Ondas viajeras para algunos modelos dispersivos no lineales [recurso electrónico]

Texto completo

(1)Ondas viajeras para algunos modelos dispersivos no lineales. Gilberto Arenas Dı́az. Universidad del Valle Facultad de Ciencias Naturales y Exactas Departamento de Matemáticas Santiago de Cali 2019.

(2) Ondas viajeras para algunos modelos dispersivos no lineales. Gilberto Arenas Dı́az. Tesis presentada como cumplimiento de los requisitos para el grado de Doctor en Ciencias Matemáticas.. Ph. D. José Raúl Quintero Henáo Director. Universidad del Valle Facultad de Ciencias Naturales y Exactas Departamento de Matemáticas Santiago de Cali 2019.

(3) Aceptado. Ph. D. José Raúl Quintero Henáo Director. Xavier Carvajal Paredes Ph. D. Jurado evaluador internacional. Juan Carlos Cordero Ceballos Ph. D. Jurado evaluador nacional. Juan Carlos Muoz Grajales Ph. D. Jurado evaluador interno. Santiago de Cali, Junio de 2019.

(4) A mi esposa e hijos..

(5) Agradecimientos Quiero iniciar agradeciendo a Dios que me ha permitido alcanzar esta meta. Expresar mis sinceros agradecimientos al profesor José Raúl Quintero, por tener la capacidad de ofrecerme problemas interesantes para esta tesis, además de abrir mi mente con nuevas ideas, animándome constantemente a alcanzar lo mejor de mi, ‘a tener fé’, además, por la amistad brindada. A él, muchas gracias. Quiero agradecer a las personas más importantes de mi vida: mi familia, mi esposa Doris y mis hijos Daniela Sofı́a y Santiago José, quienes soportaron mi ausencia, ellos siempre fueron mi soporte para cumplir esta meta. A quienes siempre llevo en mis pensamientos, mis abuelos José del Carmén y Mariquita quienes me criaron y educaron con mucho cariño y amor. A mi madre Marı́a del Carmén, a mis hermanos, tı́os y primos, todos ellos quienes siempre estuvieron pendientes de mi para brindar su apoyo durante esta etapa. A mi padre matemático: mi amigo Claudio Mendoza, mi profesor de matemáticas en el colegio, fue quien me motivo a iniciar este camino por las matemáticas. A todos muchas gracias. Agradezco a mi amigo y colega Élder, quien siempre estuvo atento a animarme y apoyarme para realizar esta meta. A mis profesores en los diferentes cursos que tomé en el doctorado: Dr. Guillermo Restrepo (QEPD), Dra. Angélica Caicedo, Dra. Ivonne Rivas, Dr. Guillermo Ortiz, Dr. Juan Carlos Muñoz, Dr. Jaime Arango quiero agradecer por sus innumerables contribuciones matemáticas en mi vida académica. A la profesora Doris Hinestroza (QEPD), directora del posgrado durante la mayor parte de mi doctorado. Muchas gracias por su animo y motivación. Siempre la recordaré. A los amigos y compañeros con los que compartı́ durante estos años de doctorado: Luis Fernando, Carlos Andrés, Felipe, Erica, Heliana, Marı́a Fernanda, Deissy, Marı́a Alejandra, Rafael, Gerardo, Jhonny, Tello, Karime, Edwin, Doris, Jenifer, Carlos Ramı́rez, César, Diana Ximena, Andrés Ramı́rez, Andrés Lerma, Lilian, Oscar, Eric, v.

(6) vi. Agradecimientos. Johan, Jhon, Jorge, Yilber y Luisa, muchas gracias por todo. A los funcionarios del Departamento de Matemáticas y del Posgrado en Ciencias de la Universidad del Valle, por todas las veces que necesité y rápidamente fuı́ atendido, muchas gracias. Quiero agradecer a quienes me apoyaron financieramente en estos años de doctorado: a la Universidad Industrial de Santander quien me apoyo con la comisión de estudios, al posgrado en Ciencias Matemáticas y al proyecto de investigación “Estudio analı́tico de algunos modelos y sistemas para ondas de agua largas de pequeña amplitud”, Colciencias – Universidad del Valle (C.I. 71007), quienes apoyaron mi participación en las pasantı́as y los diferentes eventos, al ICM2018 que apoyó mi participación en el evento “ICM satellite conference on Nonlinear Dispersive Equations”. Quiero también expresar mis sinceros agradecimientos a quienes confiaron en mı́ y fueron mis fiadores para poder asumir mi comisión de estudios: mi amigo y colega Javier Enrique Camargo, y mis primos Anibal y Robert Villamizar..

(7) Contenido Resumen. XI. Introducción. XIII. 1. Resultados preliminares. 1. 1.1. Algunas generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.2. Espacios de Banach con norma tipo Bielecki . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.3. Sobre un subconjunto de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.4. Teorı́a de operadores positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.5. Positividad de la transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 1.6. Criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 2. Derivación de un sistema tipo Benjamin-Ono. 21. 2.1. Ecuaciones que describen el problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 2.2. Derivación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 3. Ondas solitarias para un sistema tipo Benjamin-Ono. 33. 3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 3.2. Positividad y decrecimiento de los núcleos ki,c . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.3. Existencia de ondas solitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 4. Soluciones periódicas para un sistema tipo Benjamin-Ono. 57. 4.1. El espacio apropiado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 4.2. Análisis del operador A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 4.3. Resultados de existencia de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. El problema de Cauchy para el sistema tipo Benjamin-One vii. 67 71.

(8) viii. Contenido. 5.1. Existencia local de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Buen planteamiento local para el problema de Cauchy. 71. . . . . .. 73. 5.1.2. El problema no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. 5.2. Existencia local para el problema de Cauchy en el caso periódico . . . .. 86. 5.2.1. Buen planteamiento local en el caso periódico . . . . . . . . . .. 88. 5.2.2. El problema no lineal en el caso periódico . . . . . . . . . . . .. 92. 6. Soluciones positivas para una ecuación no lineal de segundo orden. 99. 6.1. Existencia de soluciones positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103. 6.2. Aplicación del resultado de existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 115. 6.3. Sobre los modelos dispersivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117. Referencias bibliográficas. 127.

(9) Productos basados en esta tesis Artı́culos • José R. Quintero & Gilberto Arenas-Dı́az, “On the existence of solitary waves for an internal system of the Benjamin-Ono type”, Submitted.. Artı́culos en preparación • Gilberto Arenas-Dı́az & José R. Quintero, “Well-posedness of solutions for an internal system of the Benjamin-Ono type”.. • Gilberto Arenas-Dı́az & José R. Quintero, “The Cauchy problem for an internal system of the Benjamin-Ono type”.. • Gilberto Arenas-Dı́az, José R. Quintero & Felipe A. Pipicano, “On the existence of periodic travelling wave for an internal system of the Benjamin-Ono type”.. Ponencias • “On travelling wave solutions for a general class of KdV-Burger type equation”, XI Simposio Nororiental de Matemáticas, Bucaramanga, diciembre 5 al 7 de 2018. http://matematicas.uis.edu.co/xsimposio. • “Solitary waves for an internal water wave model”, ICM satellite conference on Nonlinear Dispersive Equations, July 27 – 30, 2018, Florianópolis, Santa Catarina, Brasil. (Póster).. https://impa.br/en_US/eventos-do-impa/eventos-2018/nonlinear-dispersive-equations/. • “On the existence of travelling wave solutions for an internal wave model”, VIII Encuentro Nacional de Matemáticas y Estadı́stica, Ibagué, 2 al 4 de mayo de 2018. http://academia.ut.edu.co/presentacion2. ix.

(10) x. Productos basados en esta tesis. • “Solitary waves for the cBKdV equation”, ICAMI 2017, San Andrés Islas, 26 de noviembre al 1 de diciembre de 2017.. http://www.icami2017.org/. • “A new Benjamin-One type system for internal wave”, XXI Congreso Colombiano de Matemáticas, Bogotá, junio 5 al 9 de 2017. http://www.scm.org.co/eventos/ccm2017/. Estancias • Estancia de investigación, invitado por el profesor Felipe Linares, IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, Brasil, enero-febrero de 2017 [25 dı́as].. • Estancia de investigación, invitado por el profesor Felipe Linares, IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, Brasil, julio-agosto de 2017 [28 dı́as].. Participación en proyectos • “Estudio analı́tico de algunos modelos y sistemas para ondas de agua largas de pequeña amplitud”, Colciencias – Universidad del Valle, C.I. 71007, 2015–2018. Investigadores principales: José Raúl Quintero y Alex M. Montes..

(11) Resumen En este trabajo de tesis se aborda inicialmente la deducción de un nuevo modelo fı́sico, un sistema de tipo Benjamin-Ono con mayor dispersión que modelos de tipo Benjamin-Ono ya conocidos. Trabajando sobre este modelo se realiza un estudio sobre la existencia de las ondas solitarias usando técnicas de operadores positivos debida a Krasnosell’skii. Se demuestra también la existencia de ondas solitarias periódicas para el modelo encontrado de tipo Benjamin-Ono siguiendo ideas de Chen. Posteriormente se demuestra la buena colocación local del problema de valor inicial asociado con el sistema deducido en los casos periódico y no periódico. Finalmente siguiendo ideas de Zima y resultados de puntos fijo de Krasnosel’skii sobre conos se demuestra la existencia de soluciones positivas para un tipo de ecuaciones diferenciales de segundo orden.. xi.

(12) ..

