INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
UNIDAD CULHUACAN
“ESTABILIZACIÓN DE SISTEMAS INESTABLES CON RETARDO CON UN POLO INESTABLE Y n-1 ESTABLES”
T E S I S
PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS DE INGENIERÍA EN MICROELECTRÓNICA
PRESENTA
ING. YEBRAIL ANTONIO PEDRAZA BELTRAN
DIRECTOR DE TESIS: DR. BASILIO DEL MURO CUÉLLAR
CO-DIRECTOR DE TESIS: DR. GONZALO ISAAC DUCHEN SÁNCHEZ
MÉXICO, D. F., ENERO 2010
Agradecimientos
A DIOS por su infinita sabiduría de llevarme a culminar un nuevo peldaño en mi vida.
A mis PADRES por su amor, por su ejemplo de honestidad y valor, por inculcarme aquellos valores de constancia y respeto para conmigo y con los demás y por que sin su apoyo no habría sido posible llegar hasta donde he llegado, a mi familia por creer en mí y apoyarme, también quiero agradecer a Alexandra por su amor y motivación.
Al Dr. Basilio del Muro Cuéllar por la colaboración ya que sin su apoyo asesoría y paciencia no habría sido posible el desarrollo de este trabajo, estuvo siempre dispuesto a transmitir sus conocimientos, fue un excelente asesor y de quien hay mucho que aprender.
A todos los profesores de la SEPI-ESIME Culhuacan por sus valiosas enseñanzas.
Quiero agradecer CONACYT y al proyecto PIFI por brindarme su apoyo para estudiar la maestría.
A México un país muy especial
Abstract
A way to control Systems with time Delay is to implement the Smith predictor. This method proposes to build a filter that estimates the output signal excluding the effect of delay, so it generates the control action with the output signal before being delayed. The final effect when using this system is to exclude the time delay from the control loop, leaving him in the closed-loop cascade. The method is restricted to stable Systems. To avoid this obstacle, several authors have presented other analog and digital strategies for unstable systems.
This work addresses the problem of stabilization of a class of linear systems of order n,
n-1 stable poles and a pole in the right half plane of the complex plane “s” with timedelay in the direct loop. We present a first result by approximating the time delay for fractional first order function (Taylor). A second result, presents the necessary and sufficient conditions for the stabilization of systems without approximating the delay, doing an analysis in frequency domain.
Finally, the main results here presented are the conditions for the existence of an
observer-predictor scheme, under similar concept of a Smith predictor. Subsequent it is
presented the implementation of the predictor-observer scheme, The adequate
performance of the proposed strategy is shown by the way of numerical simulations in
some academic examples.
Índice general
1. Introducción. 5
2. Antecedentes. 1
2.1. Introducción. . . 1
2.2. Caso de Smith . . . 1
2.3. Caso de Padé y Taylor. . . 3
2.4. Caso Discreto . . . 4
2.5. Normey-Rico . . . 4
2.6. A. Seshagiri Rao, V. S. R. Rao, and M. Chidambaram . . . 7
2.7. Pedro Albertos. . . 9
3. Preliminares. 11 3.1. Introducción. . . 11
3.2. Lugar geométrico de las Raices. . . 12
3.3. Criterio de estabilidad de Routh Hurwitz. . . 13
3.4. Respuesta frecuencial de sistemas. . . 15
3.4.1. Aplicación del teorema de la representación al análisis de estabilidad de sistemas de lazo cerrado . . . 16
3.4.2. Criterio de estabilidad de Nyquist. . . 18 1
2 ÍNDICE GENERAL
4. Estabilización por retro. estática de salida. 19
4.1. Intoducción . . . 19
4.2. Planteamiento del problema . . . 20
4.3. Condiciones para la estabilización aproximando el retardo. . . 21
4.3.1. Aproximando el retardo por Taylor. . . 21
4.3.2. Ejemplos . . . 26
4.3.3. Condiciones para la estabilidad sin aproximar el retardo . 29 4.4. Conclusiones. . . 35
5. Esquema predictor. 39 5.1. Intoducción . . . 39
5.2. Esquema predictor-observador. . . 39
5.3. Resultado principal de este trabajo: . . . 39
5.3.1. Ejemplos . . . 41
5.4. Conclusiones . . . 44
6. Conclusiones Generales 45
Resumen
En este trabajo de tesis se presenta el estudio de la estabilidad de un tipo de sistemas inestables con tiempo de retardo. Una forma para controlar sistemas con retardo es aplicando el predictor de Smith; este método consiste en construir un …ltro que estima la señal de salida excluyendo el efecto del retardo, asi permite generar la acción de control. El efecto …nal que se logra al usar este esquema es la exclusión del retardo en el lazo de control, dejándolo únicamente en cascada con el lazo cerrado. Desafortunadamente el método está limitado a sistemas estables.En este trabajo se tratara una clase particular de sistemas inestables de orden n con retardo de tiempo, el cual tiene una sola raíz inestable (en el semiplano derecho del plano s) y todas las demás raíces estables (en el semiplano izquierdo del plano s) y el retardo de tiempo esta expresado por una función exponencial. Se presenta un primer resultado aproximando el retardo de tiempo por la expansión en serie de Taylor. En un segundo resultado, se presentan las condiciones necesarias y su…cientes para la estabilización de los sistemas aquí planteados, haciendo un análisis en el dominio de la frecuencia. Y como resultado principal se dan las condiciones para la existencia de un esquema predictor-observador, bajo el mismo concepto de un predictor de Smith. Se presentara la implementación mediante simulacion digital del esquema predictor -observador, con el cual se pretende mejorar el desempeño en los sistemas usando un controlador de tipo proporcional integral(PI).
3
4 ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
Introducción.
El retardo de tiempo es un fenómeno frecuentemente encontrado en los sis- temas dinámicos, tales como reactores nucleares, procesos químicos y biológicos y recientemente en procesos controlados en forma remota (via internet). Las causas de los retardos son diversas, pueden ser parte de la naturaleza de un proceso (fenómenos de transporte), o debido al tiempo en la medición de una variable o una señal de transmisión [9]. Considerables esfuerzos en la investi- gación se han concentrado en el análisis de estabilidad de sistemas con retardo ya que a menudo es el mismo retardo el que origina la inestabilidad y degradación en el desempeño. En algunos sistemas el tamaño del retardo es tal que sus efec- tos se pueden despreciar, sin embargo hay otros en los cuales su magnitud es tal que no es posible omitirlo. En las ultimas dos décadas surgieron numerosas contribuciones en la literatura sobre el tema([1],[8],[13],[19]). Una de las ra- zones principales para la popularidad del tema en el medio de la investigación es que sigue siendo un problema abierto en cuanto a las condiciones necesarias y su…cientes de estabilidad para este problema al cerrar el lazo de control.
En este trabajo se presenta un resultado importante sobre la estabilidad asintótica en sistemas con retardo de tiempo en el lazo directo
Una forma de estudiar la estabilidad de los sistemas con retardo de tiempo sin la necesidad de realizar aproximaciones al retardo se da en el dominio de la frecuencia, gracias al criterio de estabilidad de Nyquist, el cual mediante el diagrama frecuencial representa la evolución del sistema en coordenadas polares (en estas coordenadas podemos representar el valor exacto del retardo) al variar la frecuencia desde 0 hasta 1:
Las mismas di…cultades que presentan los sistemas en el dominio del tiempo se explican también en el dominio de la frecuencia: los retardos de tiempo in- troducen una reducción adicional en la fase de los sistemas que pueden causar inestabilidad.
