Construcción y caracterización de materiales equivalentes a los tejidos humanos para su interacción con Rayos X en Radioterapia mediante el Código Penelope

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y FORMALES ESCUELA PROFESIONAL DE FÍSICA. CONSTRUCCIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE MATERIALES EQUIVALENTES A LOS TEJIDOS HUMANOS PARA SU INTERACCIÓN CON RAYOS X EN RADIOTERAPIA MEDIANTE EL CÓDIGO PENELOPE. Tesis presentada por: Bach. HUAMANI TAPIA, YEMBY YAHAIDA. Para optar el título profesional de licenciada en física. Asesor: Dr. VEGA RAMÍREZ, JOSÉ LUIS JAVIER. Arequipa – Perú 2018.

(2) Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa Facultad de Ciencias Naturales Y Formales Escuela Profesional de Física. Construcción y caracterización de materiales equivalentes a los tejidos humanos para su interacción con rayos X en radioterapia mediante el código PENELOPE.. Yemby Yahaida Huamani Tapia. Tesis presentada a la Facultad de Ciencias Naturales y Formales, de la Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa, para optar el título profesional de Licenciada en Física. ASESOR:. Dr. José Luis Javier Vega Ramírez.. Arequipa. 2018. I.

(3) FICHA CATALOGRÁFICA.. Huamani Tapia, Yemby Yahaida. CONSTRUCCIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE MATERIALES EQUIVALENTES A LOS TEJIDOS HUMANOS PARA SU INTERACCIÓN CON RAYOS X EN RADIOTERAPIA MEDIANTE EL CÓDIGO PENELOPE. Tesis presentada a la Facultad de Ciencias Naturales y Formales de la Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa.. ASESOR:. Dr. José Luis Javier Vega Ramírez.. 1. Radiaciones Ionizantes 2. Coeficiente de atenuación 3. Número atómico efectivo 4. PENELOPE 5. Materiales Equivalentes. II.

(4) FICHA DE APROBACIÓN CONSTRUCCIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE MATERIALES EQUIVALENTES A LOS TEJIDOS HUMANOS PARA SU INTERACCIÓN CON RAYOS X EN RADIOTERAPIA MEDIANTE EL CÓDIGO PENELOPE Yemby Yahaida Huamani Tapia. Proyecto de investigación presentada a la facultad de ciencias Naturales y Formales de la Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa.. Ficha de aprobación: Jurado Examinador. ___________________________________________ Dr. David Pacheco Salazar Facultad de Ciencias Naturales y Formales – Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa.. ___________________________________________ Lic. Alfredo Guzmán Valdivia Facultad de Ciencias Naturales y Formales – Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa.. ___________________________________________ Mg. Mario Pumacallahui Pineda Facultad de Ciencias Naturales y Formales – Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa. III.

(5) DEDICATORIA. A mí querida hermana Lucero por ser mi motivo de superación.. IV.

(6) AGRADECIMIENTOS. Gracias a Dios: Por darme la perseverancia y paciencia necesaria para afrontar cada reto del proyecto y por seguir ayudándome.. Gracias a mis padres: Por su comprensión, por enseñarme a perseverar cuando ya no se tiene fuerzas para continuar, por encaminarme en los retos de la vida y por su inmenso amor.. Gracias a mi asesor Dr. José Luis Javier Vega Ramírez y al grupo de física médica por el conocimiento impartido.. Agradezco a todos los profesores de la Escuela de Física, que todo el tiempo de estudiante, supieron impartir sus conocimientos y consejos que ayudaron a la culminación y llegar a este punto de término de este trabajo.. Quiero agradecer a la Dra. Patrícia Nicolucci de la Universidad de San PauloBrasil por ser parte de este trabajo, como Mentora y ayuda a encaminar este trabajo.. V.

(7) Agradezco a la Universidad Nacional de San Agustín a través del programa UNSA investiga que pertenece al Vicerrectorado de Investigación por la subvención de este trabajo con el número de contrato IBA-0046-2016.. VI.

(8) INDICE FICHA CATALOGRÁFICA. ................................................................................................ II FICHA DE APROBACIÓN.................................................................................................. III AGRADECIMIENTOS ......................................................................................................... V INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 10 CAPITULO I ........................................................................................................................ 13 MARCO TEÓRICO .............................................................................................................. 13 1.1.. Interacción de la radiación con la materia ............................................................ 13. 1.1.1.. Atenuación exponencial simple. ...................................................................... 14. 1.1.2.. Coeficiente de atenuación total para mezclas................................................... 16. 1.1.3.. Características del Espesor .............................................................................. 16. 1.1.4.. El coeficiente de atenuación másico (𝑚 𝜇). ..................................................... 17. 1.1.5.. El coeficiente de atenuación atómico (𝑎 𝜇). ..................................................... 17. 1.1.6.. El coeficiente de atenuación electrónico (𝑒 𝜇). ................................................ 18. 1.1.7.. Coeficiente de atenuación total. ....................................................................... 19. 1.2.. Secciones transversales ........................................................................................ 20. 1.2.1.. Dispersión Thomson ........................................................................................ 20. 1.2.2.. Dispersión Coherente de Rayleigh ................................................................... 24. 1.2.3.. Dispercion Compton ........................................................................................ 28. 1.2.4.. Efecto Fotoeléctrico. ........................................................................................ 34. 1.2.5.. Producción de pares ......................................................................................... 37. 1.2.6.. Transferencia de energía y energía absorbida. ................................................. 39. 1.2.7.. Número Atómico Efectivo ............................................................................... 41. CAPITULO II ....................................................................................................................... 43 MATERIALES Y METODOLOGÍA ................................................................................... 43 2.1.. Resina epoxi......................................................................................................... 43. 2.2.. Micro esferas fenoliticas. ..................................................................................... 45. 2.3.. Carbonato de calcio.............................................................................................. 45. 2.4.. Descripción equipo. ............................................................................................. 46. 2.5.. Código PENELOPE. ............................................................................................ 46. 2.6.. Auto-Zeff. ............................................................................................................ 47. 2.7.. Construcción de materiales equivalentes. ............................................................. 48. 2.7.1.. Construcción del tejido blando. ....................................................................... 49. 2.7.2.. Construcción del pulmón. ................................................................................ 49. 2.7.3.. Construcción del tejido adiposo. ...................................................................... 50. 1.

(9) 2.7.4.. Construcción del hueso. ................................................................................... 51. 2.8.. Experimentación de coloración en los pequeños moldes...................................... 53. 2.9.. Cálculos para la construcción de los moldes grandes. .......................................... 54. 2.10.. Construcción de los Tejidos Equivalentes con el código PENELOPE. ................ 56. 2.11.. Determinación del número atómico efectivo mediante el software Auto-Zeff ..... 57. CAPITULO III ...................................................................................................................... 58 ANÁLISIS Y RESULTADOS .............................................................................................. 58 3.1.. Densidad y análisis de SEM para los materiales equivalentes construidos........... 58. 3.2.. Coeficiente de Atenuación Másico Total de la resina .......................................... 61. 3.2.1. Coeficiente de Atenuación Másico Total (CAMT) para el tejido blando construido (TBC) .......................................................................................................... 64 3.2.2.. Coeficiente de atenuación para el tejido adiposo (TAC) .................................. 67. 3.2.3.. Coeficiente de atenuación para el pulmón (PC). .............................................. 70. 3.2.4.. Coeficiente de atenuación para el hueso (TOC). .............................................. 72. 3.2.5.. Coeficiente de atenuación para otros materiales .............................................. 74. 3.3. 3.3.1.. Número atómico efectivo (Zeff ) ........................................................................... 75 Comparación con materiales ya construidos. ................................................... 76. CONCLUSIONES ................................................................................................................ 79 RECOMENDACIONES ....................................................................................................... 80 REFERENCES ..................................................................................................................... 81 APENDICE A ....................................................................................................................... 85 APENDICE B ....................................................................................................................... 89. 2.

