High-order perturbation theory of spherical spacetimes with application to vacuum and perfect fluid matter

High-order perturbation theory of

spheri al spa etimes with appli ation

to va uum and perfe t uid matter

David Brizuela Cieza

Instituto de Estru tura de la Materia, CSIC

Dire tores:

Dr. Guillermo A.

Mena Marugán

y

Dr. José M.

Martín Gar ía

Departamento de Físi a Teóri a

Universidad Autónoma de Madrid

Marzo de 2009

Agrade imientos IX

Resumen XI

Abstra t XIII

1 Introdu ión 1

1.1 Apli a iones de la teoríade perturba iones lineal . . . 4

1.2 Teoría de perturba iones aaltos órdenes . . . 7

1.2.1 Motiva ión . . . 7

1.2.2 Historia . . . 8

1.3 Libertadgauge . . . 9

1.4 Lane esidad del álgebra omputa ional. . . 10

1.5 Objetivos . . . 11

1.6 Organiza ión . . . 13

2 Introdu tion 15 2.1 Appli ations of linearperturbationtheory . . . 18

2.2 High-orderperturbation theory . . . 20

2.2.1 Motivation. . . 20

2.2.2 History. . . 21

2.3 Gaugefreedom . . . 22

2.4 The need for omputer algebra. . . 23

2.5 Goals. . . 24

I High-order perturbation theory 29

3 Perturbation theory in General Relativity 31

3.1 General onsiderations . . . 31

3.2 Notation . . . 32

3.3 Perturbative formulas for dierent obje ts . . . 33

3.3.1 Perturbations of derivatives . . . 33

3.3.2 Perturbations of the urvature tensors . . . 34

3.3.3 Perturbations of the metri determinant . . . 37

3.4 Equationsof motion . . . 38

3.4.1 Covariantframework . . . 39

3.4.2 Canoni al framework . . . 40

4 Gauge freedom 43 4.1 Covariantframework . . . 43

4.1.1 Gauge transformations . . . 43

4.1.2 Gauge invariants . . . 46

4.2 Canoni al framework . . . 51

4.2.1 Gauge transformations . . . 51

4.2.2 Gauge invariants . . . 53

II Spheri al symmetry 57 5 Spheri al spa etimes 59 5.1 2+2 splittingof the spa etime . . . 59

5.1.1 Frames on

M ²

5.1.2 Va uum . . . 64

5.1.3 Perfe t uid . . . 65

5.2.1 S alareld . . . 68

6 Tensor spheri al harmoni s 69 6.1 Regge-Wheeler-Zerilliharmoni s . . . 69

6.2 Wigner matri es. . . 72

6.3 Pure-spin harmoni s . . . 73

6.4 Pure-orbitalharmoni s . . . 75

6.5 Produ t of harmoni s . . . 77

6.6 Generalizationof Regge-Wheeler-Zerilliharmoni s . . . 78

6.7 Produ t formula. . . 80

6.7.1 Pure-orbitalharmoni s . . . 81

6.7.2 Pure-spin harmoni s . . . 81

6.7.3 Generalized Regge-Wheeler-Zerilliharmoni s . . . 82

III Master equations on a dynami al ba kground 83 7 Axial perturbations 85 7.1 Expansionin harmoni s . . . 85

7.2 Ee tivea tion . . . 86

7.3 Gauge-invariantvariables. . . 87

7.4 Equationsof motion . . . 89

8 Polar perturbations 91 8.1 Expansionin harmoni s . . . 91

8.2 Ee tivea tion . . . 92

8.3 Gaugeinvariantvariables. . . 94

8.4 Equationsof motion . . . 99

9 De omposition of the perturbations 105

9.1 Harmoni de omposition . . . 105

9.2 Gaugefreedom . . . 106

9.2.1 First-ordergauge invariants . . . 108

9.2.2 High-ordergauge invariants . . . 111

9.2.3 The parti ular ases

l = 0, 1

10 First-order 115 10.1 Einsteinequations . . . 115

10.2 Energy-momentum onservation equations . . . 116

10.3 Axial masterequation . . . 117

10.3.1 Gerla h-Sengupta master s alar . . . 117

10.3.2 Comparisonwith the Hamiltonianapproa h . . . 119

11 Se ond-order 121 11.1 Gaugeinvariantvariables. . . 121

11.2 Einsteinequations . . . 125

11.3 Energy-momentum onservation equations . . . 128

11.4 Gerla h and Sengupta masterequation . . . 129

V Appli ations 131 12 Va uum 133 12.1 The radiatedpower . . . 134

12.2 Master equations . . . 135

12.2.1 Polarse tor . . . 135

12.2.2 Axial se tor . . . 137

12.3 Firstorder . . . 138

12.3.1 Polarse tor . . . 139

12.4 Se ond order . . . 143

12.4.1 Regularizationof the sour es. . . 143

12.4.2 Radiatedpower . . . 146

12.5 Numeri alimplementation . . . 148

13 Perfe t uid 151 13.1 High-orderperfe t uid perturbations . . . 151

13.2 Se ond-order evolution equations . . . 155

13.2.1 Axial perturbations

(l ≥ 2)

13.2.2 Axial perturbations

(l = 1)

13.2.3 Polarperturbations

(l ≥ 2)

13.2.4 Polarperturbations

(l = 1)

13.2.5 Polarperturbations

(l = 0)

14 Perturbative mat hing 165 14.1 High-ordermat hing onditions . . . 165

14.2 Mat hing tova uum . . . 168

14.2.1 Extra tion . . . 171

14.2.2 Inje tion . . . 172

VI Algebrai implementation 173 15 Mathemati a pa kages 175 15.1 xPert . . . 175

15.1.1 The ode. . . 176

15.1.2 Timings . . . 181

15.2 Harmoni s . . . 184

Con lusions 187

Con lusiones 191

B Symmetri tra e-free tensors 197

C Va uum sour es 199

D Fluid sour es 203

D.1 Polarlinear sour es . . . 203

D.2 Polar onstraint equationsfor the ase

l = 1

D.3 Polarequations for the ase

l = 0

En primer lugar quisiera agrade er a mis dire tores de tesis José M. Martín-Gar ía y

GuillermoA.Mena Marugánsudedi a ión, pa ien ia einspira ión durante todas lasfases

del trabajo que han ulminado en esta tesis. Gran parte de lo que he aprendido durante

losúltimos años selo deboa ellos.

Tengo que dar las gra ias también al Instituto de Estru tura de la Materia y al CSIC,

Institu iónalaquepertenez o. Muyenparti ularatodoslosmiembrosdelgrupodeFísi a

Gravita ional por los ono imientos ompartidos y la inestimable ayuda re ibida en todo

momento.

Mu has gra iasamisamigospordiversasrazones, pero esen ialmenteporsu ompañía,

por lasrisas en los buenos momentos y porsualiento en losmalos.

Amifamilia,muyespe ialmenteamispadresyhermanos,porestar amilado brindán-

dome siempreun apoyo in ondi ional.

Un agrade imiento muy espe ial a Heike por mostrarme siempre el lado alegre de la

vida. Sin ella el amino hastaaquí habría resultado mu homás duro.

Para nalizar, quiero dar las gra ias al Albert Einstein Institut, Louisiana State Uni-

versity y University of Maryland, entros en los que he desarrollado parte de este trabajo,

por suhospitalidad.

Estatesishasidoposiblegra iasalanan ia ióndelaComunidadAutónomadeMadrid

medianteuna be a FPI.

En esta memoriade tesis do toral presentamos un formalismopara estudiarperturba-

iones a altos órdenes de espa iotiempos esféri os. Propor ionamos un método re ursivo

para onstruir variables invariantes gauge a ualquier orden perturbativo. En parti ular,

asegundo orden onstruimos explí itamentelosobjetosinvariantes gauge y sus e ua iones

de movimiento. Seguidamente, apli amoseste formalismo generala losespa iotiemposde

fondo (ba kgrounds)espe í os orrespondientes alasolu iónde S hwarzs hild y aun ui-

doperfe to. Tambiénanalizamoslas ondi iones perturbativasde ensamblaje(mat hing)a

travésde una super ietemporalquesepareuna estrelladeuidoperfe todelva ío. Estas

investiga ionestienen omoresultadounmar o ompletoparaestudiarvariosproblemasde

relevan ia astrofísi a, desde ela oplo de modos uasinormalesen lafase ring-downde una

binaria de agujeros negros, hasta la evolu ión de segundas perturba iones de una estrella

esféri a en olapso.