(13) Introducción Desde el descubrimiento hace más de 170 años de la “onda permanente” (conocida actualmente como onda solitaria) en el canal Unión en Hermiston (Edimburgo - Escocia) por parte del ingeniero escocés y arquitecto naval John Scott Russell (1808-1882), cuando trabajaban experimentalmente en un diseño más eficiente de embarcaciones usadas para viajar por canales estrechos, las soluciones de ondas solitarias han jugado un papel importante en el estudio de algunos modelos dispersivos de evolución dado que este tipo de soluciones son dominantes en la propagación del movimiento ondulatorio no lineal y dispersivo. Como resultado del estudio de éste fenómeno, y de las investigaciones de J. Boussinesq y Lord Rayleigh, los matemáticos holandeses Diederik Johannes Korteweg (1848-1941) y su estudiante Gustav de Vries (1866-1934), obtuvieron una ecuación satisfactoria que describe el perfil de la onda. Esta ecuación estaba basada en la suposición de que la profundidad del agua es pequeña en comparación con la anchura de las ondas y relaciona la amplitud de la onda y sus cambios en el espacio con el cambio de la amplitud en el tiempo. La ecuación propuesta por D. Korteweg y G. de Vries (denominada ecuación Korteweg-de Vries o simplemente ecuación KdV) es uno de los modelos clásicos no lineales más relevantes en el estudio de ondas de agua de gran elongación y de pequeña amplitud. En las últimas cinco décadas, este hecho ha sido un generador de una gran actividad investigativa alrededor de la existencia y estabilidad de ondas viajeras (solitarias y periódicas), sobre el problema de Cauchy asociado con modelos dispersivos, y otras propiedades, desde el punto de vista analı́tico, numérico y experimental. Es importante resaltar que una gran parte del esfuerzo relacionado con la teorı́a de la existencia de ondas viajeras (solitarias y periódicas) se ha desarrollado en modelos para la propagación unidireccional de ondas en medios no lineales, dispersivos, o con las ecuaciones completas de Euler para las ondas superficiales e internas, aunque en los últimos años han habido contribuciones de mucho interés como los trabajos de J.F. Toland ([38], [39]) sobre el sistema de ecuaciones derivadas por J.L. Bona y R. Smith en xiii.

(14) xiv. Introducción. el trabajo [7] en el caso de la propagación de ondas de agua, el trabajo de M. Chen [11] sobre clases más generales de sistemas de Boussinesq, el trabajo de T.B. Benjamin, J.L. Bona y D.K. Bose [4] sobre algunos problemas no lineales, el trabajo de J.L. Bona y H. Chen [6] sobre algunos sistemas dispersivos y el trabajo de R.L. Pego y J.R. Quintero [33] sobre la ecuación Benney-Luke. Más recientemente encontramos los trabajos de J.C. Muñoz y F.A. Pipicano sobre existencia de ondas viajeras periódicas [35], y J.R. Quintero y J.C. Muñoz sobre la existencia de solitones [36], para el caso de un sistema dispersivo que describe la propagación de una onda interna débilmente no lineal que se propaga en la interfaz de dos lı́quidos con densidades constantes que no se mezclan, los cuales están contenidos en reposo en un canal largo con una parte superior y fondo horizontales y rı́gidos, suponiendo que la densidad del lı́quido superior es inferior a la del lı́quido inferior. La evolución de las ondas solitarias de fluidos no viscosos e incompresibles descritas mediante una ecuación dispersiva ha sido de gran interés para muchos investigadores en matemáticas y fı́sica por más de un siglo. Varios modelos dispersivos relacionados con la evolución de ondas en distintos medios se pueden enmarcar en la forma ∂t L1 (u) + ∂x L2 (u) + P (u, ux) = 0,. (1). donde u : I → Rn con I = R o I = [0, T ], Li para i = 1, 2 representa un operador lineal definido vı́a sı́mbolos de Fourier sobre un espacio de Hilbert apropiado y P es una función no lineal, en general suave. En particular, J. Bona y H. Chen en [6] estudian un modelo generalizado para describir la propagación bidireccional de ondas de pequeña amplitud y gran elongación en superficies de agua que se puede escribir en la forma general ξ ξ ∂t L1 + ∂x L2 = ∂x G ξ (2) v v v donde Li son operadores matriciales 2 × 2 y G = (g1 , g2 )t tales que g1 , g2 : R2 → R son funciones reales, suaves y no lineales, que satisfacen que gi (ξ, v) ≥ 0 para ξ ≥ 0, v ≥ 0, i = 1, 2, especı́ficamente consideran que las funciones gi son polinomios cuadráticos para i = 1, 2. Bajo esto supuestos, J. Bona y H. Chen en [6] muestran la existencia de soluciones de tipo onda solitaria para algunos sistemas tipo Boussinesq. Como ya se mencionó, un fenómeno de interés, y que está relacionado con el fenómeno de ondas de agua, es el de ondas internas. Las ondas internas son ondas de gravedad que oscilan dentro de un medio fluido, en lugar de hacerlo en su superficie. Para existir,.

(15) xv. Introducción. el fluido debe estratificarse: la densidad debe disminuir de forma continua o discontinua con la profundidad (o altura) debido a los cambios, por ejemplo, en la temperatura o la salinidad del fluido. En este sentido, J.A. Gear y R. Grimshaw en [18], interesados en el estudio del fenómeno asociado con modelos de ondas internas presentes en la interfaz de dos fluidos estratificados confinados en el fondo y la parte superior que no se mezclan debido a la diferencia de densidades, derivaron el siguiente modelo dispersivo   ut + uux + uxxx + a3 vxxx + a1 vvx + a2 (uv)x = 0,.  b v + rv + vv + v + b a u + b a uu + b a (uv) = 0, 1 t x x xxx 2 3 xxx 2 2 x 2 1 x. (3). donde a1 , a2 , a3 , b1 , b2 y r son números reales con b1 y b2 positivos, determinados por las densidades de las capas fluidas y sus extensiones verticales. Este sistema dispersivo describe la interacción de ondas internas que tienen diferentes estructuras verticales, pero velocidades de fase casi idénticas. Es de observar que el sistema (3) puede escribirse en la forma general (1). Más recientemente, J.C. Muñoz en [30] deriva un modelo tipo Benjamin-Ono para describir la interfaz entre dos fluidos estratificados que no se mezclan en el caso lı́mite en que la profundidad sea infinita. Este modelo dispersivo viene dado por    . ζt − ((1 − αζ)u)x =. ǫ2 ζxxt, 6. 2    ut + αu ux + (1 − ρ0 ) ζx = ρ0 ǫH(uxt ) + ǫ uxxt, 6. (4). donde H denota la transformada de Hilbert, las constantes ρ1 y ρ2 representan la densidad de los fluidos y ρ0 = ρ2 /ρ1 > 1, las constantes α y ǫ son pequeños números reales positivos tales que α = O(ǫ2 ) con α = ha1 y ǫ = hL1 , los cuales miden la intensidad de los efectos no lineales y dispersivos, donde h1 denota el grosor de la capa fluida superior y los parámetros L y a corresponden a la longitud de onda caracterı́stica y la amplitud caracterı́stica de la onda, la función u = u(x, t) es la velocidad controlada a la profundidad normalizada z0 y ζ = ζ(x, t) es la amplitud de la onda en el punto x y el tiempo t, medida con respecto al nivel de reposo de la interfaz de los dos fluidos. Algunas variantes del sistema (4) fueron derivadas por W. Choi y R. Camassa en [13], [12] y [14] para diferentes regı́menes de escala del problema, donde son descartados los términos de orden O(ǫ2 ) y se toma que α = O(ǫ), en contraste con el modelo (4) donde.

(16) xvi. Introducción. α = O(ǫ2 ) y se han despreciado los términos de orden O(ǫ3 ). El modelo   ζt − ((1 − αζ)u)x = 0, . (5). ut + αu ux + (1 − ρ0 ) ζx = ρ0 ǫH(ζtt ),. es una de las variantes mencionadas. Puede observarse que el sistema (4) es más general que el sistema (5) y además no se encuentra incluido en la clase general (2) considera por J. Bona y H. Chen en [6]. Para el sistema deducido por J.C. Muñoz en [30], J.R. Quintero y J.C. Muñoz en [36] mostraron la existencia de ondas viajeras internas, y J.C. Muñoz y F.A. Pipicano en [35] mostraron la existencia de ondas viajeras internas periódica, para ello utilizaron la teorı́a de operadores positivos (ver J.L. Bona, T. Benjamin y D.K. Bose [4]). En este sentido, el primer problema que abordaremos en esta tesis está relacionado con el fenómeno de ondas internas, y consiste en la derivación de un sistema tipo Benjamin-Ono con una mayor dispersión a los propuestos por W. Choi y R. Camassa en [13], [12], [14] y J.C. Muñoz en [30], para describir la interfaz de dos fluidos confinados en el fondo y en la parte superior, cuando consideremos el caso lı́mite de profundidad infinita. Este tipo de derivación requiere de una expasión de Taylor de orden mayor con respecto a los parámetros de no linealidad y amplitud. Para este análisis hemos adaptando los trabajos de W. Choi y R. Camassa en [13], [12], [14] y J.C. Muñoz en [30]. A diferencia de los trabajo anteriores, si se descartan los términos de orden O(αǫ2) y se toma que α = O(ǫσ ), σ ∈ (0, 1), hemos obtenido un sistema tipo Benjamin-Ono con mayor dispersión de la forma ! ! ! ! ξ ∂x ξ 0 A3 A1 ∂t ξ , (6) = ∂x F − v ∂x v A4 0 A2 ∂t v donde los operadores Ai con 1 ≤ i ≤ 4 son operadores lineales diferenciales y F = (f1 , f2 )t tales que f1 , f2 : R2 → R son funciones reales y no lineales que satisfacen f1 (0, 0) = 0, f2 (0, 0) = 0, f1 (ξ, v) ≤ 0 y f2 (ξ, v) ≥ 0 cuando (ξ, v) ∈ R− × R+ , como ocurre en los sistemas tipo Benjamin-Ono derivados por W. Choi y R. Camassa, y J.C. Muñoz. Concretamente, el sistema tipo Benjamin-Ono que se deduce es el siguiente   ξt − ǫ2 β1 ∂x2 ξt + ǫ4 β2 ∂x4 ξt + ǫ2 α5 ∂x3 u − ǫ4 α6 ∂x5 u = (u − αξu)x ,  α   ut − ǫ2 α3 ∂x2 ut + ǫ4 α4 ∂x4 ut − ǫρ0 H(∂x ut ) + ǫ3 ρ0 α1 H(∂x3 ut ) = (ρ0 − 1) ξ − u2 . 2 x. Para el sistema tipo Benjamin-Ono derivado, consideramos el estudio de la existencia de ondas solitarias y ondas viajeras periódicas, para ello hemos utilizado la teorı́a.

