Las integrales de Riemann, Lebesgue y Riemann generalizada

Alberto Ruiz-Arteaga Gonz´ alez

Las integrales de Riemann, Lebesgue y Riemann

generalizada

The Riemann, Lebesgue and Generalized Riemann Integrals

Trabajo Fin de Grado Grado en Matem´ aticas

La Laguna, septiembre de 2019

Dirigido por

Antonio Lorenzo Bonilla Ram´ırez

An´alisis Matem´atico Universidad de La Laguna 38200 La Laguna, Tenerife

Resumen · Abstract

Resumen

El prop´osito de este trabajo es mostrar las principales deficiencias y limitaciones de la integral de Riemann, para despu´es mostrar c´omo la integral de Lebesgue y la integral de Riemann generalizada son capaces de resolver algunas de estas carencias.

Palabras clave: Integral de Riemann – Integral de Lebesgue – In- tegral de Riemann generalizada

Abstract

The purpose of this paper is to show the main deficiencies and li- mitations of the Riemann integral in order to see how the Lebesgue and the generalized Riemann integrals are able to solve some of these deficiencies.

Keywords: Riemann Integral – Lebesgue Integral – Generalized Riemann Integral

Contenido

Resumen/Abstract . . . iii

Introducci´on. . . vii

1. La Integral de Riemann y sus deficiencias. . . 1

1.1. Construcci´on de la Integral de Riemann . . . 1

1.2. Construcci´on de la Integral de Darboux . . . 2

1.3. El teorema de Vitali-Lebesgue . . . 4

1.4. Propiedades de la integral de Riemann . . . 6

1.5. El Teorema Fundamental del C´alculo . . . 7

1.6. Limitaciones y Deficiencias de la Integral de Riemann. . . 9

2. La integral de Lebesgue . . . 15

2.1. La integral de Lebesgue de funciones acotadas. . . 15

2.2. La integral de Lebesgue de funciones no acotadas. . . 20

3. La integral de Riemann Generalizada. . . 25

3.1. Construcci´on de la integral de Henstock-Kurzweil. . . 26

3.1.1. Propiedades b´asicas . . . 33

3.1.2. El Lema de Saks-Henstock. . . 37

3.1.3. Integrabilidad Absoluta . . . 42

3.1.4. Comparando Integrabilidad: Lebesgue y Henstock-Kurzweil 44 A. Medida Lebesgue y funciones medibles . . . 47

A.1. Definici´on y propiedades de la medida Lebesgue . . . 47

A.1.1. Definici´on y propiedades de las funciones medibles. . . 49

Bibliograf´ıa. . . 51

Poster . . . 53

Introducci´ on

En este trabajo se pretende, en el primer cap´ıtulo, presentar la integral de Rie- mann, prestando especial atenci´on a sus propiedades principales y, en mayor profundidad, a sus deficiencias y limitaciones. As´ı, se abordar´an carencias como son:

1. Solo las funciones acotadas o definidas en un intervalo cerrado y acotado son susceptibles de ser integrables Riemann.

2. Pueden existir sucesiones de funciones integrables Riemann que convergen puntualmente a una funci´on que no es integrable Riemann.

3. Se pueden encontrar funciones que sean casi-id´enticas, esto es, f, g : [a, b] → R tales que f (x) = g(x) para casi todo x ∈ [a, b], siendo una Riemann inte- grable mientras que la otra no tiene por qu´e serlo.

4. Pueden encontrarse funciones diferenciables F : [a, b] → R tales que F⁰(x) = f (x), ∀x ∈ [a, b] con f acotada y, sin embargo, que f no sea Rie- mann integrable.

En el segundo cap´ıtulo, presentaremos la integral de Lebesgue, que es una gene- ralizaci´on de la integral de Riemann y resuelve algunas de sus deficiencias, como son los puntos 2, 3 y 4 mencionados anteriormente.

Finalmente, en el tercer cap´ıtulo introducimos la integral de Riemann genera- lizada o integral de Henstock-Kurzweil que generaliza a ambas y tambi´en a la integral impropia de Riemann y que resuelve las limitaciones de la integral de Riemann.

Figura 0.1. Relaci´on entre las diferentes integrales.

1

La Integral de Riemann y sus deficiencias

1.1. Construcci´ on de la Integral de Riemann

Recordamos, en primer lugar, el concepto de partici´on de un intervalo. As´ı, si [a, b] es un intervalo cerrado y acotado de R, se dice que P es una partici´on de [a, b] si P = {x0, x1, ..., xn} es una colecci´on finita de puntos de [a, b] tales que:

a = x0< x1< x2< ... < xn = b.

Definimos tambi´en el conjunto de etiquetas asociadas a P , que no es otra cosa que una colecci´on finita de puntos t_i∈ [xi−1, x_i], ∀i ∈ {1, 2, ..., n}. As´ı, denominamos partici´on etiquetada del intervalo [a, b] al conjunto de pares ordenados

P_e= {(t_i, [x_i−1, x_i])/i = 1, 2, ..., n},

siendo P = {x0, x1, ..., xn} una partici´on del intervalo [a, b] y e = {t1, t2, ..., tn} un conjunto de etiquetas asociadas a P . Si esta partici´on etiquetada Peverifica que, para un cierto δ > 0, se tiene que, para cada i ∈ {1, 2, ..., n},

[xi−1, xi] ⊂ (ti− δ, ti+ δ), entonces se dice que Pe es una partici´on δ-fina.

Recordamos tambi´en que denominamos norma de P , y lo denotamos por ||P ||, al n´umero

||P || = m´ax

i∈{1,2,...,n}|xi− xi−1| .

Definici´on 1.1. Sea Pe = {(ti, [xi−1, xi])/i = 1, 2, ..., n)} una partici´on etique- tada de un intervalo cerrado y acotado [a, b] y sea f : [a, b] → R una funci´on acotada definida en [a, b]. Se denomina suma de Riemann de f asociada a Pea

S(f, Pe) =

n

X

i=1

f (ti)(xi− xi−1).

Definici´on 1.2. Sea f ∈ B([a, b]), siendo B([a, b]) el conjunto de todas las fun- ciones f : [a, b] → R que son acotadas en el intervalo [a, b]. Se dice que f es Riemann integrable sobre [a, b] si existe un cierto K ∈ R tal que, para cada

 > 0, existe un cierto δ > 0 de manera que

|S(f, Pe) − K| < 

para toda partici´on etiquetada Pe= {(ti, [xi−1, xi]/i = 1, 2, ..., n)} subordinada a δ.

Dicho n´umero K, si existe, es ´unico y se le denomina integral de Riemann de f . En lo que sigue se denotar´a como

K = (R) Z b

a

f dx.

Denotaremos por R([a, b]) al conjunto de funciones f : [a, b] → R que son Rie- mann integrables en [a, b].

1.2. Construcci´ on de la Integral de Darboux

En muchas ocasiones resulta m´as pr´actico ver si una funci´on f : [a, b] → R es Riemann integrable o no, haciendo uso de las conocidas como sumas de Darboux, que presentamos a continuaci´on.

Sea una funci´on f : [a, b] → R acotada definida en un intervalo [a, b] y sea P = {x₀, x₁, ..., x_n} una partici´on de [a, b]. Definimos, para cada i ∈ {1, 2, ..., n},

m_i= inf {f (x)/x ∈ [x_i−1, x_i]} y M_i= sup{f (x)/x ∈ [x_i−1, x_i]}.

