Soluciones de los problemas propuestos 1. Calcula y simplifica: a) ; b) ; c) ; d) . Solución: a) = = = = . b) = = = . c) = = = d) = = = .

(1)

Soluciones de los problemas propuestos

1. Calcula y simplifica: a) 2·

(

3x2−5x−3

) (

−3·4x2−7x+6

)

; b)

(

3x2 −2x

)(

·4x2 −5x−6

)

; c)

(

2x2−5x−3 ·

)(

x2−7x+ ; d) 6

)

3 2 2 · 4 2 5 1 2x x x 2  ₋   ₋ ₋         . Solución: a) 2·

(

3x2−5x−3

) (

−3·4x2−7x+6

)

=

(

6x2−10x− −6

) (

12x2−21x+18

)

= = 6x2−10x− −6 12x2+21x− = 18 −6x2+11x−24. b)

(

3x2 −2x

)(

·4x2 −5x−6

)

= 3 · 4x2

(

x2−5x− −6

) (

2x 4x2−5x− = 6

)

= 12x4−15x3−18x2−8x3+10x2+12x=12x4−23x3−8x2+12x. c)

(

2x2−5x−3 ·

)(

x2−7x+ = 6

)

2x2·

(

x2−7x+ −6

) (

5 ·x x2−7x+ −6

) (

3· x2−7x+ = 6

)

= 2x4−14x3+12x2−5x3+35x2−30x−3x2+21x−18=2x4−19x3+44x2−9x− 18 d) 3 2 2 · 4 2 5 1 2x x x 2  ₋   ₋ ₋          = 2 2 2 3 1 1 · 4 5 2· 4 5 2x x x 2 x x 2  ₋ ₋ ₋  ₋ ₋          = = 6 4 15 3 3 2 8 2 10 1 6 4 15 3 35 2 10 1 2 4 2 4 x − x − x − x + x+ = x − x − x + x+ .

2. Desarrolla las siguientes expresiones:

a)

(

3a +5

)

2; b)

(

− +2a 3

)

2; c)

(

x +2 3

)

2; d)

(

4x2−1

)

2+4x

(

2x−x3

)

. Solución:

a)

(

3a+5

) (

2= 3a+5 · 3

)(

a+ =5

)

3 · 3a

(

a+ +5

) (

5· 3a+ =5

)

9a2+15a+15a+25=9a2+30a+25. b)

(

− +2a 3

) (

2 = −3 2 · 3 2a

)(

− a

) (

=3· 3 2− a

)

−2 · 3 2a

(

− a

)

= −9 6a−6a+4a2=4a2−12a+ . 9 En los dos que siguen, aplico las fórmulas.

c)

(

x2 +3

) ( )

2 = x2 2 +2·x2·3+32 =x4 +6x2 +9. d)

(

4x2−1

)

2+4x

(

2x−x3

)

= 16x4−8x2+ +1 8x2−4x4=12x4+ . 1 3. Calcula y simplifica: a)       ₋ ₊      ₋ ₊ ₊ 2 1 3 5 2 5 2 5 3 1 2 2 x x x x ; b)

(

)

2 3 4· 3 · 3 1 · 2 2 2 4 x x x x  ₋   ₊  ₋ ₋  ₊             . Solución: a)       ₋ ₊      ₋ ₊ ₊ 2 1 3 5 2 5 2 5 3 1 2 2 x x x x = 1 2 · 2 2 5 · 2 2 2 2· 2 3x 5x x 5x 5 5x ₋   ₊  ₊                   + + 1 2 · 3

(

)

5 · 3

(

)

2· 3

(

)

1 2 ·1 5 ·1 2 1· 3x x x x 5 x 3x 2 x2 5 2 ₋  ₋ ₊ ₋ ₊ ₋ _{+ −}  ₊ ₊         = = 2 4 2 3 4 2 3 3 15 2 6 1 2 5 1 15x x 25x x x 5x 6x 2x 5 − + + + − − − + + = 2 4 5 3 2251 2 13 1 15x x 150 x 10x 5 − + − + + .