Motivados porlabúsqueda deuna des rip ión mássen illade laradia ióngravitatoria,

también estudiamos on un tratamiento hamiltoniano las perturba iones lineales de un

espa iotiempo esféri o on un ontenido material de ampo es alar. Tras realizar varias

transforma iones anóni as, onseguimosdenir, porprimera vez paraun fondo dinámi o,

dos variablesmaster,en elsentido de queobede en e ua ionesde evolu iónsinligadurasy

que lamétri aperturbada ompleta sepuede re onstruir apartir de ellas ex lusivamente.

Asimismo, durante el trans urso de la realiza ión de esta tesis, hemos diseñado varios

módulosde omputa iónalgebrai a paramanejarlas omplejase ua iones delformalismo.

Di hos módulos, que están a esibles en internet, se distribuyen libremente, y han sido

utilizadosyaporotros autores.

We present a omplete formalism to deal with high-order perturbations of spheri al

spa etimes. A method to onstru t gauge-invariant variables at any perturbative order

is given. In parti ular, the gauge-invariant metri perturbations and their equations of

motion are expli itlyobtained at se ond order. This general formalism is then applied to

aS hwarzs hild ba kgroundand toa perfe t-uid spa etime. The high-order perturbative

jun tion onditions a ross a timelike surfa e separating a uid star from pure va uum are

also analyzed. These investigations give rise to a omplete framework for the study of

a series of astrophysi ally relevant s enarios, ranging from quasi-normal mode oupling

in the ring-down phase of a binary bla k hole ollision, to the evolution of se ond-order

perturbations of aspheri al ollapsingstar.

Motivatedby thesear h ofsimplerdes riptionsofgravitationalradiation,wealsostudy

linear perturbations of a spheri al spa etime ontaining a real massless s alar eld, in a

Hamiltonian setting. After several anoni al transformations, we su eed in dening, for

thersttimeforadynami alba kground,twomastervariables,inthe sensethatthey obey

un onstrained evolutionequationsand the wholeperturbed metri an be re onstru tedin

terms of them.

During the ourse of this thesis, several omputer algebra tools have been designed to

handle the intrin ated equations of the formalism. These tools are now freely distributed,

and are already being used by other authors.

Introdu ión

Hoy en día, la Relatividad General se onsidera la mejor teoría físi a diponible para

dar uenta de la intera ión gravita ional lási a (en ontraposi ión a la uánti a). Las

primeras onrma iones experimentales de la teoría, ya predi has por Einstein, fueron la

deexión de la luz y el avan e del perihelio de Mer urio. No fue hasta el omienzo de la

dé adade1960 uandolosdes ubrimientosastronómi os( omolos uásares olospúlsares)

ofre ieronnuevasobserva iones on lasque omprobarlavalidez de laRelatividadGeneral

en el régimende gravedad débil. Una de lasmás ono idas esel de re imientodelperiodo

orbital del púlsar binario Hulse-Taylor [1℄, por el que ambos investigadores re ibieron el

premioNobel [2,3℄. Esta observa ión seajustaba perfe tamentea laspredi ionesteóri as

de la Relatividad General y sirvió para ex luir varias teorías alternativas [4,5℄. Desde los

años o henta, la aten ión se ha entrado prin ipalmente en en ontrar observa iones en el

régimende ampofuerte quepuedan orroborar o ontrade irlaspredi iones de Relativi-

dad General en dos extremos diferentes. Por un lado está el límite aso iado on la físi a

de la es ala de Plan k. Existen pro esos on distan ias ara terísti as muy pequeñas que

produ en intera iones gravitatorias fuertes, hasta ierto régimen en el que se supone que

la Relatividad General fallará debido a la fenomenología uánti a. Por otro lado está el

límiteastrofísi o,queinvolu raobje tosmuydensosdegranmasa,los ualesprodu entam-

biénintera ionesgravita ionalesfuertes. Se esperaquevariosfenónemosastrofísi os,tales

omo olisiones de agujeros negros y/o estrellas de neutrones, emitan su iente radia ión

gravitatoria omo para ser dete tada desde laTierra en un futuro er ano.

En este ontexto astrofísi o, la dete ión de ondas gravitatorias se onsidera uno de

losproblemas abiertosmás importantes de la físi a experimental. Aparte de propor ionar

un test de la Relatividad General en el régimen de ampo fuerte, podría abrir una nueva

ventana para la observa ión astrofísi a, dando lugar a una era de astronomía de ondas

gravitatorias. Variosdete toresde ondasgravitatoriasseen uentrana tualmentetomando

datos (tales omo GEO [6℄, LIGO [7℄ o VIRGO [8℄) y existen misiones espa iales (la más

notableLISA [9℄) planeadas para los er anos años 2020.

La señalque sepretende dete tar esmuypequeña, y está enterradabajo variasfuentes

de ruido de origen diverso. Se han desarrollado potentes té ni as estadísti as para ayudar

en lare upera ióndelaseñal delosdatosre ogidos. Sin embargo,aúnesesen ialdisponer

de antemano de un atálogo de patrones on posibles señales que observar (para poder

utilizar,de esta manera,lasté ni as de ltro adaptado). Estos patrones solamentepueden

obtenerse resolviendo las e ua iones de Relatividad General: las e ua iones de Einstein.

Estas diez e ua iones en derivadas par ialesforman un sistema, no lineal y a oplado, que

resulta muy difí il de resolver. Por onsiguiente, no se espera onstruir un atálogo on

solu ionesanalíti asquedes ribaelperl delasondasgravitatoriasemitidasen talesa on-

te imientosastrofísi os. Solamentelassitua iones on una gran simetríapermiten obtener

explí itamentela solu ión,y sólounaspo as deellas son relevantesdesde elpuntode vista

astrofísi o [10℄. Por lo tanto, omo es habitual en físi a uando un problema no se puede

resolverdemaneraexa ta,sere urreamétodosaproximados. Aquímen ionaremoslastres

té ni as quemejor han fun ionadohasta elmomento,y que se pueden onsiderar omple-

mentarias en el análisis de la dinámi a de RelatividadGeneral en este ontexto: métodos

post-newtonianos, RelatividadNuméri a y teoría de perturba iones.

Losmétodospost-newtonianosestánbasadosenla ombina ióndeunaaproxima iónde

gravedaddébil(esde ir,teoríadeperturba ionesalrededordelespa iotiempodeMinkowski,

también ono ida omoaproxima iónpost-minkowskiana)yunaexpansióndelassolu iones

en seriede poten iasdel parámetro

v/c

c

v

típi adelamateriadelproblemaen uestión[11℄. Porejemplo,estaaproxima iónesválida

paramodelarlasondasgravitatoriasgeneradasporunafuentede movimientointernolento

y auto-gravedad débil. Trun ando las men ionadas expansiones a altas poten ias de

v/c

esposible onsiderar fuentes altamenterelativistas(en laa tualidad losresultados aorden

seis se utilizansistemáti amente[12℄), y normalmentelaaproxima iónpost-newtoniana se

omporta mejor de lo esperado. El límite newtoniano

(1/c → 0)

que permite obtener la poten ia total emitida en formade ondas gravitatorias en fun ión

de laderivadatemporaldelmomento uadrupolarde lafuente. De he ho,esta rela iónfue

su ienteparaexpli arelde re imientodelperiododelpulsarbinarioHulse-Taylor[15,16℄.

A tualmente, laRelatividadNuméri ase onsidera,pordere hopropio,una ramadela

RelatividadGeneral[17℄. Cualquierintentoderesolverlase ua ionesdeEinsteinutilizando

métodos numéri os se podría in luir en esta área, pero aquí nos referiremos solamente

a aquellas simula iones que traten on las e ua iones de Einstein ompletas; quizá bajo

iertaredu ión de simetría(in lusotrabajando on métodos post-newtonianos oteoríade

perturba iones,eshabitualtenerqueintegraralgunasotrase ua ionesnuméri amente.) Se

puedenutilizardiferentes formula ionesdelase ua ionesdeEinsteinparasudis retiza ión

en un ordenador, dependiendo de ómo se des riba el espa iotiempo. La manera más

sen illade ha erloestá basada en el tratamientohamiltonianodebido aArnowitt, Deser y

Misner (ADM) [18,19℄, en el que se exfolia el espa iotiempo en una familiade super ies

espa iales tridimensionales. Otras formula iones están basadas en el uso de super ies

nulas, lo que ofre e un mar o más ade uado para tratar la radia ión. Hubo ya algunos

intentosderesolvernuméri amentelase ua ionesdeEinsteinendosdimensionesespa iales

en los años sesenta y setenta [20,21℄. Sin embargo, en aquella épo a los ordenadores no

teníanla su iente apa idadpara obtener resultados tridimensionalesde relevan ia,y las

formula iones que se utilizaronno eran matemáti amente onsistentes, omo se demostró

posteriormente. Laa simula iones de binarias de agujeros negros es uno de los problemas

laveen esta área. El desarrollode lométodos númeri os y analíti os pararesolverlo tuvo

lugarduranteladé adadelosnoventa. En2005,Pretoriuslogróporvezprimeraevolu ionar

el sistema de una manera estable [22℄. Desde enton es, varios grupos de investiga ión

hanpubli ado un extensonúmerode artí ulos,do umentandointeresantes propiedadesdel

men ionadosistema y aportando patrones muy ables delperl de lasondas gravitatorias

emitidas. Además del aso parti ular de va ío, se ha invertido un gran esfuerzo en la

simula iónde espa iotiempos on uidos, y más re ientemente uidos a oplados al ampo

ele tromagnéti o, para modelar el olapso del nú leo estelar y la olisión de estrellas de

neutrones, también fuentes importantes de radia ióngravitatoria [23℄.

Lateoríadeperturba ionespropor ionaotrotratamientoaproximado, permitiendouna

des rip iónentérminosdepequeñasdesvia ionesalrededordeunasolu iónexa tadefondo.

En el ontexto de la Relatividad General, lateoría de perturba iones ha desempeñado un

papeldesta adoen elanálisisde laestabilidadde iertassolu ionesy enla omprensiónde

lospro esosdinámi osentérminosdesimplesmodosde os ila ión,siendoa tualmenteun

omplementonaturalye ientedelassimula iones ompletasdeRelatividadNuméri a[24℄.

Enlas próximasse iones la des ribiremos on más detalle.

Lastres té ni as aproximadas tienensus propiosdominiosdevalidez,quenormalmente

son omplementariosy,porlotanto,lamejorestrategiasueleser una ombina ióndetodos

ellos. Porejemplo,lastres fasesde una olisiónde agujeros negros,inspiral, mergery ring-

down,sepuedendes ribirade uadamentemediantemétodospost-newtonianos,Relatividad

Numéri ay teoría de perturba iones, respe tivamente. Durante lafaseini ial, losagujeros

negros se en uentran lejos y la intera ión gravitatoria mutua es débil. En onse uen ia,

esta situa ión puede des ribirse prá ti amente mediante gravedad newtoniana. Éste es el

es enario perfe to para los métodos post-newtonianos. A medida que los agujeros negros

sea er an,debidoalapérdidade energía,radiadaenformadeondasgravitatorias,lainte-

ra ióngravita ionalmutuairáaumentando. Eneste punto,losmétodos post-newtonianos

ne esitan más términos en sus expansiones para seguir las traye torias on su iente pre-

isión. Cuando los dos agujeros están muy er a, las no-linealidades re en y es ne esario

re urrir a la Relatividad Numéri a ompleta para trazar las traye torias. Al nal, ambos

agujerossefusionanenunúni oagujeronegro,quesigueradiandoondasgravitatoriashasta

onvertirse en un agujero negro esta ionario de Kerr o S hwarzs hild. Durante esta etapa

naldelaevolu ióndinámi a,elespa iotiempopuedeaproximarsemediantelamen ionada

solu ión de fondo más una pequeña desvia ión,lo que puede des ribirse ade uadamente a

través de la teoría de perturba iones. A ontinua ión, entraremos nuestra aten ión en la

teoríade perturba iones,des ribiendodetalladamentesuhistoriay logrosenel ontexto de

laRelatividad General.

1.1 Apli a iones de la teoría de perturba iones lineal

Lateoríadeperturba ionespuedeutilizarseparaestudiarlaestabilidaddelassolu iones

a las e ua iones de Einstein. En parti ular, una onsiderable antidad de trabajo se ha

dedi ado a dis utirla estabilidad de los agujeros negros [25℄ y las solu iones osmológi as

[26℄, dado el interés físi ode estos espa iotiempos.

Además,el análisisperturbativonos permite omprobarlapresen ia de inestabilidades

gauge [27℄, la viola ión de la ligaduras [28℄, y otro tipo de inestabilidades en la imple-

menta iónnuméri adelase ua ionesdeEinstein,debidoaqueloserroresnuméri ospueden

onsiderarse distorsiones de la solu iónque seestá al ulando.

Otraimportanteapli a ióneselestudiode laprodu iónypropaga iónde ondasen un

determinadoespa iotiempo urvo. Lateoríadeperturba ionespropor ionaestima ionesde

la antidad de radia ióngravitatoriay elperl de la señalemitida en pro esos astrofísi os

tales omo lasos ila iones de una estrella de neutrones [29℄, el olapsogravitatoriode una

estrella [30℄, una binaria de o iente de masas extremo (extreme mass ratio binary) [31℄, o

una olisión frontalde dos agujeros negros en ellímite er ano ( loselimit) [32℄.

La teoría de perturba iones también ha sido re ono ida omo una herramienta muy

útil en osmología. Basándose en los trabajos pioneros debidos a Bardeen [33℄ y a Ko-

dama y Sasaki [34℄, se ha utilizado esta teoría para estudiar la evolu ión de pequeñas

inhomogeneidadesen elUniversoPrimitivo,propor ionandouna omprensióndetalladade

la dependen ia angular del espe tro de poten ias en el fondo ósmi o de mi roondas. Es-

tas desvia iones de la homogeneidad han sido medidas por los experimentos COBE [35℄ y

WMAP [36℄. La forma ión de estru turas a grandes es alas también se expli a mediante

perturba iones ini ialmentepequeñas quehan re ido on el paso deltiempo.

Existe una extensa literatura sobre perturba iones de estrellas, debido a su enorme

relevan ia astrofísi a. Aquí solamente men ionaremos losartí ulosmás importantes en los

que hemos basadonuestra extensióna segundo orden de la teoría lineal de perturba iones

de estrellas en olapso. En parti ular, nos entraremos en perturba iones alrededor de

fondosesféri os,aunquesepermitiráquesean estáti osodinámi osy quetengandiferentes

e ua iones de estado.

En lo que respe ta a fondos estáti os, el trabajo de Chandrasekhar a mediados de los

añossesentafuepioneroenelanálisisdelasperturba ionesradialesde estrellasesféri asen

RelatividadGeneral[37,38℄. Enuna serie de artí ulos[3943℄, Thorne y sus olaboradores

se o uparon de las perturba iones no-radiales de estrellas ompuestas por uido perfe to,

estable iendola base teóri a para tratar di hoproblema. Esta base se desarrollóy amplió

en otras referen ias, tales omo [44℄ y [45℄.

La investiga ión de fondos no estáti os omenzó a nales de los años setenta, uando

Cunningham et al. [46,47℄ utilizaron un formalismo invariante gauge para evolu ionar las

perturba iones no-radiales de polvoen olapso esféri o. Seidel y sus olaboradores [4850℄

apli aronel formalismo de Gerla hy Sengupta (GS) [5154℄, que es válido para ualquier

fondoesféri amentesimétri o on ualquiertipode ontenidomaterial,paraevolu ionarlas

perturba ionesdeunuidoperfe todependientedeltiempo onunae ua ióndeestadomás

genéri a. Basándose en estas referen ias, Gundla h y Martín-Gar ía [55℄ desarrollaronun

mar o ovariante einvariante gaugepara analizaruna perturba ión arbitrariade un uido

perfe to esféri amente simétri o. Di ho mar o fue utilizadoposteriormente por Harada et

al.[30℄ para analizarlasperturba iones axiales del olapso estelar.

Enparalelo,lateoríadeperturba ioneshasidounadelasherramientasmásimportantes

para el análisis de las propiedades de los agujeros negros. El primer artí ulo en el que se

estudiaron perturba iones de un agujero negro data de 1957 [56℄. En esta épo a, los agu-

jerosnegrosnoestabanaúna eptados omoentidadesfísi as. Lasolu iónde S hwarzs hild

a las e ua iones de ampo de Einstein era ono ida, pero la visión más a eptada era que

esta exóti a solu ión, onstituida del ampo de Einstein sin masa [56℄, existía debido a la

gran (e ideal) simetría que se le presuponía. Para analizar la estabilidad de este objeto,

Regge y Wheeler (RW) estudiaron pequeñas perturba iones que se desviaban de la esfe-

ri idad. Di has perturba iones se lasi an en dos polaridades diferentes (polar y axial),

que orresponden a losdos gradosde libertadde lasondasgravitatorias. En ontraron una

e ua ión de onda, quehoy en díase ono e omo lae ua ión de Regge-Wheeler, para una

de laspolaridades. Varios añosdespués, Zerilliobtuvolae ua ión de onda orrespondiente

a la otra polaridad [57℄. Estas e ua iones tienen un poten ial que depende de la masa

del agujero negro de fondo y del número entero

l

utilizadospara des omponer la dependen ia angular de las perturba iones en uestión.

Ha iendouso deestase ua iones,Vishveshwaraen ontróunarespuesta onvin enteala

estabilidaddelamétri ade S hwarzs hild[58℄. Deniendounaintegralde energíaquedebe

mantenerse onstantealolargodelaevolu ión,diouna otaparaladerivadatemporaldela

perturba ión, ex luyendo solu iones que re ieran exponen ialmente. Esto pare íaindi ar

lainexisten ia de modos inestables. Sin embargo, había algunosva íos en elrazonamiento

que posteriormente fueron ompletados por Kay y Wald [59℄. Demostraron que ualquier

perturba ión on datos ini ialessuaves y a otados permane ería a otadapuntualmente.

Otras dos propiedades sorprendentes de los agujeros negros quefueron des ubiertas en

losaños setenta on métodos perturbativosfueron losmodos uasinormalesy las olas on

ley de poten ias power-lawtails. Los modos uasinormales son solu iones a las e ua iones

de Regge-Wheelery Zerilli on ondi iones de ontorno puramentesalientes (outgoing); es

de ir,enelhorizontesonondasplanasdirigidasha iaelinteriordelhorizonte, mientrasque

enelinnitonulosonondasplanasdirigidasha iafuera. Estosmodos uasinormalessonlos

equivalentes alos modos normalesde lossistemasme áni os onven ionales en situa iones

dondeexistedisipa ióndeenergía(ennuestro asolasondasgravitatoriassonlasen argadas

de extraerenergíadel sistema). Estosmodoshansido ampliamenteestudiados[61℄,in luso

paraestrellasy agujerosnegrosen rota ión,ysuprin ipalinterésestribaenelhe hodeque

sus fre uen ias dependen de la masa y del momentoangular del agujero negro (o estrella)

que hasido perturbado. Porlo tanto,a travésde ladete ión de losmodos uasinormales

es posible obtener informa ióndire ta de las propiedadesdelobjetoemisor.

Las power-lawtails fueron al uladas porprimeravez porPri e [62,63℄. Dadoun radio

jo,atiemposaltos,unaperturba ióndeS hwarzs hild onnúmeroharmóni o

l

t ^−(2l+3)

Estas olas están presentes también en los innitosfuturo y nulo, donde de aen siguiendo

leyes de poten ias parti ulares [64,65℄. De manera intuitiva, normalmente se interpretan

omo resultado del ba ks attering de las ondas on el poten ialde urvatura efe tivo.

El análisis se ompli a en lo que respe ta a los agujeros negros en rota ión(Kerr). En

el aso sin rota ión se utilizan los harmóni os esféri os para des omponer la dependen ia

angulardelasperturba ionesy,anivellineal, adamultipoloevolu ionademaneraindepen-

diente. Pero en el aso on rota iónlosdiferentes multipolossea oplan. Sinembargo, aún

existen iertassimetrías(axisimetríayesta ionariedad)quepermitendesa oplarlasdepen-

den ias temporales y axiales. Utilizando la formula ión en tétradas de Newmann-Penrose

paralase ua ionesde Einstein,Teukolsky rees ribiólase ua ionesde movimientoparalas

perturba iones linealesde un agujeronegrodeKerr omodos e ua ionesdesa opladas[66℄.

Laestabilidadfueprobada porWhiting [67℄,tras ompli adastransforma ionesde oorde-

nadas, utilizandoel mismo método de Vishveshwara para el aso sinrota ión[58℄. Debido

a que no se dispone de una no ión invariante de oordenadas de multipolo para el fondo

Kerr, lasleyesde poten ias para lastails dependen de la exfolia ión[68,69℄. In luso seha

argumentado queel de aimientonoes universal y que depende del ampo perturbativo.

1.2 Teoría de perturba iones a altos órdenes

1.2.1 Motiva ión

Existendiferentesrazonesquejusti anlaimportan iadeirmásalládelprimerordenen

teoría de perturba iones. Unaprimera motiva iónes el deseo de al anzarmayorpre isión

en los resultados. Por ejemplo, esto es un punto ru ial en la onstru ión de patrones

realistaspara la dete iónde ondas gravitatorias. Unasegunda razónes quelos ál ulosa

altos órdenes deberían propor ionaruna manerade estable er el rango de apli abilidadde

los resultados de primer orden, estimando erores uantitativos y dando límites de validez

para la aproxima ión de primer orden. Estos límites de validez serían muy útiles, ya que

habitualmente el interés radi a no ya en perturba iones despre iables, sino en situa iones

más generales para las que laextrapola ión de losresultados perturbativos puede ponerse

en duda. Además, a segundo orden y superiores, apare erá el a oplo entre los modos

perturbativos. Di hoa oploin orporarálano-linealidaddelaRelatividadGeneral ompleta

en la teoría aproximada y podría dar lugar a la apari ión de es alas propias en iertos

problemas.

Porejemplo,ela oploentrelosmodosde os ila iónde unagujeronegro onfre uen ias

ω 1

ω 2

ω 1 ±ω ²

de ring-down en la olisión de agujeros negros supermasivos, di hos sobretonos podrían

ser dete tados por LISA on una buena rela iónseñal-ruido a una distan ia de 1Gp . Sin

embargo,lassimula ionesnuméri asa tualesnohan podido aúnpropor ionarindi a iones

laras sobre tales sobretonos, ya que su tamaño es similar al del ruido numéri o. Éste es

un problema para el que la teoría de perturba iones a segundo orden está perfe tamente

adaptada.

1.2.2 Historia

Hasta ha e po o, la mayoría de las investiga iones perturbativas habían sido llevadas

a abo a primer orden. Por lo que ono emos, la primera apli a ión de la teoría de per-

turba iones a segundo orden en el ontexto de la Relatividad General fue el estudio de

perturba iones osmológi asalrededordelfondodeFriedmann-Robertson-Walkerrealizado

por Tomita en 1967 [71℄, y posteriormenteel estudio del mismo autor sobre la estabilidad

no-linealde lasolu iónde S hwarzs hild [72,73℄.

A tualmente, ada vez se proponen más apli a iones de la teoría de perturba iones

a altos órdenes. En parti ular, los asos osmológi os están bajo un estudio intensivo,

omo demuestran por ejemplo [7480℄. Asimismo, la olisión frontal de dos agujeros ne-

gros en el régimen er ano [81℄ se ha interpretado omo una perturba ión polar de un

úni o agujeronegro [32,8285℄. Estas investiga ionestuvieron sorprendentes resultados en

los que la aproxima ión a segundo orden seguía de manera muy pre isa las traye torias

obtenidas mediante las simula iones no-lineales ompletas. Re ientemente, también per-

turbando S hwarzs hild, sehan denido losmodos uasinormalesde segundo orden[86,87℄

y se hadedu ido un formalismo para tratar lasextreme mass ratio inspirals [88℄.

Elespa iotiempode Kerrtambiénhasidoanalizadoasegundoorden[89℄, generalizando

el formalismo de Teukolsky [66℄ para perturba iones lineales. El exponente ríti o del

es alado del momento angular de un ampo es alar se ha predi ho utilizando argumentos

perturbativos de segundo orden [90℄. El problema general del mat hing a través de una

super ie también se haanalizadoa segundo orden [91℄.

La teoría de perturba iones a altos órdenes solamente se ha apli ado a fondos de ui-

do para modelar las perturba iones de estrellas en rota ión lenta. Para ello, se toma la

rota ión omouna perturba iónaxialaprimerordende unaestrellaesféri ade fondo. Uno

de los primeros trabajos en este ontexto es, de nuevo, uno de los artí ulos de la serie de

Cunningham et al. [92℄, donde las perturba iones de segundo orden de una bola de polvo

fueron estudiadas in luyendo el mat hing a través de la super ie estelar para las pertur-

ba iones interiores y exteriores. La misma idea se ha utilizado fre uentemente en fondos

estáti os [93,94℄, para modelar estrellas esta ionarias en rota ión lenta. También existen

estudios [95,96℄ de rota ión diferen ial, donde es ne esario onsiderar más de una pertur-

ba ión de primer orden para des ribir la rota ión, pero se suele utilizar la aproxima ión

Cowling, que despre ia todas los a oplos espa iotemporales. Sin laaproxima ión Cowling

sólose han onsiderado modos radiales[97℄.

1.3 Libertad gauge

Uno de los problemas entrales en la teoría de perturba iones en Relatividad General,

heredadode lainvarian iabajo difeomorsmosdelateoría ompleta(peronoequivalente),

es el de aislar los grados de libertad físi os de la informa ión dependiente gauge. Esto

se puede realizar imponiendo ondi iones de ja ión de gauge sobre las perturba iones,

tal y omo Regge y Wheeler [56℄ originalmente hi ieron en su estudio de perturba iones

del agujero negro de S hwarzs hild. Como ya se ha omentado, ellos y posteriormente

Zerilli[57℄lograronaislarlosdosgradosdelibertadfísi osdel ampogravitatorioalrededor

de un va ío esféri o, tomando onvenientes ombina iones linealesde las perturba iones y

sus derivadas radiales. Estas dos variables se desa oplan entre sí debido a sus diferentes

omportamientos bajo ambio de paridad: la variable de Regge-Wheeler es axial y la de

Zerilliespolar.

Unaalternativaalaja iónde gaugefue dadaporSa hsen1964 [98℄,y posteriormente

mejorada por Stewart y Walker [99℄, introdu iendo el on epto de invariantes gauge para

teoríadeperturba ionesaprimerorden. Estos autoresyaobtuvieron elresultado dequela

invarian iagauge, omoellosladenieron,era bastanterestri tivay sóloapli ableafondos

on gran simetría. Bruni y olaboradores [100℄ mostraron que este enfoque geométri o se

vuelve aún más restri tivoa altos órdenes.

Un tratamiento más útil de la libertad gauge para la teoría de perturba iones en Re-

latividad General fue elaborado por Mon rief [101℄ en su estudio hamiltoniano sobre las

perturba iones no-esféri as de S hwarzs hild. En este ontexto hamiltoniano, las uatro

ligadurasqueobede en lasdo e variablesgravita ionalesdinámi asformanlosgeneradores

de las transforma iones gauge. Mon rief onsiguió utilizar esta informa ión para realizar

varias transforma iones anóni as que reorganizaran los seis pares anóni os de variables

ini ialesen dos pares físi ossin ligaduras(equivalentes alas variables de Regge-Wheeler y

Zerilliy sus momentos onjugados) y otros uatro pares, ada uno de los uales está for-

madoporunavariableinvariantegaugeobligadaaanularseporlasligadurasysumomento

onjugado puro gauge. La misma té ni a se apli ó a otros fondos esféri os on simetrías

adi ionales, omo Reissner-Nordström [102,103℄, Oppenheimer-Snyder [46℄ o Friedmann-

Robertson-Walker [104℄, pero nun a ha sido utilizada para fondos generales on simetría

esféri a,permitiendoqueladependen iatemporaltengauna onsiderablerelevan iafísi a.

Lateoríadeperturba ioneshamiltonianasehautilizadore ientementeenGravedadCuán-

ti a on un fondo osmológi o [105,106℄. Unode losin onvenientes delenfoque hamiltoni-

ano es que, en prin ipio, está ligado a una folia ión parti ular del espa iotiempo de fondo

y, por onsiguiente, las propiedades geométri as de las variables invariantes gauge bajo

transforma ionesde oordenadas queinvolu ren eltiempono son triviales en absoluto.

Gerla h y Sengupta introdujeron un formalismo lagrangiano [51℄ para estudiar per-

turba iones alrededor de espa iotiempos esféri os generales. Éste es un mar o altamente

geométri o, en el que el signi ado de las perturba iones es transparente, y que también

permite la onstru ión de variables invariantes gauge. En el aso axial ha sido posible

aislar el grado de libertad gravita ional en un úni a variable es alar master que obede e

una e ua ión de onda y puede a oplarse a ualquier tipo de materia, tanto en el fondo

omo en las perturba iones. Este es alar master generaliza la variable de Regge-Wheeler

al problema axial perturbativo alrededor de simetríaesféri a para ualquier tipode mate-

ria razonable, y por lo tanto se puede onsiderar omo el mar o de trabajo óptimo para

un estudio perturbativo. Desafortunadamente, en el aso polarno hay un es alar master

válido para un fondo general on simetríaesféri a, aunque existen resultados para algunos

asos parti ulares. Por ejemplo, un es alar master de tipoZerillifue introdu ido por Sar-

ba hy Tiglio[107℄ para un fondo de S hwarzs hild, que posteriormentefue generalizadoa

ele trodinámi a no-lineal [108℄. En las referen ias [109,110℄ se in luyen las ombina iones

invariantegauge del tensor energía-momento,pero aún en un fondo de va ío.

Ambos tratamientos de la teoría de perturba iones métri a son omplementarios: el

formalismohamiltonianoofre e unmar ode trabajomejorparatratarlainvarian iagauge,

mientras que el análisis lagrangiano dauna imagen más lara de la estru tura geométri a

que seestá perturbando. Amboshan sido ampliamenteutilizadosen laliteratura.

1.4 La ne esidad del álgebra omputa ional

En general, la teoría de perturba iones a altos órdenes involu ra e ua iones de om-

plejidad y tamaño re iente. Debido a este he ho, el análisis a ualquiera de esto órdenes

ha sido impra ti able hasta ha e po o, ex epto para algunos asos parti ulares en situa-

iones on gran simetría. Noobstante, las a tualesté ni as de álgebra omputa ionalhan

sido desarrolladashasta un gradoen el quesepuede afrontarya problemas más realistasy

genéri os on garantíade éxito.

Porlotanto,paraintentar sobrellevarla omplejidaddelos ál ulos,utilizaremosinten-

sivamenteherramientasde álgebra omputa ional. Enparti ular,haremosuso delpaquete

xTensor, queespartedelmar omás generalllamadoxA t[111℄,quea tualmenteeselma-

nipuladordeexpresionestensorialesmásrápidoparaMathemati a. ConelpaquetexTensor

se pueden denir variedades que ontengan ampos tensoriales on simetrías arbitrarias,

onexiones de ualquier tipo, métri as y otros objetos. xTensor se basa en la nota ión de

índi esabstra tosdePenroseytieneunúni o anoni alizadorquesimpli a ompletamente

todas las expresiones utilizandoe ientes té ni as de teoría de grupos omputa ional. Im-

plementaremos todas las e ua iones on estas herramientas, tanto para produ irlas omo

para omprobarlas,y para onstruir un e ientemar o de trabajo omputa ional apazde

tratar futuras apli a ionesdel formalismode teoría de perturba iones a altoorden.

1.5 Objetivos

Estetrabajosedivideendoslíneasdeinvestiga iónprin ipales onsus orrespondientes

objetivos. Por un lado, onstruiremos un formalismo general para analizar las perturba-

ionesaaltosórdenes sobreespa iotiemposesféri osytrataremos suapli a iónalva ío ya

unuido perfe to. Porotrolado,utilizaremosun tratamientohamiltonianoparaperturba-

ioneslinealessobreunespa iotiempoesféri o,perodinámi o,parabus arvariablesmaster

queobedez ane ua ionesdemovimientosinligadurasyque ontengantodalainforma ión

físi adel problema.

Laprimeralíneadeinvestiga iónsepuede onsiderar omouna ontinua ióndeltrabajo

debido a Gerla h y Sengupta a primer orden [51,54℄ y su apli a ión a fondos de uido

perfe to [55,112℄. El formalismo GS está basado en uatro ingredientes bási os: i/ una

des omposi ión2+2 delespa iotiempo,que separalasórbitas esféri as

S ²

general 1+1 Lorentziana

M ²

iii/ la des omposi ión de las perturba iones de

S ²

onveniente: por un lado, permite formular todas las e ua iones sin es oger oordenadas

en

M ²

fa torestrigonométri osdelase ua ionesdemovimiento,fa toresqueno ontienenninguna

informa iónrelevanteyhabitualmenteos ure enlainterpreta ióngeométri adelresultado.

