The holomorphic expansions method to the solutions of partial differential equations with constants coefficients

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(1)467. Scientia et Technica Año XIII, No 35, Agosto de 2007. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701. MÉTODO DE LAS EXPANSIONES HOLOMORFAS PARA LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES The holomorphic expansions method to the solutions of partial differential equations with constants coefficients RESUMEN. CARLOS MARIO ESCOBAR CALLEJAS Profesor Auxiliar, Magíster en Matemáticas Ingeniero Civil Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira ccescobar@utp.edu.co. En este artículo se presentan soluciones explicitas para una ecuación diferencial parcial lineal de orden dos en varias variables utilizando el método expansiones holomorfas desarrollados en [6]. PALABRAS CLAVES: Expansión holomorfa, análogo complejo, operador de Cauchy. ABSTRACT. ABEL ENRIQUE POSSO AGUDELO Profesor Titular, Ph.D Matemático Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira posoa@utp.edu.co. In this article the explicit solutions for a second order partial lineal differential equation in several variables using the method of holomorphic expansions [6] is investigated. KEYWORDS: Holomorphic expansion, Cauchy’s operator, complex analog, finite solutions.. JOSÉ RODRIGO GONZÁLEZ GRANADA Profesor Auxiliar, Ph.D Matemático Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira jorodryy@utp.edu.co 1. INTRODUCCIÓN Para obtener soluciones de EDP lineales de segundo orden utilizamos la representación de funciones analíticas de variable real por medio de series con términos definidos en un espacio complejo multi-dimensional. Esto hace posible obtener una amplia clase de soluciones explicitas para las EDP lineales de coeficientes constantes. Las soluciones en series pueden degenerar a sumas finitas y soluciones polinomiales. En este artículo se ilustra el método desarrollado en [6] mediante solución de la ecuación EDP homogénea de segundo orden: ∂ u ∂x12 2. + ∂∂x u2 + ∂∂x u2 − ∂∂x u2 − ∂∂ut = 0 , 2. 2. 2. 3. 2. 4. (1). La ecuación (1) posee soluciones finitas e infinitas. En este trabajo se exhibirán algunas soluciones finitas. 2. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO En este artículo se tienen en cuenta las siguientes notaciones. x = ( x1 , x2 ,… , xm ) son puntos de R m .. Fecha de Recepción: 28 Mayo de 2007 Fecha de Aceptación: 24 Agosto de 2007. H ( Ω ) es el conjunto de funciones holomorfas sobre Ω. z = ( z1 , z2 ,… , zm ) son puntos de Cm . n = ( n1 , n2 ,… , nm ) ; n j ∈ N ∪ { 0 } . n = n1 + n2 + … + nm .. z n = z1n1 ⋅ z2n2 ⋅… ⋅ zmnm . n ! = n1 !⋅ n2 !⋅… ⋅ nm ! . ∞. ∑ n. ∞. ∞. ∞. fn = ∑ ∑ … ∑ fn . n1 = 0 n1 = 0. nm = 0. Además las sumas sin límite superior se consideraran finitas. Cualquier ecuación diferencial parcial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes se puede expresar como una ecuación de la forma.

(2) Scientia et Technica Año XIII, No 35, Agosto de 2007. Universidad Tecnológica de Pereira.. 468 m. ∑aj j =0. m ∂ 2u ∂u 2 + bj + 4cu = 0, ∑ 2 ∂x j ∂x j j =0. donde u = u ( x), x ∈ D ⊂ R. ∞. (2). n. n =0. (n j + 1)Wn j +1 − d z j )Wn = 0 ,. (7). j = 2,.., m − 1 .. y a j = 1 si a j ≠ 0 ,. m. ∑z. y se considera que al menos dos coeficientes a j tienen el mismo signo. Sin perdida de generalidad podemos asumir que a1 = a2 = 1 . En el dominio. Se escribe Wn j +1 para Wn1, n2 ,...,nj−1, nj +1, nj+1,...,nm−1 como un manera de compactar la expresión. Para satisfacer (6) debemos tener. ( n1 +1) ( dz. 1. m−1. G = {( x, y ) : x ∈ D, y = ( y1 , y2 ,..., ym − 2 ) ∈ D1 ⊂ R m − 2 } . La ecuación (1) es equivalente al sistema m ⎧ m ∂2 w ∂2 w m ∂2 w ∂w ⎪∑ ∂x 2 + ∂x 2 + ∑a j ∂x 2 + 2∑bj ∂x + 4cw = 0, j =3 j =1 ⎪ j =0 1 2 j j (3) ⎨ ∂ w ⎪ = 0, k = 1,2,..., m − 2. ⎪⎩ ∂yk. Definiendo las variables complejas. z1 = x1 + ix2 , z2 = x3 + iy1 , ... , zm −1 = xm + iym − 2 . y considerando a G como un dominio en el espacio complejo de dimensión m − 1 e intercambiando la derivación parcial por operadores de Cauchy obtenemos. ