SEMANA 2
TRIÁNGULOS I
1. En la figura, calcule el valor de “x”
2 2
100°
x
A) 40° B) 45° c) 50°
D) 60° E) 80°
RESOLUCIÓN
De la figura:
100°
x°
2 2
P B
A C
∆APC: 2α + 2θ + 100 = 180°
α + θ = 40°
Luego:
: θ + α +x = 100°
40 +x = 100 → x = 60°
RPTA.: D
2. Si: a + b + c = 130º. Calcule “2x”
a
bc
2xº
A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 22º 30´
RESOLUCIÓN
Si: a + b + c = 130°
a°
b°
c°
2x°
x° 2x° 3x°
Propiedad del cuadrilátero:
a + b = 2x + 90º ...e + + = +
a b c 2x 90º 130º = 2x + 90º
→ 2x = 40º
RPTA.: D
3. En el gráfico: ∆ABC es equilátero y
↔ ↔
1 2
L // L . Calcule: “x”.
A C
B
L1
L2
x
x
A) 100º B) 98º C) 105º D) 120º E) 110º
RESOLUCIÓN
El ∆ ABC es equilátero:
A C
L1 L2 B
60°
30°30°
180°-x°
x°
x°
x°
60°
(30°) + (180° -x°) = x°
210° = 2x°
∴ x° = 105°
RPTA.: C
4. Calcule el valor de “α” , si AB= BC y AC=CE=ED.
A 3
C D
B
E
A) 10º B) 15º C) 12º D) 18º E) 24º
RESOLUCIÓN
A
3
3
4 2 2
4
B AC = CE = ED AB = BC E
C D
∆ACE:
°
= α + α +
α 4 2 180 4
10α = 180°
∴ α = 18°
RPTA.: D
5. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica exteriormente y relativo al lado BC el punto D, de modo que AC=AD, m∠ADC=80º y m∠BCD=15º. Calcule la m∠BAD.
A) 15º B) 20º C) 35º D) 45º E) 55º
RESOLUCIÓN
A
B
AB = BC AC= AD
D
C
x
20°80°
65°
15°
En el ∆ ABC x + 20° = 65°
∴ x = 45°
RPTA.: D
6. En la figura adjunta se tiene el triángulo isósceles ABC en el que se inscribe el triángulo equilátero DEF. La relación correcta entre a; b y c es:
A
B
F C D
b°
Ec°
a°
A) 2
c
a=b− B) a-b-c = 0 C)
2 c
b=a− D) 2
c a=b+ E)
2 c b=a+
RESOLUCIÓN
A
B
F C D b° E
c°
a°
60°
60° 60°
Como el ∆ DEF es equilátero se cumple:
60° + b = α+a ... ( 1) α+c = 60 + a ... ( 2) De (1) a (2)
2 c a= b+
RPTA.: D
7. En la figura se cumple:
xα+ yβ + zθ = 360°; siendo x ; y, z;
números enteros . Calcule: x+y+z
m m
n n
A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) 2
RESOLUCIÓN
m
m n
n c n
m A
D
B
E
Se cumple:
m + n + θ + β = 360° ... ( 1 ) m +n = θ + α ... ( 2 ) ( 2) en (1)
⇒ 1 α + 1β + 2θ = 360°
∴ x + y + z = 4
RPTA.: C
8. En la figura, calcule x + y, si: m + n = 150º
A) 150° B) 200° C) 225°
D) 255° E) 270°
RESOLUCIÓN
1) x = 90º + n 2 2) y = 90º + m
2 3) suma x + y = 180 + n m
2
+ ...(I)
4) Dato: m + n = 150º ...(II) 5) (II) en (I)
x + y = 180 + 150º 2 x + y = 180 + 75º x + y = 255º
RPTA.: D β β β
θθ y
m n x αα
9. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF que resulta ser igual al lado AB. Si la m∠C = 15º.
Calcule la m∠ABF.
A) 50º b) 30º C) 45º D) 70º E) 60º
RESOLUCIÓN
B x
x+15º x+15º
x
A F 15º C
∆ ABF : x+x+15º +x+15º = 180º 3x = 150º x = 50º
RPTA.: A
10. En la figura AB = BC y AC = AD = DE = EF = FB
Calcule la medida del ángulo ABC.