(17) xvii. Introducción. de operadores positivos desarrollada por M.A. Krasnosell’skii ([26], [27]) que ha sido aplicada en el contexto de ondas dispersivas no lineales por J.L. Bona, T. Benjamin y D.K. Bose [4], J.L. Bona y H. Chen [6], H. Chen [9], H. Chen, M. Chen y N.V. Nguyen [10], J.C. Muñoz y F.A. Pipicano [35], y J.R. Quintero y J.C. Muñoz [36]. Es importante resaltar que la técnica expuesta es apropiada para tratar distintos tipos de no linealidades. La teorı́a de operadores positivos requiere sólo la suposición de superlinealidad sobre la no linealidad. Dado que la teorı́a está basada en el grado topológico, ella tiene ventajas cuando es necesario utilizar argumentos de perturbación. Por ejemplo, para el estudio de la existencia de ondas solitarias, fue necesario reformular el problema de existencia de ondas viajeras como un problema de punto fijo definido en un cono de un espacio de Frechét apropiado. Es importante señalar que este resultado exige un análisis muy detallado y delicado, pues se requiere la positividad de los sı́mbolos de Fourier de los operadores diferenciales Ai , para ello fue necesario utilizar un resultado de Tuck (ver [42]) asociado con la positividad de la transformada de Fourier. La estrategia en el caso del estudio de la existencia de ondas solitarias fue adaptar las técnicas usadas por J.R. Quintero y J.C. Muñoz en [36] y J.L. Bona, T. Benjamin y D.K. Bose en [4]. Para el caso de la existencia de ondas viajeras periódicas la estrategia se basó en adaptar las técnicas usadas por J.C. Muñoz y F.A. Pipicano en [35] y H. Chen en [9]. También para el sistema tipo Benjamin-Ono derivado, abordamos el problema de la buena colocación local en un espacio apropiado. Para ello utilizamos resultados de punto fijo para mostrar la existencia de soluciones, utilizando la representación vı́a transformada o series de Fourier, en el caso periódico. Otro problema del que nos ocupamos en este trabajo está relacionado con la existencia de soluciones positivas para las ecuaciones diferenciales de segundo orden −cu + αux + βuxx + f (x, u(x)) = 0,. (7). donde α ≥ 0, β > 0, c > 0, x ∈ R y f es una función continua no negativa bajo algunos supuestos. El interés en este modelo surge por su relación con otro modelos muy conocido como la ecuación de Burgers, la ecuación de Burgers con viscosidad, la ecuación KdV, la ecuación de KdV-Burgers, la ecuación de KdV-Burgers modificada y la ecuación KdV-Burgers cuadrada-cúbica. Ası́ como también con la ecuación KdV generalizada (α = 0, β > 0 y f (u) = up+1 ) y la ecuación p-Gardner generalizada (α = 0, β > 0 y f (u) = up+1 + u2p+1). Esta tesis es organizada como sigue: En el primer capı́tulo incluimos algunas.

(18) xviii. Introducción. definiciones, notaciones estándares y resultados que utilizamos en el desarrollo de la tesis. En el segundo capı́tulo hacemos la deducción de un sistema tipo Benjamin-Ono para describir un fenómeno de ondas internas. El sistema deducido tiene una mayor dispersión a los propuestos por W. Choi y R. Camassa en [12], [13], [14] y J.C. Muñoz en [30]. En el tercer capı́tulo, siguiendo las ideas de T.B. Benjamin, J.L. Bona y D.K. Bose [4] en el marco de soluciones de ondas solitarias de algunas ecuaciones dispersivas, aplicamos la teorı́a de operadores positivos introducida originalmente por Krasnosel’skii [26], [27] en la exploración de la existencia de soluciones de ondas solitarias del sistema deducido. Inicialmente se construye un espacio de Fréchet apropiado donde aplicar la teorı́a, posteriormente se reformula el problema para verlo como un problema de punto fijo de un operador positivo, para pasar luego a verificar que los operadores y kerneles que aparecen satisfacen las hipótesis necesarias para aplicar los resultados de operadores positivos en conos, y ası́ garantizar la existencia de soluciones de ondas solitarias. En el cuarto capı́tulo, basados en el enfoque introducido inicialmente por H. Chen en [9], el cual aplica la teorı́a del operador positivo a ecuaciones de tipo dispersivo en un dominio periódico, estudiamos la existencia de soluciones de ondas solitarias periódicas para el sistema tipo Benjamin-Ono deducido. En el quinto capı́tulo el objetivo principal es demostrar que el problema de Cauchy asociado al sistema tipo Benjamin-Ono es localmente bien puesto, tanto en el caso periódico, como en el caso no periódico. Para ello utilizamos los resultados de punto fijo clásicos para demostrar la existencia de solución. Por último, en el sexto capı́tulo se presenta el estudio relacionado con las soluciones positivas para la ecuación diferencial de segundo orden de la forma (7). Para este análisis se sigue el enfoque utilizado por M. Zima en [44]. El resultado principal es consecuencia de la caracterización de las soluciones como puntos fijos de algunos funcionales, definidos mediante la función de Green asociada al problema lineal, y el teorema de punto fijo de Krasnosel’skii bajo una norma tipo Bielecki (ver [22] y [44])..

(19) Capı́tulo 1 Resultados preliminares Para la comodidad del lector, incluimos en este capı́tulo algunas definiciones, notaciones estándares y resultados que utilizamos en nuestro trabajo. El material de este capı́tulo es organizado de la siguiente manera: en la primera sección incluimos algunas generalidades básicas sobre notaciones y conjuntos sobre los cuales trabajaremos en nuestra tesis, como son ℓp el espacio de Banach de todas las sucesiones complejas p-sumables, Lp (−l, l) el espacio de Banach de la funciones Lebesgue-medibles, ası́ como la definición y algunas propiedades de la transformada de Hilbert. Para esta primera sección nos hemos basada en las recopilaciones presentadas en [9, 29, 34, 35]. En la segunda sección incluimos los concepto necesarios sobre espacios de Banach con norma tipo Bielecki, esta sección es basada en [43]. En la tercera sección presentamos algunos resultados generales discutidos en [4] sobre un subconjunto especial del espacio C(R) de las funciones continuas de valor real definidas en R. En la cuarta sección se presentan algunos resultados de puntos fijos sobre conos que garantizan la existencia de ondas solitarias. Esta teorı́a de puntos fijos en conos para operadores positivos fue adaptada para obtener la existencia de ondas viajeras para una clase de modelo dispersivo por T. Benjamin, J. Bona y D. Bose [4]. En la quinta sección se demuestra un resultado que garantiza la positividad de la transformada de Fourier debido a E.O. Tuck [42]. Este resultado será utilizado para demostrar la positividad de los kerneles que surgen cuando estudiamos la existencia de ondas solitarias para el sistema tipo Benjamin-Ono. En la sexta sección se presenta el criterio de Routh-Hurwitz, criterio utilizado para encontrar la ubicación de los ceros de un polinomio a partir de una tabla que se construye en base a sus coeficientes (ver N.S. Nise [31]).. 1.

(20) 2. 1.1.. 1. Resultados preliminares. Algunas generalidades. Como es usual, el conjunto de los números naturales será denotado por N, el conjunto de los número enteros por Z, el campo de los números reales por R y el campo de los número complejo por C. El espacio de todos los vectores n-dimensionales será denotado por Rn , y su norma euclidiana se denotará por k · k. El espacio de todas las matrices reales de tamaño n×n lo denotamos por Mn×n . Dada una matriz D ∈ Mn×n , el elemento en la posición (i, j) de la matriz D se denotará por D(i, j). Una norma usual definida en este espacio es la dada por kD(i, j)k∞ := máx. 1≤i≤n. n X j=1. |D(i, j)|.. En un espacio de Banach E con norma k · kE , x ∈ E, Ω ⊂ E y r > 0, la bola abierta en E, con centro en x y radio r, será denotada por Br (x) := {y ∈ E : kx − ykE < r}. Se dirá que el conjunto Ω es convexo si para todo x, y ∈ Ω, el segmento de recta que une a x e y está contenido en Ω. La frontera y adherencia de Ω serán denotados respectivamente por ∂Ω y Ω. Se dirá que el conjunto Ω es compacto si para todo recubrimiento abierto de Ω se puede extraer un subrecubrimiento abierto finito, y se dirá que Ω es relativamente compacto, si Ω es compacto. Recordemos que en espacios de Banach de dimensión finita, un conjunto es compacto si y solamente si, es cerrado y acotado. En general, en espacios de Banach de dimensión infinita esta equivalencia no se cumple. Dados Ω ⊂ Rn abierto, k ∈ N y una función f : Ω → Rn . Se dice que f es de clase C k o que está en C k (Ω), si f es k veces continuamente diferenciable en Ω. f ∈ C(Ω) denotará T k que f es continua en Ω. Se dirá que f es de clase C∞ o f ∈ C ∞ (Ω), si f ∈ ∞ k=1 C (Ω). f ∈ C k (Ω) denota que f ∈ C k (Ω) ∩ C(Ω). Para 1 ≤ p < ∞, ℓp denota el espacio de todas las sucesiones complejas p-sumables, esto es, ( ) X ℓp = u = (un )n∈Z : un ∈ C, |un |p < ∞ . n∈Z. La norma usual definida en ℓp es dada por kukp :=. X n∈Z. |un |p. !1/p. ..