En este trabajo se aborda el problema de estabilización de una clase de sistemas lineales de orden n, n 1 polos estables y un polo en el semiplano
5
6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN.
derecho del plano complejo s con retardo de tiempo en el lazo directo. Nótese que el predictor de Smith (SP) no puede ser usado para esta clase de sistemas dado que la inestabilidad del proceso impide una cancelación estable del operador de retardo de tiempo. Para resolver esta situación, un esquema similar al Predictor de Smith es propuesto para estimar la información intermedia entre la parte inestable de la planta y el resto. Se dan condiciones necesarias y su…cientes para la existencia de un esquema Predictor. Una vez diseñado el Predictor, se propone una con…guración tipo Proporcional-Integral (PI).
El trabajo esta organizado como sigue. En el primer Capítulo se presenta los distintos trabajos referentes al tema de esta tesis y que además sirvieron como base, por otra parte se presentan distintas metodologías que tratan sistemas con retardo de tiempo. En el segundo capitulo se da una introducción a la teoría necesaria para el mejor entendimiento del desarrollo de la tesis. En el tercer capitulo se dan como resultados preliminares las condiciones de estabilidad.
En el cuarto capítulo se da el resultado principal de este trabajo de tesis las condiciones para la existencia de un sistema predictor. Por último se darán las conclusiones generales de la Tesis y las referencias del trabajo.
Capítulo 2
Antecedentes.
2.1. Introducción.
Los tiempos de retardo aparecen en muchos procesos en la industria y en otros campos. Son causados por el tiempo necesario para el transporte de masa, energía o de información, la acumulación de retardos de tiempo en un gran número de sistemas de bajo orden conectados en serie, el tiempo de proce- samiento necesario para los sensores, como los controladores que necesitan algún tiempo para aplicar un complicado algoritmo de control o de proceso [10]. Pro- cesos con tiempos de retardo considerables son difíciles de controlar utilizando los controladores de retroalimentación tradicionales ya que su presencia en los lazos de control tienen al menos dos importantes consecuencias: 1) Se complica mucho el análisis de estabilidad y el diseño de los controladores para estos sis- temas. 2) Es más difícil de lograr un control satisfactorio en procesos con éste fenómeno[13]. Estas di…cultades se pueden explicar en el dominio de la frecuen- cia por que el tiempo de retardo introduce una disminución adicional en la fase de sistemas que pueden causar inestabilidad [10].
En este trabajo se tratará una clase en particular de sistemas inestables de alto orden con retardo de tiempo, esto es, sistemas lineales de orden n, n 1 polos estables y un polo en el semiplano derecho del plano complejo s.
2.2. Caso de Smith
La primera estructura de control predictivo, el Predictor de Smith (SP), pre- sentado a …nales de la década de 1950 [18], fue usada para mejorar el rendimiento de los controladores clásicos (PI o los controladores PID) para las plantas con tiempo de retardo. La estructura del predictor de Smith original es fácil de entender y sintonizar, debido a esto, es el algoritmo más conocido y más am- pliamente utilizado para la compensación de sistemas con tiempo de retardo
1
2 CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES.
Figura 2.1: Idea de Smith.
en la literatura. Sin embargo, tiene como inconveniente que está restringido a sistemas estables. En los últimos años, numerosas modi…caciones al SP se han propuesto con el …n de (a) mejorar la estabilidad de los sistemas; (b) permitir su uso con plantas inestables; (c) mejorar la robustez. La mayoría de las estructuras propuestas recientemente en la literatura son más complejas que el predictor de Smith original y están especialmente propuestas para un cierto tipo particular de sistemas inestables. En algunos casos, las soluciones son válidas sólo para modelos simples con retardos relativamente pequeños como sistemas de primer orden más tiempo de retardo o de segundo orden más tiempo de retardo [6][11].
La Figura ?? muestra un sistema compuesto de una función de transferen- cia G(s) y un tiempo de retardo t0; donde t0 es la fuente del problema y lo ideal sería que la señal fuera medida antes de que entre el retardo. Sin embar- go esto no es posible ya que el retardo esta inmerso en todo el proceso. Para solucionar esto Smith propuso un esquema de control predictivo. Consideré el modelo matemático del proceso de primer orden con retardo de tiempo dado por:
G(s) t0s ke t0s
s + 1: (2.1)
La ganancia k y la constante de tiempo son parte fundamental de este modelo y pueden utilizarse para predecir el efecto de la señal de salida del controlador. La propuesta de Smith puede verse en la Figura 2.2.
La principal ventaja del Predictor de Smith [18] es que si calculamos la funcion trasferencia del sistema el elemento exponencial aparece en cascada con el resto de la funcion de transferencia entonces el tiempo de retardo se elimina de la ecuación característica del sistema a lazo cerrado, esto es:
2.3. CASO DE PADÉ Y TAYLOR. 3
Figura 2.2: Esquema Predictor de la técnica propuesta por Smith.
Y (s)
R(s) = GcG(s)
1 + GcG(s)e t0s: (2.2) La principal limitación de la técnica del Predictor de Smith es que solo aplica a sistemas que son estables (las raíces del sistema deben estar en el semiplano izquierdo del plano complejo s).
2.3. Caso de Padé y Taylor.
Una forma de afrontar el problema al analizar los sistemas con retardo de tiempo es reemplazando el termino exponencial del retardo e spor una aprox- imación de Padé. La aproximación de Padé dice que la función exponencial está dada como la relacion de dos polinomios Nn(s)=Dn(s). El polinomio del numer- ador Nn(s) y el polinomio del denominador Dn(s) tienen el mismo orden. La aproximación de Padé de primer orden para el término e sestá dado por:
e s 1 2s
1 + 2s
La aproximación de Padé permite modelar el retardo como un polo en el semieje real negativo y un cero en el semieje real positivo. En general el tér- mino exponencial e sse puede aproximar por una función de transferencia de orden n: Entre más grande sea el orden de la aproximación, será más parecida nuestra aproximación a la representación exponencial del retardo. Note que un modelo de orden muy elevado dará lugar a complicados análisis y posiblemente a controladores de muy alto orden.
4 CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES.
Además de la aproximación de Padé, existe también otra aproximación al retardo la cual es ocupada en este trabajo de Tesis, esto es, la aproximación en series de Taylor. Se recurre a las funciones racionales polinómicas, porque éstas funciones son realmente más sencillas y más adecuadas para los cálculos numéricos. En esta aproximación se considera la expansión en serie de la función exponencial, entonces el retardo puede ser representado por un polo estable de la forma:
e s
1
s +12:
Si comparamos esta expresión con la de Padé vemos que es más sencilla y el valor del retardo se conserva.
Este método es utilizado en este trabajo de tesis por lo cual su desarrollo se presenta en un capítulo posterior.
2.4. Caso Discreto
El análisis y diseño de sistemas con retardo de tiempo en el lazo directo también puede ser tratado con la representación discreta del proceso (ver [6]).