Definici´on 1.3. Sea f ∈ B([a, b]) y sea P = {x0, x1, ..., xn} ∈ P([a, b]). Se denomina suma superior de Darboux de f asociada a P al n´umero

S(f, P ) =

n

X

i=1

Mi(xi− xi−1).

De forma an´aloga, la suma inferior de Darboux de f asociada a P se define como el n´umero

s(f, P ) =

n

X

i=1

mi(xi− xi−1).

1.2 Construcci´on de la Integral de Darboux 3

Recordamos que si P, Q ∈ P([a, b]), se dice que la partici´on Q es m´as fina que la partici´on P si P ⊂ Q. Si se da este caso, se verifican las siguientes propiedades:

s(f, P ) ≤ s(f, Q) y S(f, P ) ≥ S(f, Q)

Adem´as, si existen m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M , para todo x ∈ [a, b], se tiene entonces que

m(b − a) ≤ s(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ M (b − a),

para toda partici´on P de [a, b]. Por ´ultimo, cabe recordar que, si P, Q son dos particiones cualesquiera del intervalo [a, b], entonces se tiene que

s(f, P ) ≤ S(f, Q).

Definici´on 1.4. Sea f : [a, b] → R una funci´on acotada. Se denomina integral superior de Darboux de f al n´umero

(D) Z b

a

f (x)dx = ´ınf

P ∈P([a,b])S(f, P ), mientras que la integral inferior de Darboux de f es

(D) Z b

a

f (x)dx = sup

P ∈P([a,b])

s(f, P ).

Diremos que la funci´on f : [a, b] → R es Darboux integrable si se verifica que

(D) Z b

a

f (x)dx = (D) Z b

a

f (x)dx.

Si se da este caso, entonces dicho valor com´un se denomina la integral de Dar- boux de f sobre [a, b] y se denota por

(D) Z b

a

f (x)dx.

Definimos por D([a, b]) el conjunto de funciones f : [a, b] → R que son Darboux integrables en [a, b].

Como se dijo al principio de este apartado, en muchas ocasiones resulta m´as pr´actico estudiar la integrabilidad Riemann de una funci´on atendiendo a la su- mas de Darboux. Esto sugiere preguntarnos qu´e tipo de relaci´on existe entre la integral de Darboux y la integral de Riemann de una funci´on. El siguiente resultado nos muestra que son el mismo concepto.

Teorema 1.5. Sea f : [a, b] → R una funci´on acotada. Los siguientes enuncia- dos son equivalentes:

f ∈ R([a, b]).

f ∈ D([a, b])

Como vimos en la definici´on 1.4, para que una funci´on f : [a, b] → R sea Rie- mann integrable es necesario que sea acotada. No obstante, podemos encontrar ejemplos de funciones acotadas que no son Riemann integrable.

Ejemplo 1.6. La funci´on de Dirichlet f = χ_Q: [0, 1] → R es acotada pero no es Riemann integrable.

Demostraci´on. La funci´on de Dirichlet viene definida de la siguiente forma

f (x) =

(1 x ∈ Q ∩ [0, 1]

0 x ∈ (R \ Q) ∩ [0, 1]

Luego, si tenemos una partici´on arbitraria P = {x0, x1, ..., xn} del intervalo [0, 1], se observa f´acilmente que

(D) Z b

a

f (x)dx = ´ınf

P ∈P([0,1])S(f, P ) = 1 y (D) Z b

a

f (x)dx = sup

P ∈P([0,1])

s(f, P ) = 0

As´ı, como (D)Rb

af (x)dx 6= (D)Rb

af (x)dx, se tiene que f no es Darboux inte- grable sobre [a, b] y, consecuentemente, no es Riemann integrable sobre [0, 1].



1.3. El teorema de Vitali-Lebesgue

Hemos visto que el ser acotada es condici´on necesaria para que una funci´on sea Riemann integrable, pero no suficiente. Cabr´ıa preguntarse entonces qu´e tipo de funciones habitan en R([a, b]). A lo largo del siguiente apartado veremos que el conjunto

C([a, b]) := {f : [a, b] → R/f es continua en [a, b]}

est´a contenido en R([a, b]) pero que la propiedad ”ser Riemann integrable”de una funci´on no implica que esta sea continua en [a, b]. No obstante, hay cierto tipo de reciprocidad entre ambas propiedades.

Teorema 1.7. C([a, b]) ⊂ R([a, b]).

1.3 El teorema de Vitali-Lebesgue 5

Demostraci´on. Sea f : [a, b] → R una funci´on continua definida en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. Sea P = {x0, x1, ..., xn} una partici´on del intervalo [a, b].

Observamos que, como f es una funci´on continua definida en el compacto [a, b]

(por ser cerrado y acotado), entonces f es una funci´on uniformemente continua en [a, b] y, por ello, dado  > 0, existe un cierto δ > 0 tal que, para cada x, y ∈ [a, b] se tiene que

|f (x) − f (y)| < 

b − a siempre que |x − y| < δ.

Ahora, si tomamos una partici´on arbitraria P0 = {x0, x1, ..., xn} del intervalo [a, b] tal que ||P0|| < δ se tiene, para cada i ∈ {1, 2, ..., n},

|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < 

b − a, para cada x, y ∈ [xi−1, xi].

Se sigue entonces que

S(f, P₀) − s(f, P₀) =

n

X

i=1

sup

x∈[xi−1,xi]

f (x) − ´ınf

x∈[xi−1,xi]

f (x)

!

(x_i− x_i−1) =

=

n

X

i=1

sup

x,y∈[x_i−1,x_i]

|f (x) − f (y)| (xi− xi−1) <

<  b − a

n

X

i=1

(xi− xi−1) =

= 

b − a(b − a) = .

Tenemos adem´as que

s(f, P₀) ≤ (D) Z b

a

f (x)dx ≤ (D) Z b

a

f (x)dx ≤ S(f, P₀) de lo que se sigue que

(D) Z b

a

f (x)dx − (D) Z b

a

f (x)dx < , ∀ > 0.

As´ı,

(D) Z b

a

f (x)dx = (D) Z b

a

f (x)dx

y concluimos por tanto que f ∈ D([a, b]) y, por consiguiente, f ∈ R([a, b]). 

No obstante, que una funci´on f : [a, b] → R sea Riemann integrable en [a, b]

no implica que esta sea continua en todo el intervalo [a, b]. En efecto, podemos encontrar funciones que sean discontinuas en uno o en varios puntos de su do- minio y, sin embargo, que siga siendo Riemann integrable. Entonces, ¿qu´e forma tiene una funci´on Riemann integrable? A esta pregunta dieron respuesta los ma- tem´aticos Giuseppe Vitali y Henri Lebesgue en 1907 con el siguiente resultado.

Teorema 1.8 (Vitali-Lebesgue). Sea f : [a, b] → R una funci´on acotada. Los siguientes enunciados son equivalentes:

1. f es Riemann integrable en [a, b].

2. f es continua casi-siempre.

1.4. Propiedades de la integral de Riemann

La importancia del Teorema de Vitali-Lebesgue reside en los resultados, entre muchos otros, que enunciaremos a continuaci´on. As´ı, la demostraci´on de mu- chas de las propiedades de la integral de Riemann se facilitan en gran medida recurriendo a este teorema.

Proposici´on 1.9. Sean f, g : [a, b] → R funciones Riemann integrables sobre [a, b] y C ∈ R. Entonces, se verifican las siguientes propiedades:

1. f + g, f g, Cf ∈ R([a, b]). Adem´as, en este caso se tiene que:

Z b a

(Af + Bg)dx = A Z b

a

f dx + B Z b

a

gdx, ∀A, B ∈ R, ∀f, g ∈ R([a, b]).

Demostraci´on. Supongamos que f, g ∈ R([a, b]). Entonces m(Disc(f )) = 0 = m(Disc(g)) y como

P C(f ) ∩ P C(g) ⊆ P C(f + g)

se sigue que Disc(f +g) ⊆ Disc(f )∪Disc(g) y as´ı, m(Disc(f +g)) = 0. Esto prueba que f + g ∈ R([a, b]). Similarmente se demuestra que f · g ∈ R([a, b]).

N´otese que si g es una funci´on constante, digamos g(x) = c para todo x ∈ [a, b], entonces g ∈ R([a, b]) y, por lo anterior, se tiene que c · f ∈ R([a, b]).  2. |f | ∈ R([a, b]). Adem´as, se verifica que

Z b a

f dx     

≤ Z b

a

|f | dx, ∀f ∈ R([a, b]).

1.5 El Teorema Fundamental del C´alculo 7

Demostraci´on. Se tiene que si f es continua en x ∈ [a, b], entonces |f | tam- bi´en es continua en x y, por lo tanto,

Disc(|f |) ⊆ Disc(f ).

Pero como 0 ≤ m(Disc(|f |)) ≤ m(Disc(f )) = 0, el Teorema de Vitali- Lebesgue nos dice que |f | es Riemann integrable.  3. Si f es mon´otona acotada, entonces f ∈ R([a, b]).

Demostraci´on. Sea f ∈ M on([a, b]). Se tiene que Disc(f ) es a lo m´as nume- rable y, por consiguiente, µ(Disc(f )) = 0. El Teorema de Vitali-Lebesgue

nos garantiza entonces que f ∈ R([a, b]). 

4. En general, cualquier funci´on f : [a, b] → R que es acotada y continua excep- to sobre un subconjunto a lo m´as numerable de [a, b], es Riemann integrable.

5. Si ϕ es una funci´on escalonada, entonces ϕ ∈ R([a, b]).

Demostraci´on. Puesto que el n´umero de discontinuidades de cualquier fun- ci´on escalonada ϕ es finito, entonces ϕ ∈ R([a, b]) gracias al Teorema de Vitali-Lebesgue. Otra manera de ver esto es recordar que Esc([a, b]) ⊆ D([a, b]) y como D([a, b]) = R([a, b]) el resultado sigue.

1.5. El Teorema Fundamental del C´ alculo

Recordamos que si tenemos dos funciones F, f : [a, b] → R de manera que F es diferenciable en [a, b] y, para cada x ∈ [a, b], se tiene que F⁰(x) = f (x), entonces se dice que F es una funci´on primitiva de f . Observamos que si f ∈ P rimi([a, b]) := {f : [a, b] → R/f tiene una primitiva} y F es una primitiva de f , cualquier otra funci´on de la forma Fc= F + c, con c una constante arbitraria, es tambi´en una primitiva de f . As´ı, toda funci´on f ∈ P rimi([a, b]) posee infinitas primitivas. No obstante, si f ∈ R([a, b]) y es continua, entonces la funci´on

F (x) = Z x

a

f dt, ∀x ∈ [a, b]

ser´ıa la ´unica primitiva de f satisfaciendo F (a) = 0.

Llegados a este punto, podemos observar la primera complicaci´on que presenta la integral de Riemann, y es que la teor´ıa relativa a la integrabilidad Riemann de funciones no resuelve eficazmente el problema de la b´usqueda de primitivas.

V´eanse los siguientes dos casos:

(1) Podemos encontrar funciones que posean primitiva pero que no sean inte- grable Riemann. As´ı, si consideramos la funci´on f : [0, 1] → R definida por

f (x) =

(2x sen _x¹2
−_x²cos _x¹2

si 0 < x ≤ 1,

0 si x=0

tiene una primitiva F : [0, 1] → R definida por

F (x) =

(x²sen _x¹2

si 0 < x ≤ 1,

0 si x = 0.

y, sin embargo, F no es de la forma F (x) =Rx

a f dt ya que F⁰= f no es Riemann integrable, pues f no es acotada.

(2) En el sentido contrario, tambi´en podemos encontrar funciones que sean in- tegrable Riemann y que no posean primitiva. Por ejemplo, cualquier funci´on f : [a, b] → R que sea Riemann integrable sobre [a, b] y que presente una dis- continuidad de salto finito en alg´un punto c ∈ (a, b). Esto sucede porque, si suponemos que f posee una primitiva F sobre [a, b], entonces todas las disconti- nuidades de F⁰ = f ser´ıan de segunda especie, lo cual es falso porque sabemos, por hip´otesis, que tiene una discontinuidad de primera especie.

De hecho, podemos construir funciones que sean Riemann integrables y que no posean discontinuidades de salto finito, pero que sigan sin tener primitiva. Por ejemplo, si consideramos las funciones f, g : [0, 1] → R definidas por

f (x) =

(sen (¹_x) si 0 < x ≤ 1,

1 si x = 0 y g(x) =

(f (x) si 0 < x ≤ 1, 0 si x = 0

Observamos que son dos funciones Riemann integrables, pues son continuas casi- siempre. Ahora, si definimos la funci´on h : [0, 1] → R dada por

h(x) =

(x²cos(¹_x) si 0 < x ≤ 1

0 si x = 0

observamos que h es derivable y h⁰= ϕ + g, donde ϕ(x) = 2x cos 1

x



, ∀x ∈ (0, 1] y ϕ(0) = 0.

Se tiene que ϕ es Riemann integrable en [0, 1]. Luego, Φ(x) =

Z x a

ϕ(t)dt, ∀x ∈ [0, 1]

es una primitiva de ϕ. Por tanto, G = h − Φ es una primitiva de g. Veamos ahora que f no tiene primitiva. En efecto, si suponemos que f tiene una funci´on primitiva, llam´emosla F , entonces resulta que γ = f − g tambi´en tiene una primitiva de la forma H = F − G. Ahora, como H⁰ toma los valores de 0 y 1,

1.6 Limitaciones y Deficiencias de la Integral de Riemann 9

por el Teorema del Valor Intermedio para derivadas, H⁰ deber´ıa tomar todos los valores entre 0 y 1, lo cual no sucede. Concluimos as´ı que f no tiene primitiva.

No obstante, a pesar de que la Integraci´on Riemann de funciones no resuelve con total eficacia el problema de b´usqueda de primitivas, cuando una funci´on Riemann integrable posee una primitiva, el Teorema Fundamental del C´alculo nos permite evaluar dichas integrales de una forma realmente simple.

Teorema 1.10 (Teorema Fundamental del C´alculo). Sea f : [a, b] → R una funci´on Riemann integrable con primitiva F : [a, b] → R. Entonces,

Z b a

f dx = F (b) − F (a).

1.6. Limitaciones y Deficiencias de la Integral de Riemann

En este apartado trataremos de presentar algunas de las limitaciones m´as impor- tantes que presenta la Integral de Riemann. Haremos especial hincapi´e en este sentido con el objetivo de ver, en los siguientes cap´ıtulos, c´omo otras integrales resuelven dichas deficiencias.

1. La primera limitaci´on importante es que solo podr´an ser contempladas como funciones Riemann integrables las funciones acotadas definidas sobre un in- tervalo cerrado y acotado. As´ı, todas las funciones que no son acotadas o no est´an definidas en intervalos acotados no son susceptibles de ser integradas.

2. La segunda gran deficiencia de la integral de Riemann est´a relacionada con la convergencia puntual de sucesiones de funciones Riemann integrables. As´ı, podemos encontrar una sucesi´on de funciones (fn)^∞_n=1 de manera que fn ∈ R([a, b]), ∀n ∈ N y l´ımn→∞fn(x) = f (x), ∀x ∈ [a, b] y, sin embargo, que f /∈ R([a, b]) o, en caso de que f ∈ R([a, b]), no necesariamente se da que

n→∞l´ım Z b

a

f_ndx = Z b

a

f dx

Veamos un ejemplo de cada uno de estos casos. En primer lugar, sea (qn)^∞_n=1 una sucesi´on de n´umeros racionales en [0, 1] tales que qi6= qj, ∀i 6= j, i, j ∈ N.

Sea, para cada n ∈ N, la funci´on fⁿ: [0, 1] → R dada por:

f_n(x) =

(1 si x ∈ {q1, q2, ..., qn} 0 si x ∈ [0, 1] \ {q₁, q₂, ..., q_n}

Observamos que, para cada n ∈ N, se tiene que fⁿ∈ R([a, b]). No obstante, para cada x ∈ [0, 1],

n→∞l´ım fn= χ_Q∩[0,1]∈ R([a, b])./

Para el segundo caso, podemos pensar en las funciones f, f_n : [0, 1] → R definidas por f = 0 y

fn(x) =

(n si 0 < x < 1/n 0 si x ∈ [0, 1] \ (0, 1/n).

Observamos que f, fn ∈ R([a, b]) y fn→ f puntualmente pero

1 = l´ım

n→∞

Z b a

f_ndx 6=

Z b a

f dx = 0

3. Otra deficiencia de la integral de Riemann tiene que ver con la propiedad casi-siempre, esto es, si f, g : [a, b] → R son funciones acotadas tales que f ∈ R([a, b]) y f = g casi-siempre, entonces no necesariamente se da que g ∈ R([a, b]). Podemos pensar, por ejemplo, en la funci´on caracter´ıstica de los racionales en [0, 1], g = χ_Q∩[0,1], y la funci´on nula f = 0. As´ı, se tiene que f ∈ R([a, b]) y f=g casi-siempre. Sin embargo, g /∈ R([a, b]).

4. La ´ultima deficiencia que abordaremos est´a relacionada con el Teorema Fun- damental del C´alculo que vimos en el apartado anterior. En dicho teorema establecimos como condici´on que la funci´on f fuera Riemann integrable, pues podemos encontrar funciones diferenciables F : [a, b] → R tales que F⁰(x) = f (x), para cada x ∈ [a, b], con f acotada y, sin embargo, puede suceder que f /∈ R([a, b]).

Teorema 1.11 (Volterra). Existe una funci´on F : [0, 1] → R diferenciable en todo punto x ∈ [0, 1] con F⁰acotada sobre [0, 1], pero F⁰no es Riemann integrable sobre [0, 1].

Demostraci´on. Sea α ∈ (0, 1). Consideramos el conjunto tipo Cantor Γα resul- tante de eliminar, en primer lugar, un intervalo abierto de longitud ^α₂ del medio del intervalo [0, 1] y, posteriormente, eliminar sucesivamente del medio de los in- tervalos resultantes un intervalo abierto de longitud (^α₂)ⁿ, n ∈ N. Consideramos tambi´en la lista disjunta ((an, bn))^∞_n=1de todos los intervalos abiertos eliminados en la construcci´on de dicho conjunto.

Ahora, para cada n ∈ N, consideramos la funci´on Gn : [a_n, b_n] → R definida por

Gn(x) =

((x − an)²sen (_x−a¹

n) si an< x ≤ bn

0 si x = a_n.

1.6 Limitaciones y Deficiencias de la Integral de Riemann 11

Se tiene que

G⁰_n(x) =

(2(x − a_n) sen (_x−a¹

n) − cos (_x−a¹

n) si a_n< x ≤ b_n

0 si x = an.

Observamos que, como Gn oscila indefinidamente cuando x se aproxima a an, existen infinitos extremos relativos. Sea

E = {x ∈ (an, bn)/x es un extremo relativo de Gn}.

As´ı, G⁰_n(x) = 0, ∀x ∈ E. Observamos tambi´en que entre dos extremos relativos consecutivos siempre existe un x0tal que |G⁰(x0) = 1|. Esto nos permite concluir que G⁰ no es continua en x = an. En efecto, la sucesi´on (tj)^∞_j=1 definida por tj= an+ 1/jπ para j ≥ 1 satisface

l´ım

j→∞t_j= a_n pero l´ım

j→∞|G⁰_n(t_j)| = 1 6= 0 = |G⁰_n(a_n)|.

Sea c el mayor n´umero en (a_n,^an+b₂ ⁿ) para el cual G⁰_n(c) = 0 y escoja un d en (^an+b₂ ⁿ, b_n) tal que c − a_n= b_n− d. En este caso d = a_n+ b_n− c y se verifica que

(c − a_n)²sen

 1

c − an



= −(b_n− d)²sen

 1

d − bn

 . Definimos ahora F_n: [a_n, b_n] → R por

Fn(x) =















0 si x = an, x = bn

(x − a_n)²sen

1 x−an

 si a_n< x ≤ c (c − a_n)²sen

1 c−an



si c < x < d

−(x − b_n)²sen

1 x−b_n



si d ≤ x < b_n

Observamos que Fn tiene el mismo comportamiento oscilatorio que Gn, tanto en an, como en bn. Adem´as, Fn es constante en el intervalo (c, d), de modo que F_n⁰ existe en cualquier punto de [an, bn]. Adem´as, F_n⁰ es acotada sobre [an, bn], pero no es continua en an ni tampoco en bn. De hecho,

|Fn(x)| ≤ |x − a_n|²≤ |x − bn|² si a_n≤ x ≤ c,

|F_n(x)| ≤ |c − a_n|²≤ |x − a_n|² si c < x < d,

|Fn(x)| ≤ |d − bn|²≤ |x − bn|² si c < x < d,

|Fn(x)| ≤ |x − bn|²≤ |x − an|² si d ≤ x ≤ bn.

De donde se sigue que |Fn(x)| est´a acotada por ambas |x − an|²y |x − bn|²para todo x ∈ [an, bn]. Para completar la construcci´on de nuestra funci´on, definimos F : [0, 1] → R por

F (x) =

(F_n(x) si x ∈ (a_n, b_n) ⊂ ∪^∞_j=1(a_j, b_j) 0 si x ∈ [0, 1] \ ∪^∞_n=1(an, bn) = Γα.

Figura 1.1. Funci´on de Volterra para α = ¹₂.

Se tiene que:

F es diferenciable en cada punto de [0, 1].

Fijemos cualquier c ∈ [0, 1]. Si c ∈ ∪^∞_n=1(an, bn), entonces por lo visto ante- riormente tenemos que F⁰(c) existe. Supongamos ahora que c ∈ Γα y probe- mos que

F₊⁰(c) = l´ım

x→c⁺

F (x) − F (c) x − c = 0.

Sea  > 0 y sea x ∈ (c, c + ). Si x ∈ Γ_α, entonces F (x) = F (c) = 0 y, por lo tanto, F₊⁰(c) = 0. Supongamos entonces que x /∈ Γα. En este caso, x ∈

∪^∞_n=1(an, bn) y, en consecuencia, existe un ´unico n ≥ 1 tal que x ∈ (an, bn).

Por esto,    

F (x) − F (c) x − c

≤ |Fn(x)|

|x − an| ≤ |x − an|²

|x − an| = |x − an| < .

1.6 Limitaciones y Deficiencias de la Integral de Riemann 13

Esto muestra que F₊⁰(c) = 0. De forma an´aloga se demuestra que F₋⁰(c) = 0 y, por consiguiente, F⁰(c) existe para todo c ∈ [0, 1].

F⁰ es acotada sobre [0, 1].

Esto sigue de que |F⁰(x)| = |F_n⁰(x)| ≤ 3 para todo x ∈ [0, 1].

Disc(F⁰)=Γα.

Sea c ∈ Γα. Sabemos que existe una subsucesi´on (an_k)^∞_k=1 de (an)^∞_n=1 que converge a c. Para cada k ∈ N, existe un entero q^k > k tal que

|F⁰(xk)| = |F_n⁰_k(xk)| = 1 donde xk = an_k+ 1 qkπ.

La sucesi´on (xk)^∞_k=1 converge a c, pero la sucesi´on (F⁰(xk))^∞_k=1 no converge al punto F⁰(c) = 0. Esto prueba que F⁰ no es continua en c ∈ Γα y como c era arbitrario, se obtiene que

Disc(F⁰) = Γ_α.

Puesto que m(Γ_α) > 0, se sigue del Teorema de Vitali-Lebesgue que la fun- ci´on F⁰ no es Riemann integrable.



2

La integral de Lebesgue

2.1. La integral de Lebesgue de funciones acotadas

Definici´on 2.1. Sea f : [a, b] → R una funci´on simple y sea f =Pn

k=1ckχE_k la representaci´on can´onica de f . Se define la integral de Lebesgue de f sobre [a, b]

comoRb

a f =Pn

k=1ckm(Ek). Si A ⊂ [a, b] es un subconjunto medible, entonces Z

A

f = Z b

a

f χA=

n

X

k=1

ckm(Ek∩ A).

Definici´on 2.2. Sea f : [a, b] → R una funci´on acotada. Se definen las integrales de Lebesgue superior e inferior, respectivamente, como

(L) Z b

a

f = ´ınf (Z b

a

s : s ≥ f es una funci´on simple )

y

(L) Z b

a

f = sup (Z b

a

r : r ≤ f es una funci´on simple )

.

Si estas dos integrales son iguales, entonces f se dice que es integrable Lebesgue sobre [a, b] y dicho valor com´un se denota por (L)Rb

af . La funci´on f es integrable Lebesgue sobre un conjunto medible A ⊂ [a, b] si la funci´on f χA es integrable Lebesgue sobre [a, b] y R

Af =Rb af χ_A.

Obs´ervese que toda funci´on escalonada es una funci´on simple, por lo que resulta sencillo verificar lo siguiente.

Proposici´on 2.3. Toda funci´on Riemann integrable es integrable Lebesgue y ambas integrales son iguales.

Teorema 2.4. Sea f : [a, b] → R una funci´on acotada. Entonces, f es integrable Lebesgue sobre [a, b] si, y solo si, f es una funci´on medible.

Demostraci´on. Supongamos que f es una funci´on medible y sea M una cota para f . Definimos, para cada n ∈ N,

E_n^k =



x ∈ [a, b] : M (k − 1)

n < f (x) ≤M k n



, −n ≤ k ≤ n.

Observamos que cada conjunto E_n^k es medible. Adem´as, se tiene que [a, b] =

∪ⁿ_k=−nE_n^k y dichos conjuntos son disjuntos. Definimos las funciones simples:

rn=

n

X

k=−n

M (k − 1) n χ_Ek

n y sn =

n

X

k=−n

M k n χ_Ek

n. Luego, rn≤ f ≤ sn sobre [a, b] para cada n y

Z b a

(sn− rn) =

n

X

k=−n

M

n m(E^k_n) =M

n(b − a).

Dado que esto es v´alido para cualquier n, se tiene que la funci´on f es integrable Lebesgue sobre [a, b].

Ahora, supongamos que f es integrable Lebesgue sobre [a, b]. Se tiene que, pa- ra cada n ∈ N, existen rⁿ y sn funciones simples tales que rn(x) ≤ f (x) ≤ sn(x), ∀x ∈ [a, b] yRb

a(sn− rn)dx < 1/n.

Definimos ahora, para cada x ∈ [a, b], las funciones:

r(x) = sup

n∈N

r_n(x) y s(x) = ´ınf

n∈Ns_n(x).

Observamos que dichas funciones son medibles sobre [a, b]. Definimos ahora el conjunto D = {x ∈ [a, b]/s(x) > r(x)}. Se tiene que r ≤ f ≤ s sobre [a, b] y, para cualquier x ∈ D^c, se tiene que r(x)=f(x)=s(x). Luego, si vi´eramos que m(D) = 0, significar´ıa que r, f y s son iguales en casi todos los puntos sobre [a, b].

Definimos entonces, para cada k, n ∈ N,

D^k_n= {x ∈ [a, b]/s_n(x) − r_n(x) > 1/k}.

N´otese que D = ∪^∞_k=1 ∩^∞_n=1D^k_n
. Adem´as, se tiene que:

1 n >

Z b a

(sn− rn)dx ≥ Z

D^k_n

(sn− rn)dx > 1

km(D_n^k),

luego, m(∩^∞_k=1D_n^k) ≤ m(D^k_n) < _n^k, para cada n ∈ N. Adem´as, como esto se cumple para cada k, se sigue que m(D) = 0. Por tanto, f, r y s son iguales en casi todo punto sobre [a, b] y, por consiguiente, f es medible, por serlo r y s.



2.1 La integral de Lebesgue de funciones acotadas 17

N´otese que, por el teorema de Vitali-Lebesgue, podemos concluir que toda fun- ci´on Riemann integrable sobre [a, b] es integrable Lebesgue, ya que, al ser conti- nua en casi todo punto de [a, b], dicha funci´on ser´a medible y, como consecuencia del teorema anterior, ser´a integrable Lebesgue.

No obstante, no toda funci´on integrable Lebesgue es Riemann integrable. Como ejemplo podr´ıamos pensar en la funci´on de Dirichlet definida sobre [a, b], esto es, χ_Q∩[a,b], que, por ser igual que la funci´on medible f = 0 en casi todo punto, ser´a tambi´en medible y, por tanto, integrable Lebesgue. Sin embargo, como ya hab´ıamos visto en el cap´ıtulo anterior, esta funci´on no es Riemann integrable.

Adem´as, las funciones integrales Lebesgue conservan las siguientes propiedades.

Proposici´on 2.5. Sean f y g funciones integrables Lebesgue sobre [a, b] y sean A y B subconjuntos medibles de [a, b]. Entonces, se tiene que:

kf es integrable Lebesgue sobre [a, b] yRb

a kf = kRb

a f , para cada k ∈ R;

f+g es integrable Lebesgue sobre [a, b] yRb

a(f + g) =Rb af +Rb

ag;

si f ≤ g en casi todo punto sobre [a, b], entoncesRb af ≤Rb

ag;

Rb af

  ≤Rb

a|f |;

si A y B son disjuntos, entoncesR

A∪Bf =R

Af +R

Bf ;

Otro punto en el que la integral de Lebesgue aventaja a la de Riemann es que, a diferencia de esta ´ultima, si f y g son funciones que coinciden en casi todo punto, entonces sus integrales son iguales.

Proposici´on 2.6. Si f=g en casi todo punto sobre [a, b], entoncesRb a f =Rb

a g.

De hecho, la integral de Lebesgue tambi´en mejora otros aspectos de la integral de Riemann, como pueden ser aquellos relacionados con la convergencia puntual de sucesiones de funciones Riemann integrables. Recordemos que si tenemos una sucesi´on uniformemente acotada de funciones Riemann integrables {fn} que convergen puntualmente a una funci´on f , esta no tiene por qu´e ser Riemann integrable y, en caso de serlo, no tiene por qu´e verificarse que l´ımn→∞(R)Rb

a fn= (R)Rb

a f , como vimos en el ep´ıgrafe 1.6 del cap´ıtulo anterior. Este problema lo solventa la integral de Lebesgue.

Teorema 2.7. Sea {fn} una sucesi´on de funciones uniformemente acotadas e integrables Lebesgue definidas sobre [a, b]. Si {fn} converge puntualmente a una funci´on f en casi todo punto de [a, b], entonces f es integrable Lebesgue y se tiene que l´ımn→∞Rb

afn =Rb a f .

Demostraci´on. Definimos la siguiente funci´on

f (x) =

(l´ımn→∞fn(x), si ∃ l´ımn→∞fn(x) 0, si @ l´ım^n→∞fn(x)

Observamos que f es una funci´on medible y acotada definida sobre [a, b], luego, por el teorema anterior, vemos que es integrable Lebesgue sobre [a, b]. Ahora, elegimos M > 0 tal que |fn(x)| ≤ M, ∀n ∈ N, ∀x ∈ [a, b] (posible porque la sucesi´on es uniformemente acotada). Sea  > 0. Por el Teorema de Egoroff, sabemos que existe un subconjunto medible H ⊂ [a, b] de manera que m([a, b] \ H) < _4M^ y {fn} converge uniformemente a f sobre H. Definimos el conjunto K = [a, b] \ H y elegimos un n0∈ N tal que

|fn(x) − f (x)| < 

2(b − a), ∀n ≥ n0, ∀x ∈ [a, b].

Entonces, para cada n ≥ n₀, se sigue que

Z b a

fn− Z b

a

f     

≤ Z b

a

|fn−f | = Z

H

|fn−f |+

Z

K

|fn+f | < m(H)

2(b − a)+2M m(K) < .

 Otra mejora de la integral de Lebesgue respecto a la integral de Riemann es que, al contrario que ocurr´ıa con esta ´ultima, s´ı se verifica que toda derivada acotada es integrable Lebesgue.

Teorema 2.8. Sea f : [a, b] → R una funci´on diferenciable en cada x ∈ [a, b].

Si f⁰ es acotada sobre [a, b], entonces f⁰ es integrable Lebesgue sobre [a, b] y Rx

a f⁰ = f (x) − f (a), para cada x ∈ [a, b].

Demostraci´on. Observamos que la funci´on f es continua sobre [a, b], ya que es diferenciable en todo punto de [a, b], y es integrable Lebesgue, ya que es acotada y medible sobre [a, b]. Sea M una cota para f⁰ y extendemos la funci´on f al intervalo [a, b + 1] mediante f (x) = f⁰(b)(x − b) + f (b) para cada x ∈ (b, b + 1].

N´otese que al extender f , sigue siendo continua y diferenciable sobre [a, b + 1].

Ahora, definimos, para cada n ∈ N, fn: [a, b] → R por:

fn(x) = n

 f

 x + 1

n



− f (x)

 .

Por el Teorema del Valor Intermedio, para cada n ∈ N, para cada x ∈ [a, b], existe un z_n∈ x, x +_n¹
tal que

2.1 La integral de Lebesgue de funciones acotadas 19

fn(x) = f (x +_n¹) − f (x)

1 n

= f⁰(z^x_n).

Se sigue que |fn(x)| ≤ M para cada n y para cada x ∈ [a, b].Dado que {fn} converge puntualmente a f⁰sobre [a, b], por el Teorema de Convergencia Acotada sabemos que

Z b a

f⁰ = l´ım

n→∞

Z b a

f_n.

Adem´as, puesto que f es continua sobre [a, b + 1], el Teorema Fundamental del C´alculo asegura que

n→∞l´ım n Z a+_n¹

a

f = f (a) y l´ım

n→∞n Z b+_n¹

b

f = f (b).

Haciendo un cambio de variable, se sigue que Z b

a

f⁰= l´ım

n→∞

Z b a

f_n= l´ım

n→∞ n

Z b a

f (t + 1 n)dt − n

Z b a

f (t)dt

!

= l´ım

n→∞n Z b+_n¹

b

f − l´ım

n→∞n Z a+_n¹

a

f = f (b) − f (a).

(2.2) Podemos realizar un c´alculo similar para cada x ∈ (a, b). Esto completa la prue- ba.

 En resumen, la integral de Lebesgue de funciones acotadas sobre intervalos com- pactos es una extensi´on de la integral de Riemann que tiene mejores propiedades, entre otras, respecto al intercambio de l´ımites con la integral y el Teorema Fun- damental del C´alculo.

Sin embargo, la funci´on

F (x) =

(x²cos_x^π2 si 0 < x ≤ 1

0 si x = 0

tiene por derivada

F⁰(x) =

(2x cos_x^π2 +^2π_x sen_x^π2 si 0 < x ≤ 1

0 si x = 0 ,

que es una funci´on no acotada y por tanto no podemos aplicar el teorema 2.8.

2.2. La integral de Lebesgue de funciones no acotadas

Definici´on 2.9. Sea f : [a, b] → R una funci´on medible tal que f (x) ≥ 0,

∀x ∈ [a, b]. La integral de Lebesgue de f sobre [a, b] se define como Z b

a

f = sup (Z b

a

u : es una funci´on medible acotada, 0 ≤ u ≤ f )

.

N´otese que el valor de la integral puede ser infinito. Esta definici´on extiende la definici´on de integral impropia de Riemann para f ≥ 0. La integral de Lebesgue de f sobre un conjunto medible E ⊂ [a, b] se define como R

Ef =Rb a f χ_E. Definici´on 2.10. Sea f : [a, b] → R una funci´on medible tal que f (x) ≥ 0,

∀x ∈ [a, b]. Se tiene que f es integrable Lebesgue sobre [a, b] si Rb

af < ∞. Una funci´on medible arbitraria f : [a, b] → R es integrable Lebesgue sobre [a, b] si

|f | es integrable Lebesgue sobre [a, b]. En este caso, las funciones f⁺ y f⁻ son integrables Lebesgue sobre [a, b] y la integral de Lebesgue de f sobre [a, b] est´a definida por:

Z b a

f = Z b

a

f⁺− Z b

a

f⁻.