A
E
D F B
C
A) 15º B) 18º C) 30º D) 36º E) 20º
RESOLUCIÓN
Completando ángulos:
m∠BAC = m∠ACB = 4x m∠DAC = x
A
X
X
4x X
3x
3x
2x 2x 4x
E
D F B
C
∆ACD : 4x + 4x + x = 180º x = 20º
RPTA.: E
11. En la figura mostrada, calcule “x”.
X
5 5
3 3
30º
A) 60º B) 40º C) 80º D) 70º E) 50º
RESOLUCIÓN
Del gráfico:
∠ exterior:
8α + x = 8θ
x = 8(θ - α) 3α + 30º = 3θ θ - α = 10º
∴ x = 80º
RPTA.: C
12. En la figura, calcule “x”:
3 3
x
40°
A) 8° B) 15° C) 12°
D) 18° E) 10°
RESOLUCIÓN
4α + 4β = 40º +180º α +β = 55º
3α + 3β = x = 180º 3. 55 + x = 180º → x = 15º
RPTA.: B
13. En la figura, calcule: "x", si: α−β=20°.
A
B D
C E
x
50°
A) 30° B) 40° C) 50°
D) 45° E) 35°
RESOLUCIÓN
Dato: α-β=20°……….(1) ∆ ABC: Propiedad: m∠B=100°
Luego:
2α+2β=80°
→ α+β=40° ………(2) Ec.(1) + Ec.(2):
2α = 60°
→ α =30° y β=10°
∴ x = α + 2β = 30° + 2(10°) = 50°
RPTA.: C
14. En la figura: a+b = 36. Calcule el mayor valor entero de “x”.
A
10 a
X 8 b
B
D
C
A) 20 B) 21 C) 22 D) 26 E) 25
RESOLUCIÓN
Dato: a + b = 36
∆ABC : x < 10 +a ... ( I)
∆ACD : x < 8 + b ... ( II) (I) +(II)
2x < 10 +8 +a+b
2x < 54 x < 27
∴ xmax = 26
RPTA.: D
15. En la figura, calcule: “x”.
x
x
x x
x
A) 144º B) 150º C) 136º D) 160º E) 120º
RESOLUCIÓN
x +β = 180º → x =180º - β
x
x x x
2 2
x
2β +2β + β = 5β = 180º
→ β = 36º
∴ x = 180º - 36º = 144º
RPTA.: A
16. Calcule “x” sabiendo que es entero, AB
= AE = CD
A) 82º B) 83° C) 84°
D) 85° E) 86°
4º D C
B
A E
X
RESOLUCIÓN
1) ∆EPD, m∢AEP = x + 4º 2) ∆ABE isósceles
m∢AEB = m∢ABE = x + 4º m∢BAE = 180º − 2(x + 4º) ....(I) 3) x + 4º < 90º
x < 86º ...(II) 4) ∆ACD a mayor lado se opone mayor
ángulo
180º −2(x+4º) < 4º
84º< x ...(III) 5) De (II) y (III)
84º < x < 86º x = 85º
RPTA.: D
17. Calcule “y”, sabiendo que “x” es el mínimo valor entero.
A) 62º B) 82º C) 88º D) 92º E) 98º
RESOLUCIÓN
1) 2x − y + x + y + y − x = 180 2x + y = 180
y = 180−2x ...(I) 2) En A:
2xº − yº > 0º (no existe ángulo negativo)
2xº > yº ...(II) 3) (I) en (II)
2xº > 180º − 2xº 4xº > 180º xº > 45º
4) El mínimo valor entero de “x” es 46º x = 46º ... (III)
5) (III) en (I)
yº = 180º −2(46º) yº = 88º
RPTA.: C
18. Se tiene un triángulo ABC, se trazan la altura AH y la bisectriz interior CP intersectandose en “O” . Si:
AO=4, OC = 12 y CD=15; calcule el máximo valor entero de AD , si AC toma su mínimo valor entero, además “D” es un punto exterior al triángulo ABC.
A) 20 B) 21 C) 23 D) 25 E) 27
RESOLUCIÓN
A C
D B
P H
O
4 12
13
X
15
Del gráfico: θ > 90º (obtuso)
∆AOC:
12 < AC < 16
→ ACmin= 13; porque: AC² > 4² + 12²
∆ADC:
2 < x < 28
∴ xmax = 27
RPTA.: E
19. En un triángulo ABC, S y R son puntos que pertenecen a AB y BC respectivamente. Si : AC=AS=RC, m∠SAR=10° y m∠RAC=50°. Calcule m∠SRA.
A) 20° B) 30° C) 40°
D) 25° E) 15°
y - x
C 2x - y
x + y B
A
4º D C
B
A E
xº
=
=
=
x+4º x+4º
180º-2(x+4º)
P
RESOLUCIÓN
Se une S y C ⇒ ∆ASC equilátero ∆SRC
⇒ isósceles
A
B S R
50°
50°
10° 20°
60°
x
C
⇒ x + 50° = 80°
x = 30°
RPTA.: B
20. Se tiene un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto “D” exterior y relativo al lado BC. Si: m∠CBD - m∠ DAC = 30° y m∠ADC=10°.
Calule: m∠CAD.
A) 5° B) 10° C) 15°
D) 18° E) 20°
RESOLUCIÓN
60 °-x 60°
60°
30°
10°
x+30°
A x
B
C
D
Como la m∠ BDA = 30° es la mitad de la m ∠ ACB = 60°; y como se cumple que: AC = CB , entonces:
AC = CB = CD
m∠CBD = m∠CDB
x+30° = 40° → x = 10°
∴ m ∠ CAD = x = 10°
RPTA.: B