Mostraremosqueesposibleextenderelanálisisalrededordeespa iotiempos onsimetría

esféri a a ualquier orden en teoría de perturba iones en Relatividad General. Construi-

remos un método general y al ularemos las fórmulas exa tas para las perturba iones a

ualquierordendelas antidadesgeométri asrelevantes. Conesteobjetivo,introdu iremos

una base de tensores harmóni os bien adaptada, queresulta espe ialmenteapropiada para

el estudio de la radia ión gravitatoria y onsiste esen ialmente en la generaliza iónde los

harmóni os de Regge-Wheeler-Zerilli (RWZ). Además, para tratar satisfa toriamente las

perturba ionesaaltosórdenes, ne esitaremosderivarexpresiones erradas paraelprodu to

de estosharmóni os. Tambiénpropor ionaremosun pro edimientoiterativopara onstruir

antidadesinvariantesgaugehastaelordendeseado. Obtendremosexplí itamentetodaslas

fuentes uadráti as para los obje tos invariantes gauge de segundo orden y sus e ua iones

de movimiento.

Apli aremoseste formalismo de segundo orden a losfondos orrespondientes al va ío y

aun uidoperfe to. En el aso delva íoobtendremosla poten iaradiada,hasta ualquier

orden en teoría de perturba iones. A segundo orden, las fuentes que deniremos ad ho

para las variables de Regge-Wheeler y de Zerillino de aerán on el radio al tender al in-

nitonuloy habráqueregularizarlas. Esta apli a ióndarálugar aun formalismo apaz de

des ribir perturba iones de segundo orden arbitrarias del agujero negro de S hwarzs hild.

En el aso de uido perfe to, daremos los términos de fuente que pro eden de expresar

las perturba iones del tensor energía-momentoen fun ión de lasvariables del uido. Sim-

pli aremos las e ua iones de movimiento utilizando el sistema de referen ia (frame) que

propor iona la velo idad del uido de fondo. Además, espe i aremos las ondi iones de

mat hingde segundo orden para unir eluido perfe to y elva ío através de una supe ie

temporal. A lararemos qué objetos deben ser ontinuos a ualquier orden perturbativo a

travésdelamen ionadasuper ie. Enrealidad,esteanálisisde las ondi ionesdemat hing

será válido para ualquier espa iotiempo de fondo. De esta forma, esta memoria de tesis

do toralpropor ionaun formalismo ompletoy onsistenteparaestudiarperturba iones de

segundoordengeneralesdeunaestrellaesféri a,peroposiblementedependientedeltiempo,

formada poruido perfe to.

La segunda línea de investiga ión se puede onsiderar omo una generaliza ión de los

trabajos de Mon rief [101,102℄ al aso de fondos dinámi os. En sus investiga iones, Mon-

rief onstruyó las llamadasvariablesmaster para losfondos de S hwarzs hild y Reissner-

Nordström en un mar o anóni o. Estas variablesmaster son invariantes gauge,obede en

e ua ionesdemovimientosinligadurasy ontienentodalainforma iónfísi adelproblema,

en el sentido de que el resto de las perturba iones se pueden re onstruir en términos de

ellas.

Tambiénnosrestringiremosafondosesféri os,peropodránser altamentedinámi os. La

dinámi aserá introdu ida utilizando un ampo es alar real sin masa, pero podría ha erse

igualmente a través de ualquier otro tipo de materia que admita una des rip ión hamil-

toniana. En el aso axial, la solu ión es el es alar GS [51℄, previamente en ontrado uti-

lizandosolamentemétodoslagrangianos. Mostraremos ómoelmar ohamiltonianopermite

una deriva ión más sistemáti a de este obje to, y uál es la rela ión mutua entre ambos

tratamientos. Más importante resultará la apli a ión de la mismas té ni as al aso po-

lar, mediante lo que en ontraremos una variable de Zerilli para este es enario dinámi o.

Ésta es la primera vez que se presenta una variable master para un aso dinámi o. Esta

investiga ión abre el amino para una búsqueda sitemáti a de variables polares master.

Como ya se haexpli ado, la omputa iónalgebrai a resulta ne esaria para tratar este

tipodeproblemas. Porello,otrode losobjetivosprin ipalesde estetrabajoes onstruirun

sistema de omputa iónalgebrai a que sea apaz de manejar lase ua iones que el forma-

lismo de teoría de perturba iones (a altos órdenes) involu ra. En parti ular es ribiremos

dos módulos dentro del entorno xA t [111℄, para álgebra omputa ional de tensores en

Mathemati a, llamados xPert y Harmoni s. El primero permite tratar la teoría de per-

turba iones a altos órdenes sobre ualquier fondo. Está basado en una ombina ión de

algoritmos ombinatoriosadaptados y potentes té ni as de álgebra omputa ionalde ten-

sores. Elsegundoimplementalasimetríaesféri aatravésdediferentesharmóni osesféri os

tensoriales. xPert hasido utilizadoya en varios proye tos de investiga ión, que van desde

teoría de perturba iones en RelatividadGeneral [113,114℄ hasta problemas deltransporte

de la radia iónen fondos urvos [115117℄ o perturba iones osmológi as [118,119℄.

1.6 Organiza ión

Esta tesis des ribe el trabajo ontenido en las referen ias [113,114,120125℄ y está

organizado en seis partes. En lo que sigue, remar aremos espe ialmente las partes de la

tesis que ontienentrabajo original.

En la Parte I se introdu en los on eptos bási os y e ua iones de la teoría de pertur-

ba iones. En la Se ión 3.3 se presentan fórmulas erradas para la enésima perturba ión

de las antidades geométri as de interés (fórmulas que son nuevas, hasta donde nosotros

sabemos). Se analizanlastransforma ionesgaugeaaltos órdenesy seexpli alainvarian ia

gauge. En laSubse ión 4.1.2 introdu imosun métodopara onstruir obje tos invariantes

gauge a ualquier orden perturbativo sobreespa iotiemposgenéri os.

LaParteIIseo upadeltratamientodelasimetríaesféri ayestádividaendos apítulos.

Elanálisis yla nota iónque seutilizarápara un espa iotiempoesféri o generalseexpli an

en el Capítulo 5. En el Capítulo 6 se presenta una revisión de los diferentes tipos de

harmóni os esféri os tensoriales junto on sus propiedades más relevantes. También se

obtiene la fórmula del produ to entre ualquier par de harmóni os. Este es un resultado

de parti ular importan iade esta tesis, que nos permite ira segundo orden perturbativo y

superiores,y está detalladoen la segunda parte delCapítulo6 (Se iones 6.5, 6.6, y 6.7).

EnlaParteIIIpresentamoslabúsquedadevariablesmasterenunespa iotiempoesféri o

on un ampo de materia es alar. El Capítulo 7 re upera el ono ido es alar master de

GS desde un punto de vista anóni o. Siguiento las mismas té ni as hamiltonianas, en el

Capítulo 8 damos una generaliza ión de la variable de Zerilli a este es enario dinámi o.

Ésta eslaprimeravez queseen uentraunavariablepolarmasterinvariantegaugepara un

fondo dinámi oy todaesta parte (Capítulos 7 y 8) es nueva.

Lasperturba iones noesféri assedis uten enlaParteIV . EnelCapítulo9serealizala

des omposi iónharmóni ade lasperturba ionesy se onstruyen las antidades invariantes

gaugea ualquier orden perturbativo. Este esun resultado importante de esta tesis y está

ontenidoen lasSubse iones 9.2.2 y9.2.3. ElCapítulo10esun repasodelformalismoGS

de primer orden, introdu iendo la nota iónque seutilizará posteriormente, ex epto porla

Subse ión 10.3.2, que ompleta el análisis realizadoen la Parte III. En el Capítulo11 se

presenta, por primera vez en la literatura, un onjunto ompleto de invariantes gauge de

segundo orden de manera explí ita, así omo las fuentes para las e ua iones de evolu ión

de di hos invariantes y para las e ua iones de onserva ión de energía-momento. Todo el

material ontenidoapartir delCapítulo11es originalex eptuandolas uestiones aprimer

orden perturbativo.