(10) LISTA DE FIGURAS. Figura 1: Esquema de absorción de la energía en un material biológico. (Cunningham Jhon Robert, 1983)..................................................................................................... 13 Figura 2: Experimento de Gedamken, para determinar el coeficiente de atenuación lineal. (Podgorsak, 2010). .......................................................................................... 14 Figura 3: Medición de la atenuación de fotones en un material absorvente de a) geometría del haz estrecho; b) geometría de haz ancho. (Podgorsak, 2010) ............. 15 Figura 4: Se muestra la intensidad I(x) en función del espesor (x) del material para haz de fotones mono-energéticos de capa hiperreductora x_(1⁄2), el camino libre medio (x ) ̅y la capa decimoreductora x_(1⁄10) (Podgorsak, 2010) ........................... 17 Figura 5: Coeficientes de atenuación másico y secciones transversales para el agua, en función de la energía del fotón. (Podgorsak, 2010) .............................................. 19 Figura 6: Esquematización de la dispersión de Thomson (Podgorsak, 2010) ........... 21 Figura 7: Sección transversal diferencial electrónico por unidad de ángulo sólido en función del ángulo de dispersión (Podgorsak 2010). ................................................. 22 Figura 8: Sección transversal diferencial electrónico por unidad de ángulo de dispersión en función del ángulo de dispersión (Podgorsak 2010)............................ 23 Figura 9: Factor de Forma atómica F(x,Z) para la dispersión Rayleigh graficado en función de la variable de transferencia de momento x=(sen (θ/2))/λ (Podgorsak 2010) ................................................................................................................................... 26 Figura 10: Secciones trasversales atómicos para la dispersión Rayleigh se muestran con curvas continuas y secciones transversales para la dispersión Compton se muestran con curvas discontinuas en función de la energía del fotón incidente para diversos atenuadores (Podgorsak, 2010) ................................................................... 28 Figura 11: Diagrama del efecto Compton (Podgorsak, 2010). .................................. 29 Figura 12: El factor de forma de Klein-Nishina, en función del ángulo de dispersión θ, para varios valores del parámetro de energía ε.( Podgorsak 2010) ....................... 31 Figura 13: La sección transversal diferencial electrónico Compton en función del ángulo de dispersión θ, para varios valores de ε e n una representación de coordenadas cartesiana y coordenadas polares (Podgorsak 2010) ............................ 32 Figura 14: Sección transversal electrónica total de Klein Nishina (Podgorsak 2010). ................................................................................................................................... 33 Figura 15: Distribución angular de fotoelectrones expulsados entre dos conos con un ángulo de medida entre φ y φ + dφ para una energía incidente hν del fotón en el rango de 10 keV a 10 MeV (Podgorsak 2010) .......................................................... 35 Figura 16: Sección transversal atómica fotoeléctrica 𝜏𝑎 contra la energía del fotón hv para diferentes absorbentes. (Podgorsak 2010) ......................................................... 37 Figura 17:a) Esquematización de la producción de pares y b) Esquematización de la producción triplete. (Podgorsak, 2010) ...................................................................... 39 Figura 18: a) Fotón de alta energía va perdiendo energía en su interacción con la materia b) El electrón de alta velocidad pierde su energía cinética por bremsstrahlung. .......................................................................................................... 40 3.

(11) Figura 19: Reacción química del proceso de endurecimiento de la resina epoxi ...... 44 Figura 20: Mostramos el material obtenido de la resina epoxi para determinar su densidad. .................................................................................................................... 45 Figura 21: a) Moldes de aluminio de 2 cm de diámetro, b) Balanza mettler PM480 delta range, c) Prenza de 200 toneladas y d) Moldes de aluminio de 30 cm de diámetro. .................................................................................................................... 46 Figura 22: Estructura de Archivos del Código PENELOPE (PEENELOPE, 2014) . 47 Figura 23: Muestras del Tejido equivalente al tejido blando hasta conseguir la densidad de 0,996 g/cm3. ........................................................................................... 49 Figura 24: Muestras pequeñas del tejido equivalente al pulmón hasta obtener la densidad de 0,29 g/cm3. ............................................................................................. 50 Figura 25: Procesamiento del hueso hasta conseguir partículas de diámetro aproximadamente a 50 micras ................................................................................... 52 Figura 26: Muestras pequeñas para el tejido equivalente al hueso hasta encontrar la densidad de 1,80 g/cm3 .............................................................................................. 52 Figura 27: Colorantes orgánicos para diferenciar los diferentes tejidos construidos. 53 Figura 28Muestras pequeñas con las diferentes pruebas de coloración. ................... 54 Figura 29: Materiales equivalentes construidos a base de resina y microesferas fenoliticas. El hueso está construido de carbonato de calcio y hueso de buey .......... 55 Figura 30: Diagrama de flujo que idealiza la generación y/o construcción de tejidos equivalentes en el código PENELOPE ...................................................................... 57 Figura 31: Coeficiente de atenuación másico para la resina epoxi Silikast. .............. 61 Figura 32 : a) Sección transversal y b) picos de absorción para la resina epoxi y el agua. ........................................................................................................................... 62 Figura 33: Comportamiento del coeficiente de atenuación másico para los diferentes materiales construidos en el rango de energía de 50 eV a 1GeV calculados por PENELOPE vs. 2014 ................................................................................................. 64 Figura 34: Coeficiente de atenuación del tejido blando y el tejido equivalente construido................................................................................................................... 65 Figura 35: Razón del CAM de los materiales sustitutos con respecto al CAM del tejido blando (ICRU-44) ............................................................................................ 66 Figura 36: Coeficiente de atenuación másico total del TAC, fierro, oxígeno y carbono....................................................................................................................... 68 Figura 37: Coeficiente de atenuación del tejido blando y el tejido equivalente construido................................................................................................................... 68 Figura 38: Razón del CAM de los tejidos sustitutos al tejido adiposo entre el CAM del tejido adiposo (ICRU-44) .................................................................................... 69 Figura 39: Coeficiente de atenuación másico del pulmón con la relación del PC/Pulmón (ICRU 44) . ............................................................................................. 71 Figura 40: Razón del CAM de los tejidos sustitutos al pulmón entre el CAM del pulmón (ICRU-44). .................................................................................................... 71 Figura 41: Coeficiente de atenuación del hueso con la relación del TOC/Hueso (ICRU 44). ................................................................................................................. 73. 4.

(12) Figura 42: Relación del CAMT de materiales sustitutos al hueso con respecto al hueso cortical de la ICRU-44, todos los materiales son normalizados sin hidrogeno, en el rango de energía de 0,1 MeV a 20 MeV. .......................................................... 74 Figura 43: Número Atómico Efectivo de los diferentes materiales construidos en un rango de energía 10 KeV a 10 GeV, calculados por el Auto Zeff v. 1.7 ................... 75 Figura 44: Número atómico efectivo de los diferentes materiales estudiados junto con los materiales construidos .......................................................................................... 77. 5.

(13) LISTAS DE TABLAS Tabla 1: Características del espesor. (Podgorsak, 2010) ........................................... 16 Tabla 2: Coeficientes de atenuación y secciones transversales en el estudio de atenuación del fotón (Podgorsak, 2010). .................................................................. 18 Tabla 3: Efectos más importantes para la interacción de los fotones con el absolvedor. (Podgorsak, 2010) ................................................................................. 20 Tabla 4: Energía transferida, Energía de Absorción, y coeficiente de interacción relacionados para el carbón. (Cunningham, 1983) .................................................... 41 Tabla 5: Densidad de la Resina epoxi. ....................................................................... 44 Tabla 6: Propiedades físicas de las micro esferas fenoliticas .................................... 45 Tabla 7: Pruebas de densidades para el tejido blando................................................ 49 Tabla 8: Pruebas de densidades para del pulmón. ..................................................... 50 Tabla 9: Pruebas de densidades para el tejido adiposo .............................................. 51 Tabla 10: Pruebas de densidades para el hueso. ........................................................ 52 Tabla 11: Pruebas de coloración teniendo como base el tejido blando. .................... 53 Tabla 12: Pruebas de coloración para el tejido adiposo............................................. 54 Tabla 13: Composición elemental porcentual de los materiales estudiados. ............. 60 Tabla 15: Número atómico efectivo para el espectro de Co-60 y LINAC 6 MeV .... 76. 6.

(14) LISTA DE SIGLAS. CAMT: Coeficiente de Atenuación Másico Total. DPP: Diferencia Porcentual Promedio. TPS: Tejido Pulmonar TBC: Tejido Blando Construido. TAC: Tejido Adiposo Construido. PC: Pulmón Construido. TOC: Tejido Óseo Construido. MC: Musculo Construido. CC: Cerebro Construido. TMC: Tejido Mamario Construido. HC: Hígado Construido RC: Riñón Construido VC: Vejiga Construido Zeff: Número Atómico Efectivo. ICRU: International Commission on Radiation Units and Measurements. NIST: National Institute of Stándar and Tenology. 7.

(15) RESUMEN. Los sistemas de planificación de tratamiento (TPS) convencional, utilizan materiales homogéneos como el agua y el acrílico, esto ocasiona cálculo de incertidumbre de dosis alta, por este motivo es necesario contar con materiales equivalentes sólidos para los diferentes tejidos y órganos del cuerpo humano. El objetivo de este trabajo fue construir 10 materiales equivalentes al cuerpo humano y caracterizarlos mediante el código PENELOPE y el software Auto Zeff , los materiales que se construyeron son: blando (TBC), adiposo (TAC), pulmón (PC), óseo (TOC), musculo (MC), cerebro (CC), mamario (TMC), hígado (HC), riñón (RC) y vejiga (VC), se determinó la densidad, el Coeficiente de Atenuación Másico Total (CAMT) y número atómico efectivo (Zeff). Los materiales equivalentes se construyeron a base de resina epoxi, mezcladas con esferas fenolíticas, carbonato de calcio y hueso de buey pulverizado, obteniendo muestras sólidas no maleables, no degradables y no tóxicos, los cuales fueron analizados por microscopia electrónica de barrido (SEM) que su análisis no determina el porcentaje de hidrogeno de los materiales construidos. Se obtuvieron las densidades de estos materiales desde 0,29 g/cm3 para el tejido pulmón y hasta 1,80 g/cm3 para el tejido óseo y para la caracterización se determinó el CAMT mediante el PENELOPE v. 2014 y para determinar el Número Atómico Efectivo Zeff se utilizó el software Auto Zeff v. 1,7. El análisis de SEM no permite la detección del porcentaje por peso del hidrogeno en todas las muestras. Por este motivo se extrajo el porcentaje de hidrogeno de todos los materiales equivalentes publicados en la ICRU44 y en otras investigaciones, para estar en las mismas condiciones y poder comparar con los resultados obtenidos en este trabajo. Los resultados indican una DPP máxima de 1,64% para la RC y una DPP mínima de 0,29% para el TOC en términos del CAMT de sus equivalentes que se encuentran en la ICRU, y se determinó el Zeff de estos materiales equivalente con respecto a la ICRU, encontrando un buen acuerdo para el TOC y el PC con respecto a otros trabajos relacionados para el rango de energía de 0,1 MeV a 20 MeV, Por lo tanto, todos nuestros tejidos construidos tienen buena concordancia con respecto a los valores de la ICRU y otros trabajos relacionados en términos del CAMT y Z eff, estos tejidos se pueden implementar en la TPS o se pueden usar para verificar los cálculos de TPS.. Palabras claves: Radiaciones, Coeficiente de atenuación, Número atómico efectivo, PENELOPE, Materiales Equivalentes. 8.

(16) ABSTRACT. The treatment planning systems (TPS) conventional in the treatment of tumors, give analytical calculations with very high dose uncertainty, for this reason it is necessary to have solid substitute materials for research and quality controls of radiation beams, which replace to the different tissues and organs of the human body for the different applications in Radiotherapy. The objective of this work was to build 10 new tissue substitutes to the human body as tissues: soft (TBC), adipose (TAC), lung (PC), bone (TOC), muscle (MC), brain (CC), breast ( TMC) and organs such as: liver (HC), kidney (RC), bladder (VC), was characterized to determine the density, the Total Mass Attenuation Coefficient (CAMT) and effective atomic number (Z eff). The equivalent materials were built with epoxy resin, mixed with phenolitic spheres, calcium carbonate and pulverized ox bone, obtaining non-malleable, non-degradable and non-toxic solid samples, which were analyzed by scanning electron microscopy (SEM) that It does not detect hydrogen in its analysis, since it is a fundamental element in human tissues. The densities of these materials were obtained from 0,29 g / cm3 for the lung tissue and up to 1,80 g / cm 3 for the bone tissue and for the characterization the CAMT was determined by the PENELOPE v. 2014 and to determine the Zeff Effective Atomic Number, the Auto Zeff v. Software was used. 1.7. The SEM analysis does not allow the detection of the percentage by weight of the hydrogen in all the samples. For this, the validation of our materials, we had to do so by extracting the amount of hydrogen from the substitute materials equivalent to ours, which are found in publications, in the ICRU-44, and the base of the National Institute of Standard and Tenology ( NIST), to be able to compare them. And we demonstrate that under these conditions our materials are equivalent. The results indicate a maximum DPP of 1,64% for the VC and a minimum DPP of 0,29% for the TOC in terms of the CAMT of their equivalents found in the ICRU, and the Zeff of these materials was determined equivalent to Regarding the ICRU, finding a good agreement for the TOC and the PC with respect to other related works for the energy range of 0,1 MeV to 20 MeV, Therefore, all our constructed fabrics have good agreement with respect to the ICRU values and other related work in terms of CAMT and Zeff, these tissues can be implemented in the TPS or can be used to verify TPS calculations. Key Words: Radiation, Attenuation Coefficient, Effective Atomic Number, PENELOPE, Equivalent Materials. 9.

(17) INTRODUCCIÓN. En la actualidad, se utiliza cubas de agua para simular el cuerpo humano en los diferentes equipos de radioterapia para realizar control de calidad, calibración de haces, cálculo de distribución de dosis, para la planificación de tratamientos de tumores y algunas investigaciones, debido a que estos estudios no se pueden realizar directamente en pacientes. El agua es un material estándar, que tiene un conjunto de problemas como sustituto al cuerpo humano, debido a que cuerpo humano está constituido de varios órganos y tejidos con diferentes densidades y propiedades de interacción, distintas radiológicamente al agua. Por este motivo es necesario contar con materiales equivalentes sólidos, que remplacen a los diferentes tejidos y órganos del cuerpo humano para ser utilizados en aplicaciones de radioterapia. De esta manera, la Escuela de Física de la Universidad Nacional de San Agustín ArequipaPerú, está construyendo materiales equivalentes al cuerpo humano para estudiar e investigar sus características y propiedades con respecto a la radiación ionizante (Chahuara 2015; Sellerico 2017). La necesidad de tener los principales materiales equivalentes disponibles a bajo costo y estudiarlos como materiales equivalentes aceptables.. En muchas universidades en el mundo continúan desarrollados materiales equivalentes sólidos para realizar estudios en radioterapia y radiodiagnóstico, debido a que los tejidos y órganos cambian en cada país, por el estilo de vida de los habitantes (Kim 2006).. Otros materiales que sirvieron como materiales o base, son poliestireno, acrílico, cera de abeja, nylon, entre otros materiales encontrando que son útiles para ser empleados en aplicaciones médicas. (White 1978; (Constantinou et al. 1982; Bradley et al. 1991; Tomimasu 2000; Jones 2003; Kinase et al. 2005; Winslow et al. 2009; Ferreira et al 2010; Yohannes et al. 2010ª, 2012b; Marwan et al. 2018). La resina epoxi tiene excelentes propiedades mecánicas (DeWerd y Kissick, 2014; Strzelec, 2007) que pueden adherirse a otros materiales solidos como la microesfera fenoliticas, estos materiales son comúnmente disponibles a bajo costo. Las características de la resina epoxi hacen que este material sea adecuado para la 10.

(18) construcción de tejidos sustitutos, donde mejora su poder de absorción igual al de los tejidos humanos (White 1978; constantino 1987; Kinase et al. 2005; Marwan et al. 2018).. El PENELOPE (PEnetration and Energy Loss Of Positrons and Electrons) es un código para simular transporte acoplado de fotones y electrones en estructuras, materiales complejas y calcular cantidades radiométricas (Salvat, 2013), esta herramienta flexible y confiable ha sido utilizado en diferentes estudios como radiodiagnóstico, mamografía digital y radioterapia encontrando un buen acuerdo con la parte experimental así como con otros códigos de Monte Carlo (Croce et al., 2012; Chin et al., 2014; Gallardo et al 2014; Lama et al.,2016; Fonseca et al., 2017). El software Auto Zeff desarrollado en el lenguaje de programación Macrosoft Visual Basic.NET, ha sido utilizado en diferentes estudios para calcular el número atómico efectivo en un rango de energía de 10 keV a 10 GeV para compuestos predefinidos y definidos por el usuario (Taylor et al., 2012), encontrando un buen acuerdo con el método de interpolación y el método directo (Singh & Badiger , 2012); Kurudiak, 2014; (Singh, Badiger, & Kucuk, Determination of Effective Atomic Numbers Using Different Methods for Some Low-Z Materials, 2014); Singh, 2014b (Singh & Badiger, Effective atomic numbers of some tissue substitutes by different methods: A comparative study, 2014)).. El objetivo de este trabajo fue construir y caracterizar 10 nuevos materiales al cuerpo humano como Tejido Blando Construido (TBC), Tejido Adiposo Construido (TAC), Pulmón Construido(PC), Tejido Óseo Construido (TOC), Musculo Construido (MC), Cerebro Construido (CC), Tejido Mamario Construido (TMC), Hígado Construido (HC), Riñón Construido (RC), Vejiga Construida(VC)a base de resina epoxi mezclados con aditamentos químicos sólidos, para aplicaciones en radioterapia, y determinar los. parámetros más importantes en su caracterización utilizando el. código PENELOPE y software Auto Zeff, para encontrar el coeficiente de atenuación másico y numero atómico efectivo, estas cantidades pueden ser calculadas usando la energía del fotón incidente y la composición elemental de los materiales.. En los capítulos I desarrollamos todo el marco teórico utilizado en este trabajo con respecto a tejidos equivalentes. En el capítulo II desarrollamos todos los materiales 11.

(19) la construcción de los materiales equivalentes con el código PENELOPE y el software Auto Zeff para la caracterización de acuerdo al análisis de microscopia electrónica SEM, en el capítulo III desarrollamos el análisis y resultados de toda la caracterización de nuestros materiales y por ultimo tenemos las conclusiones recomendaciones.. 12.

(20) CAPITULO I MARCO TEÓRICO 1.1. Interacción de la radiación con la materia Un parámetro importante en la radiología es el coeficiente de atenuación lineal (atenuación exponencial), cuando un haz de rayos x interacciona con la materia este pasa por un proceso de atenuación debido a que los fotones experimentan diversas interacciones con los átomos del medio absorbente. Estas interacciones pueden ser con el núcleo o los electrones orbitales del absorbente (dispersión coherente, dispersión incoherente, fotoeléctrico y producción de pares), si este haz interacciona con un material bilógico produce muchos daños congénitos, el has de rayos x deposita su energía en el material, la energía depositada en una unidad de volumen de masa m se conoce como la dosis de absorción y es una cantidad muy usada para predicción de efectos bilógicos. En la Figura 1 se muestra un esquema de absorción de energía.. Haz de rayos x. La interaccion primaria. Transferencia de energia. Dispercion del foton. Excitacion,Ionizacion, Rompimiento molecular, calor. Cambios quimicos. Bremsstrahlung. Daños biologicos. Figura 1: Esquema de absorción de la energía en un material biológico. (Cunningham Jhon Robert, 1983). 13.

(21) 1.1.1. Atenuación exponencial simple. El parámetro más importante para caracterizar los materiales frente a la radiación ionizante (rayos x o rayos gama) es el coeficiente de atenuación lineal μ. Este parámetro depende la energía hν y del número atómico Z del absolvedor y es descrito como la probabilidad por unidad de longitud de la trayectoria que tenga un fotón al interaccionar con el absolvedor. La relación funcional entre el grosor de un atenuador y la intensidad de un haz de fotones atenuada puede ser descrito por el experimento de Gedanken se muestra la Figura 2. Fuente de radiación. Material. Detector Figura 2: Experimento de Gedamken, para determinar el coeficiente de atenuación lineal. (Podgorsak, 2010).. Un haz colimado mono energético de fotones de energía ℎ𝑣 con una intensidad inicial 𝐼0 interacciona con un atenuador de espesor 𝑛ℓ = 𝑥, la intensidad atenuada en el atenuador es ∆𝐼 que es proporcional a la intensidad inicial y a la variación del espesor ∆𝑥 como se muestra en la ecuación 1. (Cunningham, 1983) ∆𝐼 𝛼 𝐼0 ∆𝑥. (1). En la ecuación 2 se muestra una igualdad donde hay un parámetro intrínseco del atenuador con un signo negativo que significa la disminución de la intensidad. ∆𝐼 = −𝜇 𝐼0 ∆𝑥 14. (2).

(22) Después de desarrollar la ecuación 2 encontramos que la intensidad final es igual la intensidad inicial multiplicada por una función exponencial, como se muestra en la ecuación 3 𝐼 (𝑥 ) = 𝐼0 𝑒 −𝜇𝑥. (3). Dónde: 𝐼0 = La intensidad del haz sin atenuar 𝜇 = Coeficiente de atenuación lineal Usualmente la ecuación 3 es usada para determinar de manera experimental el coeficiente de atenuación 𝜇, utilizando la geometría del has estrecho con un has mono energético, como se muestra en la Figura 3. No se utiliza la geometría del has amplio debido a que este produce mucha dispersión, lo que no daría una situación real y una buena toma de datos.. Geometría del has estrecho. Geometría del has amplio. Figura 3: Medición de la atenuación de fotones en un material absorvente de a) geometría del haz estrecho; b) geometría de haz ancho. (Podgorsak, 2010). Se puede utilizar la ecuación 3 teniendo en cuenta estas dos consideraciones. 1. Cuando el coeficiente de atenuación μ es constante y la absorción de radiación es sin ningún tipo de dispersión ni producción de radiación secundaria en el atenuador. 2. Cuando la dispersión y la radiación secundaria, no contribuyen a 𝐼 (𝑥 ) de forma considerable. 15.

(23) 1.1.2. Coeficiente de atenuación total para mezclas. Para calcular la atenuación de rayos x por compuestos tales como H2O, o mezclas como aire, músculo, grasa, o hueso, el coeficiente de atenuación puede ser determinado añadiendo el coeficiente individual para los átomos envueltos en la mistura (material) como se puede apreciar en la ecuación 4. 𝜇. (𝜌 ). 𝜇. 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜. = ∑ 𝑓𝑖 (𝜌). (4). 𝑖. Donde. f1  𝑓𝑖. peso del elemento peso del compuesto : Factor de peso o porcentaje en peso del elemento. 𝜇. (𝜌) : E l coeficiente de atenuación másico total de cada elemento 𝑖. 1.1.3. Características del Espesor Para caracterizar el espesor del material, consideramos la capa hiperreductora (HVL de las siglas en inglés) que es el espesor que disminuye la intensidad del has inicial a la mitad, también se puede determinar el espesor la capa decimo reductora que reduce a un décimo la intensidad del has inicial y por ultimo camino libre medio todas estas características se muestran en la Tabla 1. Tabla 1: Características del espesor. (Podgorsak, 2010). Espesor característico Hiperreductora. Camino libre medio.. Capa decimoreductora.. Concepto Es el espesor que reduce la intensidad inicial a la mitad 𝐼𝑜 𝐼 (𝑥1 ) = 2 2 Es la distancia promedio que un fotón viaja a través de un material homogéneo con una energía ℎ𝜈 antes de someterse a una. interacción 𝐼 (𝑥̅ ) = 0,368𝐼0 Es el espesor que reduce la 𝐼𝑜 a la décima parte. 𝐼𝑜 𝐼 (𝑥 1 ) = 2 10. 16. Formula 𝑥1/2 =. 𝑥̅ =. 𝑥1/10 =. 𝑙𝑛2 𝜇. 1 𝜇. 𝑙𝑛10 𝜇.

(24) Figura 4: Se muestra la intensidad I(x) en función del espesor (x) del material para haz de fotones monoenergéticos de capa hiperreductora x_(1⁄2), el camino libre medio (x ) ̅y la capa decimoreductora x_(1⁄10) (Podgorsak, 2010). En la Figura 4 se muestra las características del espesor y la representación de la atenuación exponencial, donde podemos apreciar que a medida que aumentamos el espesor, la intensidad final disminuye. 1.1.4. El coeficiente de atenuación másico ( 𝒎𝝁). Es definido como el coeficiente de atenuación lineal  dividido por unidad de masa de volumen del atenuador (densidad de la masa del atenuador ρ). El coeficiente de 𝜇. atenuación másico 𝜇𝑚 = 𝜌 es independiente de la densidad del atenuador y su unidad en el SI es m2/kg. 1.1.5. El coeficiente de atenuación atómico ( 𝒂𝝁). Es definido como el coeficiente de atenuación lineal 𝜇 dividido por el número de átomos Na por unidad del volumen V del atenuador. También puede ser definido como el coeficiente de atenuación másico μ/ρ dividido por el número de átomos Na del medio adsorbente. La unidad en el SI del coeficiente de atenuación atómico es m2/átomo.. 17.

