NÚMEROS PRIMOS EN Z+

(1)

NÚMEROS PRIMOS EN Z+

EL MATEMÁTICO QUE NO PODÍA EL MATEMÁTICO QUE NO PODÍA

MIRAR AL CIELO MIRAR AL CIELO

“Quiero, pues, interrogar al calculador sobre un hecho interesante de la Historia de la Matemática: ¿Cuál fue el matemático célebre que se suicidó al no poder mirar al cielo? ”

Beremiz (nombre del calculador) meditó unos instantes y exclamó:

- Fue Eratóstenes, matemático de Cirenaica y educado al principio en Alejandría y más tarde en la Escuela de Atenas, donde aprendió las doctrinas de Platón.

Y completando la respuesta, prosiguió:

- Eratóstenes fue elegido para dirigir la gran Biblioteca de la Universidad de Alejandría, cargo que ejerció hasta el fin de sus días.

Además de poseer envidiables conocimientos científicos y literarios que lo distinguieron entre los mayores sabios de su tiempo, era Eratóstenes poeta, orador, filósofo y –aún más- un completo atleta. Basta decir que conquistó el título excepcional de vencedor del PENTATHLON, las cinco pruebas máximas de los Juegos Olímpicos.

Grecia se hallaba entonces en el período áureo de su desarrollo científico y literario. Era la patria de los aedos, poetas que declamaban, con acompañamiento musical, en los banquetes y en las reuniones de los reyes y de los grandes jerarcas.

Conviene aclarar que entre los griegos de mayor cultura y valor el sabio Eratóstenes era considerado como un hombre extraordinario que tiraba la jabalina, escribía poemas, vencía a los grandes corredores, y resolvía problemas astronómicos. Eratóstenes llegó a la posteridad varias obras.

Al rey Ptolomeo III de Egipto le presentó una tabla de números primos hechos sobre una plancha metálica en la que los números múltiplos estaban marcados con un pequeño agujero. Se dio por eso el nombre de “Criba de Eratóstenes”

al proceso de que servía el sabio astrónomo para formar su tabla.

A consecuencia de una enfermedad en los ojos, adquirida a orilla del Nilo, durante un viaje, Eratóstenes quedó ciego. Él, que cultivaba con pasión la Astronomía, se hallaba impedido de mirar el cielo y de admirar la belleza incomparable del firmamento en las noches estrelladas.

La luz azulada de Al-Schira jamás podría vencer aquella nube negra que le cubría los ojos.

Abrumado por tan gran desgracia, y no pudiendo resistir el pesar que le causaba la ceguera, el sabio y atleta se suicidó dejándose morir de hambre, encerrado en su biblioteca.

NÚMEROS PRIMOS EN Z NÚMEROS PRIMOS EN Z

⁺⁺

Z⁺

Números Simples

Números Primos entre sí (PESI)

La Unidad

Primos absolutos

Descomposición Canónica Números Compuestos

Teorema fundamental de la Aritmética

(2)

¿QUIÉNES FUERON?

Cuando el mal y el bien se encontraban enfrascados en una lucha por el control de la tierra, 7 generales quisieron huir a la tierra, al tratar de hacerlo se encontraron con Telassim el guardián que custodiaba la puerta de ingreso.

Pero el guardián sabiendo del peligro que causarían los males en la tierra advirtió que solo los generales del bien podrían pasar. Pero no conociendo la identidad de cada general no supo a quien dejar pasar.

Recordando el guardián que cada general llevaba siempre consigo un collar con cierta cantidad de perlas y que el número de perlas de un general del bien se podía dividir exactamente en grupos más pequeños y que de los generales del mal no se podían dividir en grupos más pequeños (el grupo tiene más de una perla) dejó pasar a 3 generales, ¿A qué generales dejo pasar Telassim?

Nombre de los

generales # de perlas

de su color

- Nasair  2 perlas

- Kant  3 perlas

- Duruy  4 perlas

- Khoi  5 perlas

- Maluf  6 perlas

- Tadé  7 perlas

- Hamid  8 perlas

Observación: Se tiene el conjunto numérico:

Z⁺ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

I.I. NÚMEROS SIMPLESNÚMEROS SIMPLES

Son aquellos que tienen a lo más dos divisores.

I.A. La unidad

Es el único entero positivo que pose un solo divisor, el mismo.

I.B. Número primo

También llamado “Primo absoluto”, es aquel que posee exactamente dos

divisores;

_____________________ y

___________________.

Ejm:

Divisores

______ : 1, 2

______ : 1, 3

______ : ______ , _____

II.II. NÚMEROS COMPUESTOSNÚMEROS COMPUESTOS

Son aquellos que poseen más de dos divisores.

Ejm:

Divisores

______ : 1, ____ , ____ , ____ , … ______ : 1, ____ , ____ , ____ , … ______ : ____, ____ , ____ , ____

______ : ____, ____ , ____ , ____

(3)

 Observación :

1. La unidad es un divisor universal.

2. El número 2 es el único primo absoluto par.

3. El 2 y el 3 son los únicos primos consecutivos.

III. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SINÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI) (PESI) También denominados primos relativos o

“coprimos”, y son aquellos números que poseen como único divisor común a la unidad.

Ejm:

 ¿12, 10 y 15 son PESI?

Divisores

12 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 10 : 1 , 2 , 5 , 10 15 : 1 , 3 , 5 , 15

El único divisor común de 12, 10 y 15 es la unidad, por lo tanto son PESI.

 ¿20, 14 Y 8 son PESI?

Divisores

12 : ___ , ___ , ___ , ___ , ___, ___

14 : ___ , ___ , ___ , ___

8 : ___ , ___ , ___ , ___

CRIBA DE ERATÓSTENES CRIBA DE ERATÓSTENES

Es una tabla que contiene los números primos que existen entre el 1 y el 100.

Para construirla la procede así:

1. Se escriben los números naturales del 1 al 100.

2. Se suprimen los múltiplos de 2 a partir del 4.

3. Se suprimen todos los múltiplos de 5 a partir de 25, y por último los múltiplos de 7 a partir de 49.

Para completar se finaliza suprimiendo el 1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 … … … … …

81 82 83 84 85 86 87 88 89 80

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Los números que quedaron sin tachar son los números primos menores que 100, ellos son:

____________________________________

__

____________________________________

__

IV.IV. DESCOMPOSICIÓN CANÓNICADESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

Descomponer canónicamente el número 40.

Paso 1: Empiezo a dividir el número por los números primos (2; 3; 5; 7; …)

40 2

20 2

10 2

5

Paso 2: Analizo:

5 no tiene divisor 2, entonces pruebo con 3 y luego con 5, 7 y 11 sucesivamente.

40 2

20 2

10 2

5 5

1



Se obtiene 1, entonces la descomposición llega a su fin

(4)

40 = 

vez veces 1

3

5 x 2 x 2 x 2

 = 2³ x 5¹ = 2³ x 5

Descomponer canónicamente 315:

315 3

105 3

35 5 7 7 1

315 = 3 x 3 x 5 x 7 = 3² x 5¹ x 7¹ = 3² x 5 x 7



AHORA TÚ: AHORA TÚ:

Descomponer canónicamente - 360 =

- 145 =

- 210 =

Hallar el número de divisores de 18

Divisores 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18

Divisor universal : 1 Divisores primos : 2, 3 Divisores compuestos : 6, 9, 18 Total de divisores = 6

Pero ¿Qué hacer si el número tiene más divisores? ¿Cómo calcular el número exacto de divisores de un número?

OBSERVA OBSERVA

Paso 1: Descomposición canónica

18 2

9 3

3 3

1

18 = 2 x 3 x 3 = 2¹ x 3² = 2 x 3²

Paso 2: Extracción de los exponentes.

2 x 3

1 2

Paso 3: A cada exponente se le suma la unidad y luego se multiplican.

1 2

(1 + 1) (2 + 1) x (2) x (3) = 6

 18 tiene 6 divisores Descomposición

canónica



Divisores Primos

Divisores Primos (2 en total)

1 2

+1 +1

6 divisores = Número de divisores primos

Número de divisores compuestos

+ + 1

6 = Número de

divisores compuestos

+ + 1

2

6 - 3 = Número de divisores compuestos

3 = Número de divisores compuestos

(5)

 Hallar el número de divisores compuestos de 100.

 Hallar el número de divisores de 200 y el número de divisores compuestos.

1. Indicar verdadero (V) o Falso (F) según corresponda.

I. 2, 3, 5, 7, 8, 11, 13 son números primos.

II. El único número primo par es 2 III. 21 tiene 3 divisores

a) FFF b) FVF c) FFV

d) VVV e) VFV

2. Indique la relación correcta:

I. 12 A) Tiene 2 divisores II. 15 B) Tiene 4 divisores III. 19 C) Tiene 6 divisores a) IA – II B – IIIC b) IA – IIC – IIIB c) IB – IIA – IIIC d) IB – IIC – IIIA e) IC – IIB – IIIA 3.

i) Un número primo tiene ______________ únicamente en Z⁺

ii) Dos números con PESI si tienen como único divisor ___________________

4. ¿Cuántos de los siguientes números son primos?

