángulo pintamos.

Denominador: Es el número de abajo en una fracción. Representa el número de partes en el que partimos algo (una tarta, una figura, una hora...). En nuestro caso, representa en cuántas partes hemos dividido el rectángulo.

Sabiendo esto, la fracción 8/9 la podemos representar así:

Para la fracción 15/9, nos damos cuenta de que el numerador es mayor que el denominador, así que vamos a necesitar de dos rectángulos para poder llegar a 15 partes. La fracción, por tanto, la representamos de la siguiente forma:

3. En un concurso oposición aprueban 15 candidatos y suspenden 35. ¿Qué fracción de los opositores ha aprobado?

Solución:

En este ejercicio, debemos darnos cuenta que la solución NO es 15

35 , puesto que 35 no es el número total de opositores, sino los que han suspendido. Para calcular el número total de opositores deberemos sumar los aprobados y los suspensos:

nº de opositores = aprobados + suspensos = 15 + 35 = 50.

Entonces, la fracción correcta que soluciona el ejercicio es:

15 50

Y... tenemos que simplificar la fracción hasta llegar a la irreducible... otra vez. Siguiendo el mismo procedimiento que en el ejercicio 1, llegamos a que:

15 50= 3

10

En otras palabras, la fracción de opositores que han aprobado es 3 10 .

4. Calcula.

a) Tres cuartos de 240.

b) 2

5 de 80.

c) 3

3 de 35.

d) Tres medios de 10.

Solución:

a) Tres cuartos de 240 lo escribimos de la siguiente forma:

3

4 de 240 Esto se resuelve realizando los siguientes pasos

numerador

denominador de número = numerador×número denominador . De esta forma, la solución de este apartado sería:

3

4 de 240 = 3×240 4 =720

4 =180 Los siguientes apartados los haremos ya directamente.

b) 2

5 de 80 = 2×80 5 =160

5 =12.

c) 3

3 de 35 = 3×35 3 =105

3 =35.

d) Tres medios de 10 = 3

2 de 10 = 3×10 2 =30

2 =15.

Nota: Fíjate que cuando una fracción tiene el numerador y el denominador igual estamos

“comiendo todos los trozos de una tarta”. ¡Representa el total! Por tanto, cuando tenemos 3

3 de 35, quiere decir “El total de 35”.

5. Reflexiona y completa en tu cuaderno.

a) 3

4 de ... = 15.

b) 2

7 de ... = 10.

c) 5

5 de ... = 25.

d) 11

10 de ... = 11.

Solución:

a) 3

4 de ... = 15, quiere decir “3 trozos de ... vale 15”. Pasamos a preguntarnos cuánto vale 1 trozo. Lo que tendremos que hacer es

15 : 3 = 5.

Por tanto, 1

4 de ... = 5.

Nos falta saber cuánto valen 4

4 . Tendremos, entonces, que multiplicar por 4:

4

4 de ... = 4 · 5 → 4

4 de ... = 20.

Con lo que el número que estábamos buscando es 20 y el enunciado de este apartado sería: 3

4 de 20 = 15.

El resto de los apartados los haremos de forma más rápida.

b) 2

7 de ... = 10 → (10 :2)⋅7=5⋅7=35 → 2

7 de 35 = 10.

c) 5

5 de ... = 25 → (25 :5)⋅5=5⋅5=25 → 5

5 de 25 = 25.

d) 11

10 de ... = 11 → (11:11)⋅10=1⋅10=10 → 11

10 de 10 = 11.

6. Expresa en forma decimal.

a) 3 10

b) 4 5

c) 1 8 Solución:

Recordamos que para convertir una fracción en un decimal necesitamos realizar la divisón numerador : denominador

a) 3

10=0 ' 3.

3 10

30 0’3 0 b) 4

5=0 ' 8.

4 5

40 0’8 0 c) 1

8=0' 125.

1 8

10 0’125

20 40 0

7. Expresa con una fracción.

a) 0’2 b) 1’2 c) 0’24 Solución:

a) 0’2

Recordamos los pasos que debemos realizar para transformar un decimal en una fracción.

1. Al número decimal, le quitamos la coma (nos olvidamos de ella). En este caso, 0’2 se convierte en 2. Este número será el numerador de nuestra fracción.

2. Como denominador escogemos el número 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número original. Como 0’2 tiene 1 número decimal, el denominador de nuestra fracción va a ser 10.

3. Simplificamos la fracción siempre que sea posible.

Por tanto, para este apartado tenemos:

0’2 = 2 10=1

5 La última fracción representa la fracción irreducible.

Los siguientes apartados los realizaremos directamente.

b) 1’2 = 12 10=6

5 . c) 0’24 = 24

100= 6 25 .

8. Escribe.

a) Una fracción equivalente a 6

21 que tenga por denominador 14.

b) Una fracción equivalente a 9

15 que tenga por denominador 10.

Solución:

a) Tenemos dos formas de realizar este ejercicio.

La primera forma es calculando la fracción irreducible y después multiplicando el numerador y denominador por un número que nos dé la solución adecuada.

La segunda forma es el método de “multiplicar en cruz”.

Explicaremos las dos formas.

Primera forma

Calculamos la fracción irreducible de 6

21 . En este caso, la fracción irreducible es 2

7 . Ahora, ¿por qué numero debemos multiplicar el denominador de esta fracción irreducible para que sea 14? Por 2. De esta forma, multiplicamos el numerador y el denominador por 2:

2 7=2⋅2

7⋅2= 4 14

Es decir, que la fracción que estamos buscando es 4 14 . Segunda forma

Tenemos que buscar una fracción equivalente a 6

21 que tenga por denominador 14. Como sabemos que:

a b=c

d⇔ a⋅d =b⋅c Debemos buscar un número x tal que

6 21= x

14⇔6⋅14=x⋅21⇔84=x⋅21

Ahora pensamos: ¿qué número multiplicado por 21 da 84? Si vamos probando, llegaremos a la conclusión de que x = 4. Es decir, que la fracción que buscamos es

x 14= 4

14 .

b) Con los mismos pasos que hemos utilizado en el apartado anterior, llegamos a la solución 6

10 .

9. Simplifica.

a) 14 28

b) 36 48

c) 40 60 Solución:

A lo largo de este solucionario, hemos visto ya cómo hacemos para simplificar fracciones.

De todas formas, haremos el primer apartado de forma exhaustiva para recordar cuáles son los pasos a seguir.

a) Realizamos el máximo común divisor (m.c.d) del numerador y el denominador.

Para ello, realizamos la descomposición en factores primos de ambos:

14 2 28 2

7 7 14 2

1 7 7

1

14 = 2 · 7 28 = 2²·7

Recordamos que el m.c.d lo conseguimos escogiendo los factores comunes con el menor exponente.

En este caso,

m.c.d(14, 28) = 2 · 7 = 14.

Llegados a este punto, dividimos en la fracción el numerador y el denominador por el m.c.d. Es decir:

14

28=14 :14 28 :14=1

2 Por tanto, la fracción irreducible de 14

28 es 1 2 . Los siguientes apartados los realizaremos directamente.

b) 36

48=36:12 48:12=3

4 .

c) 40

60=40:20 60:20=2

3 .

10. Ana y Rosa han comprado un bolígrafo cada una. Ana ha gastado 4/5 de euro, y Rosa, 75 céntimos. ¿Cuál de los dos bolígrafos ha salido más caro?

Solución:

Para solucionar este problema, vamos a tener que comparar ambos números. Por tanto, vamos a pasar 4/5 de euro a céntimos. Como ya sabemos, esto lo realizamos dividiendo:

4 5

40 0’8 0

Es decir, que 4

5 euros = 0’8 euros = 80 céntimos.

Llegamos a la conclusión de que 80 céntimos > 75 céntimos, con lo que el bolígrafo de Ana ha salido más caro.

11. Un pueblo costero tiene 4 500 habitantes. La tercera parte vive de la pesca; dos quintos de la agricultura, y el resto del sector servicios.

a) ¿Cuántos viven del sector servicios?

b) ¿Qué fracción de la población vive del sector servicios?

Solución:

Este problema tiene diversas formas de resolverse. No las vamos a hacer todas porque ocuparían muchas páginas. Haremos una y, si se da la situación en la que hayas hecho un camino distinto, puedes mandarme tu solución para que te la corrija.

a) Para saber cuántos habitantes viven en el sector servicios vamos a hacer los siguiente:

Personas que viven servicios = 4 500 habitantes – pesca – agricultura Es decir, a los habitantes totales les restaremos aquellos que viven de la pesca y de la agricultura.

Vamos, entonces, a saber cuántas personas se dedicar a la pesca y a la agricultura:

Pesca

Debemos calcular 1

3 de 4500 = 1×4500

3 =4500

3 =1500 Con lo que tenemos que 1500 personas viven de la pesca.

Agricultura

Debemos calcular 2

5 de 4500 = 2×4500

5 =9000

5 =1800 Por tanto, 1800 personas se dedican a la agricultura.

Volviendo a la operación que hemos escrito al inicio:

Personas que viven servicios = 4 500 habitantes – pesca – agricultura Personas que viven servicios = 4 500 – 1500 – 1800

Personas que viven servicios = 1200

La solución es, entonces, que 1200 personas se dedican al sector servicios.

b) Para conocer la fracción de la población que vive del sector servicios, deberemos calcular

personas queviven del sector servicios habitantes

y después simplificar.

Vamos a ello,

personas quevivendel sector servicios

habitantes =1200

4500 Para simplificar, dividimos por el m.c.d(1200, 4500) = 300.

1200

4500=1200 :300 4500:300= 4

15 . Con lo que 4

15 es la fracción de la población que vive del sector servicios.

Dejamos aquí un gráfico que puede ilustrar el ejercicio:

Pesca

Agricultura

Servicios

12. Una caja de galletas de tres cuartos de kilo cuesta 2’25€. ¿A cómo sale el kilo de galletas?

Solución

La solución a este problema es muy similar a las soluciones del ejercicio 5. Aún así, vamos a solucionar paso por paso este ejercicio.

El enunciado nos dice

3

4 kg de ... = 2’25

¿Cómo sabemos cuánto vale 1/4? Dividimos entre 3.

1

4 kg de ... = 2’25 : 3 ⇔ 1

4 kg de ... = 0’75

Ahora que sabemos que 1/4 de kg cuesta 0’75€, no es dificil llegar a la conclusión de que 1 kg será ese precio por cuatro:

4

4 kg de ... = 0’75 · 4 ⇔ 4

4 kg de ... = 3 Es decir, que 1 kg costará 3€.