(25) 1.1.6. El coeficiente de atenuación electrónico ( 𝒆𝝁). Es definido como el coeficiente de atenuación lineal 𝜇 dividido por el número de electrones Ne por volumen del adsorvedor. También puede ser definido como el coeficiente de atenuación de másico (μ/ρ) dividido por el número de electrones Ne por masa del atenuador. La unidad en SI del coeficiente de atenuación electrónico es m2/electrón.. Ya que los coeficientes de atenuación de masas, atómicos y electrónicos son medidos en unidades de área por masa, área por átomo y área por electrón, respectivamente, usualmente son referidos como secciones transversales en el uso corriente de la nomenclatura de física nuclear. La relación entre los diferentes coeficientes de atenuación o secciones transversales de interacción puede ser expresada así. 𝜇 = 𝜌𝜇𝑚 = 𝑛. 𝜇𝑎 = 𝑍𝑛𝜇𝑒. (5). En la Tabla 2 se muestra cada coeficiente, su símbolo y sus unidades respectivas Tabla 2: Coeficientes de atenuación y secciones transversales en el estudio de atenuación del fotón. (Podgorsak, 2010). Coeficientes Coeficiente de atenuación Lineal Coeficiente de atenuación mássica Coeficiente de atenuación atómica (Sección transversal) Coeficiente de atenuación electrónico (corte transversal). Símbolo. Relación. 𝜇. 𝜇. 𝜇𝑚 𝑎𝜇. 𝑒𝜇. 𝜇 𝜌 𝜇 𝑛 𝜇 𝑍𝑛. Unidades SI m-1. Unidades Comunes cm-1. m2 / kg. cm2 / kg. m2/átomo. cm2 / átomo. m2/electrones. cm2/electrones. Dónde:.  = Es la densidad másica del absorbente.. n = es el número de átomos 𝑁𝑎 por volumen V del atenuador, es decir, 𝑛 = 𝑁𝑎 𝑉. =𝜌. 𝑁𝑎 𝑚. =𝜌. 𝑁𝐴 𝐴. 𝑁𝑎 𝑉. y. con el m de la masa del atenuador, NA el número de Avogadro de. átomos por mol, y la masa atómica del amortiguador en g/mol. 18.

(26) Z = Es el número atómico del atenuador.. Z n = Es el número de electrones por unidad de volumen V del atenuador, es decir 𝑍𝑛 = 𝜌𝑍. 𝑁𝐴 𝐴. 1.1.7. Coeficiente de atenuación total. Cuando un fotón interacciona con un atenuador o un material equivalente al tejido o órgano del cuerpo humano, cualquiera del proceso físico puede ocurrir (Dispersión coherente, dispersión incoherente, efecto fotoeléctrico, producción de pares). El coeficiente de atenuación es mayor para fotones de baja energía donde predomina el efecto fotoeléctrico, para fotones de energía intermedia el coeficiente de atenuación va disminuyendo, donde domina el efecto Compton, para altas energías el proceso dominante es la producción de pares. (Podgorsak, 2010) La probabilidad de interacción es proporcional a la suma de las secciones transversales de todos los efectos físicos, como se muestra en la ecuación 6. El coeficiente de atenuación lineal total, μ, es la suma de los cuatro efectos físicos como se observa en la Figura 5.. (6). 𝝁. Coeficiente de atenuación másico 𝝆 (cm2/g). 𝜇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜎𝑅𝑎𝑦𝑙𝑒𝑖ℎ + 𝜏𝐹𝑜𝑡𝑜𝑒𝑙𝑒𝑐𝑟𝑖𝑐𝑜 + 𝜎𝐶𝑜𝑚𝑝𝑡𝑜𝑛 + 𝜅𝑃𝑎𝑟𝑒𝑠. Energía (MeV) Figura 5: Coeficientes de atenuación másico y secciones transversales para el agua, en función de la energía del fotón. (Podgorsak, 2010). 19.

(27) 1.2. Secciones transversales Los fotones con energías ℎ𝑣 tienen varias formas de interaccionar con el material. Las interacciones más importantes en física médica y dosimetría de radiación se resumen en la Tabla 3. Tabla 3: Efectos más importantes para la interacción de los fotones con el absolvedor. (Podgorsak 2010) Interacción. Dispersión de Thomson Dispersión de Rayleigh Dispersión Compton Efecto fotoeléctrico Producción de pares. Símbolo para el coeficiente de atenuación electrónico (sección transversal) (banrs). Símbolo para el coeficiente de atenuación atómico (sección transversal) (banrs). Símbolo para el coeficiente de atenuación lineal (banrs). 𝑒 𝜎𝑇ℎ. 𝑎𝜎𝑇ℎ. 𝜎𝑇ℎ 𝜎𝑅 𝜎𝐶 𝜏 𝜅𝑃𝑃. 𝑎𝜎𝑅 𝑒 𝜎𝐶. 𝑎𝜎𝐶 𝑎𝜏 𝜅 𝑎 𝑃𝑃. 1.2.1. Dispersión Thomson La dispersión Thomson se produce abajas energías, cuando la energía ℎ𝑣 del fotón incidente es mucho menor que la energía en reposo del electrón (ℎ𝑣 ≪ 𝑚𝑒 𝑐 2 ) , es decir los electrones están débilmente ligados (electrones libres), es descrito suficientemente por la teoría clásica no relativista de Joseph J. Thomson. Thomson supuso que el haz de fotón incidentes, pone a cada electrón cuasi libre del átomo del atenuador en una oscilación resonante forzada, que de acuerdo a la teoría clásica se calcula la sección transversal de la nueva emisión de radiación electromagnética, a consecuencia de la oscilación del dipolo inducida del electrón. (Podgorsak, 2010). Los fotones dispersados son denominados dispersión de Thomson (Dispersión elástico).. Para la demostración de la sección transversal de Thomson vamos a recordar un poco la radiación de una partícula cargada, para ello comenzaremos con la deducción de la potencia radiada por un conjunto de cargas móviles. En la Figura 6 se muestra la interacción de un fotón incidente con energía ℎ𝑣 que interacciona con un electrón, produciendo un dipolo eléctrico el cual emite una radiación y se dispersa en un ángulo 𝜃, el ángulo Θ está formado del dipolo y la dirección del fotón dispersado. (el 20.

(28) ángulo. 𝜃 y ángulo Θ no son coplanares), de la Figura 6 será utilizada para. determinar el vector de Poynting saliente. (Deducida en el apéndice A).. Fotón incidente 𝒉𝒗,. Fotón incidente 𝒉𝒗. Figura 6: Esquematización de la dispersión de Thomson (Podgorsak, 2010). 1.2.1.1.. Sección transversal diferencial electrónica de Thomson por unidad de ángulo sólido.. La probabilidad de que la energía contenida dentro de la onda incidente se disperse en un ángulo sólido 𝑑Ω con respecto al ángulo de dispersión 𝜃 se denomina sección transversal diferencial electrónica por unidad de ángulo sólido para la dispersión Thomson, y se muestra en la ecuación 7. 𝑑𝑒 𝜎𝑇ℎ 𝑑Ω. 𝑑𝑒 𝜎𝑇ℎ 𝑑Ω. =. 𝑟𝑒2 2. (1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃). : Es la sección transversal diferencial electrónico de Thompson. 𝑟𝑒2 : Es el radio de Bohr 𝜃: Angulo de dispersión del fotón. 21. (7).

(29) En la Figura 7 se muestra el comportamiento de la sección transversal diferencial electrónica por unidad de ángulo solido en función del ángulo de dispersión en un rango de 0 a 𝜋, donde se obtiene un valor de 39,7 mb/ electrón. estereorradián en θ =90° y alcanza un valor máximo de 79,4 mb/ electrón. estereorradián en θ = 0° y θ = 180°.. 𝒅𝛀. Sección Transversal electrónica 𝐦𝐛 (𝐞𝐥𝐞𝐜𝐭𝐫ó𝐧. 𝐬𝐫). 𝒅𝒆 𝝈𝑻𝒉. Ángulo de dispersión 𝜽 (deg). Ángulo de dispersión 𝜽 (rad) Figura 7: Sección transversal diferencial electrónico por unidad de ángulo sólido en función del ángulo de dispersión (Podgorsak 2010).. La sección transversal diferencial electrónica por unidad de ángulo de dispersión θ para dispersión Thomson se puede obtener a partir de la sección transversal diferencial electrónica por unidad de ángulo sólido y se define como la fracción de la energía incidente que se dispersa en un cono contenido entre θ y θ + dθ, teniendo en cuenta que dΩ = 2π sin θ dθ, se expresa de la siguiente manera: 𝑑𝑒 𝜎𝑇ℎ 𝑑θ. = 𝜋𝑟𝑒2 sin 𝜃 (1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃). 22. (8).