La funci´on f es integrable Lebesgue sobre un conjunto medible E ⊂ [a, b] si la funci´on f χE es integrable Lebesgue sobre [a, b] y R

Ef = Rb

af χE. Denotaremos al conjunto de funciones medibles Lebesgue en el intervalo [a, b] como L¹([a, b]).

Existen funciones como ^{sen x}_x en (0, ∞) donde la integral impropia de Riemann existe pero que no es integrable Lebesgue.

Lema 2.11 (Lema de Fatou.). Si {f_n} es una sucesi´on de funciones medibles definidas sobre [a, b] tales que f_n(x) ≥ 0, ∀n ∈ N, ∈ [a, b]. Entonces,

Z b a

n→∞l´ım ´ınf fn≤ l´ım

n→∞´ınf Z b

a

fn.

Demostraci´on. La funci´on l´ımn→∞´ınf fn es medible y se tiene que es mayor o igual que cero en todo punto. Sea

0 ≤ u ≤ l´ım

n→∞´ınf fn

una funci´on acotada, medible y, para cada n, sea un= m´ın {u, fn}. {un} es una sucesi´on uniformemente acotada de funciones medibles definidas sobre [a, b] y que converge puntualmente a u sobre [a, b]. Por el Teorema 2.7,

2.2 La integral de Lebesgue de funciones no acotadas 21

Z b a

u = l´ım

n→∞

Z b a

un≤ l´ım

n→∞´ınf Z b

a

fn

ya que un≤ fn, para cada n. Ahora, tomando el supremo sobre dichas funciones u se sigue que

Z b a

n→∞l´ım ´ınf fn≤ l´ım

n→n´ınf Z b

a

fn.

Para ver que {u_n} converge puntualmente a u sobre [a, b], tomamos x ∈ [a, b] y sea  > 0. Por la definici´on de l´ım´ınf f_n(x), existe n₀ ∈ N tal que u(x) −  <

fn(x), ∀n ≥ n0. Luego,

u(x) −  = m´ın{u(x), u(x) − } ≤ m´ın{u(x), fn(x)} = un(x) ≤ u(x), de lo que se sigue que |un(x) − u(x)| < , ∀n ≥ n0. Esto completa la demostra- ci´on.

 N´otese que habr´an ocasiones en las que se d´e la desigualdad estricta en el lema de Fatou. Por ejemplo, si consideramos la sucesi´on {gn}, donde

g_n(x) =

(n, 0 < x < ¹_n 0, en otro caso.

Entonces, {g_n} converge puntualmente a g = 0 yR g = 0 6= 1 = l´ımn→∞R gn. Teorema 2.12 (Teorema de convergencia mon´otona.). Sea {f_n} una suce- si´on de funciones crecientes y medibles sobre [a, b] tales que f_n(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b].

Si {fn} converge puntualmente a una funci´on f sobre [a, b], entonces Rb a f = l´ım_n→∞Rb

af_n.

Demostraci´on. La sucesi´on creciente {Rb

afn} tiene l´ımite (el cual podr´ıa ser in- finito). Dado que Rb

af_n ≤Rb

af , para cada n ∈ N, el lema de Fatou nos asegura que

l´ım

n→∞

Z b a

f_n≤ Z b

a

f = Z b

a

l´ım

n→∞´ınf f_n≤ l´ım

n→∞´ınf Z b

a

f_n= l´ım

n→∞

Z b a

f_n. Esto demuestra queRb

a f = l´ım_n→∞Rb af_n.

 Obs´ervese que el teorema sigue siendo v´alido si, en lugar de considerar funciones mayores o iguales que cero en cada punto, tomamos funciones fn ≥ g, para cada n ∈ N, y siendo g una funci´on integrable Lebesgue definida sobre [a, b]. Para verlo, basta con considerar la sucesi´on {fn− g}.

Corolario 2.13. Sea {fn} una sucesi´on de funciones mon´onotas integrables Le- besgue definidas sobre [a, b] y supongamos que {fn} converge puntualmente a f sobre [a, b]. Si l´ımn→∞Rb

afn es finito, entonces f es integrable Lebesgue sobre [a, b] y

Z b a

f = l´ım

n→∞

Z b a

f_n.

Demostraci´on. Supongamos que la sucesi´on {fn} es decreciente. La sucesi´on {f1− fn} es creciente y mayor o igual que cero en todo punto y, adem´as, converge puntualmente a f1− f . Se sigue que

Z b a

(f1− f ) = l´ım

n→∞

Z b a

(f1− fn). (1)

Dado que l´ımn→∞Rb

a(f1− fn) es finito, la funci´on f1− f es integrable Lebesgue sobre [a, b], como tambi´en lo ser´a la funci´on f = f₁− (f₁− f ). Restando Rb

af₁ en ambos miembros de la igualdad (1)termina la prueba.

 Corolario 2.14. Si {f_n} es una sucesi´on de funciones medibles definidas sobre [a, b] tales que f_n ≥ 0, entonces

Z b a

∞

X

n=1

fn=

∞

X

n=1

Z b a

fn.

Corolario 2.15. Sea f : [a, b] → R una funci´on integrable Lebesgue sobre [a, b]

y sea E un subconjunto medible de [a, b]. Si {En} es una sucesi´on de conjuntos medibles disjuntos tales que E = ∪^∞_n=1E_n, entonces

Z

E

f =

∞

X

n=1

Z

E_n

f .

Teorema 2.16 (Teorema de convergencia dominada). Sean {fn} una su- cesi´on de funciones integrables Lebesgue definidas sobre [a, b], g una funci´on integrable Lebesgue sobre [a, b] y supongamos que {fn} converge puntualmente a f en casi todo punto de [a, b]. Si |f_n| ≤ g sobre [a, b], ∀n ∈ N, entonces f es integrable Lebesgue sobre [a, b] y Rb

af = l´ım_n→∞Rb a f_n.

Demostraci´on. Redefiniendo todas las funciones para que sean cero en el conjun- to de puntos donde f (x) 6= l´ımn→∞fn(x), podemos asumir que {fn} converge puntualmente a f sobre [a, b] sin alterar las hip´otesis o el valor de las integrales.

Dado que |f | ≤ g sobre [a, b], la funci´on medible f es integrable Lebesgue sobre

2.2 La integral de Lebesgue de funciones no acotadas 23

[a, b]. Las sucesiones {fn+ g} y {g − fn} son positivas sobre [a, b]. Por el lema de Fatou, se sigue que

Z b a

f + Z b

a

g = Z b

a

(f + g) ≤ l´ım

n→∞´ınf Z b

a

(f_n+ g) = Z b

a

g + l´ım

n→∞´ınf Z b

a

f_n;

Z b a

g − Z b

a

f = Z b

a

(g − f ) ≤ l´ım

n→∞´ınf Z b

a

(g − fn) = Z b

a

g − l´ım

n→∞sup Z b

a

fn. Luego,

n→∞l´ım sup Z b

a

f_n≤ Z b

a

f ≤ l´ım

n→∞´ınf Z b

a

f_n y se demuestra as´ı el teorema.