En este caso se realiza un proceso de conversión de la variable compleja s a la variable z, en la cual se considera un periodo de muestreo T = n, donde es el retardo de tiempo y n es un número entero. Para que nuestro modelo discreto sea lo mas parecido al sistema continuo, se debe considerar un retenedor de orden cero y un periodo de muestreo T; lo su…cientemente pequeño, ya que de esta manera, tendríamos como resultado un sistema muestreado prácticamente igual al sistema continuo y los resultados convergen a los resultados del sistema continuo.
Al tener un periodo de muestreo T = n; nuestro sistema muestreado tendrá n polos en el origen, y nuestro sistema al realizar una retroalimentación estática de la salida se vería en el lugar geométrico de las raíces como lo muestra la Figura (2.3). Una de las di…cultades al tratar sistemas con retardo en el enfoque discreto es que, nos enfrentariamos a sistemas de muy alto orden al considerar un periodo de muestreo T; lo su…cientemente pequeño.
2.5. Normey-Rico
Normey-Rico en su trabajo [10] presentan una solución para el control de procesos primer orden inestables con retardo de tiempo.
El controlador se basa en una simple modi…cación de la estructura del Pre- dictor de Smith (PS), que permite hacerle frente a procesos inestables y ajustar
2.5. NORMEY-RICO 5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-2.5 -2 -1.5
-1 -0.5
0 0.5
1 1.5
2
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
Figura 2.3: Representación discreta.
el controlador. La estructura propuesta es relativamente fácil de analizar y de sintonizar.
Procesos con importantes retardos de tiempo son difíciles de controlar al utilizar controladores de retroalimentación. Los retardos de tiempo con com- pensadores incluyen un modelo de proceso en la estructura del controlador, a
…n de hacer frente al retardo de tiempo. El Predicor de Smith fue utilizado para sistemas estables con retardo de tiempo. Sin embargo, para sistemas inestables con retardo de tiempo en lazo abierto, el Predictor de Smith no es utilizado.
El controlador propuesto se muestra en la Figura 2.4. Como puede verse, corresponde a la estructura base de un SP (Predictor de Smith), adicionando un …ltro (Fr(s)). El modelo nominal del proceso es Pn(s) = Gn(s)e LnS. Para el modelo inestable Gn(s) = K=(T 1) es el modelo libre del retardo de tiempo.
El controlador principal C(s) es un controlador tradicional PI con un punto de referencia de ponderación para mejorar el punto de referencia y el Fr(s) es un predictor …ltro utilizado para mejorar las propiedades de predicción.
La idea de utilizar un …ltro de predicción que presentó [10] para mejorar la solidez del SP, para sistemas inestables y también los modelos utilizados en otros controladores con el mismo objetivo. En primer lugar considere el controlador PI C(s) = fKc(1 + sTi)g=fTisg sin punto de referencia de ponderación. Así, el valor nominal de la función de transferencia en lazo cerrado es:
Y (s)
R(s) =C(s)Gn(s)e Lns
1 + C(s)Gn(s) = KcK(1 + sTi)
(T s 1)Tis + KcK(1 + sTi)e Lns
6 CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES.
Figura 2.4: Estructura de Normey-Rico.
La condición de estabilidad interna es obtenida si Ceq(s) no elimina el polo inestable en el modelo s = 1=T . Como Ceq(s) es:
Ceq(s) = C(s) 1 + C(s)M (s)
M (s) = K(1 + sTi)(1 + sT0)2 (1 + sT1)2(1 + as)e Lns (T s 1)(1 + sTi)(1 + sT0)2
con el …n de obtener un sistema estable internamente M (s) no puede tener un polo en s = 1=T . Por lo tanto, tiene que veri…carse que:
a = T [(1 + T0=T )2e Ln=T 1]
Como puede verse en las ecuaciones anteriores, el controlador se desacopla totalmente del punto de referencia y de la respuesta de perturbación. La sin- tonización de T0 de…ne la respuesta de rechazo de perturbaciones y T1 la re- spuesta del punto de referencia. La desventaja de esta modi…cación del predic- tor de Smith propuesta por Normey-Rico para controlar sistemas inestables solo es para sistemas de primer orden. Desafortunadamente, en este trabajo no se precisa ni garantiza la validez de la estrategia con retardos considerables.
2.6. A. Seshagiri Rao, V. S. R. Rao, and M. Chi-
2.6. A. SESHAGIRI RAO, V. S. R. RAO, AND M. CHIDAMBARAM 7
dambaram
En éste trabajo, Seshagiri et al. [15] presentan una solución sencilla y e…caz para el control de procesos inestables de primer orden con retardo de tiempo mediante dos controladores tipo PD y PI.
El controlador se basa tambien en una modi…cación de la estructura del predictor de Smith, que permite hacer frente a la inestabilidad en procesos y lograr un adecuado desempeño. La estructura propuesta (Figura 2.5) es relati- vamente fácil de analizar y de sintonizar, proporciona rechazo a perturbación y seguimiento al punto de referencia.
Del esquema de control mostrado en la Figura 2.5 ^Gp es la planta libre del retardo, p es el retardo del sistema y ^Gm , m representan la parte del esquema Predictor. GCS es el controlador de seguimiento de referencia, Gcdes el controlador que estabiliza y contribuye al rechazo de perturbaciones. Seshagiri utiliza un …ltro de primer orden (Gf) como el sugerido por [10] en el lazo de retroalimentación para la predicción de la perturbación y con esto mejorar la robustez del sistema.
En el caso de un modelo ideal de esquema Predictor se tendría que ^Gpe ps= G^me ms, entonces las respuestas para la señal de entrada y perturbación son:
y
yr =GcsG^me ms 1 + GcsG^m
:
y
yd = (1 + GcsG^m GcsGfG^me ms) ^Gme ms (1 + GcsG^m)(1 + GcdG^me ms) :
De las ecuaciones antes mostradas se observa que la perturbación es de- sacoplada de la respuesta de seguimiento de referencia. A continuación se mues- tra el diseño de los dos controladores antes mencionados (Gcsy Gcd). Si consid- eramos un sistema de primer orden inestable con retardo de tiempo:
Gp= ^Gpe ps=kpe ps
ps 1: siendo su equivalente en el esquema Predictor:
Gm= ^Gme ms=kme ms
ms 1:
se considera Gcs como un controlador de tipo PI el cual se muestra a contin- uación:
Gcs= kc(1 + 1
is):
de donde los parámetros kc y i son obtenidos de la siguiente manera:
8 CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES.
Figura 2.5: Estructura de Seshagiri Rao y Chidambaram.
kc= + 2 m
km
; i=
2+ 2 m m
La variable es un parámetro de sintonización para un comportamiento deseado al cerrar el lazo. Se puede seleccionar el parametro ; teniendo en cuenta que si seleccionamos un valor pequeño de proporcionará una respuesta rápida y un valor grande de favorecerá la robustez del sistema. Gcd= kd(1 + ds) es un controlador tipo PD (Proporcional Derivativo).