(30) 𝒅𝛉. Sección Transversal electrónica 𝐦𝐛 (𝐞𝐥𝐞𝐜𝐭𝐫ó𝐧. 𝐬𝐫). 𝒅𝒆 𝝈𝑻𝒉. Ángulo de dispersión 𝜽 (deg). Ángulo de dispersión 𝜽 (rad) Figura 8: Sección transversal diferencial electrónico por unidad de ángulo de dispersión en función del ángulo de dispersión (Podgorsak 2010).. En la Figura 8 se muestra el comportamiento de la sección transversal diferencial electrónica por unidad de ángulo de dispersión en función del ángulo de dispersión, donde se obtiene un valor de cero en θ = 0 y θ = 180°, alcanza un valor máximo en θ = 55° y θ = 125°y un mínimo diferente de cero en θ = 90°.. 1.2.1.2.. Sección transversal electrónica total para dispersión Thomson. La sección transversal electrónica total para dispersión Thomson es obtenida a partir del área bajo curva de la sección transversal diferencial electrónica por unidad de ángulo θ que se muestra en la ecuación 9, para este cálculo debemos integrar sobre θ, el cual va de 0° a 180° y se obtiene:. 𝑒 𝜎 𝑇ℎ. =. 8𝜋 2 𝑟 3 𝑒. = 0,665 𝑏. (9). Este es un resultado notable porque la sección transversal electrónica total no contiene términos dependientes de la energía y no predice ningún cambio en la 23.

(31) energía tras la reemisión de la radiación electromagnética. La sección transversal 𝑒 𝜎 𝑇ℎ. se llama la sección transversal clásica de Thomson para un electrón libre y tiene. el mismo valor (0,665 b) para todas las energías de fotones incidentes.. 1.2.1.3.. Sección transversal atómica total para dispersión Thomson. La sección transversal atómico total para dispersión Thomson en términos de sección transversal electrónico esta expresado de la siguiente manera: 𝑎𝜎𝑇ℎ. = 𝑍( 𝑒𝜎𝑇ℎ ). (10). Donde la constante de equivalencia es el número atómico el cual muestra una relación lineal con la sección transversal atómica total.. Para las energías de hv que excedan la energía de enlace y que sean pequeñas en comparación con la energía de masa en reposo, la sección transversal atómica 𝑎𝜎𝑡ℎ medida a angulos de dispercion θ pequeño se aproxima al valor de Thomson que se muestra en la ecuación 9. A valores mayores de θ y de energía (hν → m ec2), la teoría clásica de Thomson se rompe y la intensidad de la radiación dispersada de forma coherente sobre los electrones libres disminuye a favor de la radiación dispersada de Compton incoherentemente.. 1.2.2. Dispersión Coherente de Rayleigh La dispersión de Rayleigh es una interacción entre un fotón y el átomo de un atenuador caracterizado por la dispersión de fotones en electrones atómicos enlazados. El átomo no es excitado ni ionizado como resultado de la interacción, después de la interacción de los electrones ligados vuelven a su estado original. El átomo en su conjunto absorbe el impulso transferido pero su energía de retroceso es muy pequeña y el fotón incidente se dispersa con un ángulo de dispersión 𝜃, tiene esencialmente la misma energía que el fotón inicial. Los ángulos de dispersión son relativamente pequeños porque el retroceso impartido al átomo no produce excitación atómica o ionización.. 24.

(32) 1.2.2.1.. Sección Transversal Diferencial atómico por unidad de ángulo sólido para la Dispersión de Rayleigh.. La sección transversal diferencial atómico de Rayleigh por unidad de ángulo sólido está definido como sigue: 𝑑𝑒𝜎𝑅. 𝑑Ω. 𝑑𝑎 𝜎𝑅 𝑑Ω. =. =. 𝑟𝑒2 2. 𝑑 𝑒𝜎𝑇ℎ 𝑑Ω. {𝐹(𝑥, 𝑍)}2. (11). 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 {𝐹(𝑥, 𝑍)}2. (12). Donde 𝑑𝑒 𝜎𝑇ℎ 𝑑Ω. : Es la sección transversal diferencial electrónico de Thompson por unidad de. ángulo sólido 𝐹 (𝑥, 𝑍): Es el factor de forma atómico de la dispersión Rayleigh con la variable de la transferencia de energía cinética 𝑥 =. 𝑠𝑒𝑛 𝜆. 𝜃 2. .. 𝜆: Es la longitud de onda del fotón incidente. 𝑍: Es el número atómico.. 1.2.2.2.. La sección transversal diferencial atómico por unidad de ángulo dispersado 𝜃 para la dispersión Rayleigh. La sección transversal atómica de Rayleigh esta dado de la siguiente manera 𝑑𝑎 𝜎𝑅 𝑑𝜃. 𝑑𝑎 𝜎𝑅 𝑑𝜃. por unidad de ángulo dispersado. = 𝑟𝑒2 𝜋𝑠𝑒𝑛𝜃 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 {𝐹(𝑥, 𝑍)}2. (13). Para determinar la expresión completa de la ecuación 12 y 13 se debe conocer el factor de forma de Rayleigh. Los cálculos del factor de forma atómica de Rayleigh 𝐹 (𝑥, 𝑍) son difíciles de realizar, puesto que se basan en funciones de onda atómicas, pueden llevarse a cabo analíticamente solo para el átomo de hidrogeno, para todos 25.

(33) los demás átomos los cálculos se basan en diversos aproximaciones y modelos atómicos, tales como el Thomson- Fermi, Hartree, o modelos de Hartree- Fock. El factor de forma atómica 𝐹 (𝑥, 𝑍) es igual a Z para pequeños ángulos de dispersión, y se aproxima a cero para grandes ángulos de dispersión. Sus valores se representan en la Figura 9 en función de la variable de transferencia de momento 𝑥 =. 𝜃 2. 𝑠𝑒𝑛 ( ) 𝜆. para. Factor de forma atómica 𝑭(𝒙, 𝒁). diversos absorbentes que varían en un número atómico de Z=1 a Z=82. 𝜃. Variable de transferencia de momento 𝑥 =. 𝑠𝑒𝑛 ( 2 ) 𝜆. ̇ −1 (𝐴). Figura 9: Factor de Forma atómica F(x,Z) para la dispersión Rayleigh graficado en función de la variable de transferencia de momento x=(sen (θ/2))/λ (Podgorsak 2010). Las principales características de la dispersión de Rayleigh pueden resumirse como sigue: En fotones con alta energía, la dispersión de Rayleigh se limita a pequeños ángulos de dispersión para todo los absovedores.. A bajas energías de fotones, en particular para los atenuadores de números atómicos Z altos, la distribución angular de los fotones dispersados –Rayleigh es mucho más amplio. En esta variación de energía la sección transversal atómica Rayleigh supera la sección transversal atómico de Compton, en comparación con la sección transversal atómica Rayleigh por lo tanto se ignora en el transporte de rayos gama, así como los cálculos de barrera en el blindaje.. 26.

(34) La dispersión de Rayleigh no juega ningún papel en la dosimetría de la radiación, ya que no hay energía que se transfiere a las partículas cargadas a través de la dispersión de Rayleigh. Sin embargo, la dispersión es de interés en el diagnóstico por imagen, ya que tiene efecto adverso la calidad de la imagen.. 1.2.2.3.. Sección transversal atómica para la Dispersión de Rayleigh.. La sección transversal atómica total se puede calcular mediante la interacción de la sección transversal diferencial electrónico por unidad de ángulo dispersado a lo largo de todos los posibles ángulos de dispersión es decir 𝑑𝑎 𝜎𝑅 𝑑𝜃. 𝑎 𝜎𝑅. = 𝑟𝑒2 𝜋𝑠𝑒𝑛𝜃 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 {𝐹(𝑥, 𝑍)}2 𝜋. = 𝑟𝑒2 𝜋 ∫0 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 {𝐹(𝑥, 𝑍)}2 𝑑𝜃. (14). (15). Para energías bajas, el factor de forma en el sub integrado no difiere demasiado de 𝐹(𝑥, 𝑍)y la dispersión coherente se reduce a la dispersión Thompson .Por consiguiente. 𝑎 𝜎𝑅. 8. = 3 𝜋𝑟𝑒2 𝑍 2. 𝑎 𝜎𝑅. (16). 1. ∝ (ℎ𝜈)2. (17). Estos comportamientos asintóticos se ven claramente en la Figura 10, donde se han representado las secciones eficaces totales Rayleigh. 27.