3

La integral de Riemann Generalizada

Definici´on 3.1. Sea δ : [a, b] → R una funci´on estrictamente positiva. Una partici´on etiquetada Pe = (ti, [xi−1, xi])ⁿ_i=1 de [a, b] se dice que es δ-fina o su- bordinada a δ, si para cada i ∈ {1, 2, ..., n} se verifica que

ti∈ [xi−1, xi] ⊆ (ti− δ(ti), ti+ δ(ti)).

A la funci´on estrictamente positiva δ la llamaremos funci´on gauge o calibrador.

Lema 3.2. Si δ : [a, b] → R es un calibrador, entonces existe una partici´on etiquetada en [a, b] que es δ-fina.

Demostraci´on. Procedemos por reducci´on al absurdo suponiendo que no existe ninguna partici´on etiquetada de [a, b] que sea δ-fina. Tomamos I₀ = [a, b] y sea c₀ = ^a+b₂ el punto medio del I₀. Afirmamos que al menos uno de los dos intervalos [a, c₀], [c₀, b] no posee particiones etiquetadas δ-finas. En efecto, si ambos intervalos tuviesen una partici´on etiquetada δ-fina, entonces se seguir´ıa que [a, b] tendr´ıa una partici´on etiquetada, lo cual negar´ıa nuestra suposici´on inicial. Denotamos por I1 = [a1, b1] al intervalo que no posee ninguna partici´on etiquetada δ-fina. Sea c1 = ^a1+b₂ ¹ el punto medio de [a1, b1]. Razonando como antes, al menos uno de los intervalos [a1, c1], [c1, b1] no posee ninguna partici´on etiquetada δ-fina. Elegimos aquel que no posee particiones etiquetadas δ-fina y lo denotamos por I2= [a2, b2]. Sea ahora c3 el punto medio de I2. Iterando este proceso se obtiene una sucesi´on (In)^∞_n=1 de intervalos compactos tales que

I0⊇ I1⊇ ... ⊇ In⊇ In+1⊇ ... y l(In) −→

n→∞0.

Se sigue del Teorema de Encaje de Cantor que existe un ´unico x0 ∈ I tal que

∩^∞_n=1In= {x0}. Por otro lado, como δ(x0) > 0, por el Principio de Arqu´ımedes sabemos que existe n ∈ N tal que

l(In) = b − a

2ⁿ < δ(x0).

Esta desigualdad nos dice que I_n ⊂ (x₀− δ(x₀), x₀+ δ(x₀)) y, en consecuen- cia, el par (x0, In) es una partici´on etiquetada δ-fina de In. Esto contradice la construcci´on de nuestro In, luego la suposici´on inicial es falsa.



3.1. Construcci´ on de la integral de Henstock-Kurzweil

Sea [a, b] un intervalo cerrado y acotado de R. Recordemos que una partici´on de [a, b] es una colecci´on finita de puntos P = {x0, x1, ..., xn} de [a, b] tal que:

a = x0< x1< ... < xn= b.

Los intervalos asociados a la partici´on P ser´an denotados por I1= [x0, x1], I2= [x1, x2], ..., In = [xn−1, xn]. Un conjunto de etiquetas asociadas a los intervalos I1, I2, ..., In de la partici´on P es cualquier colecci´on finita de puntos de [a, b], digamos {t1, t2, ..., tn} tal que ti ∈ [xi−1, xi], i = 1, ..., n. Cualquier conjunto de pares ordenados

Pe= {(ti, [xi−1, xi]) : i = 1, ..., n},

donde P = {x₀, x₁, ..., x_n} es una partici´on de [a, b] y e = {t₁, t₂, ..., t_n} es un conjunto de etiquetas asociadas a I₁, ..., I_n de la partici´on P , lo llamaremos una partici´on etiquetada de [a, b].

Recordemos tambi´en que si δ : [a, b] → R es un calibrador sobre [a, b], entonces existe una partici´on etiquetada en [a, b], digamos Pe= (ti, [xi−1, xi])ⁿ_i=1, que es δ-fina o subordinada a δ, es decir,

ti∈ [xi−1, xi] ⊆ (ti− δ(ti), ti+ δ(ti)) = γ(ti),

para cada ´ındice i ∈ {1, 2, ..., n}, donde γ es la funci´on que controla a P_e. Denotaremos por Be([a, b], δ) el conjunto de todas las particiones de [a, b]

que est´an subordinadas a δ. Si f : [a, b] → R es una funci´on arbitraria y Pe = (ti, [xi−1, xi])ⁿ_i=1 es una partici´on etiquetada de [a, b], entonces la suma de Riemann asociada a Pela escribiremos como:

S(f, Pe) =

n

X

i=1

f (ti)(xi− xi−1).

Definici´on 3.3. Una funci´on f : [a, b] → R es Henstock-Kurzweil integrable sobre [a, b] si existe un n´umero A ∈ R de manera que, para cada  > 0, existe un calibrador δ : [a, b] → (0, +∞) tal que, si Pe= (ti, [xi−1, xi])ⁿ_i=1 es cualquier partici´on δ-fina de [a, b], entonces

3.1 Construcci´on de la integral de Henstock-Kurzweil 27

|S(f, Pe) − A| < .

Este n´umero A, si existe, es ´unico y se llama la integral de Henstock-Kurzweil de f y ser´a denotado como sigue:

A = (HK) Z b

a

f (t)dt.

Denotaremos por HK([a, b]) el conjunto de todas las funciones f : [a, b] → R que son Henstock-Kurzweil integrables sobre [a, b]. En general, si E ⊆ [a, b] es un conjunto medible, diremos que f es Henstock-Kurzweil integrable sobre E si f · χE es Henstock-Kurzweil integrable sobre [a, b] y escribiremos

(HK) Z

E

f (t)dt = (HK) Z b

a

f · χE(t)dt.

La integral de Henstock-Kurzweil tambi´en es conocida como integral Generali- zada de Riemann.

Teorema 3.4. Si f ∈ HK([a, b]), entonces (HK)Rb

af (t)dt es ´unica.

Demostraci´on. Supongamos que A₁ y A₂ son n´umeros reales tales que A₁ = (HK)Rb

af (t)dt y A₂ = (HK)Rb

af (t)dt. Entonces, para cada  > 0, existe un calibrador δ₁ : [a, b] → R tal que |S(f, P⁰) − A₁| < ^₂ para cualquier partici´on etiquetada P⁰ de [a, b] subordinada a δ₁. Similarmente, existe un calibrador δ₂: [a, b] → R tal que |S(f, P⁰⁰) − A2| < ₂^ para cualquier partici´on etiquetada P⁰⁰ de [a, b] subordinada a δ2. Sea δ = m´ın {δ1, δ2} y sea P una partici´on etiquetada de [a, b] subordinada a δ. Entonces, P est´a subordinada tanto a δ1, como a δ2y, en consecuencia,

|A1− A2| ≤ |S(f, P ) − A1| + |S(f, P ) − A2| < .

Puesto que  > 0 es arbitrario, se sigue que A1= A2.

 Teorema 3.5 (Criterio de Cauchy). Sea f : [a, b] → R una funci´on. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. f ∈ HK([a, b]).

2. Para cada  > 0, existe un calibrador δ : [a, b] → R tal que

P, Q ∈ Be([a, b], δ) ⇒ |S(f, P ) − S(f, Q)| < . (a)