Para diseñar el controlador PD cualquier método que pueda estabilizar a la planta inestable de primer orden puede ser usado. Los parámetros están dados por:
kd= 1 km
0;533
m= m
+ 0;746 para m= m 0;7; y
kd= 1 km
0;49
m= m + 0;694 para 0;7 < m= m 1;5; donde d= 0;7 m
m
La estabilidad del sistema en lazo cerrado depende totalmente del contro- lador de rechazo de perturbación Gcd y los parámetros kd y d. Limitados a
< 1;5a
2.7. PEDRO ALBERTOS. 9
2.7. Pedro Albertos.
Inicialmente Pedro Albertos propone realizar la representación discreta en variables estado del sistema y así utilizar un estimador a la salida, el cual no trabaja para plantas de fase no mínima. El retardo de salida de la planta se estima mediante la combinación de los resultados de un …ltro de respuesta …nita al impulso (FIR) para la entrada del proceso y en la estabilidad del …ltro para el proceso de producción. Así, para una planta de fase no mínima, el problema de control se resuelve en dos pasos. En primer lugar, el sistema se estabiliza y luego, un SP convencional se utiliza para el diseño del control en general. La estructura propuesta se analiza a …n de demostrar la solidez y estabilidad para el control de plantas inestables con grandes retardos. Una muy importante mejora con respecto a otros métodos es que, en cualquier caso, la sintonización de los controladores se realiza considerando un modelo libre de retardo en la planta.
Consideremos la representación en variables de estado del siguiente sistema con retardo a la entrada:
x(t): = Acx(t) + bcu(t ) y(t) = cx(t)
donde los valores de las matrices son Ac2 Rnxn; bc2 Rnx1; c 2 R1xn, y 2 R+ que es el retardo de tiempo, los instantes de muestreo al discretizar nuestro sistema son dados por: tk= kT ; k 2 L+:El periodo de muestreo es T = tk+1 tk; a demás xk = x(kT ):Entonces la representación discreta en variables de estado de la planta será:
xk+1= Axk+ buk d; yk = cxk
donde
A = eAcT; yb = Z T
0
eAc d bc:
Entonces la función de transferencia del sistema discretizado es:
y(z)
u(z) = Gp(z) = G(z)z d= c(zI A) 1bz d=N (z) D(z)z d
En esta estructura de control, como en el basado en el convencional SP, el controlador K puede ser diseñado con independencia del retardo de tiempo. Sin embargo, esta nueva estructura tiene la ventaja de ser estable cuando el proceso de control es estable o inestable, como se demuestra a continuación.
10 CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES.
Figura 2.6: Estructura de Pedro Albertos
La misma equivalencia puede ser mostrada por la simple estimación de la salida ^y donde es usada para el control en vez de y . Sin embargo, este gra- do de libertad nos permitirá mejorar la robustez y la estabilidad frente a las perturbaciones.
Ahora se propone el siguiente análisis de estabilidad y robustez en lazo cer- rado de las expresiones anteriormente obtenidas:
y = KGz1+KGdr+1+KGGz dw+(Kc dG Kc1+KGdGz d)z dw KGz1+KGdn+(KF Gz1+KGd KF G)z dn u = 1+KGK r +(KF Gz d1+KGKF G KG)z dw + (KF z d1+KGKF K)z dn
El sistema en lazo cerrado será estable si se puede observar que el estado de equilibro del error es similar al de un sistema sin retardo, si observamos la relación entre ambas podemos ver que la perturbación desaparece.
zl m!1(Kc dG Kc dGz d) = 0
zl m!1(KF Gz d KF G) = 0
La condición de robustez y estabilidad es obtenida de la salida de sensibilidad dada por la función:
H1 KG 1 + KGWm
1
< 1;
donde H1= (F z d F 1):
Capítulo 3
Preliminares.
3.1. Introducción.
En el capítulo se hace un repaso del lugar geométrico de las raéces, criterio de estabilidad de Routh Hurwitz, respuesta en frecuencia y el criterio de estabilidad de Nyquist a los sistemas lineales de orden n con tiempo de retardo, n 1 polos estables y un polo en el semiplano derecho del plano complejo s.
En los sistemas dinámicos, un requerimiento común es que deben ser estables.
Esto signi…ca que si al sistema le aplicamos una entrada acotada entonces la salida debe ser acotada (estabilidad BIBO). En general un sistema dinámico lineal e invariante en el tiempo de orden n, se puede expresar mediante una función de transferencia, es decir, mediante una relación entre su salida en la variable compleja s; considerando condiciones iniciales nulas, esto es:
G(s) = Y (s)
U (s): (3.1)
La función transferencia descrita por la ecuación 3.1. Puede también ser expre- sada como un cociente de polinomios de la forma:
G(s) = Q(s)
P (s) (3.2)
donde,
Q(s) = amsm+ am 1sm 1+ am 2sm 2+ ::: + a1s + a0
P (s) = sn+ bn 1sn 1+ bn 2sn 2+ ::: + b1s + b0
Para un sistema dinámico real (propio), el orden del polinomio del numerador Q(s) no debe ser mayor que el orden del polinomio del denominador P (s); es decir n m:
11
12 CAPÍTULO 3. PRELIMINARES.
3.2. Lugar geométrico de las Raices.
El método del Lugar Geométrico de las raíces se de…ne como una técni- ca de análisis y diseño para la estabilidad y respuesta transitoria. Nace por la necesidad de solucionar sistemas de control retroalimentados de orden superi- or a dos, desde el punto de vista cualitativo, cuando la solución matemática es muy compleja[3],[2]. Este método es el estudio grá…co de la variación de las raíces de la ecuación característica, al variar el parámetro k desde 0 a 1, para el sistema Y (s)U (s) = G(s) = P (S)Q(s); al cerrar el lazo con la acción de control U (s) = R(s) kY (s): Las raíces de la ecuación característica, son los polos de la función de transferencia, las cuales determinan la estabilidad relativa y abso- luta de un sistema lineal así como la respuesta transitoria. Dicho de otra forma, además el lugar geométrico de las raíces proporciona grá…camente márgenes de estabilidad e inestabilidad y la relación entre ambas. Para la construcción del Lugar geométrico de las raíces, se deben de tener en cuenta las siguientes consideraciones mostradas con el siguiente ejemplo: sea el siguiente sistema rep- resentado como una función de transferencia:
Y (s)
U (s) = G(s) = Q(s)
P (S) = 1
(s + 5)(s + 10)(s + 15)(s 2) (3.3) Para trazar el lugar geométrico de las raíces usando un mínimo de cálculos, como primer paso, debemos ubicar tanto los polos como los ceros de lazo abierto, en el plano complejo s (los polos estan representados por una x y los ceros por un 0):
Posteriormente determinamos las regiones que son lugares geométricos y numero de ramas, que son las trayectoria que recorre un polo al variar el parámetro k, por lo tanto habrá una rama por cada polo en lazo cerrado. Se consideran lugares geométricos sobre el eje real los recorridos impares iniciando desde +1 hacia 1 como lo muestra la Figura 3.1. El semiplano izquierdo (partiendo de 0 hacia 1) se considera región de estabilidad, mientras que el semiplano derecho (partiendo de 0 hacia +1) región de inestabilidad. Contribución en ángulo de los ceros o polos complejos conjugados se anularán, puesto que uno de los ángulos se cancela con el de su conjugado. Entonces debemos considerar solo los polos y ceros que se encuentran sobre el eje real. Al cerrar el lazo con una ganancia k obtenemos la siguiente función de transferencia:
Q(s)
P (S) + kQ(s) = 1
(s + 5)(s + 10)(s + 15)(s 2) + k
Las raíces de la ecuación característica se van moviendo en el plano dependiendo del valor de ganancia que se este utilizando, si se tiene un valor de k = 0, las raíces estarán en su posición original, las raíces se moverán de un polo hacía un cero y entre dos polos la trayectoria rompe y una raíz va hacia un cero o hacia 1; Como se puede observar en la Figura 3.1.
3.3. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH HURWITZ. 13
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
RAMAS
Figura 3.1: Lugar Geometrico
3.3. Criterio de estabilidad de Routh Hurwitz.
Sirve para determinar la estabilidad absoluta, sin la necesidad de determi- nar la ubicación exacta de las raíces de la ecuación característica del sistema. El criterio de Routh-Hurwitz nos dice el número de raíces en el semiplano derecho (inestables) que tiene una ecuación (característica). Para sistemas de orden su- perior no es tarea simple determinar la ubicación exacta de las raíces. Considere la ecuación característica
a0sn+ a1sn 1+ ::: + an 1s + an= 0 (3.4) En donde los coe…cientes son cantidades reales. Suponemos que an6= 0; es decir, se elimina cualquier raíz cero. Todas las raíces de un polinomio real tienen parte real negativa si y solo si llevando a cabo el criterio de estabilidad de Routh, todos los elementos de la primera columna en el arreglo de Routh son distintos de cero y además tienen el mismo signo. Procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh:
1. Escriba el polinomio en s del denominador en la forma siguiente:
a0sn+ a1sn 1+ ::: + an 1s + an (3.5)
2. Si alguno de los coe…cientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coe…ciente positivo, hay al menos una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable. La condición necesaria, pero no su…ciente, para la estabilidad es que todos los coe…cientes de la ecuación estén presentes y tengan mismo signo positivo.
14 CAPÍTULO 3. PRELIMINARES.
3. Si todos los coe…cientes son positivos, ordene los coe…cientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:
sn a0 a2 a4 a6::: (3.6)
sn 1 a1 a3 a5 a7:::
sn 2 b1 b2 b3 b4:::
sn 3 c1 c2 c3 c4:::
sn 4 d1 d2 d3 d4:::
: . .
: . .
: . .
s2 e1 e2
s1 f1 s0 g1
Los coe…cientes b1;b2; b3; :::; c1; c2; c3; :::; d1;d2; :::;etc., se evalúan del modo siguiente:
b1 = a1a2 a0a3
a1
b2 = a1a4 a0a5
a1 b1 = a1a6 a0a7
a1
c1 = b1a2 b2a1
b1 (3.7)
c2 = b1a4 b4a1
b1 c1 = b1a6 b6a1
b1
d1 = c1b2 b1c2 c1
d2 = c1b5 b1c3 c1
El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coe…cientes de la primera columna del arreglo. La condición necesaria y su…ciente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coe…cientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo.
3.4. RESPUESTA FRECUENCIAL DE SISTEMAS. 15
Ejemplo Sea el sistema Y (s)
U (s) = G(s) = Q(s)
P (S) = 1
(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s 0;2)
Al cerrar el lazo con una ganancia k obtenemos la siguiente función de transferencia:
Q(s)
P (S) + kQ(s) = 1
(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s 0;2) + k
La ecuación caracteristica es s4+5;8s3+9;8s2+3;8s 1;2+k. Por inspección se observa que se cumple la primera condición necesaria ya que todos los coe…cientes son positivos, con k > 1;2: Entonces se tiene que usar el arreglo de Routh para saber si hay o no raices inestables.
s4 1 9;8 1;2 + k (3.8)
s3 5;8 3;8
s2 9;14 b2
s1 c1 s0 d1
Los elementos del tercer reglón se calculan usando las ecuaciones 3.6, de esta manera se tiene, b2= d1= 1;2+k y c1= 41;69 5;8k: Para asegurar la estabilidad, todos los coe…cientes de la primera columna deben tener el mismo signo en el arreglo de Routh. Es claro entonces que tanto c1 como d1 deben ser positivos. Entonces k > 1;2:y k < 7;18: Por tanto, para que el sistema de control sea estable, el rango de k es: 1;2 < k < 7;18:
3.4. Respuesta frecuencial de sistemas.
Por respuesta frecuencial se entiende la respuesta en estado estacionario de un sistema ante una entrada sinusoidal. Las formas más habituales de represen- tar la respuesta frecuencial de un sistema son:
1. Diagrama de Bode en módulo y fase: Diagrama en módulo o fase de G(j!) respecto a un eje frecuencial.
2. Diagrama polar o de Nyquist: Diagrama de módulo y fase de G(j!) en el plano G(j!) (0 < ! < 1). En la Figura 3.2 se muestran los ejes coordenados de un diagrama polar, así como la información de módulo y fase que puede extraerse de un punto de dicho diagrama.
Se representa el diagrama polar de un sistema de tercer orden, donde se puede observar la evolución de la fase desde 0ohasta 270ocorrespondientes a
! ! 0 y ! ! 1, respectivamente. Debe observarse que el diagrama posee un
16 CAPÍTULO 3. PRELIMINARES.
Figura 3.2: Diagrama polar sistema de tercer orden.
sentido en frecuencias crecientes, de manera que !0 < !1 < !2. El diagrama polar tiene la información de fase y módulo de la respuesta frecuencial en una única representación, a diferencia del diagrama de Bode que los representa en grá…cas separadas.
3.4.1. Aplicación del teorema de la representación al análi- sis de estabilidad de sistemas de lazo cerrado
Para analizar la estabilidad de sistemas de control lineal, se hace que el contorno cerrado del plano s abarque todo el semiplano derecho del plano s. El contorno consiste en todo el eje ! desde (! = 1 hasta ! = +1), y un paso semicircular de radio in…nito en el semiplano s derecho. Este contorno recibe el nombre de recorrido de Nyquist. (El sentido del mismo es horario.)
El recorrido de Nyquist abarca todo el semiplano derecho de s y contiene todos los ceros y polos de 1+ G(s)H(s) con partes reales positivas. Si no hay ceros de 1+ G(s)H(s) en el semiplano derecho de s, no hay polos de lazo cerrado alli y el sistema es estable. Es necesario que el contorno cerrado o recorrido de Nyquist no pase por ningún polo o cero de 1+ G(s)H(s). Si G(s) tiene un polo o polos en el origen del plano s, se hace indeterminada la representación del punto s = 0. Si se aplica el teorema de la representación al caso especial en que F (s) es igual a 1+ G(s)H(s) se puede a…rmar lo siguiente: si el contorno cerrado en el plano s contiene todo el semiplano s derecho, como se muestra en la Figura.3.3.
La cantidad de ceros en el semiplano derecho de la función F (s) = 1+
G(s)H(s) es igual a la cantidad de polos de la función F (s) = 1+ G(s)H(s)
3.4. RESPUESTA FRECUENCIAL DE SISTEMAS. 17
Figura 3.3: Recorrido de Nyquist
en el semiplano derecho de s mas la cantidad de rodeos completos horarios al origen del plano 1+ G(s)H(s) de la curva cerrada correspondiente en este últi- mo plano. Debido a la condición supuesta de que l m[1 + G(s)H(s)] igual a la función 1+ G(s)H(s) permanece constante mientras s recorre el semicírculo de radio in…nito. Debido a esto, se puede determinar si el lugar de 1+ G(s)H(s) Fig.3.3. Contiene o no el origen del plano 1+ G(s)H(s) analizando tan sólo una parte del contorno cerrado del plano s. Si hay rodeos al origen, se producen únicamente cuando el punto representativo pasa de j1 a +1 a lo largo del eje !j, siempre que no haya ceros ni polos sobre el eje j!.