(21) 3. 1. Resultados preliminares. Para p = ∞, el espacio ℓ∞ se define por ℓ∞ = u = (un )n∈Z : un ∈ C,. sup |un | < ∞ n∈Z. . con la norma kuk∞ := sup |un | . n∈Z. Los dos espacios, ℓp y ℓ∞ , son espacios de Banach. Obsérvese que para 1 ≤ p ≤ ∞ y u, v ∈ ℓp se satisface que ku + vkp ≤ kukp + kvkp . (1.1) También, para 1 ≤ p < q < ∞, ℓp ⊂ ℓq , y para cualquier u = (un )n ∈ ℓp , se cumple el estimativo kukq ≤ kukp . Además, si 1 ≤ p, q ≤ ∞ satisfacen 1p + 1q = 1 y u ∈ ℓp , v ∈ ℓq , P entonces w = (wn )n = u ∗ v ∈ ℓ∞ , donde wn = ∞ k=−∞ uk vn−k , y kwk∞ ≤ kukp kvkq .. (1.2). Denotemos por Lp (−l, l) con p ≥ 1, el espacio de Banach de la funciones Lebesgue-medibles sobre R las cuales son 2l-periódicas y p-integrables sobre el intervalo [−l, l]. La norma usual definida sobre Lp (−l, l) es kf kLp :=. Z. l. −l. 1/p |f (x)| dx . p. De manera análoga, para p = ∞, L∞ (−l, l) es el espacio de Banach de todas las funciones medibles, 2l-periódicas y esencialmente acotadas con la norma usual kf kL∞ = ess sup |f (x)| . x∈[−l,l]. Además, cualquier sucesión (fn )n ∈ ℓ2 define una función f 2l-periódica, donde X inπ f (x) = fn e l x .. (1.3). n∈Z. Por otra parte, si f ∈ L2 (−l, l), entonces f puede representarse como una serie en la forma (1.3), donde Z inπ 1 l fn = (1.4) f (x) e− l x dx. 2l −l En este sentido, cualquier f ∈ L2 (−l, l) puede identificarse con la sucesión de sus coeficientes de Fourier (fn )n donde fn se define como en (1.4).. Para un estudio más amplio acerca del Análisis de Fourier remitimos al lector al texto de R. Iorio [25]..

(22) 4. 1. Resultados preliminares. Definición 1.1. La transformada de Hilbert de una función f (x), denotada por H(f ), se define para todo x ∈ R por la integral Z ∞ 1 f (τ ) H(f )(x) = p.v. dτ, (1.5) π −∞ τ − x R siempre que ésta exista. La expresión p.v. indica que la integral es en el sentido del valor principal. Debido al polo en x = τ , no siempre es posible calcular la transformada de Hilbert como una integral impropia ordinaria. Sin embargo, al tomar la integral en el sentido del valor principal se incrementa la clase de funciones para las cuales la integral de la Definición 1.1 existe. Como consecuencia directa de la Definición 1.1 se obtiene que la transformada de Hilbert es lineal. También, a partir de un cálculo sencillo se puede ver que para α ∈ R, δ(x) = f (αx) y τα (f )(x) = f (x − α), se tiene que H(δ)(x) = sign(α)H(f )(αx). y. H(τα (f ))(x) = τα (H(f ))(x).. (1.6). Aquı́, sign(α) denota la función sign : R → {−1, 0, 1} que se define por    1 si x > 0,   sign(x) := 0 si x = 0,    −1 si x < 0.. La última igualdad en (1.6) muestra que la transformada de Hilbert y las traslaciones Z ∞ sin τ cos τ conmutan. Usando esta conmutatividad, que dτ = π y que la expresión τ −∞ τ es impar, podemos obtener que H(cos(x)) = − sin(x). y. H(sin(x)) = cos(x).. En efecto, Z ∞ Z ∞ 1 cos(τ ) cos(τ + x) 1 H(cos(x)) = v.p. dτ = v.p. dτ π π τ −∞ τ − x −∞ Z ∞ Z ∞ sin(x) cos(τ ) sin(τ ) cos(x) v.p. dτ − v.p. dτ = π τ π τ −∞ −∞ = − sin(x). Ahora, por la conmutatividad tenemos H(sin(x)) = H(cos(x − π/2)) = − sin(x − π/2) = sin(π/2 − x) = cos(x).. (1.7).

(23) 5. 1. Resultados preliminares. Por otra parte, usando la linealidad de la transformada de Hilbert, la ecuación (1.7), y que eiαx = cos(αx) + i sin(αx), tenemos que H(eiαx )(x) = H(cos(αx) + i sin(αx))(x). = H(cos(αx))(x) + i H(sin(αx))(x). = −sign(α) sin(αx) + i sing(α) cos(αx) = i sign(α) (cos(αx) + i sin(αx)). = i sign(α) eiαx .. (1.8). Recordemos la regla de Leibniz para integrales, la cual establece que Z Z b(c) d d ∂ d b(c) f (y, c) dy = f (y, c) dy + f (b, c) b(c) − f (a, c) a(c). dc a(c) dc dc a(c) ∂c En particular, si a y b son lı́mites definidos (independientes de c), obtenemos que Z Z b(c) ∂ d b(c) f (y, c) dy = f (y, c) dy. dc a(c) a(c) ∂c Utilizando la regla de Leibniz para integrales obtenemos que la transformada de Hilbert de la derivada de una función es la derivada de la transformada de Hilbert. En efecto, Z ∞ d 1 d f (τ ) H(f )(x) = v.p. dτ dx π dx −∞ τ − x Z ∞ d f (τ + x) 1 v.p. dτ = π dx −∞ τ Z ∞ ′ 1 f (τ + x) d = v.p. dτ π dx −∞ τ Z ∞ ′ 1 d f (τ ) = v.p. dτ π dx −∞ τ − x = H(f ′ )(x), (1.9) d f (x). dx Es de mencionar también, que la transformada de Hilbert se puede definir vı́a la transformada de Fourier por. donde f ′ (x) =. [)(x) = i sing(x)fb(x). H(f. (1.10). Para un estudio más amplio acerca de la transformada de Hilbert remitimos al lector al texto de J. Duoandikoetxea [16]..

(24) 6. 1.2.. 1. Resultados preliminares. Espacios de Banach con norma tipo Bielecki. Sea v una función a valores reales, continua y positiva, definida sobre R y denote por E el conjunto de las funciones continuas u definidas sobre R tales que sup |u(x)| v(x) < ∞. x∈R. No es difı́cil ver que E es un espacio lineal normado con norma kukv = sup |u(x)| v(x).. (1.11). x∈R. Sin dificultad se puede demostrar que el espacio hE, k · kv i es un espacio de Banach dado que para cualquier sucesión de Cauchy {un } ⊂ hE, k · kv i, entonces la sucesión {ũn } ⊂ hCb (R), | · |∞ i, donde ũn = un v también es una sucesión de Cauchy. Entonces, existe ũn ∈ Cb (R) tal que ũn → ũ en Cb (R), ası́ si suponemos que un = ũn /v, vemos que un → ũ en hE, k · kv i. Es de mencionar que el espacio E fue introducido por M. Zima en [43] y corresponde a una generalización de un espacio introducido por A. Bielecki en [5]. Es importante señalar que a pesar de que el teorema de Arzela-Ascoli no funciona en el espacio E, existen condiciones suficientes de compacidad (ver [2]). Se dirá que la familia Ω ⊂ E es casi-equicontinua sobre R, si la familia Ω ⊂ E es equicontinua en cada intervalo [a, b] con −∞ < a < b < ∞. Ası́, establecemos un criterio de compacidad el cual es una modificación del resultado análogo obtenido por K. Zima en [43]. Proposición 1.2. Sea q una función continua y positiva sobre R tal que v(x) = 0. |x|→∞ q(x) lı́m. Si la familia Ω ⊂ E es casi-equicontinua sobre R y uniformemente acotada en el sentido de la norma kukq = sup |u(x)|q(x), x∈R. entonces Ω es relativamente compacto en hE, k · kv i..

(25) 7. 1. Resultados preliminares. 1.3.. Sobre un subconjunto de funciones continuas. Consideramos en el espacio C(R) de las funciones continuas de valor real definidas en R el conjunto K ⊂ C(R) definido como K = {w ∈ C(R) : w(x) = w(−x) ≥ 0; w es no creciente para x ≥ 0 } . Asociado con este conjunto, presentamos a continuación algunos resultados generales discutidos en [4]. Lema 1.3. Sea k ∈ C(R) ∩ L1 (R) una función par, positiva y no creciente para x ≥ 0, tal que b k ∈ L1 (R) es una función par, positiva y no creciente para x ≥ 0. Entonces el operador B definido por B(f )(x) = (k ∗ f )(x) =. Z. R. k(x − r)f (r) dr. aplica K en K. Demostración. Notemos primero que B(f )(x) es acotado debido a que k ∈ L1 (R) y también de la desigualdad de Young, dado que máx |k ∗ f | ≤ f (0)||k||L1(R) , R. f ∈ K.. Ahora, también tenemos que B(f ) ≥ 0 para f ∈ K. En efecto, B(f )(x) =. Z. R. k(x − y)f (y) dy ≥ 0,. dado que k ≥ 0 y f ≥ 0. Por otra lado, B(f ) es también una función par para f ∈ K. En efecto, B(f )(−x) = = =. Z. ZR ZR. R. k(−x − y)f (y) dy k(x + y)f (y) dy k(x − z)f (z) dz. = B(f )(x)..

(26) 8. 1. Resultados preliminares. Afirmamos ahora que B(f ) para f ∈ K es una función continua sobre R. De hecho, primero note que 0 ≤ f (y) ≤ f (0) para cualquier y ∈ R. Z |B(f )(x + h) − B(f )(x)| ≤ |(k(x + h − y)f (y) − (k(x − y)f (y)| dy R Z ≤ f (0) |k(x + h − y) − k(x − y)| dy ZR ≤ f (0) |k(y + h) − k(y)| dy. (1.12) R. 1. Usando que k ∈ L (R) y el teorema de convergencia dominada, concluimos que lı́m |B(f )(x + h) − B(f )(x)| = 0,. h→0. lo que significa que B(f ) es una función continua sobre R, siempre que f ∈ K. Finalmente, necesitamos establecer que B(f ) es una función no creciente para x ≥ 0 y para f ∈ K. Ası́, sea f ∈ K fijo y considere x ≥ 0 y h > 0. Entonces, tenemos para cualquier r ∈ R que Z B(f )(x) = k(x − y)f (y) dy R Z r Z ∞ = k(x − y)f (y) dy + k(x − y)f (y) dy −∞ r Z ∞ Z ∞ = k(x − r − z)f (z + r) dz + k(x − r − z)f (z + r) dz 0. 0. y por tanto, tenemos que Z ∞ Z B(f )(x + h) = k(x + h − z − r)f (z + r) dz + 0. Usando r = − h2 en la primer fórmula y r =. 0. h 2. ∞. k(x + h + z − r)f (z − r) dz. en la segunda, obtenemos que. B(f )(x) − B(f )(x + h) Z ∞ 1 1 1 1 f z− h −f z+ h dz = k z−x− h −k x+ h+z 2 2 2 2 0. Notemos ahora que Z ∞ 1 1 1 1 k z−x− h −k x+ h+z f z− h −f z+ h dz ≥ 0, 2 2 2 2 x+ 21 h dado que z ≥ x + 21 h ≥ 12 h, y el hecho de que k y f son no crecientes para w ≥ 0. Ahora, para el resto de la integral, usamos un argumento similar, después de señalar que k y f son funciones pares. De hecho, notemos que para z ≥ 0 1 1 1 1 f h − z − f z + h = f z − h − f z + h ≥ 0, 2 2 2 2.

(27) 9. 1. Resultados preliminares. para z ≥ 21 h o z ≤ 12 h, dado que f es una función par y no creciente para w ≥ 0. Ası́, a partir de este hecho, tenemos que Z x+ 1 h 2 1 1 1 1 k x+ h−z −k x+ h+z f h−z −f z+ h dz ≥ 0, 2 2 2 2 0. dado que 0 ≤ z ≤ x + 21 h, y el hecho de que k es una función par y no creciente para w ≥ 0. En otras palabras, hemos demostrado que B(f )(x) − B(f )(x + h) ≥ 0 para cualquier x ≥ 0 y h > 0, lo cual significa que B(f )(x) es una función no creciente para x ≥ 0. Lema 1.4. Sea k ∈ C(R) ∩ L1 (R) una función par, positiva y no creciente para x ≥ 0. P Entonces la función k̃(x) = m∈Z k(x − 2m) es periódica, además X k(2m). (1.13) máx k̃(x) = −1≤x≤1. m∈Z. Demostración. Dado que k ∈ C(R) ∩ L1 (R) es una función par, positiva y no creciente P para x ≥ 0, entonces es claro que la serie m∈Z k(2m) es convergente. Obsérvese que X X k(x + 2(1 − m)) = k̃(x), k(x + 2 − 2m) = k̃(x + 2) = m∈Z. m∈Z. implicando que k̃ es periódica de perı́odo 2. Ahora, sea 0 ≤ x ≤ 1 y m ∈ Z− . Entonces tenemos que k(x − 2m) ≤ k(−2m). Usando que k es no creciente sobre R+ , tenemos que −∞ X. m=−1. k(x − 2m) ≤. −∞ X. k(−2m) =. m=−1. ∞ X. k(2m).. m=1. De forma completamente análoga, sea −1 ≤ x ≤ 0 y m ∈ Z+ 0. k(x − 2m) ≤ k(−2m). Usando que k es no decreciente sobre R− , tenemos que ∞ X. m=0. k(x − 2m) ≤. Por lo tanto, concluimos que. ∞ X. k(−2m) =. m=0. máx k̃(x) =. −1≤x≤1. −∞ X. m=0. X. m∈Z. k(2m).. k(2m).

(28) 10. 1. Resultados preliminares. Lema 1.5. Sean k ∈ C(R) ∩ L1 (R) una función par, positiva y no creciente para R2 x ≥ 0 y f una función par, continua y no creciente para x > 0. Si α = 0 k(y) dy y k̃0 = máx−1≤x≤1 k̃(x), entonces tenemos que Z 1Z Z 1 Z 2 Z 1 k(x − y)f (y) dx dy ≥ k(x) dx f (y) dy ≥ α f (y) dy, (1.14) 0 R 0 0 0 Z Z 1 k(x − y)f (y) dy ≤ 2k̃0 f (y) dy. (1.15) R. 0. Demostración. Usando que k ∈ C(R) ∩ L1 (R) es una función par, tenemos que Z. 1. −1. k(x − y) dx =. Z. 0. −1. k(x − y) dx +. Z. 0. 1. k(x − y) dx =. Z. 0. 1. (k(x − y) + k(x + y)) dx,. De otro lado, usando que k es no creciente para x > 0 y que 0 ≤ y ≤ 1 concluimos que Z 1 Z 1 Z 2 k(x + y) dx ≥ k(x + 1) dx ≥ k(z) dz. 0. 0. 1. Además, usando que k es par, no decreciente para x < 0 y que 0 ≤ y ≤ 1 concluimos que Z 1 Z 0 k(x − y) dx ≥ k(−x − y) dx 0 −1 Z 0 Z 0 Z 1 ≥ k(−x − 1) dx = k(x + 1) dx = k(z) dz. −1. −1. 0. Por lo tanto, utilizando estimativos anteriores y que k y f son positivas, Z 1Z Z 1 Z 1 k(x − y)f (y) dy dx ≥ (k(x − y) + k(x + y)) dx f (y)dy 0 R 0 0 Z 2 Z 1 ≥ k(z) dz f (y) dy 0 0 Z 1 ≥α f (y) dy. 0. Por otra parte, se tiene que Z. R. k(x − y)f (y) dy = =. Z ∞ X. 1+2m. m=−∞ −1+2m Z 1 ∞ X m=−∞. −1. k(x − y)f (y) dy. k(x − y − 2m)f (y + 2m) dy..

(29) 11. 1. Resultados preliminares. Ahora, para m ≤ −1 tenemos que y + 2m ≤ y ≤ 0 para −1 ≤ y ≤ 0 . Ahora para 0 ≤ y ≤ 1 tenemos que y + m ≤ 0, y por tanto y + 2m ≤ −y ≤ 0. Por lo tanto, como f es no decreciente en R− y par concluimos que f (y + 2m) ≤ f (y). Por otro lado, para m ≥ 1, tenemos que y + 2m ≥ y ≥ 0 para 0 ≤ y ≤ 1 . Ahora para −1 ≤ y ≤ 0 tenemos que y + m ≥ 0, y por tanto y + 2m ≥ −y ≥ 0. Utilizando ahora que f es no creciente en R+ y par concluimos que f (y + 2m) ≤ f (y). Usando los estimativos anteriores y el Lema 1.4 obtenemos que Z Z 1 X ∞ k(x − y)f (y) dy ≤ k(x − y − 2m)f (y) dy R. −1 m=−∞ 1. ≤. Z. k̃(x − y)f (y) dy Z 1 ≤ 2k̃0 f (y) dy. −1. 0. 1.4.. Teorı́a de operadores positivos. El objetivo principal de esta sección es establecer algunos resultados de puntos fijos sobre conos que garanticen la existencia de ondas solitarias. Inicialmente, consideraremos que el cono es un subconjunto de un espacio Fréchet. Posteriormente, presentaremos otro resultado cuando el cono es subconjunto de un espacio de Banach. En el primer caso el resultado será una consecuencia directa de la aplicación de la teorı́a de operadores positivos en espacios de Fréchet desarrollado por Krasnosel’skii [26], [27] y la noción topológica de ı́ndice introducida por A. Granas [20]. Esta teorı́a de puntos fijos en conos para operadores positivos fue adaptada para obtener la existencia de ondas viajeras para una clase de modelo dispersivo por T. Benjamin, J. Bona y D. Bose [4] para el caso de una ecuación KdV generalizada, por J. Bona y H. Chen en el caso de algunos sistemas dispersivos [6] (ver también trabajos de J. Quintero y J. Muñoz [36]) en el caso de un sistema Benjamin-Ono, y H. Chen, M. Chen y N. Nguyen [10] para soluciones a los sistemas Boussinesq. Para una revisión completa, sugerimos al lector que revise los siguientes trabajos: [4], [20], [26] y [27]. Comenzamos introduciendo algunos conceptos que vamos a utilizar..

(30) 12. 1. Resultados preliminares. Definición 1.6. Se dice que X es un espacio de Fréchet, si X es un espacio metrizable y completo, localmente convexo y lineal topológico (sobre los números reales). Si X es un espacio de Fréchet es posible definir en él una sucesión (pn )n de semi-normas de tal manera que pn+1 (x) ≥ pn (x) para cada x ∈ X y cada n = 1, 2, 3, . . . y que la fórmula ∞ X pj (x − y) 1 , x, y ∈ X, (1.16) d(x, y) = j 2 1 + p (x − y) j j=1. proporciona una métrica que genera una topologı́a que coincide con la topologı́a original en X. En este caso, decimos que X es un espacio Fréchet con la familia generadora de semi-normas (pn )n . De aquı́ en adelante, utilizamos la notación Brj = {x ∈ X : pj (x) < r},. Br = {x ∈ X : d(x, 0) < r},. j ∈ N.. Claramente de (1.16) tenemos que X = B1 . Definición 1.7. Un cono en X es un subconjunto cerrado K de un espacio de Fréchet que satisface las siguientes condiciones: (a) λK = {λu : u ∈ K} ⊂ K, para todo λ ≥ 0. (b) K + K = {u + v : u, v ∈ K} ⊂ K. (c) K ∩ {−K} = K ∩ {−u : u ∈ K} = {0}. De (a) y (c) tenemos que K debe ser convexo. Por otro lado, también tenemos un orden parcial en K dado por x≺y. ⇔. y − x ∈ K.. Para cualquier 0 < r < R < ∞, denotemos Kr = K ∩ Br ,. ∂Kr = K ∩ ∂Br. y KrR = {u ∈ K : r < d(u, 0) < R}.. Definición 1.8. Un operador A definido sobre K se dice que es positivo, si A(K) ⊂ K. Por otro lado, decimos que un operador positivo A sobre K es K-compacto, si el conjunto A(Kr ) tiene un clausura compacta, para cada r ≥ 0. Debemos tener en cuenta que el operador A no necesariamente es lineal. De hecho, los operadores positivos A que se presentan en el trabajo son no lineales..

(31) 13. 1. Resultados preliminares. Definición 1.9. Se dice que una terna (K, A, U) es admisible, si 1. K es un subconjunto convexo de X, 2. U ⊂ K es abierto en la topologı́a relativa a K, 3. A es continuo y K-compacto, 4. no existen puntos fijos de A en ∂U, la frontera del conjunto abierto U en la topologı́a relativa a K. Definición 1.10. Sean (K, A, U) una terna admisible y A una aplicación constante, es decir, existe un punto a ∈ K tal que Au = a para todo u ∈ K. El ı́ndice del punto fijo del operador positivo A en U se define como  si a ∈ U,  1, i(K, A, U) =  0, si a ∈ / U. El ı́ndice del punto fijo del operador positivo A en U, i(K, A, U) satisface varias propiedades, mencionamos a continuación tres que consideramos son de destacar. En todos los casos (K, A, U), (K, B, U) y (K, A, Uj ) representan ternas admisibles. a) Homotopı́a invariante: i(K, A, U) = i(K, B, U) para operadores homotópicos A y B sobre U ⊂ K. b) Propiedad de punto fijo: si i(K, A, U) 6= 0, entonces A tiene al menos un punto fijo en U. c) Aditividad: si Uj , j = 1, 2, . . . , n, es una colección de subconjuntos abierto de U S mutuamente disjuntos, tales que Au 6= u para todo u ∈ U \ nj=1 Uj , entonces i(K, A, U) =. n X j=1. i(K, A, Uj ).. Los siguientes resultados fueron tomados de Benjamin et al. [4] y serán útiles para desarrollar la teorı́a en la investigación actual. El operador A es positivo, continuo y K-compacto en el cono K. Para más detalles, referimos al lector al trabajo de Benjamin et al. [4]. Lema 1.11. Supongamos que 0 < ρ < 1 y que (a1 ) Ax − x ∈ / K para todo x ∈ ∂Kρ , o.

(32) 14. 1. Resultados preliminares. (b1 ) tAx 6= x para todo x ∈ ∂Kρ y todo t ∈ [0, 1]. Entonces i(K, A, Kρ) = 1. Lema 1.12. Supongamos que 0 < ρ < 1 y que (a2 ) x − Ax ∈ / K para todo x ∈ ∂Kρ , o (b2 ) existe x̃ ∈ K con x̃ 6= 0 tal que x − Ax 6= λx̃ para todo x ∈ ∂Kρ y todo λ ≥ 0. Entonces i(K, A, Kρ) = 0. Lema 1.13. Sea (K, A, U) una terna admisible. Si existe x̃ ∈ K con x̃ 6= 0 tal que x − Ax 6= λx̃ para todo x ∈ ∂U y todo λ ≥ 0, entonces i(K, A, U) = 0. El siguiente teorema es una consecuencia de los dos primeros lemas. Teorema 1.14 ([4]). Si (a1 ) o (b1 ) se satisfacen para r tal que 0 < r < 1 y si (a2 ) o (b2 ) se satisfacen para R tal que r < R < 1. Entonces, A tiene al menos un punto fijo en KrR . Además, i(K, A, KrR ) = −1. Dado que a partir de la métrica introducida sobre el espacio de Fréchet X se vio que X = B1 , implicó que en los resultados anteriores ρ, r, R ∈ (0, 1). H. Chen en [9] logra adaptar esta teorı́a en espacios de Banach, en dichos casos los resultados anteriores son validos tomando ρ, r, R ∈ (0, ∞). A partir del trabajo de H. Chen sobre espacios de Banach, han surgido otras investigaciones que han seguido ese mismo enfoque, como por ejemplo: H. Chen, M. Chen y N.V. Nguyen en [10], J.C. Muñoz en [29], y F.A. Pipicano y J.C. Muñoz en [35]. Como podemos apreciar, los teoremas de punto fijo de Krasnosel’skii representan una buena herramienta para establecer la existencia de soluciones no triviales de problemas no lineales para ecuaciones integrales, ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales. Los resultados del punto fijo de Krasnosel’skii para operadores positivos se utilizan no solo para demostrar la existencia de soluciones, sino también para localizar soluciones en un anillo u otros dominios de este tipo, evitando tener puntos fijos triviales. A continuación, presentamos otro interesante resultado debido también a Krasnosel’skii y también relacionado con la existencia de puntos fijos no triviales de un operador completamente continuo en un espacio de Banach (véase [26])..

(33) 15. 1. Resultados preliminares. Definición 1.15. Un operador F : E → E es completamente continuo, si F es continuo y aplica conjuntos acotados en conjuntos precompactos. Teorema 1.16 ([26]). Sean X un espacio de Banach y K ⊂ X un cono en X. Para i = 1, 2, sean Ωi dos conjuntos abiertos y acotados en X con 0 ∈ Ω1 y Ω1 ⊂ Ω2 . Sea F : K ∩ (Ω2 \ Ω1 ) → K un operador completamente continuo tal que se satisface una de las siguientes condiciones: 1. kF xk ≤ kxk para x ∈ K ∩ ∂Ω1 y kF xk ≥ kxk para x ∈ K ∩ ∂Ω2 . 2. kF xk ≥ kxk para x ∈ K ∩ ∂Ω1 y kF xk ≤ kxk para x ∈ K ∩ ∂Ω2 . Entonces F tiene al menos un punto fijo en K ∩ (Ω2 \ Ω1 ). El anterior resultado ha sido empleado ampliamente en el estudio de problemas de valor de frontera con condiciones de frontera separadas (véase por ejemplo [3, 17, 21, 24] y sus referencias), ası́ como para problemas periódicos [28, 32, 40].. 1.5.. Positividad de la transformada de Fourier. A continuación presentamos algunas propiedades elementales de la transformada de Fourier en la recta para funciones pares. En particular, buscamos condiciones para una función real u(y) con y > 0, que garanticen que su transformada de Fourier-coseno Z ∞ k(x) = Fcos (u(y))(x) = u(y) cos(xy) dy 0. sea positiva. Particularmente, estamos interesados en funciones que son positivas, pares y decrecen a cero cuando y → ∞. Demostramos que la convexidad de u(y) es suficiente para garantizar la positividad de k(x) para todo x > 0. Teorema 1.17 (E.O. Tuck [42]). Sean u, u′ ∈ L1 (R) tal que u es una función par y positiva tal que para y > 0 es dos veces diferenciable y u′′ (y) > 0, entonces Fcos (u(y))(x) > 0 para todo x > 0. Demostración. Haciendo integración por partes tenemos que Z ∞ k (x) = cos (xy) u (y) dy, dv = cos (xy) dy 0 Z ∞ 1 ∞ 1 sin (xy) u′ (y) dy u (y) sin (xy) − = x x 0 0 Z 1 ∞ 1 = − sin (xy) u′ (y) dy = − g (x) . x 0 x.

(34) 16. 1. Resultados preliminares. Note que el término que se anuló se debe a que u(y) → 0 cuando y → ∞, y que u (y) sin (xy) → 0 cuando y → 0+ . Lo anterior indica, que la transformada de 1 Fourier-coseno de u(y) es − veces la transformada de Fourier-seno de su derivada x u′(y). Analicemos el signo de la función g(x): Z ∞ g (x) = sin (xy) u′ (y) dy 0. =. Z. 2π/x. +. 0. =. ∞ Z X j=0. Z. 4π/x. 2π/x. 1 dθ, x. 2π(j+1)/x. +···. 2πj/x. !. sin (xy) u′ (y) dy. 2π(j+1)/x. sin (xy) u′ (y) dy. 2πj/x. Haciendo aquı́ la sustitución y = dy =. +···+. Z. 2πj + θ obtenemos que x. xy = 2πj + θ,. y (0) =. 2πj , x. y (2π) =. 2π (j + 1) . x. En consecuencia tenemos que . 2πj + θ dθ sin (2πj + θ) u x 0 ∞ Z 1 X 2π 2πj + θ ′ = dθ sin (θ) u x j=0 0 x Z 2π ∞ Z π 1X 2πj + θ ′ dθ. = + sin (θ) u x j=0 x 0 π ∞. 1X g (x) = x j=0. Z. 2π. ′. Ahora, si en la segunda integral anterior consideramos θ = v + π,. dv = dθ. v (π) = 0,. v (2π) = π,. obtenemos que Z π Z 2π 2πj + v + π 2πj + θ ′ ′ dθ = dv sin (v + π) u sin (θ) u x x 0 π Z π 2πj + v π ′ = − sin (v) u dv + x x 0 Z π 2πj + θ π ′ dθ. + = − sin (θ) u x x 0.

(35) 17. 1. Resultados preliminares. Por lo tanto, ∞. 1X g (x) = x j=0. Z. 0. π. 2πj + θ π 2πj + θ ′ ′ −u dθ, + sin (θ) u x x x. pero dado que u′ es creciente (u′′(y) > 0) entonces tenemos que 2πj + θ 2πj + θ π ′ ′ u −u < 0, para cada j, + x x x por lo tanto, como la función sin (θ) es positiva en (0, π), obtenemos que g (x) < 0. En consecuencia, k (x) = − x1 g (x) es positiva para todo x > 0. Obsérvese que la convexidad es una condición suficiente, más no necesaria para la positividad de su transformada de Fourier. Considere por ejemplo u1 (y) = e−|y|. y. u2 (y) =. 1 . 1 + y2. Las respectivas transformadas de Fourier son k1 (x) =. 1 1 + x2. y. k2 (x) =. π −|x| e . 2. Note que u′′ (y) > 0 para y > 0 es verdadero para u1 (y) pero no es verdadero para u2 (y), sin embargo, k2 (x) la transformada de Fourier de u2 (y) también es positiva para todo x > 0. Para más detalles relacionados con la positividad de la transformada de Fourier se recomienda al lector ver la referencia [42].. 1.6.. Criterio de Routh-Hurwitz. A continuación se presenta un método que proporciona información sobre la ubicación de los ceros de un polinomio. Usando este método, podemos decir cuántos ceros del polinomio están en el semiplano izquierdo, en el semiplano derecho y en el eje imaginario. Obsérvese que decimos cuántos, no dónde. Es decir, el criterio decide la ubicación de los ceros, más no sus coordenadas. El método se denomina criterio de Routh-Hurwitz. El método requiere dos pasos: (1) Generar una tabla de datos llamada tabla de Routh y (2) interpretar la tabla de Routh para indicar cuántos ceros del polinomio hay en el plano izquierdo, en el plano derecho o en el eje imaginario. El poder del método reside en el diseño más que en el análisis. Por ejemplo, si tiene un parámetro desconocido.