Las apli a iones del formalismo GS de segundo orden que hemos desarrollado están

ontenidasen laParteV. Más on retamente,en elCapítulo12presentamoslase ua iones

de RWy deZerillide segundoorden regularizadas. Lapoten iaemitidaen formade ondas

gravitatorias también se expresa en términos de las men ionadas variables master. El

Capítulo 13 desarrolla la apli a ión a un uido perfe to. Las e ua iones de movimiento

de segundo orden se obtienen explí itamente y se simpli an. El Capítulo 14 estudia las

ondi iones de mat hing perturbativas aaltos órdenes y las parti ularizapara unir los dos

espa iotiempos previos: va ío y uido perfe to.

La Parte VI ontiene detallessobre elpro edimientoempleado para implementarnues-

tros ál ulosen Mathemati a, utilizandoelpaquetexTensor. Consiste de un úni o apítulo

que presenta losdos módulos (xPert y Harmoni s) que hemos onstruido duranteel urso

de esta investiga ión.

Finalmente,seañaden uatroapéndi es. Losdosprimerosapéndi esexpli andiferentes

aspe tosdeladeni ióndelasfun ionesesféri asylamanerade onstruirlapartesimétri a

y sin traza de un tensor dado. El Apéndi e C presenta las fuentes regularizadas para las

e ua iones de RW y de Zerilli de segundo orden para un aso parti ular. Por último, el

Apéndi e D ontiene lasfuentes orrespondientes a lase ua iones de segundo orden de las

perturba iones del uido para diferentes númerosharmóni os.

Introdu tion

Nowadays,GeneralRelativityis onsideredtobethebestavailabletheorythatdes ribes

the lassi al(non-quantum)gravitationalintera tion. Therstexperimental onrmations

of the theory, already predi ted by Einstein,were the dee tionof lightand the perihelion

advan eofMer ury. Itwasnotuntilthebeginningofthe1960sthatastronomi aldis overies

(like quasars or pulsars) provided new observations to onfront General Relativity in the

weak gravity regime. One of the best known is the de rease in the orbital period of the

Hulse-Taylor binary pulsar [1℄, for whi h they both re eived the Nobel prize [2,3℄. These

observations agreed very well with the theoreti al predi tions of General Relativity and

ex luded several alternative theories [4,5℄. Sin e the 1980s attention has been mainly

fo used on nding strong-eld regime observations that ould orroborate or ontradi t

the predi tions of General Relativity in two extremes. On the one hand there is the limit

asso iatedwith thePlan ks alephysi s. Therearepro esseswithverysmall hara teristi

distan es whi h produ e stronggravitational intera tions up tosome pointwhere General

Relativity is assumed to fail due to quantum phenomenology. On the other hand there

is the astrophysi al limit, whi h involves very dense obje ts with large masses, that will

also lead to su h strong gravitational intera tions. It is expe ted that several s enarios,

like bla k hole and/or neutron star ollisions,will produ e enough gravitational radiation

emissionto be dete ted fromEarth in the near future.

Inthisastrophysi al ontext,thedete tionofgravitationalwavesis onsideredtobeone

ofthe mostimportantopenproblems inexperimentalphysi s. Apart fromprovidingatest

ofGeneralRelativityinthestrong-eldregime,itmayopenanewwindowforastrophysi al

observation, giving rise to an era of gravitational-wave astronomy. Several ground-based

gravitationalwavedete tors arealreadytakingdata (su hasGEO[6℄, LIGO[7℄orVIRGO

[8℄), and spa e-missions(most notably LISA [9℄) are planned for the early2020s.

The signal to be dete ted is very small, and buried under a number of dierent types

of noise. Powerful statisti alte hniques havebeendeveloped tohelp inthe re overy of the

signalfrom the datameasured. However, it isstillessential tohave inadvan e a atalogue

of templates for the possible signals to be observed (mat hed ltering te hnique). These

templates an onlybeobtainedby solvingthe equationsof GeneralRelativity,theEinstein

equations. These are a system of ten non-linear oupled partialdierential equations and

have proven very di ult to solve. There is no hope of onstru ting a atalogue of exa t

analyti alsolutionsdes ribingthegravitationalwavesprolesemittedinsu hastrophysi al

s enarios. Only situationswith very high symmetry allow us to write down expli itly the

solution,andonlyafewofthemarerelevantfromanastrophysi alpointofview[10℄. Hen e,

as it is usual in physi s, when a physi al problem annot be solved exa tly, one resorts to

approximate methods. Here wewillmentionthe threete hniquesthat haveworked best so

far,andwhi h anbe onsidered omplementaryintheanalysisofthe dynami sofGeneral

Relativityinthis ontext: post-Newtonianmethods,Numeri alRelativityandperturbation

theory.

Post-Newtonianmethodsarebasedonthe ombinationofaweak-gravityapproximation

(i.e., perturbation theory aroundMinkowski, alsoknown as post-Minkowskian approxima-

tion)and anexpansionofthe solutionsof the equationsintoapowerseries withparameter

v/c

c

v

tion[11℄. Therefore, thisapproximationisvalidtomodelthegravitationalwavesgenerated

by a sour e with slow internal motion and weak self-gravitation. By going up to high

powers of

v/c

terthan expe ted. TheNewtonian limit

(1/c → 0)

and Landau and Lifshitz [14℄ to derive the famous quadrupole formula, whi h gives the

total emitted power in form of gravitational waves in terms of the time derivatives of the

quadrupolemomentof thesour e. Infa t,this relationwasenoughtoexplain the de rease

of the period inthe Hulse-Taylor binary pulsar [15,16℄.

Numeri al Relativity is nowadays a bran h of General Relativity in its own right [17℄.

Any attempt at solving Einstein equations using numeri al methods ould be in luded in

this area, but here we will refer only to those simulations dealing with the full Einstein

equations, perhaps under some symmetry redu tion. (Even working with post-Newtonian

methods or perturbation theory we are typi ally led to integrate some other equations

numeri ally.) Many dierent formulations of the Einstein equations an be used for their

dis retization in a omputer, depending on how the spa etime is des ribed. The simplest

way todoit isbasedon theHamiltonianapproa hby Arnowitt, Deser and Misner (ADM)

[18,19℄, whi h foliates the spa etime in a family of three-dimensional spa elike surfa es.

Other frequent approa hes are based on the use of null surfa es, whi h oer a better way

of dealing with radiation. There were some attempts already in 1960s and 70s to solve

numeri ally the Einstein equations in two spatial dimensions [20,21℄. But at that time

the omputers were not powerful enoughto obtain relevant three-dimensional results, and

the formulations used were not mathemati ally onsistent, as was later realized. In the

problemofsimulatingabinary bla khole, of key importan einthis area, progress inboth

the numeri al and the analyti sides took pla e during the 1990s, until Pretorius [22℄ in

2005 was able to evolve the system in a stable way for the rst time. Sin e then, a large

number ofarti lesby several groupshavebeen published,reporting oninteresting features

ofthis system, and providingreliablegravitationalwavetemplates. Apart fromthe spe ial

problemofpureva uum,mu heort hasalsobeeninvestedinthesimulationofspa etimes

ontaininguidmatter,andmorere entlyuidmatter oupledtotheele tromagneti eld,

to model stellar ore- ollapse and the ollisions of neutron stars, other important sour es

of gravitationalradiation[23℄.

Perturbation theory provides another approximate approa h, allowing a des ription in

terms of smalldepartures around an exa t solution. In the ontext of General Relativity,

perturbationtheoryplaysaprominentroleinanalyzingthestabilityofparti ularsolutions,

and in understanding dynami alpro esses in terms of the behaviourof simple os illation

modes, being today ane ient and natural omplementtofull Numeri alRelativity sim-

ulations[24℄. Wewill des ribe itin depthin the followingse tions.