Nótese que la porción del contorno de 1+ G(s)H(s) desde (! = -1 hasta
! = +1), es simplemente 1+ G(s)H(s). Como 1+ G(j!)H(j!)es el vector suma del vector unitario y el vector G(j!)H(j!), el termino1+ G(j!)H(j!) es igual al vector que va desde el punto 1 + j0 hasta el extremo del vector G(j!)H(j!). Circunscribir el origen por el grá…co 1+ G(j!)H(j!) equivale a hacerlo con el punto 1 + j0 por el lugar de G(!j)H(!j). Entonces se puede estudiar la estabilidad de un sistema de lazo cerrado analizando los rodeos del punto 1 + j0 por el lugar de G(j!)H(j!). Se puede determinar la cantidad de giros que incluyen el punto 1 + j0 trazando un vector desde el punto 1 + j0 hasta el lugar de G(j!)H(j!), comenzando en (! = 1) pasando por (! = -1 hasta llegar a ! = +1) mientras se cuenta la cantidad de rotaciones horarias del vector.
El trazado de G(j!)H(j!) para el recorrido de Nyquist es inmediato. La representación del eje negativo j! es la imagen simétrica del eje positivo j!
respecto al eje real. Es decir, el diagrama de G(j!)H(j!) y el de G(j!)H(j!) son simétricos respecto al eje real. El semicirculo de radio in…nito se transforma en el origen del plano GH o en un punto sobre el eje real del plano GH.
En la exposición precedente, se supuso que G(s)H(s) es la relación entre dos polinomios en s. De modo que ha quedado fuera del análisis del tiempo de retardo e s. Sin embargo, a sistemas con tiempo de retardo se les aplica un estudio similar, aunque no se incluye aqui su demostración. Se puede determinar la estabilidad de un sistema con tiempo de retardo examinando en las curvas de respuesta de frecuencia la cantidad de veces que se rodea al punto 1 + j0,
18 CAPÍTULO 3. PRELIMINARES.
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
Nyquist Diagram
Real Axis
Imaginary Axis
Figura 3.4: Diagrama de Niquist
como en el caso de un sistema cuya función transferencia de lazo abierto es una relación entre dos polinomios en s. como se puede ver en la Figura3.4
3.4.2. Criterio de estabilidad de Nyquist.
El criterio de estabilidad de Nyquist permite determinar la estabilidad ab- soluta de un sistema lineal invariante en el tiempo en lazo cerrado. Para su aplicación, únicamente se necesita conocer la respuesta frecuencial del sistema en lazo abierto. De hecho, a partir de la respuesta frecuencial en lazo abierto, el criterio de estabilidad de Nyquist permite determinar el número de raíces de la ecuación característica (polos en lazo cerrado) que existen en el semiplano dere- cho. Obviamente, el sistema es estable en lazo cerrado cuando el resultado de la aplicación del criterio de Nyquist es cero. Dada G(s)H(s) sin polos ni ceros en el eje imaginario s = j!, si G(s)H(s) tiene k polos en semiplano derecho del plano s y si l m
s!1G(s)H(s) = cte. para que el lugar G(j!)H(j!) tenga estabilidad al variar ! desde 1 hasta 1 deben producirse k rodeos al punto 1 + j0 en sentido antihorario. Esto es, de…niendo:
N = número de rodeos a 1 + j0; en sentido horario (N > 0) y sentido antihorario (N < 0).
P = polos en lazo abierto en semiplano derecho del plano S.
Z= polos en lazo cerrado en semiplano derecho del plano S.
Para que un sistema sea estable a lazo cerrado debe cumplir la condición:
Z = N + P = 0:
Capítulo 4
Estabilización por retro.
estática de salida.
4.1. Intoducción
Existen al menos dos formas en las que podemos analizar los sistemas con retardo de tiempo, una es aproximando el retardo y la otra trabajando directa- mente con el término exponencial e s.
Sabemos que existen distintas aproximaciones para tiempos de retardo, una de las más conocidas es la aproximación por series de Taylor. La aproximación por Taylor utiliza la expansión en serie de la función exponencial, tomando solo los dos primeros términos y agrega una ganancia en el numerador del polinomio.
Una forma de analizar los sistemas con retardo, sin aproximar el retardo, es mediante un análisis en el dominio de la frecuencia con la ayuda del criterio de estabilidad de Nyquist, ya que nos permite mediante su diagrama visualizar y analizar el sistema en lazo cerrado.
En el presente capítulo se tratarán las condiciones que se deben satisfacer para estabilizar sistemas lineales de orden n con tiempo de retardo en el lazo directo, n 1 polos estables y un polo en el semiplano derecho del plano complejo s, dichos requerimientos de estabilidad se de…nirán en términos de la ubicación de los polos de la función transferencia. Luego se describirá la metodología de análisis basada en la respuesta frecuencial de un sistema de control, para en capítulos posteriores, aplicar el criterio de estabilidad de Nyquist.
Como resultado preliminar se realiza el remplazo del retardo de tiempo por una aproximación de Taylor para sistemas de alto orden, dicha aproximación está dada como un polo más del sistema, lo que resulta en sistemas de orden más alto.
19
20CAPÍTULO 4. ESTABILIZACIÓN POR RETRO. ESTÁTICA DE SALIDA.
Haciendo un análisis del lugar geométrico de las raíces para dichos sistemas, se plantea buscar que exista una región de estabilidad al realizar una retroali- mentación estática de la salida. A partir de este estudio se dan las condiciones para la existencia de un control estabilizante por retroalimentación estática de la salida.
4.2. Planteamiento del problema
Consideremos la siguiente clase de sistemas lineales una entrada - una salida (SISO) con retardo de tiempo:
Y (s)
U (s) = G(s)e s (4.1)
Donde U (s) y Y (s) son las señales de entrada y salida respectivamente, 0 corresponde al tiempo de retardo y G(s) es una función racional en la variable compleja s. Considérese una estrategia de control:
U (s) = [R(s) Y (s)]Q(s); (4.2)
misma que produce el sistema en lazo cerrado:
Y (s)
R(s) = Q(s)G(s)e s
1 + Q(s)G(s)e s: (4.3)
El termino exponencial e s en esta expresión complica cualquier análisis al tratarse ahora de una función trascendente. En este trabajo se propone una estrategia para tratar con una clase particular de sistemas inestables de orden n con n 1 polos estables y tiempo de retardo. Considerese el sistema dado por la expresión (4.4), donde a; b1;b2; bn 0.
G(s) = ke s
(as 1)(b1s + 1)(b2s + 1):::(bn 1s + 1) (4.4) En este capítulo se dan condiciones para la estabilizaciòn por retroalimentación estática de la salida del sistema (4.4) primero aproximando el retardo y poste- riormente trabajando directamente con e s:En el siguiente capítulo se dan las condiciones para la existencia de un predictor que permita estabilizar y controlar este sistema.