(2)

b) 1

(

2

)

4 3 3 2 3 2 4 2 +       ₋ −       +       −x x x x = 1 1

(

2

)

4 3 2 4 3 3 2 4 2 2 2 2 +         +   −       −         −       x x x x = = 1 ( 2) 2 3 16 9 9 4 4 2 2 +        ₋ ₊ −       − x x x x = =       ₊ ₋ ₋ ₊ ₊ − − 3 2 2 3 8 9 16 9 36 3 2 2 2 x x x x x x = = 3 2 2 3 8 9 16 9 36 3 2 2 2 ₋ ₋ ₋ ₊ ₊ ₋ ₋ x x x x x x = 2 38 8 11 16 9 3 ₊ 2 ₊ ₋ − x x x . 4. Halla la división: a)

(

2x3−3x+2 : 2

)

(

x− ; b) 1

)

(

4x4−10x3+10x2−4x−5

) (

: 2x2 −x

)

. Solución: a) b) 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 5 2 2 4 3 2 1 2 5 2 2 5 5 2 4 3 4 x x x x x x x x x x x x x − + − − + + − − + − + − + + − Cociente: 2 1 5 2 4 x + x− . Resto: 4 3 Cociente: 2x2−4x+ . Resto: –x – 5. 3

5. Expresa cada una de las divisiones que se indican en la forma ( ) ( ) ( )

( ) ( ) D x r x c x d x = +d x . a) 2 3 2 x x x + − ; b) 2 3 2 2 x x x − + ; c) 2 2 3x 12 x x − + ; d) 3 2 1 x x − Solución: a) 2 3 2 x x x + − = 2 3 2 2 3 x x x x + x − = + −x x. b) 2 3 2 2 x x x − + → 2 2 3 2 2 3 6 3 8 8 8 16 16 x x x x x x x x − + − − − − +  2 3 2 16 3 8 2 2 x x x x x − ₌ _{− +} + + . 2 3x −12 2 2 3 12 2 x − x + x 2 3x −12 18 4 3 2 2 4 3 2 3 2 3 2 2 2 4 10 10 4 5 2 4 2 2 4 3 8 10 8 4 6 4 6 3 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + − − − − + − + − + − − − + − −

(3)

d) 3 2 1 x x − → 3 2 3 1 1 1 x x x x x x − − − + −  3 2 2 1 1 x x x x − = + x − .

6. Halla el cociente y el resto de la división:

a)

(

−2x4+3x2−1 :

)

(

x− ; b) 3

)

(

2x3−x5−3x

)

:

(

x+2

)

. Solución:

a) Como −2x4+3x2− = −1 2x4+0x3+3x2+0x− , se forma el esquema: 1 – 2 0 3 0 – 1

3 – 6 – 18 – 45 – 135 – 2 – 6 – 15 – 45 – 136

El cociente es un polinomio de grado tres, con coeficientes – 2, – 6, – 15 y – 45. El resto vale – 136. Luego: C x( )= −2x3−6x2−15x−45. Resto: –136

b) Para

(

2x3−x5−3x

)

:

(

x+2

)

, se ordena como sigue:

(

5 4 3 2

)

(

)

0 2 0 3 0 : 2 x x x x x x − + + + − + + Se forma el esquema: – 1 0 2 0 – 3 0 –2 2 – 4 4 –8 22 – 1 2 – 2 4 – 11 22

El cociente es un polinomio de grado cuatro0, con coeficientes – 1, 2, – 6, 4 y –11. El resto vale 22. Luego: C x( )= − +x4 2x3−2x2+4x−11. Resto: 22.

7. Halla el valor de k para que sea exacta la división

(

x3 −3x2 +k

)

:

(

x+2

)

. Comprueba el resultado.

Solución:

Por el teorema del factor, la división será exacta cuando el valor numérico del dividendo para x = –2 sea 0; cuando D −( 2)=0.

Como D( 2)− = −( 2)3− −3·( 2)2+ =  − − + =  =k 0 8 12 k 0 k 20.

