MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
MULTIPLICACIÓN
Es la operación donde a cada par ordenado de número A y B llamados factores (multiplicando y multiplicador) le hace corresponder un tercer número P, llamado producto.
A x B = P
A Multiplicando B Multiplicador C Producto
DIVISIÓN
DIVISIÓN ENTERA
Es la operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto, dados dos números: dividendo (D) y divisor (d). Hallar un tercer número llamado cociente (q) que indica cuantas veces contiene el dividendo al divisor.
D d q R
D: dividendo d : divisor q : cociente R : residuo
Los egipcios para efectuar, la multiplicación, recurrieron ellos a las duplicaciones, sucesivas, las cuales eran adecuadamente seleccionadas y sumadas después.
32 x 27
1…………. 32 16…………. 512
2…………. 64 8…………. 256
4…………. 128 2…………. 64
8…………. 256 1…………. 32
16………. 512 27…………. 864
En Europa de la edad media, multiplicaban empleando un método hindú perfeccionado por los árabes.
845 x 326 = 275 470
Para obtener el resultado final sumaban oblicuamente los resultados parciales.
2 4 1
2 1
5
1 6
4 8
8 1
0
2 4 3
0 6a
8
5a 4
4a 5
3 3a 2 2a 6 1a 2
7 5
4 7 0
CLASES DE DIVISIÓN
A. División entera exacta : Es aquella en la cual el dividendo contiene al divisor un número entero de veces, es decir cuando el residuo es cero.
D d 0 q
B. División entera inexacta : Cuando el residuo es mayor que cero.
B.1. División entera inexacta por defecto.
D d R q
B.2. División entera inexacta por exceso.
D d
q + r Re
PROPIEDADES
I. En toda división se cumple que el residuo es menor que el divisor.
cero residuo < divisor
II. En la división entera inexacta se cumple que:
Residuo máximo = divisor – 1 Residuo mínimo = 1
III. Cuando una reunión se realiza por defecto y por exceso, se cumple que la suma de residuos es igual al divisor.
R + Re = divisor
IV. Si se multiplica o divide el dividendo y divisor de una división entera por un mismo número, el cociente no varía pero el residuo según el caso queda multiplicado o dividido por dicho número.
D = d . q
D = d . q + R
D = d(q + 1) = Re Los egipcios dividían duplicando y tomando mitades.
105 16
1 vez 16 ….. 16 2 veces 16 ….. 32*
4 veces 16 ….. 64*
8 veces 16….. 128 1/2 veces 16….. 8*
1/4 veces 16….. 4 1/8 veces 16….. 2 1/16 veces 16….. 1*32 64
8 1 1052 4 1/2 1/16 6
Se necesitan buscar los números que en la 2da. columna sumen 105. Luego la suma de los correspondientes número de la columna de la izquierda, nos da el cociente buscado o sea 6
Para obtener el resultado final sumaban oblicuamente los resultados parciales.
1er. Paso 2do. Paso 3er. Paso
Los hindúes utilizaron ya la notación a/b para indicar la división, la cual figura en el libro de Aritmética, de Leonardo de Pisa (1175 - 1250).
También los árabes indicaron la división por medio de fracciones.
Pero un libro publicado en 1669. Fue RAHN quien empleo el signo para indicar la división. El actual signo que usamos (:) fue introducido por LEIBNITZ en 1684.
1. ¿En cuantas veces su valor habrá aumentado el producto de tres factores, sabiendo que uno de ellos aumentó en su duplo, otro en su triple y el tercero en su cuádruple?
a) 24 veces b) 59 veces c) 60 veces
d) 20 veces e) 30 veces
2. El producto de dos números es 720, si se añaden 6 unidades al multiplicando, el producto es entonces 816. ¿Cuál es el multiplicador?
a) 72 b) 36 c)
45
d) 16 e) 32
3. El producto de un número por “a” es 448 y por “b” es 336. Hallar el producto de este número por el mayor número capicúa de 3 cifras que se puede formar con “a” y
“b”.
a) 48 608 b) 54 303 c)
51 608
d) 38 416 e) 27 548
4. Hallar: E = (b + c) – (a + d)
Si en la multiplicación: abcd x 95, la diferencia de los productos parciales 10 es 15 372.
a) 12 b) 6 c) 3
d) 8 e) 10
5. Hallar un número de tres cifras que multiplicado por 73 termine en 417. Dar el producto de sus cifras.
a) 15 b) 18 c)
32
d) 42 e) 72
6. El producto de dos números es 768 al agregarle 14 unidades al multiplicando el producto seria 1216. Calcular el multiplicador.