21, 13, 28, 41, 15, 18, 23

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

5. Calcular el número de divisores de:

i) N = 360

a) 6 b) 12 c) 18

d) 24 e) 30

ii) N = 240

a) 4 b) 8 c) 20

d) 16 e) 18

6. Calcular el número de divisores de.

i ) N = 2³ x 5² x 7²

a) 12 b) 7 c) 36

d) 32 e) 16

ii) N = 11³ x 13⁴

a) 20 b) 12 c) 7

d) 6 e)

7. Calcular el valor de  si:

i) N = 3² x 2^ x 5 tiene 24 divisores

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

ii) N = 2² x 5² x 7^ tiene 45 divisores

a) 16 b) 9 c) 6

d) 4 e) 3

8. ¿Cuántos divisores primos tiene:

i) N = 154 ?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

ii) N = 40 ?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

Ejercicios Ejercicios

de de Aplicación Aplicación Ejercicios Ejercicios

de de

Aplicación

(6)

i) N = 14 x 15 ?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

ii) N = 21 x 22?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

10. ¿Cuántos divisores primos tiene:

i) N = 28 x 12 x 5 ?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

ii) N = 5 x 10 x 4 ?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11. Hallar la cantidad de divisores compuestos de:

i) N = 2³ x 7 x 13²

a) 20 b) 21 c) 23

d) 24 e) 3

ii) N = 5³ x 7²

a) 12 b) 11 c) 10

d) 9 e) 2

12. Hallar la cantidad de divisores compuestos de:

i) N = (2³ x 3)²

a) 21 b) 20 c) 19

d) 12 e) 18

ii) N = (7² x 5)²

a) 15 b) 12 c) 10

d) 8 e) 6

13. ¿Cuántos divisores primos tiene: (, ,  1)?

i) N = 2^ x 7^ x 3^ x 5^{ + }

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

ii) N = 2^{ + } x 7^ x 13^

a) 4 b) 3 c) 2

d) 1 e) 0

14. Dos números primos suman 14. Calcular el producto de estos dos números.

a) 22 b) 26 c) 33

d) 34 e) 35

15. Indicar la pareja de números PESI :

a) 8 y 24 b) 21 y 44 c) 42 y 14

d) 15 y 70 e) 20 y 18

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

i) El 1 es un número primo.

ii) Los números PESI tienen 1 divisor.

iii) Los únicos números primos consecutivos son 3 y 4

2. Indique la relación correcta:

I. 21 A) Tiene 3 divisores II. 23 B) Tiene 4 divisores III. 25 C) Tiene 2 divisores

a) IA – IIB – IIIC b) IA – IIC – IIIB c) IB – IIA – IIIC d) IB – IIC – IIIA e) IC – IIA – IIIB 3. Completar correctamente:

i) Si un número tiene únicamente 2 divisores entonces es un __________________ .

Tarea Tarea Domiciliari Domiciliari

a a Nº 6 Nº 6 Tarea Tarea Domiciliari Domiciliari

a a

Nº 6 Nº 6

(7)

ii) Si un número tiene más de 2 divisores entonces es un ______________ .

4. Completa la oración con las opciones dadas:

La criba de ___________ contiene los números _____________ que existen entre el 1 y el 100.

a) Aristóteles – primos b) Aristóteles – compuestos c) Eratóstenes – primos d) Eratóstenes – PESI e) Pitágoras – primos

5. ¿Cuántos números primos hay en:

25, 13, 4, 11, 17, 15, 7?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

6. ¿Cuántos números compuestos hay en:

14, 25, 13, 16, 2, 1, 72?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

N = 210

a) 12 b) 16 c) 18

d) 20 e) 24

N = 7² x 3³ x 2²

a) 12 b) 20 c) 24

d) 30 e) 36

N = 320 ?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

10. Hallar la cantidad de divisores primos de:

N = 21 x 14

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11. ¿Cuántos divisores primos tiene:

N = 2^ x 3^ x 5^ x 7^{ + } x 11^{ + } (, ,  1)?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

12. Calcular el número de divisores compuestos de:

N = 7² x 11² x 5³

a) 36 b) 32 c) 24

d) 20 e) 16

13. ¿Cuántos divisores compuestos tiene:

N = (5 x 7²)² ?

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

14. Calcular el valor de  si:

N = 3^ x 7² x 13 tiene 30 divisores.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

15. Indicar la pareja de números PESI

a) 14 y 21 b) 13 y 26 c) 17 y 20

d) 4 y 180 e) 15 y 75

(8)