4.3. CONDICIONES PARA LA ESTABILIZACIÓN APROXIMANDO EL RETARDO.21
4.3. Condiciones para la estabilización aproxi- mando el retardo.
4.3.1. Aproximando el retardo por Taylor.
Como resultado preliminar, se tomaran como punto de partida resultados anteriores, como son condiciones para la estabilización de un sistema de primero y segundo orden con retardo de tiempo [11], bajo la estrategia de control del tipo:
U (s) = [R(s) Y (s)]k; (4.5)
Considérese el sistema inestable de primer orden con retardo de tiempo con a > 0,
Y (s)
U (s) = G(s)e s=
as 1e s (4.6)
Sea el sistema (4.6) y el control proporcional (4.2). Existe una ganancia k tal que el sistema en lazo cerrado(4.20),
Y (s)
R(s) = e s
as 1 + k e s
Si reemplazamos el retardo por su aproximaciòn de Taylor, esto es:
e s
1
s +1 = 1
s + 1 (4.7)
entonces el sistema aproximado a lazo cerrado es Y (s)
R(s) = c
(as 1)(1cs + 1) + k c (4.8) con a y > 0: y además 1 = c:
Lema 1 es BIBO estable si y sólo si < a.
Demostración. Sea (as 1)( s + 1) + k = 0: la ecuación característica del sistema (4.8), haciendo un análisis en el lugar geométrico de las raíces [3] nos indica que para el sistema aproximado existe una ganancia k que estabiliza el sistema si y solo si existe un punto de ruptura en el semi plano izquierdo sobre el eje real. Como es evidente en el caso de segundo orden con un polo inestable el punto de ruptura sera en la mitad del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real. Entonces el punto de ruptura estará en el semiplano izquierdo si y solo si < a: El siguiente resultado es similar al Lema 1, pero para una clase de sistemas inestables de segundo orden, este resultado esta reportado [12]. Dado el sistema,
22CAPÍTULO 4. ESTABILIZACIÓN POR RETRO. ESTÁTICA DE SALIDA.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
R oot Locus
R eal A xis
Imaginary Axis
Pu n to d e R u p tu r a
c
1 /a
Y (s)
U (s) = G(s)e s=
(s a)(s + b) (4.9)
entonces el sistema aproximado es
G(s) = c
(s a)(s + b)(s + c) (4.10)
con a; b y c > 0:
Lema 2 [12] Para el sistema dado por (4.10), existe una ganancia k tal que el sistema en lazo cerrado,
Y (s)
R(s) = c
(s a)(s + b)(s + c) + k c (4.11) es BIBO estable si y solamente si 1c <a1 1b.
donde a; b > 0 y además. Considere el Sistema (4.11), cuya ecuación carac- terística del sistema es (s a)(s + b)(s + c) + k c = 0. Un análisis en el lugar geométrico de las raíces [3] (ver Figura 4.1), nos indica que existe una ganancia que estabiliza al sistema si y sólo si, existe un punto de ruptura sobre el eje real en el semiplano izquierdo.
Al despejar la ganancia nos queda:
k = [(s a)(s + b)(s + c)
c ] (4.12)
Obtenemos ddsjkj para determinar la ubicación del punto de ruptura en el lugar geométrico de las raíces. Al derivar el valor de k se obtiene (3s2+ 2s( a + b + c) ab + bc ac) = 0, de la cual, las raíces están dadas por:
4.3. CONDICIONES PARA LA ESTABILIZACIÓN APROXIMANDO EL RETARDO.23
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis Reguión de estabilidad
b a c
Figura 4.1: Lugar geométrico de las raices
s1; s2= b p
b2 4ac 2a
Si aplicamos el resultado de la derivada de k a este resultado tenemos:
= ( 2a + 2b + 2c) p
( 2a + 2b + 2c)2 4(3)( ab + bc ac) 2(3)
De aquí se desprenden dos raíces, (máximo y mínimo respectivamente) el resultado que nos interesa es el mínimo que es el valor negativo del radical de la ecuación y a su vez es el punto en donde el sistema es críticamente amortiguado (punto de ruptura ver Figura (4.2), además que este resultado debe ser menor que cero, ya que nos garantiza que el sistema sea estable, esto es:
( 2a + 2b + 2c) p
( 2a + 2b + 2c)2 4(3)( ab + bc ac)
2(3) < 0
2a 2b 2c [( 2a + 2b + 2c) p
12ac + 12bc 12ab]
6 < 0
Si elevamos al cuadrado y cancelamos los términos correspondientes obten- emos:
12ab + 12bc 12ac < 0
24CAPÍTULO 4. ESTABILIZACIÓN POR RETRO. ESTÁTICA DE SALIDA.
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
b a c
Punto de ruptura dentro de la reguión de estabilidad
Figura 4.2: Punto de ruptura en el semiplano izquierdo.
4.3. CONDICIONES PARA LA ESTABILIZACIÓN APROXIMANDO EL RETARDO.25
Dividimos todo entre 12 y factorizamos:
c(b a) < ab Por último obtenemos:
c < ab
b a
De donde resulta que una de las raíces es: s2= 1c <b aab , es decir, 1
c < 1 a
1 b
Nota: Para realizar el cálculo de la ganancia k, se proponen sustituir s = 0 en la Ecuación (4.12). Si el sistema es estabilizable, se obtiene el valor que hace al proceso marginalmente estable. Al agregar un valor " lo su…cientemente pequeño a esta ganancia obtenemos un valor de k estabilizante.
A continuación se dan las condiciones para la estabilidad del sistema dado por (4.13) al aplicar retroalimentación estática de la salida.
Considére el sistema dado por (4.4) y que se reescribe a continuación, donde el retardo fue sustituido por su aproximación de Taylor, con 1 = c; esto es:
Y (s) U (s) =
(as 1)(b1s + 1)(b2s + 1):::(bn 1s + 1)(1cs + 1) (4.13) Lema 3 Existe una ganancia k tal que el sistema (4.13) en lazo cerrado,
Y (s) R(s) =
1 c
(as 1)(b1s + 1)(b2s + 1)(bns + 1)(1cs + 1) +kc (4.14) es BIBO estable si y solamente si 1c = < a
Pn i=1
bi.
Demostración. La demostración puede realizarse de manera simple usando un enfoque frecuencial, como una extensión de la demostración que se realizará más adelante en el resultado principal de este trabajo. Por esta razón no se realizará aquí.
Nota: Observe que si se cumple la condiciòn anterior, esto es; 1c < a Pn i=1
bi, entonces cuando k es tal que s = 0 el sistema será marginalemte estable.
Si le sumamos a este valor de ganancia un " lo su…cientemente pequeño el sistema serà estable, como se ilustra en la Figura 4.3. Se puede entonces utilizar este valor de esta ganacia para estabilizar el sistema original sin aproximar el retardo, aunque no existe garantia de que el valor de esta ganancia estabilice al sistema sin aproximación.
26CAPÍTULO 4. ESTABILIZACIÓN POR RETRO. ESTÁTICA DE SALIDA.