8. Factoriza los siguientes polinomios:

a) P x( )= −5x2+x; b) P x( )=x4+4x2; c) P x( )=x3−3x; d) P x( )=x3+3x

Solución:

Estas factorizaciones son muy sencillas. En casi todos los casos basta con sacar factor común y … a) P x( )= −5x2+ =x x

(

− + → las raíces del polinomio son x = 0 y 5x 1

)

1

5

x = .

b) P x( )=x4+4x2=x2

(

x2+ → el segundo factor es irreducible. 4

)

c) P x( )=x3−3x=x x

(

2− =3

)

x x

(

− 3

)(

x+ 3

)

→ observa que x2− = 3 0 x2=  = 3 x 3. d) P x( )=x3+3x=x x

(

2+ → el segundo factor es irreducible. 3

)

(4)

9. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) 4 8 2 x x − ; b) 2 3 12 2 x x − + ; c)

(

)

2 2 1 1 x x − − ; d) 3 2 2 x x x + . Solución: a) 4 8 2 x x − = 4( 2) 2( 2) 2 x x x x − − = . b) 2 3 12 2 x x − + = 2 3( 4) 3( 2)( 2) 3( 2) 2 2 x x x x x x − ₌ + − ₌ ₋ + + . c)

(

)

2 2 1 1 x x − − = 2 ( 1) 1 ( 1)( 1) 1 x x x x x − ₌ − + − + . d)

(

)

2 3 2 2 1 ₁ 2 · 2 2 x x x x x x x x x + + ₌ ₌ + .

10. Factoriza los siguientes polinomios:

a) P(x)=3x3 −9x2 +6x ; b) 4 3 2 200 80 8 ) (x x x x P = + + ; c) P x( )=x3−3x2+4; d) P x( )=2x3+5x2−3x Solución:

a) P(x)=3x3 −9x2 +6x → Sacando factor común 3x,

(

)

3 2 2 ( ) 3 9 6 3 3 2 P x = x − x + x= x x − x+ . Resolviendo la ecuación x2−3x+ = → 2 0 3 9 8 3 1 2 1 2 2 x=  − =  =   .

Los otros factores son

(

x −1

)

y

(

x −2

)

.

Por tanto: P x( )=3x3−9x2+6x=3x x

(

−1

)(

x− . 2

)

b) P(x)=8x4+80x3+200x2 → Sacando factor común 8x , 2

(

)

4 3 2 2 2 ( ) 8 80 200 8 10 25 P x = x + x + x = x x + x+ . Resolviendo la ecuación x2+10x+25= → 0 10 100 100 10 5 2 2 x= −  − = − = − , raíz doble. Se repite dos veces el factor

(

x +5

)

→ esto es,

(

x +5

)

2.

Por tanto:

(

)

2

4 3 2 2

( ) 8 80 200 8 5

P x = x + x + x = x x+

c) P x( )=x3−3x2+4 → hay que buscar una raíz a “ojo”. Se prueba entre los divisores de 4, que son: 1, 2, 4.

Para x = 1, P(1)=2 → No es raíz.

Para x = –1, P −( 1)=0 → Sí es raíz  (x + 1) es un factor  P(x) es divisible por (x + 1). Se divide P x( ) :

(

x +1

)

→ se obtiene de cociente c x( )=x2−4x+4

(5)

Luego:

(

)

(

)

3 2 2

( ) 3 4 1 4 4

P x =x − x + = x+ x − x+  P x( )=

(

x+1

)(

x−2

)

2.

Los otros “dos” factores se hallan resolviendo la ecuación x2−4x+ = . Sus soluciones son x = 2 4 0 y x = 2 (2 es doble)  x2−4x+ =4

(

x−2

)

2.

d) P x( )=2x3+5x2−3x.

Se saca factor y se resuelve la ecuación de segundo grado que resulta.

(

2

)

( ) 2 5 3 P x =x x + x− → 2x2+5x− = : 3 0 3 5 25 4·2·( 3) 5 49 5 7 1/ 2 2·2 4 4 x= −  − − = −  = −  = −  .