(36) 18. 1. Resultados preliminares. entre los coeficientes del polinomio, es difı́cil determinar a través de una calculadora el posible valor de las raı́ces. Mientras que con el criterio esto depende de determinar simplemente el cambio de signo de unos valores. Presentamos la versión más sencilla del método, dado que el polinomio que debemos analizar es de cuarto grado. Para un análisis más detallado del método invitamos al lector a ver el texto de N.S. Nise [31]. Generando una tabla básica de Routh. Nos interesamos en los coeficientes del polinomio. Comenzamos etiquetando las filas con las potencias de x desde la más alta hasta x0 . Luego comenzamos ubicando en la primera fila el coeficiente de la potencia más alta de x, seguido del coeficiente de esa potencia más alta menos dos y ası́ sucesivamente; en la siguiente fila se pone ordenadamente, comenzando con la siguiente potencia más alta de x, cada coeficiente que se omitió en la primera fila, completando con un ceros de ser necesario. Las entradas restantes se completan de la siguiente manera. Cada entrada es un determinante negativo de las entradas en las dos filas anteriores dividida por la entrada en la primera columna directamente sobre la fila calculada. La columna de la izquierda del determinante es siempre la primera columna de las dos filas anteriores, y la columna de la derecha son los elementos de la columna de arriba y a la derecha. La tabla está completa cuando todas las filas se completan hasta x0 . Para el caso particular del polinomio p(x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 la tabla de Routh es como sigue: x4. a4. a2. a0. x3. a3. a1. 0. x2. x1. x0. −. a4 a2 a3 a1 a3. −. a3 a1 b1 b2 b1. −. = b1. = c1. b1 b2 c1 c1. 0. = d1. −. a4 a0 a3. 0. a3 −. a3 0 b1 0 b1. −. = b2. =0. b1 0 c1 0 c1. =0. −. a4 0 a3 0 a3. −. a3 0 b1 0 b1. −. =0. =0. b1 0 c1 0 c1. =0.

(37) 1. Resultados preliminares. 19. Ahora que sabemos cómo generar la tabla de Routh, veamos cómo interpretarla. El criterio de Routh-Hurwitz declara que el número de raı́ces del polinomio que están en el semiplano derecho es igual al número de cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh. Esto implica que si no hay cambios de signo, todas las raı́ces tienen parte real negativa..

(38) ..

(39) Capı́tulo 2 Derivación de un sistema tipo Benjamin-Ono En este capı́tulo, nos interesa deducir un modelo que describe la propagación de una onda interna débilmente no lineal que evoluciona en la interfaz de dos fluidos inmiscibles con densidades constantes, que en reposo están contenidas en un canal largo con un fondo y una parte superior rı́gidos horizontales, y se supone que el espesor de la capa inferior es efectivamente infinito, conocida como el lı́mite de aguas profundas (véase la Figura 2.1). Las ondas internas son ondas de gravedad que oscilan dentro de un medio fluido, en lugar de hacerlo en su superficie. Para existir, el fluido debe estratificarse: la densidad debe disminuir de forma continua o discontinua con la profundidad (o altura) debido a los cambios, por ejemplo, en la temperatura o la salinidad del fluido. Si la densidad cambia en una pequeña distancia vertical (como en el caso de lagos y océanos con las capas térmicas, o el caso de la atmosfera cuando ocurre una desviación del cambio normal de una propiedad atmosférica con respecto a la altitud), las ondas se propagan horizontalmente como las ondas superficiales, pero lo hacen a velocidades más lentas según lo determinado por la diferencia de densidad del fluido por debajo y por encima de la interfaz. Si la densidad cambia continuamente, las ondas pueden propagarse vertical y horizontalmente a través del fluido (para leer más sobre los conceptos relacionados con el fenómeno de ondas internas se recomienda al lector ver [19] y las referencias allı́ mencionada). En el presente estudio, nos enfocamos en lo que posiblemente sea la configuración más simple capaz de soportar un movimiento de ondas internas de amplitud arbitraria, 21.

(40) 22. 2. Derivación de un sistema tipo Benjamin-Ono. el de un fluido inviscible e incompresible de dos capas de densidades homogéneas entre dos placas de extensión horizontal infinita. A pesar de su larga historia en la literatura, la atención que se le ha prestado desde el punto de vista matemático, mediante investigaciones experimentales y teóricas, es relativamente reciente (ver [8] y referencias allı́ citadas). Pared sólida. x. h1. a Interfaz. L. Z0. ρ1. ζ(x, t). z. u(x, t). h2 ρ2. Pared sólida. Figura 2.1: Una onda solitaria tı́pica que se propaga en la interfaz entre dos fluidos incompresibles de densidad homogénea que llenan un dominio bidimensional limitado por dos planos rı́gidos horizontales. Es importante mencionar que recientemente J. C. Muñoz [30] introdujo un sistema dispersivo tipo Benjamin-Ono regularizado, que está relacionado con la ecuación rBO, de la forma  ǫ2   ζt − ((1 − αζ)u)x = ζxxt 6 (2.1) 2   ut + αuux + (1 − ρ0 ) ζx = ρ0 ǫH(uxt ) + ǫ uxxt, 6. donde Hf (x) denota el operador transformada de Hilbert definido por la ecuación (1.5), y ρ0 = ρρ12 con ρ1 y ρ2 representando las densidades de los fluidos y sujeto a que ρ0 > 1 (para una estratificación estable). Las constantes α y ǫ son pequeños números reales positivos que miden la intensidad de los efectos no lineales y dispersivos, respectivamente. Aquı́ h1 denota el grosor de la capa superior del fluido y los parámetros L y a corresponden a la longitud de onda caracterı́stica y la amplitud de onda caracterı́stica, respectivamente. La función u = u(x, t) es la velocidad monitorizada.

(41) 2. Derivación de un sistema tipo Benjamin-Ono. 23. a la profundidad normalizada z0 , y ζ = ζ(x, t) es la amplitud de onda en el punto x y el tiempo t, medido con respecto al nivel de reposo de la interfaz de los dos fluidos. Para este sistema, J.C. Muñoz estableció en [30] la existencia y unicidad de las soluciones en el caso no periódico. J. Quintero y J.C. Muñoz mostraron la existencia de ondas solitarias (ver [36]), y J.C. Muñoz y F.A. Pipicano mostraron la existencia de ondas viajeras periódicas para un perı́odo grande (ver [35]). Señalamos que en el caso que se descartan los términos de orden ǫ2 en el sistema (2.1) y se toma α = O(ǫ), se obtiene un sistema conocido, derivado por W. Choi y R. Camassa en [12], [13], [14], de la forma   . ζt − ((1 − αζ)u)x = 0,. (2.2). ut + αu ux + (1 − ρ0 ) ζx = ρ0 ǫH(ζtt ).. A continuación abordaremos la derivación de un sistema tipo Benjamin-Ono con una mayor dispersión a los propuestos por W. Choi y R. Camassa en [12], [13], [14] (ver ecuación (2.2)) y J.C. Muñoz en [30] (ver ecuación (2.1)), para describir la interfaz entre dos fluidos incompresibles de densidad homogénea que llenan un dominio bidimensional limitado por dos planos rı́gidos horizontales, cuando consideremos el caso lı́mite de profundidad infinita. El tipo de derivación que abordamos requiere de una expasión de Taylor de orden mayor con respecto a los parámetros de no linealidad y amplitud. Para este análisis hemos adaptando los trabajos de W. Choi y R. Camassa en [12], [13], [14] y J.C. Muñoz en [30]. A diferencia de los trabajo anteriores, hemos descartado los términos de orden O(αǫ2 ), y se ha tomado que α = O(ǫ2+σ ), σ ∈ (0, 1), para obtener un sistema tipo Benjamin-Ono con mayor dispersión.. 2.1.. Ecuaciones que describen el problema. Como lo mencionamos antes, consideramos dos fluidos contenidos en reposo en un canal largo con partes superior e inferior rı́gidas horizontales, de modo que la densidad ρ1 para el fluido superior y la densidad ρ2 para el fluido inferior satisfagan que ρ2 > ρ1 , para tener una estratificación estable. También asumimos que el espesor de la capa inferior se supone que es efectivamente infinito (lı́mite de aguas profundas). Obsérvese que debemos acoplar la solución de dos problemas que pueden ser descritos por las ecuaciones de Euler en el caso de fluidos inviscidos e incompresibles en dos.

(42) 24 dimensiones:. 2. Derivación de un sistema tipo Benjamin-Ono.   vt + (v · ∇)v = − 1 grad p − g, ρ  div v = 0, g = −gk.. (2.3). Aquı́ v = (ui (x, z, t), wi (x, z, t)), p = pi y ρ = ρi para i = 1, 2, g representa la aceleración gravitacional y k el vector unitario en la dirección del eje z. Aquı́, cuando i = 1 surgen las ecuaciones que describen el fluido en la parte superior y las ecuaciones para el fluido en la parte inferior se toma i = 2. Desarrollando las ecuaciones de Euler (2.3), tenemos que la velocidad (ui , wi ), la densidad ρi y la presión pi (i = 1, 2) en el punto (x, z, t) deben satisfacer el sistema ∂x ui + ∂z wi = 0,. (2.4). 1 ∂t ui + ui ∂x ui + wi ∂z ui = − ∂x pi , ρi 1 ∂t wi + ui ∂x wi + wi ∂z wi = − ∂z pi − g, ρi. (2.5) (2.6). Las condiciones de contorno en la interfaz del fluido son ∂t ξ + ui ∂x ξ = wi ,. p1 = p2 ,. en z = ξ(x, t).. (2.7). Si definimos h1 y h2 como el espesor no perturbado de las capas del fluido superior e inferior, respectivamente, entonces las condiciones de contorno en las superficies rı́gidas superior e inferior están dadas por w1 (x, h1 , t) = w2 (x, −h2 , t) = 0,. t ≥ 0,. (2.8). respectivamente. El parámetro de dispersión está dado por ǫ = hL1 y el parámetro de no linealidad está dado por α = ha1 , donde los parámetros L y a corresponden a la longitud y amplitud caracterı́sticas, respectivamente. Ahora, en el caso de tener fluidos irrotacionales, las ecuaciones (2.4)–(2.8) para la capa superior se pueden escribir en términos del potencial de velocidad φ = φ1 definido por (∂x φ1 , ∂z φ1 ) = (u1 , w1 ) que satisface la no linealidad φxx + φzz = 0,. para. ξ(x, t) < z < h1 ,. φz (x, h1 , t) = 0, ξt + ξx φx = φz , para z = ξ(x, t), p1 1 = C(t), para z = ξ(x, t), φt + (φ2x + φ2z ) + gξ + 2 ρ1. (2.9) (2.10) (2.11) (2.12).