-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30
-60 -40 -20 0 20 40 60
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis REGIÒN DE ESTABILIDAD
Figura 4.3: Análisis en el lugar geométrico de las raíces
4.3.2. Ejemplos
Ejemplo 1:
Considere el sistema inestable de cuarto orden dado por:
Y (s)
U (s) = 0;33
(s + 1)(0;5s + 1)(0;33s + 1)(2s 1)e 0;1s
Al hacer la aproximación de Taylor, del retardo de tiempo se obtiene un sistema de quinto orden:
Y (s)
U (s) = 0;33
(s + 1)(0;5s + 1)(0;33s + 1)(2s 1)(10s + 1) Al realizar la retroalimentación estática de la salida tenemos:
Y (s)
R(s) = 0;33
(s + 1)(0;5s + 1)(0;33s + 1)(2s + 1)(0;1s + 1) + k(0;33) (4.15) Si aplicamos el Lema 3 a dicho sistema, tenemos que 0;1 < 2 1 0;5 0;33 = 0;17, es claro que el sistema (4.15) si cumple con las condiciones del Lema 3, por lo tanto existe una k que estabiliza a dicho sistema. El valor de k podemos
4.3. CONDICIONES PARA LA ESTABILIZACIÓN APROXIMANDO EL RETARDO.27
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
Tiempo
Salida
Figura 4.4: Salida del Sistema Aproximado
obtenerlo fácilmente de la ecuación 4.15, despejamos a k; despues hacemos s = 0 lo que resulta k = (0;33)1 = 3;03, a este valor agregamos un " > 0 pero lo su…cientemente pequeño, en este caso " = 0;1, para garantizar la estabilidad del sistema, el valor de la ganancia k fue aplicado al sistema aproximado como se aprecia en la Figura 4.4.
Ejemplo 2: Sea el sistema inestable de quinto orden con retardo dado por:
Y (s)
U (s) = 1
(s + 1)(0;2s + 1)(0;04s + 1)(0;008s + 1)(4s 1)e 2s Al aproximar el retardo obtenemos un sistema de sexto orden:
Y (s)
U (s) = 0;5
(s + 1)(0;2s + 1)(0;04s + 1)(0;008s + 1)(4s 1)(s + 0;5) (4.16) Como podemos observar este ejemplo cumple con el Lema 3 marginal- mente ya que 2 < 4 1 0;2 0;04 0;008 = 2;75: Esta diferencia nos garantiza que exista una ganancia que estabilice a dicho sistema, la cual podemos calcular como se hizo en el ejemplo anterior,
K = (5)(25)(125)(0;5)( 0;25) (7812;5) = 0;25
de la misma manera agregamos un " > 0, en este caso " = 0;04 para garantizar la estabilidad del sistema aproximado como lo muestra la Figura 4.5. El es BIBO estable si y solamente si < a
Pn i=1
bi.
28CAPÍTULO 4. ESTABILIZACIÓN POR RETRO. ESTÁTICA DE SALIDA.
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0
- 5 0 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0
T ie m p o
Salida
Figura 4.5: Grá…ca del sistema estabilizado
Ejemplo 3 Considere el sistema inestable de septimo orden dado por:
Y (s)
U (s) =0;000852
e 12;5s (4.17)
En donde:
= (0;084s + 1)(0;14s + 1)(0;157s + 1)(0;193s + 1)
= (0;21s + 1)(0;5s + 1)(22;22s 1)
Al hacer la aproximación de Taylor, del retardo de tiempo se obtiene un sistema de octavo orden:
Y (s)
U (s) =0;000852 En donde:
= (0;084s + 1)(0;14s + 1)(0;157s + 1)(0;193s + 1)
= (0;21s + 1)(0;5s + 1)(22;22s 1)(12;5s + 1)
Si aplicamos el Lema 3 a dicho sistema, tenemos que 12;5 < 22;22 2;4 = 19;82, es claro que el sistema 4.17 si cumple con las condiciones del Lema 3, por lo tanto existe una k que estabiliza a dicho sistema. El valor de k podemos obtenerlo fácilmente de la ecuación 4.17, despejamos a k, de igual manera que en los ejemplos anteriores,y a este valor agregamos un
" > 0 pero lo su…cientemente pequeño, para garantizar la estabilidad del sistema como se aprecia en la Figura 4.6.Con k = 125:
4.3. CONDICIONES PARA LA ESTABILIZACIÓN APROXIMANDO EL RETARDO.29
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014
T ie m p o
Salida
Figura 4.6: Grá…ca del sistema estabilizado
4.3.3. Condiciones para la estabilidad sin aproximar el re- tardo
Como resultado preliminar, se tomaran como punto de partida resultados anteriores, como son condiciones para la estabilización de un sistema de primero y segundo orden con retardo de tiempo [6] [11], bajo la estrategia de control del tipo:
U (s) = [R(s) Y (s)]k; (4.18)
Considérese el sistema inestable de primer orden con retardo de tiempo con a > 0,
Y (s)
U (s) = G(s)e s=
as 1e s (4.19)
El resultado esta reportado en [6]. Su demostración es sencilla usando un enfoque frecuencial o un enfoque discreto como en [6].
Lema 4 [6] Sea el sistema (4.19) y el control proporcional (4.18). Existe una ganancia k tal que el sistema en lazo cerrado,
Y (s)
R(s) = e s
as 1 + k e s (4.20)
es BIBO estable si y sólo si < a. Sea el sistema de segundo orden con retardo de tiempo:
30CAPÍTULO 4. ESTABILIZACIÓN POR RETRO. ESTÁTICA DE SALIDA.
Y (s)
U (s)G(s)e s=
(as 1)(bs + 1)e s (4.21) con a; b > 0:
Lema 5 Existe una ganancia k tal que el sistema en lazo cerrado.El resultado esta reportado en[12]
Y (s)
R(s) = e s
(as 1)(bs + 1) + k e s (4.22) es BIBO estable si y solamente si
< a b
Sea el sistema que nos ocupa en este trabajo:
Y (s)
U (s) = G(s)e s=
(as 1)(b1s + 1) (b2s + 1) ::: (bn 1s + 1)e s (4.23) con n 2 R; a; bi> 0 8i = 1; 2; :::; n:
Lema 6 Existe una ganancia k tal que el sistema en lazo cerrado.
Y (s)
R (s) = e s
(as 1)(b1s + 1) (b2s + 1) ::: (bn 1s + 1) + k e s (4.24)
es BIBO estable si y solamente si < a Xn i=1
bi.
Demostración. Considere el Lema 4 existe una ganancia k tal que el sistema G(s) = as 1e s en lazo cerrado es estable si y solamente si < a. Un análisis en el dominio de la frecuencia lo con…rma. La Figura: 4.8 muestra el diagrama de Nyquist para un sistema que satisface < a. El criterio de estabilidad de Nyquist establece que al cerrar el lazo con una ganancia k el sistema será estable si 0 = N + P , con P el numero de polos de G(s) en el semiplano derecho (P = 1 en este caso) y N el numero de rodeos a el punto 1 en sentido antihorario (N negativa en el otro sentido) en el diagrama de Nyquist. En este caso, existe una ganancia que estabiliza al sistema dado que hay un rodeo al punto 1: Cuando no se cumple la condición < a, no existen rodeos en sentido antihorario como se ilustra en la Figura 4.9. El ángulo en función de la frecuencia ! esta dado por:
\G(j!) = (180 tg 1!a) tg 1(! ):
Puede demostrarse que la condición < a es equivalente a pedir que el ángulo tenga (para alguna frecuencia) un valor superior a 180o; es decir,
\G(j!) > 180o: Si consideramos ahora el sistema que nos ocupa dado