Como las raíces son x = –3 y 1 2

x = , los factores correspondientes serán x +3 y 1 2 x − . Luego, P x( )=2x3+5x2−3x =

(

2 2 5 3

)

2· ·

(

3 ·

)

1 2 x x + x− = x x+ _x− _  .

11. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) 2 2 4 3 x x x − ; b) 2 2 4 2 x x x + + ; c)

(

)

3 2 3 2x 4x x 5 x − − ; d) 3 2 2 5 4 x x x x − − . Solución: a)

(

)

2 ₂ ₄ 2 4 2 4 3 3 3 x x x x x x x − − ₌ ₌ −

→ también vale la solución:

2 2 4 2 4 3 3 3 x x x x − ₌ ₋ . b)

(

)

2 ₂ ₂ 2 4 2 2 2 x x x x x x x + + ₌ ₌ + + . c)

(

)

(

)

(

)

2 3 2 3 3 2 4· 5 2 4 5 2 3 20 6 40 40 6 x x x x x x x x x x x x x − − − − ₌ ₌ − + ₌ − + _{= − +} . d) 3 2 3 2 2 2 5 2 5 5 4 4 4 4 4 2 4 x x x x x x x x x x x x − − ₌ ₋ ₋ ₌ _{− −} .

12. Halla, simplificando el resultado, las siguientes sumas y restas:

a) 2 1 3x x x − − , b) 2 3 1 x x+ −x; c) 2 2 3 1 2 2 x x x+ −x− + ; d) 2 3 x x x+ − . Solución: a)

(

)

2 2 2 ₃ ₁ 2 1 2 1 3 x x x x x x x x − − − + − = = . b)

(

)

(

)

(

)

(

)

3 2 2 _3· ₁ _3· ₁ 3 3 · 3 3 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − + − − − = − = =

+ + + + + → también puede operarse el

denominador, pero no suele ser necesario. Es recomendable dejarlo así, pues se ve mejor si puede simplificarse la expresión.

(6)

c)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

2 2 _{2 ·2} ₂ _{1 ·2} ₃ ₁ ₂ 2 3 1 2 2 1 2 ·2 1 2 ·2 1 2 ·2 x x x x x x x x x x x x x x x x − + + − − + = − + + − + − + − + − = =

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

3 2 3 2 3 2 3 2 2 4 4 4 3 3 6 2 4 4 4 3 3 6 1 2 ·2 1 2 ·2 1 2 ·2 1 2 ·2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + − − − − − + − − − + = + − + − + − + − = =

(

)(

)

3 2 5 7 10 4 2 1 2 x x x x x − − −

+ − → al dejar el denominador indicado es fácil ver que, en este caso, no puede simplificarse la expresión, pues ni x = –1, ni x = 2 son raíces del numerador. Por tanto, en el numerador no está los factores

(

x +1

)

o

(

x −2

)

.

d)

(

)

2 2 ₃ 2 2 3 3 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x x x − + − − − − = = = + + + + .

13. Opera y simplifica las siguientes expresiones:

a) 2 1 2       + − x x ; b) ( 1) 1 1 2 ₊ ₋ + + x x x ; c)       ₊ ₋ + +       + − ( 1) 1 1 2 : 1 2 2 x x x x x ; d) ₂ ₂ ₂ 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 x x x x x + − + + − . Solución: a) 2 2 2 2 ) 1 ( ) 2 ( 1 2 2 1 2 + + =       + − + =       + − x x x x x x x

→ Puede dejarse así; no es necesario desarrollar los cuadrados, salvo que se pida.

b)

(

)(

)

2 2 2 1 1 · 1 2 1 2 1 1 2 ( 1) 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x + + − + + + + − + + − = = = + + + + . c) ) 1 ( 2 2 ) 2 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( : ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 1 2 : 1 2 ₂ 2 2 2 2 + + = + + + + = + + + + =       ₊ ₋ + +       + − x x x x x x x x x x x x x x x x . d) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 x x x x x x x x x x x x + − + + + + − = + − + + − = = 2 ₂ ₂ ₂ ₂ 0 2(1 ) 1 1 1 x x x x x − x = x − x = + + + + .