The three approximation te hniques have their own domainsof validity,whi h are fre-

quently omplementary,andsotheir ombineduseisusuallythebeststrategy. Forexample,

thethreephases ofabinarybla khole ollision,inspiral,mergerandring-down, anbead-

equately des ribed with post-Newtonian methods, Numeri al Relativity and perturbation

theory, respe tively. During the initialinspiralphase the bla k holes are far apartand the

mutual gravitational intera tion is weak. Hen e one an almost approximate the pi ture

by Newtoniangravity. This istheperfe tarena forpost-Newtonianmethods. Asthe bla k

holes get loser due to the energy radiated in form of gravitational waves, their mutual

gravitationalintera tion willbestronger. Atthis point,the post-Newtonianmethodsneed

more terms in their expansion to a urately follow the traje tories. When the two holes

are very lose, the nonlinearities be ome very large and this is the phase when one needs

fullNumeri al Relativityto followthe evolution. At the end both holes merge ina unique

bla k hole, whi h goes on radiatinggravitationalwaves until itbe omesa stationary Kerr

oraS hwarzs hildbla k hole. Duringthis nalpart ofthe dynami alevolution,the spa e-

time an be approximated by the mentioned known solution plus some small deviations,

whi h an be properly des ribed by perturbation theory. In the following, we will enter

our attention in perturbation theory, des ribing more deeply its history and a hievements

in the ontext of General Relativity.

2.1 Appli ations of linear perturbation theory

Perturbationtheory anbeused tostudythe stabilityofsolutionsofthe Einsteinequa-

tions. A onsiderableamount ofwork hasbeendevotedtothe dis ussion ofthe stabilityof

bla k-holes [25℄ and osmologi al solutions [26℄, given the physi al interest in these spa e-

times.

In addition,perturbative analyses allow us to he k the presen e of gauge instabilities

[27℄, onstraintviolations [28℄,and othertypeofinstabilitiesinnumeri alimplementations

oftheEinsteinequations,sin enumeri alerrors anbe onsideredthemselvesasdistortions

of the solution that one is omputing.

Anotherimportantappli ationisthe studyof the produ tionand propagationofwaves

in a ertain urved spa etime. Perturbation theory an provide us with estimates of the

amountofgravitationalradiationandofthesignalprolesemittedinastrophysi als enarios

like an os illating neutron star [29℄, the gravitational ollapse of a star [30℄, an extreme

mass-ratiobinary [31℄, or a lose limithead-on ollision of two bla k holes [32℄.

Perturbation theory has been re ognized as a powerful tool in osmology,as well. Fol-

lowing the pioneering works by Bardeen [33℄ and Kodama and Sasaki [34℄, it has been

used tostudy theevolutionofsmallinhomogeneitiesinthe earlyUniverse,givingapre ise

understanding of the angular dependen e of the power spe trum in the osmi mi rowave

ba kground. These departures from homogeneity have been measured by the COBE [35℄

and WMAP [36℄ experiments. Large s ale stru ture formation in the Universe is also ex-

plainedby initialsmallperturbationsthat grew with time.

Thereisextensiveliteratureonperturbationsofuidstars,duetoitsenormousrelevan e

in astrophysi s. Here we will simplymention the most relevant arti les onwhi h we have

based our extension to se ond-order perturbation theory of ollapsing stars. In parti ular

we will on entrate on perturbations around spheri al ba kgrounds, though they an be

stati ortime-dependent, and an have various equations of state.

On stati ba kgrounds the work by Chandrasekhar [37,38℄ pioneered the analysis of

radial perturbations of spheri al stars in General Relativity, in the middle sixties. In a

series of papers, Thorne and ollaborators [3943℄ dealt with non-radial perturbations of

perfe t uid stars, establishing the theoreti al basis to treat the problem. This basis was

further developed in other referen es, su h as[44℄ and [45℄.

Resear h on non-stati ba kgrounds began in the late seventies, when Cunningham et

al.[46,47℄usedagauge-invariantformalismtoevolvenon-radialperturbationsofaspheri al

ollapsingdust. Seideland oworkers[4850℄appliedtheformalismofGerla handSengupta

(GS) [5154℄, validfor any spheri allysymmetri ba kground with any matter ontent, to

evolvethe perturbationsof atime-dependent perfe t uid with amore generalequation of

state. Buildingonthesereferen es, Gundla handMartín-Gar ía[55℄developed a ovariant

and gauge-invariant framework to analyze an arbitrary perturbation of a spheri alperfe t

uid. This framework was latter used by Harada et al. [30℄ toanalyze axial perturbations

of stellar ollapse.

In parallel, perturbation theory has been one of the most relevant tools inthe analysis

of the properties of bla kholes. The rst arti lethat studiedperturbationsof abla k hole

dates from 1957 [56℄. At this time bla k holes were not stilla epted as physi al entities.

TheS hwarzs hildsolutiontotheEinsteineldequationswasknownbutthemosta epted

beliefwasthatthis exoti solution,built outof the mass-freeEinsteineld[56℄,existed due

tothe high (and ideal)symmetry assumed. In ordertoanalyze the stabilityof this obje t,

Regge and Wheeler (RW) studied small perturbations departing from spheri ity. These

perturbations are lassied in two dierent polarities (polar and axial), orresponding to

the two degrees of freedom of the gravitational wave. They found awave equation, whi h

isnowadays known as the Regge-Wheelerequation, for one of the polarities. Several years

later,Zerilliwrotedown the waveequation orrespondingtothe other polarity[57℄. These

equationshavea potentialthat depends onthe mass ofthe ba kgroundbla k hole and the

integer

l

dependen e of the perturbation inquestion.

Makinguse oftheseequations,Vishveshwara founda onvin ing answertothestability

of the S hwarzs hild metri [58℄. Dening anenergy integral that should be kept onstant

through evolution, he gave a bound for the time derivative of the perturbation, ex luding

exponentially growing solutions. This seemed to indi ate the nonexisten e of unstable

modes. However, there were some gaps in the reasoning that were later lled by Kay and

Wald [59℄. They proved that any perturbation with smooth and bounded initialdata will

remainbounded pointwise.

Another two surprising properties of the bla k holes that were dis overed in the 1970s

withperturbativemethodswere quasinormalmodes and power-lawtails. The quasinormal

modes are solutions to the Regge-Wheeler and Zerilliequations [60℄ with purely outgoing

boundary onditions,thatis,atthehorizontheyareplanewavesdire tedinsidethehorizon

whereas at null innity they point outwards. These quasinormalmodes are the equivalent

to the normal modes in standard me hani al systems for situations where there is energy

dissipation (in our ase the gravitational waves remove energy out of the system). These

modeshavebeen widelystudied[61℄,alsoforstars androtatingbla kholes, andtheirmain

interest lies in the fa t that their fre uen ies depend on the mass and angular momentum

of the bla k hole (or star) being perturbed. Hen e, through the dete tion of quasinormal

modes one ould obtain dire t informationabout the properties of the radiatingobje t.

Power-lawtailswere rst omputed by Pri e [62,63℄. At axed radius, forlarge times,

a perturbation of S hwarzs hild with harmoni label

l

t ^−(2l+3)

the kindof perturbation(s alar, gravitational,...). These tailsare alsopresent atboth null

and future innitiesobeyingparti ular power-law de ay rates [64,65℄. Intuitively they are

usuallyunderstoodasarisingfromtheba ks atteringofthewavesotheee tive urvature

potential.

Regarding rotating (Kerr) bla k holes everything gets more ompli ated. In the non-

rotating aseoneuses thespheri alharmoni stode omposethe angulardependen eof the

perturbationsand,atlinearlevel,ea hmultipoleevolvesindependently. Butintherotating

ase the dierent multipoles are oupled. However, there are still some symmetries (ax-

isymmetry and stationarity)that allowthe de ouplingof the time and axialdependen ies.

Making use of the Newmann-Penrose tetrad formulation of Einstein equations, Teukolsky

rewrote the equations of motion for the linear perturbations of a Kerr bla k hole as two

de oupled equations [66℄. The stability was proven by Whiting [67℄ after some intrin ate

oordinatetransformationsfollowingthesamemethodasVishveshwara forthenon-rotating

ase [58℄. Sin e there is no known oordinate-independent notion of multipole on a Kerr

ba kground,the power laws forthe tailsdepend onthe foliation[68,69℄. Even more,it has

been argued that the de ay is not universal and depends onthe perturbative eld.

2.2 High-order perturbation theory

2.2.1 Motivation

Dierent reasonsjustifythe importan eofgoing beyond rst orderinperturbationthe-

ory. A rst motivation is the desire to rea h better a ura y in the results. For instan e,

thisisade isivepointinthe onstru tionofsu ientlyrealisti templatesforthedete tion

ofgravitationalwaves. Ase ondreasonisthathigh-order al ulationswouldprovideaway

toestablish the range of appli abilityof the rst-order results,estimating the quantitative

errors and leading to validationlimits for the rst-order approximation. These validation