(35) Sección transversal atómica 𝒂𝝈𝑹 y 𝒂𝝈𝑪 (b/átomo). Energía 𝒉𝒗 (MeV) Figura 10: Secciones trasversales atómicos para la dispersión Rayleigh se muestran con curvas continuas y secciones transversales para la dispersión Compton se muestran con curvas discontinuas en función de la energía del fotón incidente para diversos atenuadores (Podgorsak, 2010). 1.2.2.4.. Coeficiente de atenuación másico para la dispersión de Rayleigh. El coeficiente de atenuación másico de Rayleigh 𝜎 𝑅 / 𝜌 se determina a través de la relación estándar 𝜎𝑅 𝜌. =. 𝑁𝐴. 𝜎 𝐴 𝑎 𝑅. (18). Pueden hacerse dos conclusiones importantes: Como 𝑎𝜎 𝑅 𝛼 𝑍 2 / (ℎ𝜈) 2 y A ≈ 2Z, concluimos que. 𝜎𝑅 𝜌. 𝛼 𝑍 2 / (ℎ𝜈) 2 donde Z y A. son el número atómico y la masa, respectivamente, de la amortiguador. Puesto que ninguna energía se transfiere a las partículas cargadas en la dispersión de Rayleigh, el coeficiente de transferencia de energía para la dispersión de Rayleigh es cero: (𝜎𝑅) 𝑡𝑟 = 0. 1.2.3. Dispercion Compton El efecto compton es un proceso de dispersión inelástica, consiste en la interacción de un fotón de energía ℎ𝜈 con electrones que tiene energía de ligadura mucho menor que la energía del fotón incidente. Durante el proceso de dispersión parte de la energía del fotón incidente es dispersada y es parte transferido en forme de energía cinética del electrón, conocido como electrones Compton.. 28.

(36) El fotón sufre una interacción con un electrón débilmente ligado al átomo, cediéndole parte de su energía. El electrón se desvía de su trayectoria y es emitido a un ángulo 𝜙. El fotón con su energía. Figura 11: Diagrama del efecto Compton (Podgorsak, 2010).. Para determinar la sección transversal diferencial de Compton, en 1928 Klein y Nishina utilizo la teoría relativista de Dirac al electrón para obtener resultados que tuvieran en cuenta los aspectos cuánticos y relativistas del proceso. Debido a que el valor obtenido por Thomson es de 6,65 x10-25 cm2 y este valor es independiente de la energía y solo es válido para energías incidentes del fotón menores que ℎ𝑣 > 0,01 MeV. El error alcanzó un factor de 2 en esta energía ℎ𝑣 = 0,4MeV. El tratamiento de Klein-Nishina (K-N) fue notablemente y exitoso en la predicción del valor experimental correcto, aunque trabajaron con electrones no ligados e inicialmente en reposo.. 1.2.2.1.. Sección transversal diferencial electrónica por unidad de ángulo. solido para la dispersión Compton. La sección transversal diferencial para la dispersión de fotones en el ángulo 𝜃, por unidad de ángulo sólido y por un electrón, puede escribirse de la siguiente manera:. 𝑑 𝑒𝜎𝑐 𝑑Ω. =. 𝑟𝑒2 ℎ𝑣´ 2 2. ℎ𝑣´. ℎ𝑣. ( ℎ𝑣 ) ( ℎ𝑣 + ℎ𝑣´ − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃) 29. (19).

(37) La ecuación (19) puede aproximarse a la sección diferencial de Thomson para bajas 𝑐𝑚2 ) 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛. (. energías cuando ℎ𝑣´ ≈ ℎ𝑣. Las unidades son 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑜𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝜎𝑐𝐾𝑁 𝑑Ω. =. 𝑟𝑒2 2. (1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 )𝐹𝐾𝑁. (20). Dónde: 𝑑𝑒 𝜎𝑐𝐾𝑁 𝑑Ω. : Secciones transversales diferencial electrónico de Compton por unidad de. ángulo sólido. 𝜃: Es el ángulo de dispersión del fotón. 𝑟𝑒 : Es el radio clásico del electrón 2,82 × 10−18 𝑐𝑚. 𝐹𝐾𝑁 : Es el factor de forma de Klein-Nishina El factor de forma Klein-Nishina 𝐹𝐾𝑁 (ℎ𝑣, 𝜃 ) para un electrón libre es expresada de la siguiente manera. 𝐹𝐾𝑁 (ℎ𝑣, 𝜃 ) =. 1 1+𝜀(1−cos(𝜃). {1 + 2. 𝜀 2 (1−𝑐𝑜𝑠𝜃)2 1+𝜀(1−𝑐𝑜𝑠𝜃) (1+𝑐𝑜𝑠2 𝜃). }. (21). El factor de forma de Klein-Nishina, depende de la energía del fotón incidente y del ángulo de dispersión del fotón 𝜃, se representa gráficamente en la Figura 12 en función del ángulo de dispersión 𝜃, para varios valores del parámetro de energía 𝜀 . Para 𝜀 = 0, el factor de forma es igual a 1, independientemente del ángulo de dispersión 𝜃, Como se muestra en la ecuación (21) y en la Figura 12, sin embargo, es fácil ver que: 𝐹𝐾𝑁 (ℎ𝑣, 𝜃 ) ≤ 1 Para todo 𝜃 𝑦 𝜀. 𝐹𝐾𝑁 (ℎ𝑣, 𝜃 ) = 1 para 𝜃 = 0 para todo valor de 𝜀. 𝐹𝐾𝑁 (ℎ𝑣, 𝜃 ) = 1 para 𝜀 = 0 para todo valor de 𝜃.. 30.

(38) Factor de forma Klein-Nishina 𝑭𝑲𝑵. Ángulo de dispersión 𝜽 (deg). Ángulo de dispersión 𝜽 (rad). Figura 12: El factor de forma de Klein-Nishina, en función del ángulo de dispersión θ, para varios valores del parámetro de energía ε.( Podgorsak 2010). La sección transversal diferencial electrónico de la dispersión Compton dada por la ecuación (20) se representa en la Figura 13 en función del ángulo de dispersión 𝜃, para varios valores de 𝜀, van desde 𝜀 ≈ 0 que resulta 𝐹𝐾𝑁 (ℎ𝑣, 𝜃 ) = 1 para todos los valores de los ángulos de dispersión 𝜃 (es decir, Dispersión Thomson). Para dar una mejor ilustración del fenómeno de la dispersión de Compton. Las siguientes características son notables: Para una energía pequeña la probabilidad de dispersión hacia adelante (𝜃 = 0) y la retrodisperción (𝜃 = 𝜋) son iguales a 79,4 mb (dispersión de Thomson), es dos veces 𝜋. más grande que la probabilidad para la dispersión lateral (𝜃 = 2 ). A medida que aumenta la energía del fotón incidente ℎ𝑣, se da más la dispersión frontal y la retrodispersión disminuye rápidamente. Por lo tanto, la probabilidad de retrodispersión disminuye pero la probabilidad de dispersión frontal permanece constante a 79,4 mb (límite Thomson).. 31.

(39) 𝐦𝐛 (𝐞𝐥𝐞𝐜𝐭𝐫ó𝐧. 𝐬𝐫) 𝒅𝒆 𝝈𝑲𝑵 𝒄 𝒅𝛀. Sección transversal diferencial electrónica. Ángulo de dispersión 𝜽 (deg). Ángulo de dispersión 𝜽 (rad). Figura 13: La sección transversal diferencial electrónico Compton en función del ángulo de dispersión θ, para varios valores de ε e n una representación de coordenadas cartesiana y coordenadas polares (Podgorsak 2010). 1.2.2.2.. Sección transversal electrónico total Klein Nishina para la dispersión Compton.. Sección transversal electrónico total Klein Nishina para la dispersión Compton en un electrón libre se calcula mediante la integración de la sección transversal diferencial electrónico por unidad de ángulo sólido. Teniendo como resultado la siguiente expresión.. 𝐾𝑁 𝑒 𝜎𝑐. = 2𝜋𝑟𝑒2 {. 1+𝜀 2(1+𝜀) 𝜀2. [. 1+2𝜀. −. ln(1+2𝜀) 𝜀. ]+. ln(1+2𝜀) 2𝜀. 1+3𝜀. − (1+2𝜀)2 }. Cuando 𝜀 → 0 se aproxima al resultado clásico de Thomson 𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁 ≈ 𝑒𝜎𝑇ℎ =. (22). 8𝜋𝑟𝑒2 3. =. 66,525 × 10−30 𝑚2 , para energías de fotones incidentes grandes ℎ𝑣 → ∞ 𝐾𝑁 𝑒 𝜎𝑐. 2 ln(2𝜀)+1. ≈ 𝜋𝑟𝑒2 {. 2𝜀. }.. 32.

