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LA PARÁBOLA

PARÁBOLA

Si un plano intersecta a una superficie cónica de revolución y es paralelo a una de las generatrices forma una curva llamada parábola.

El análisis matemático, nos dice que la parábola es una curva plana abierta y que se extiende indefinidamente. a) ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA Recta Directriz : DD ' Eje focal : EE ' Foco : F Vértice : V Cuerda : AB Cuerda Focal : RS Lado recto : MN b) ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

Para la deducción de la ecuación se aplica la condición de que cualquier punto de la parábola equidiste del foco y de la recta directriz. Abiertas se tendrá que el vértice es el punto medio del segmento HF .

Es decir: HV = VF

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON LA RECTA DIRECTRIZ.  PF = PH  (xo)2(yp)2(yp)  4py = x2 P : PARÁMETRO x V (0,0) H F P(x,y) y H D’ D A R M N S P P H ‘E D’ D B E F x (0,0) V H F P(x,y) y Plano G G’

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2. CON VÉRTICE EN CUALQUIER PUNTO

P = (x – h)2 = 4p(y – k) Obs.-

Si: p > O  se abre hacia arriba p < O  se abre hacia abajo 3. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON LA

RECTA DIRECTRIZ PARALELA AL EJE Y

Donde: y2 = 4Px

4. CON EL VÉRTICE EN CUALQUIER PUNTO DEL PLANO CARTESIANO

P : (y – k)2 = 4p (x – h) Obs.-

Si : p > O  se abre hacia la derecha p < O  se abre hacia la izquierda

1. De la figura, determine la ecuación de la parábola. a) x2 = 4Y b) x2 = y c) x2 = 2y d) 4x2 = Y e) 4x2 = 2 y

2. Del gráfico, calcule la ecuación de la parábola. PQ : Lado recto. (PQ = 4p) a) 5 x = y2 b) y2 = 4x c) y2 = 2x d) y2 = 3x 2 e) 4y2 = x

3. Del gráfico, calcule la ecuación de la parábola. Si ABCD es un cuadrado de 16m2 de área:

a) (y – 8)2 = -8(x + 4) d) y2 = -8(x + 4) b) (y – 8)2 = 8(x + 2) e) y2 = -4(x + 4) c) (y – 4)2 = -8(x + 4) x D (0,0) D’ H y V P(x,y) F (h,k) x D’ O H V F D y x P F (4,4) y x Q 2p p y 2p O 5 P P(x,y) H (h,k) V F D (0,0) x y E’ E B A D C F y Directriz x

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4. Determine la ecuación de la parábola. (F : foco) S = 64

a) (y – 16)2 = 4x d) (y – 16)2 = 8x b) (y – 16)2 = 8x e) (y – 2)2 = 4(x – 4) c) N.A.

5. Calcular el parámetro de la siguiente parábola. Sabiendo que pasa por : A(8 , -12)

P : x2 = 4py a) 1/3 b) –4/3 c) 8/3 d) 4/3 e) 2/3

6. Determine el perímetro de la parábola mostrada en la figura. a) - 2 b) 2 c) 3 d) 5 e) 10

7. Según la figura VO = 5 , el punto “V” es el vértice y el punto “F” es el foco. Hallar la ecuación de la parábola. a) (x + 2)2 = 4(y + 1) b) (x + 1)2 = 4(y + 2) c) (x + 2)2 = 4y d) x2 = 4(y + 2) e) (x + 2)2 = 4(y – 1)

8. Calcule las coordenadas del vértice de la parábola. a) V = (3, 4) b) V = (-3, -4) c) V = (3, -4) d) V = (6, 8) e) V = (4, 3)

9. Determine las coordenadas del foco de la parábola. Si: FPQO : cuadro y S = 16

a) (2, 4) b) (-4, 2) c) (-4, 0) d) (4, 0) e) (-4,-2)

10. Según el gráfico, hallar la ecuación de la parábola sabiendo que el área de la región cuadrada VMPQ = 16. a) y2 = 4x b) y = 4x2 c) x2 = 4y d) y2 = 2x e) y2 = x

11. Según el gráfico, calcule la ecuación de la parábola, si: OP = PM = MS y PQRS: es un cuadrado de lado 4cm. a) (x – 4)2 6y b) (x – 4)2 = y c) (x – 2)2 = y d) (x – 4)2 = 2y e) (x – 4)2 = 3y y x A P : x2 = 4py F V H x 10 y V O x y F y V O x (x–3)2=4p(y-4) F V O x y P Q M V y P Q x y Q R M P O S x V F y x P S

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12. Según la figura m∢ATO = 120º, el área de la región triangular es 3 , L : es el eje de la parábola. Hallar la ecuación.

a) (y - 3 )2 = -3(x – 1) d) y2 = -4(x – 1) b) (y - 3 )2 = -4(x – 1) e) y2 = 4(x + 1) c) (y - 3 )2 = -4x

13. Según la figura “G” el baricentro del triángulo ABC, AB = 8 y m∢ABB = 106º; hallar la ecuación de la parábola cuyo eje focal esta contenido en el eje y además. “C” es el foco.

a) x2 = -4(y – 1) b) x2 = -8(y – 1) c) x2 = 8(y + 1) d) x2 = 4y e) x2 = -4y

14. Hallar la ecuación de la parábola, cuyo foco es F = (6, 3) y su directriz es L: x = 2. Calcular también los puntos de intersección de la recta

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L : x = y con dicha parábola.

a) y2 = 4x d) (y – 3)2 = 8(x – 4) b) (y – 3)2 = 8(x – 2) e) (y – 3)2 = (x – 4)2 c) (x – 4) = (y – 3)2

15. Hallar la figura, hallar la ecuación de la parábola mostrada en el gráfico, si: A = (6 , 10) y B = (6 , 2).

AB = Lado Recto

a) 8(y – 6)2 = 3(x – 4) d) y2 = 4x b) (y – 6)2 = 8(x – 4) e) x2 = y c) 4x2 = y

1. De la figura, determine la ecuación de la parábola. a) x2 = 4Y b) x2 = y c) x2 = 12y d) 4x2 = Y e) 4x2 = 2 y

2. De la figura, determine la ecuación de la parábola. a) x2 = 4Y b) x2 = 3y c) y2 = 4x d) 4x2 = Y e) 4x2 = 2y C G A B y x B A y O x T A O x L x P F (6,3) y x P F (2,1) y

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3. Del gráfico, calcule la ecuación de la parábola. PQ : Lado recto. (PQ = 4p) a) 5 x = y2 b) y2 = 4x c) y2 = 8x d) y2 = 3x 2 e) 4y2 = x

4. Del gráfico, calcule la ecuación de la parábola. Si ABCD es un cuadrado de 9m2 de área:

a) (y – 6)2 = 6(x + 3/2) d) y2 = -8(x + 4) b) (y – 8)2 = 8(x + 2) e) N.A.

c) x2 = y-6

5. Determine la ecuación de la parábola. (F : foco) S = 36

a) (y – 12)2 = 4x d) (y – 16)2 = 8x b) (y – 16)2 = 8x e) N.A.

c) (y - 12)2 = 12(x-3)

6. Calcular el parámetro de la siguiente parábola. Sabiendo que pasa por: A(4 , -4)

P: x2 = 4py a) 1 b) –4/3 c) -1 d) 1/2 e) 2/3

7. Según la figura VO = 3 5 , el punto “V” es el vértice y el punto “F” es el foco. Hallar la ecuación de la parábola.

a) (x - 6)2 = 12(y - 3) d) x2 = 4(y + 2) b) (x + 1)2 = 4(y + 2) e) (x + 6)2 = 12(y + 3) c) (x + 2)2 = 4y

8. Calcule las coordenadas del vértice de la parábola. a) V = (2, 3) b) V = (-3, -4) c) V = (-2, 3) d) V = (6, 8) e) V = (2, -3) x Q 2p p y 2p O 2 5 P V F S y x P y x A P: x2 = 4py V O x y F y V O x (x–2)2= 4p(y-3) B A D C F y Directriz x Foco

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9. Según el gráfico, hallar la ecuación de la parábola sabiendo que el área de la región cuadrada VMPQ = 9. a) y2 = 4x b) y2 = 3x c) x2 = 4y d) y2 = 2x e) y2 = x

10. Hallar la ecuación de la parábola, cuyo foco es F = (4, 3) y su directriz es L : x = 1.

a) y2 = 4x d) (y – 2)2 = 4(x – 4) b) (y – 4)2 = 4(x – 2) e) (y – 3)2 = (x – 4)2 c) (x – 4) = (y – 3)2

11. Hallar la ecuación de la parábola, cuyo foco es F = (5, 5) y su directriz es L : x = 3.

a) (y -5)2 = 4 (x - 4) d) (y – 3)2 = 8(x – 4) b) (y – 3)2 = 8(x – 2) e) N.A.

c) (x – 4) = (y – 3)2

12. Hallar la figura, hallar la ecuación de la parábola mostrada en el gráfico, si : A = (4 , 7) y B = (4 , 1)

AB = Lado Recto

a) (y – 4)2 = 6(x – 1) d) y2 = 4x b) (y – 6)2 = 8(x – 4) e) N.A. c) 4x2 = y

13. Se tiene un túnel cuya entrada tiene forma parabólica de ancho 16cm y altura 12cm, calcular a qué altura el ancho de la entrada es 8cm.

a) 8cm b) 9cm c) 4,5cm

d) 10cm e) 8cm

14. Según el gráfico, halle la ecuación de la parábola si OP = PM = MS y PQRS es un cuadrado de lado 4cm.

a) (x – 4)2 = 6y d) (x – 4) = 2y b) (x – 4)2 = y e) (x – 4)2 = 3y c) (x – 2)2 = y

15. Según el gráfico la ecuación de la parábola cuya bisectriz es el eje de abcisas OM = 12 y el área de la región triangular OPV es 362.

a) (x-8)2 = 12(y – 1) d) (x – 5)2 = 6(y – 1) b) (x – 6)2 = 16(y – 2) e) (x – 8)2 = 4(y – 3) c) (x – 8)2 = 12(y – 3) y Q R M P O S x M V y P Q x B A y O x V 37º O P y M x

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