(43) 25. 2. Derivación de un sistema tipo Benjamin-Ono. donde C(t) solo depende de t. Para encontrar modelos que tengan soluciones con pequeña amplitud, introducimos la siguiente escala, x = Lx̃, y las funciones de escala ˜ ξ = aξ,. z = h1 z̃,. L t= √ gh1. r g φ1 = a Lφ̃1 , h1. p1 = gh1 ρ1 p̃1 ,. con el fin de adimensionar las variables fı́sicas en las ecuaciones anteriores. Si eliminamos sombreros, las ecuaciones en variables adimensionales para el fluido de la capa superior se pueden escribir como ǫ2 φxx + φzz = 0,. para. φz (x, 1, t) = 0, 1 ξt + αξx φx = 2 φz , ǫ α 1 p1 φt + φ2x + 2 φ2z + ξ + = C(t), 2 ǫ α. 2.2.. αξ(x, t) < z < 1,. (2.13) (2.14). para z = αξ(x, t),. (2.15). para z = αξ(x, t).. (2.16). Derivación del modelo. Ahora, con la finalidad de deducir el sistema tipo Benjamin-Ono, suponemos que todos los cálculos se pueden hacer de manera formal, para ello, consideramos una expansión en serie alrededor del lı́mite superior z = 1 para el potencial de velocidad φ(x, z, t) =. ∞ X n=0. (1 − z)n fn (x, t),. (2.17). donde f0 = f . Derivando con respecto a z en la expresión (2.17) obtenemos que φz (x, z, t) = −. ∞ X n=1. n (1 − z)n−1 fn (x, t) .. Usando la condición de frontera (2.14) obtenemos que f1 = 0. Reemplazando φz en la ecuación (2.13) y usando (2.14) se obtiene que ǫ2 φzxx (x, 1, t) = −φzzz (x, 1, t) = 0, lo cual implica que f3 = 0. Repitiendo este proceso obtenemos que f2n+1 = 0. 2 Ahora, utilizando la ecuación (2.13) y que φzz (x, 1, t) = 0 se obtiene que f2 = − ǫ2 ∂x2 f . n (−ǫ2 ) Repitiendo este proceso se obtiene que f2n = (2n)! ∂x2n f . Por lo tanto, obtenemos que φ(x, z, t) = f −. ǫ4 (1 − z)4 4 ǫ6 (1 − z)6 6 ǫ2 (1 − z)2 2 ∂x f + ∂x f − ∂x f + O(ǫ8 ). 2 4! 6!.

(44) 26. 2. Derivación de un sistema tipo Benjamin-Ono. Si sustituimos φ(x, z, t) en las ecuaciones (2.15) y (2.16), obtenemos manteniendo los términos de orden O(α, ǫ4 ) y descartando los términos de orden O(αǫ2 ) que ǫ2 4 ǫ4 ∂x f − ∂x6 f + α(ξfx )x = 0, 6 5! 4 2 ǫ α p1 ǫ = C(t), ft − ∂x2 ∂t f + ∂x4 ∂t f + (∂x f )2 + ξ + 2 4! 2 α ξt − ∂x2 f +. (2.18) para z = αξ(x, t).. (2.19). Ahora, también sabemos que en la capa inferior φ = φ2 y la presión p2 satisfacen el siguiente sistema φxx + φzz = 0,. para. −h2 < z < ξ(x, t),. φz (x, −h2 , t) = 0,. (2.20) (2.21). ξt + ξx φx = φz , para z = ξ(x, t), p2 1 = C(t), para z = ξ(x, t), φt + (φ2x + φ2z ) + gξ + 2 ρ2. (2.22) (2.23). donde C(t) es una función que solo depende de t. Como se mencionó anteriormente, para buscar modelos que tengan soluciones con pequeña amplitud, introducimos la siguiente escala, L x = Lx̃, z = Lz̃, t = √ gh1 y las funciones de escala ˜ ξ = aξ,. r g Lφ̃2 , φ = aǫ h1 2. p2 = gh1 ρ1 p̃2 .. Ası́, eliminando los sombreros, las ecuaciones en variables adimensionales para el fluido de la capa inferior se pueden escribir como φxx + φzz = 0, h2 φz x, − , t = 0, L. para. ξt + αǫξx φx = φz , αǫφt +. α2 ǫ2 2 ρ1 (φx + φ2z ) + αξ + p2 = C(t), 2 ρ2. − hL2 < z < αǫξ(x, t),. (2.24) (2.25). para z = αǫξ(x, t),. (2.26). para z = αǫξ(x, t).. (2.27). Si diferenciamos la ecuación (2.27) con respecto a x, obtenemos la siguiente expresión para la presión en la interfaz del fluido z = αǫξ(x, t) ∂x p2 = ∂x p1 = −. ρ2 α (∂x ξ + ǫ∂x ∂t φ). ρ1. (2.28).

(45) 27. 2. Derivación de un sistema tipo Benjamin-Ono. Por otro lado, si expandimos el potencial alrededor de z = 0, obtenemos que φx (x, αǫξ(x, t), t) = φx (x, 0, t) + O(αǫ). Además, por la ecuación (2.26) vemos que φz = ξt + O(αǫ), Ahora, si definimos el operador T por T (f )(x) := p.v.. . 1 2h. Z. cuando z = 0.. . π(w − x) f (w) coth 2h R. . dw,. entonces vemos que la solución de la ecuación de Laplace (2.24) sujeta a la condición de frontera tipo Newman (2.25) nos permite escribir φx (x, 0, t) = T (φz (x, 0, t)) + O(αǫ) = T (ξt + O(αǫ)). Ası́, al diferenciar con respecto a t, obtenemos formalmente que ∂x ∂t φ(x, 0, t) = T (ξtt + O(αǫ)), lo cual implica que ∂x p2 = ∂x p1 = −. ρ2 α (∂x ξ + ǫT (ξtt + O(αǫ))). ρ1. Si diferenciamos la ecuación del momentum (2.19) con respecto a x y sustituimos la expresión por la presión dada en la fórmula (2.28), entonces después de descartar los correspondientes términos, tenemos que ∂x ∂t f −. ǫ2 3 ǫ4 α ρ2 ∂x ∂t f + ∂x5 ∂t f + (∂x f )2x + ξx − (∂x ξ + ǫT (ξtt + O(αǫ)))) = 0. 2 4! 2 ρ1. Ahora, consideramos la velocidad monitoreada en el nivel z = Z0 con αξ < Z0 < 1. Vemos que u(x, t) = φx (x, Z0 , t) = fx −. ǫ4 (1 − Z0 )4 5 ǫ6 (1 − Z0 )6 7 ǫ2 (1 − Z0 )2 3 ∂x f + ∂x f − ∂x f + O(ǫ8 ). 2 4! 6!. (2.29).

(46) 28. 2. Derivación de un sistema tipo Benjamin-Ono. De los hechos anteriores, vemos directamente que ǫ2 (1 − Z0 )2 3 ǫ4 (1 − Z0 )4 5 ∂x f − ∂x f + O(ǫ6 ) 2 4! ǫ4 (1 − Z0 )4 5 ǫ2 (1 − Z0 )2 3 ∂x ∂t f − ∂x ∂t f + O(ǫ6 ) = ut + 2 4! ǫ2 (1 − Z0 )2 4 ǫ4 (1 − Z0 )4 6 = ux + ∂x f − ∂x f + O(ǫ6 ) 2 4! 4 2 2 ǫ (1 − Z 0 )4 8 ǫ (1 − Z ) 0 ∂x6 f − ∂x f + O(ǫ6 ) = ∂x3 u + 2 4! ǫ2 (1 − Z0 )2 8 ǫ4 (1 − Z0 )4 10 5 = ∂x u + ∂x f − ∂x f + O(ǫ6 ) 2 4! 4 2 ǫ (1 − Z ) 0 ∂x6 f + O(ǫ6 ) = ǫ2 ∂x3 u + 2 = ǫ4 ∂x5 u + O(ǫ6 ). fx = u + fxt ∂x2 f ∂x4 f ∂x6 f ǫ2 ∂x4 f ǫ4 ∂x6 f. De estas ecuaciones, descartando los términos de orden O(αǫ2 ) y O(α, ǫ6), concluimos que ξt − ((1 − αξ)u)x + ǫ2 α1 ∂x3 u + ǫ4 α2 ∂x5 u = 0, ∂x p1 = 0, ut − ǫ2 α3 ∂x2 ut + ǫ4 α4 ∂x4 ut + αu ux + ξx + α donde los αi son dados por  2 1  2  α1 = 1 − θ > 0, α2 = − (1 − 5θ2 ) < 0,  6 2 5!  1   α3 = 1 (1 − θ2 ) > 0, α4 = (1 − θ2 )(1 − 5θ2 ) > 0, 2 4! donde 0 < θ := 1 − Z0 < √15 . Además, para β1 > 0 y β2 > 0, tenemos que ξt − ǫ2 β1 ∂x2 ξt + ǫ4 β2 ∂x4 ξt − ((1 − αξ)u)x + ǫ2 α1 ∂x3 u + β1 ∂x2 ξt. (2.30) (2.31). (2.32). . + ǫ4 α2 ∂x5 u − β2 ∂x4 ξt = 0,. ut − ǫ2 α3 ∂x2 ut + ǫ4 α4 ∂x4 ut + αu ux + ξx +. ∂x p1 = 0. α. Ahora, a partir de la ecuación (2.30) vemos que ξt = ux + O(α, ǫ2),. ξt = ux − ǫ2 α1 ∂x3 u + O(α, ǫ4).. (2.33). Reemplazando esto en las ecuaciones anteriores, obtenemos que ξt − ǫ2 β1 ∂x3 ξt + ǫ4 β2 ∂x2 ξt + ǫ2 α1 ∂x3 u + β1 ∂x2 ux − ǫ2 α1 ∂x3 u + ǫ4 α2 ∂x5 u − β2 ∂x5 u = ((1 − αξ)u)x + O(α, ǫ4),.