(40) Esto quiere decir que el valor numérico de 𝑒𝜎 𝐾𝑁 𝑐 para pequeñas energías 𝜀 ≈ 0 la sección transversal electrónico total de Klein Nishina 𝑒𝜎 𝐾𝑁 𝑐 se reduce a la sección transversal electrónico total de Thompson en la Figura 14 se muestra la sección transversal electrónica de Klein Nishina en función de la energía ℎ𝑣 del fotón incidente en el rango de energía de 0,001 MeV a 1000 MeV. Las siguientes. Sección transversal electrónica de Compton 𝝈𝑲𝑵 𝑪 (b/electrón). características se identifican en la Figura 14.. Energía del fotón incidente 𝒉𝒗 (MeV). Figura 14: Sección transversal electrónica total de Klein Nishina (Podgorsak 2010).. Para energías de fotones intermedios 𝑒𝜎 𝐾𝑁 𝑐 disminuye gradualmente con el aumento de la energía del fotón por ejemplo para un ℎ𝑣=0,1MeV se tiene 0,46b, para un ℎ𝑣 =1MeV se tiene 0,21b, para un ℎ𝑣 =10 MeV se tiene 0,008 b. Para energías muy altas de fotones, la sección transversal electrónico dependencia de. 1 ℎ𝑣. 𝑒𝜎. 𝐾𝑁. 𝑐. alcansa una. . La sección transversal electrónico de Klein Nishina 𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁 es. independiente del número atómico Z del atenuador, ya que a teoría de Compton se supone que es para un electrón libre y estacionario es decir la energía de enlace del electrón al átomo se supone que es insignificante en comparación con la energía del fotón ℎ𝑣.. 33.

(41) 1.2.2.1.. Sección transversal atómica total para dispersión Compton. En el rango de energía, donde la energía de enlace del electrón es despreciable, la sección transversal atómica de Compton. 𝑎𝜎. 𝐾𝑁 𝑐. se determina a partir de la sección. transversal de electrónicas.. 𝑎𝜎. 𝐾𝑁 𝑐. = 𝑍( 𝑒𝜎 𝐾𝑁 𝐶 ). (23). Donde Z es el número atómico del atenuador. El coeficiente de atenuación másico Compton se muestra en la ecuación 24. 𝜎𝐾𝑁 𝐶 𝜌. =. 𝑁𝐴 𝐴. ( 𝑎𝜎 𝐾𝑁 𝐶 ). (24). 1.2.4. Efecto Fotoeléctrico. La derivación teórica de la sección transversal de interacción para el efecto fotoeléctrico es más difícil que para el efecto Compton, debido a la complicada derivada que se presentan la deducción por que se tiene en cuenta la unión del electrón al átomo del atenuador. No existe una ecuación simple para la sección transversal diferencial fotoeléctrica, por lo tanto, hay diferentes autores que han presentado soluciones satisfactorias para varias regiones de energía de fotones, como se ha discutido por Evans (1955) y, más recientemente, por Hubbell (1969).. Las Tablas publicadas de coeficientes de interacción fotoeléctrica tales como las de la última referencia se basan en resultados experimentales, complementados por interpolaciones teóricamente para otras energías y medios absorbentes. La distribución direccional de fotoelectrones por unidad de ángulo sólido se muestra en la Figura 15. Estos son los resultados de una revisión de Davisson y Evans (1952).. 34.

(42) Numero relativo de fotones por unidad de 𝒅𝒏 ángulo 𝒅𝝓. Fotón incidente. Átomo. Fotoelectrón. Ángulo de expulsión fotoelectrón 𝝓 Figura 15Distribución angular de fotoelectrones expulsados entre dos conos con un ángulo de medida entre φ y φ + dφ para una energía incidente hν del fotón en el rango de 10 keV a 10 MeV (Podgorsak 2010). La distribución angular de los fotoelectrones depende de la energía del fotón incidente ℎ𝜈. El ángulo de emisión de fotoelectrones 𝜑 se define como el ángulo entre la dirección del fotón incidente y la dirección del fotoelectrón emitido. Si la energía del fotón incidente ℎ𝜈 está en el orden de 10 KeV los fotoelectrones tienden a ser emitidos en ángulos cercanos a 90 o. Sin embargo, a medida que ℎ𝜈 aumenta, el pico de emisión de fotoelectrones se desplaza progresivamente hacia ángulos mayores de emisión de fotoelectrones, algo parecidos a la emisión de fotones de bremsstrahlung en la interacción de electrones.. La Figura 15 muestra en una gráfica cartesiana para la distribución direccional de la emisión de fotoelectrones para varias energías de fotones incidentes ℎ𝜈 en el rango de ℎ𝜈 = 10 keV con ángulo máximo de emisión 𝜑𝑚𝑎𝑥 ≈ 70° a ℎ𝜈 = 10 MeV con 𝜑𝑚𝑎𝑥 ≈ 2°. La ordenada (eje y) representa 𝑑𝑛 / 𝑑𝜑, el número relativo de fotoelectrones eyectados entre dos conos con semi-ángulos de 𝜑 y 𝜑 + 𝑑𝜑 para una energía incidente dada ℎ𝜈. Mientras que para un ℎ𝜈 dado, el número relativo de fotoelectrones por intervalo angular varía con el ángulo de emisión 𝜑, todos los fotoelectrones independientemente del ángulo de emisión 𝜑 se emiten con la misma 35.

(43) energía, en la ecuación 25 se da la energía cinética del electrón que la energía del fotón incidente menos la energía de enlace del átomo. 𝐸𝐾 = ℎ𝑣 − 𝐸𝐵 1.2.4.1.. (25). Sección transversal de interacción para el efecto fotoeléctrico.. La sección atómica (coeficiente de atenuación) del efecto fotoeléctrico 𝑎𝜏 en función de la energía del fotón incidente ℎ𝜈 presenta una estructura característica de diente de sierra, denominadas picos de absorción, surgen cuando la energía del fotón incidente coincide con la energía de enlace del electrón.. La sección transversa atómica. 𝑎𝜏. para la absorción fotoeléctrica aumenta. fuertemente con la disminución de la energía del fotón. La Figura 16 muestra esta sección transversal para diferentes atenuadores en un amplio rango de energías. Por debajo del pico de absorción, el fotón no tiene suficiente energía para liberar un electrón de la capa electrónica. En las energías justo por encima del pico, el fotón tiene suficiente energía para liberar el electrón. Por lo tanto, la sección transversal aumenta bruscamente porque aumenta el número de electrones que pueden participar en el proceso de absorción. Cuanto mayor sea la energía de enlace del electrón, mayor será el aumento de la sección transversal en el pico de absorción. El pico de absorción es más pronunciado en la capa K en un material de alto número atómico.. 36.

(44) Sección transversal atómica 𝒂𝝉 (b/átomo). Energía del fotón 𝒉𝒗 (MeV). Figura 16: Sección transversal atómica fotoeléctrica 𝜏𝑎 contra la energía del fotón hv para diferentes absorbentes. (Podgorsak 2010). La capa L tiene tres subcapas y, en consecuencia, tres bordes de absorción 13,04 keV; 15,20 keV y 15,86 keV de las subcapas L en el plomo. A las energías por encima del borde de absorción K, aproximadamente el 80% de las interacciones tienen lugar en la capa K. La sección transversal para la absorción fotoeléctrica depende fuertemente del número atómico. Por encima del borde de absorción K, la sección transversal por átomo en función de la energía del fotón y el número atómico está dada aproximadamente por: 1. 𝜏𝑎𝐾 ≈ 𝑘𝑍 4 (ℎ𝑣)3. (26). 1.2.5. Producción de pares Ocurre producción de pares cuando la energía del fotón incidente ℎ𝑣 es mayor que 2𝑚𝑒 𝑐 2 = 1,02 𝑀𝑒𝑉, siendo 𝑚𝑒 𝑐 2 la energía en reposo de electrón y positrón, la producción de un par electrón-positrón junto con una absorción completa del fotón por un átomo absorbente se vuelve energéticamente posible. Para que se produzca el efecto, se deben conservar tres cantidades: energía, carga e impulso. 37.