a) 28 b) 32 c)
24
d) 36 e) 44
7. Hallar: a + b + c + d + e, si:
5 x 7
abcde = 7abcde
a) 19 b) 20 c)
21
d) 24 e) 27
8. Hallar “m . n”
Si: nnmm = 13 . n . mm
a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 9
9. La suma de dos números es 328 pero si se efectúa la división, el cociente 6 y su residuo 13. Hallar el número mayor.
a) 204 b) 246 c)
261
d) 273 e) 283
10. En una división el cociente es 156 y el residuo es 6, al agregarle 1000 unidades al dividendo y al repetir la división se obtiene un cociente de 173 y un residuo de 54. Hallar el dividendo.
a) 8742 b) 7242 c)
8552
d) 8662 e) 8870
11. En una división le falta 15 unidades al residuo para ser máximo y sería mínimo al restarle 18 unidades. Hallar el
dividendo si el cociente es el doble del residuo por exceso.
a) 1039 b) 1139 c)
939
d) 1239 e) 1339
12. Hallar el mayor número entero que al dividirlo entre 70 se obtenga un cociente que es la raíz cuadrada del resto.
a) 602 b) 632 c)
532
d) 624 e) 642
13. ¿Cuántos números enteros menores que 400 pueden ser dividendo de una división cuyo cociente es 12 y su resto 14?
a) 32 b) 31 c)
20
d) 18 e) 14
14. En una división el cociente es 18, el divisor el doble del cociente y el residuo el máximo posible. Hallar la suma de cifras del dividendo.
a) 12 b) 17 c)
21
d) 25 e) 29
15. En una división entera el divisor es 50 y el
16. residuo es el triple del cociente respectivo. Hallar el máximo valor que puede tomar el dividendo.
a) 728 b) 764 c)
832
d) 848 e) 948
1. El producto de los números
es 66 778, si el multiplicador disminuye en 17 unidades, el nuevo producto será 63 837. Hallar la suma de los números.
a) 428 b) 559 c)
276
d) 386 e) 632
2. Hallar: a + b + c + d + e. Si se sabe que:
1 abcde 3
x abcde
1
a) 26 b) 24 c)
20
d) 25 e) 27
3. Sabiendo que: abc x 3 = … 254
Hallar: abc
a) 224 b) 254 c)
264
d) 242 e) 284
4. Sabiendo que: abc x 7 = … 248
Hallar: abc
a) 208 b) 218 c)
238
d) 228 e) 248
5. Hallar la suma de las cifras de un número, sabiendo que al multiplicarlo por 35, se sabe que la En el año 1761 Tambert matemático
alemán demostró que es un número irracional, es decir, no es expresable mediante una fracción de números enteros.
diferencia de los productos parciales es 6490.
a) 14 b) 18 c)
22
d) 26 e) 10
6. Aumentando en 13 a cada uno de los factores de una multiplicación, el producto aumenta en 1612. Hallar el producto original si la diferencia del sus factores es 33.
a) 1808 b) 1908 c)
2808
d) 2816 e) 3016
7. El producto de 3 números consecutivos es 56 veces el menor, halle este último.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
8. Si el triple del número abcde
2 es igual a abcde2 entonces:
a + b + c + d + e es:
a) 25 b) 26 c)
24
d) 23 e) 27
9. En una división entera inexacta la suma de todos los términos es 113. Si triplicamos el dividendo y el divisor, la suma de los cuatro términos resulta ahora 331. Hallar el cociente.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
10. Al dividir dos números enteros positivos se obtiene 18 de residuo y 7 de cociente. Si el dividendo excede al divisor en una cantidad igual al cuadrado del resto. Calcular el divisor.
a) 51 b) 53 c)
28
d) 38 e) 61
11. ¿Cuál es el mayor número entero que al dividirse entre 45 da por residuo el triple del cociente? Dar como respuesta la suma de sus cifras.
a) 10 b) 12 c)
16
d) 15 e) 572
12. El dividendo y el cociente de una división son 597 y 22 respectivamente. Calcular la diferencia del divisor y el residuo.
a) 24 b) 27 c)
28
d) 30 e) 50
13. En la siguiente división:
n 7
m mn pp
n 1 Calcular: m + n + p
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
14. En una división entera inexacta se observa que la suma de los términos es 1073. Si se triplica el dividendo y el divisor, entonces la suma
de los términos es 3153. Hallar el cociente.
a) 40 b) 30 c)
11
d) 22 e) 33
15. Si al dividendo y al divisor de una división inexacta de residuo 14.
Se le multiplica por 5. ¿Cuál es el nuevo residuo?
a) No se puede determinar b) 10
c) 50 d) 35 e) 70
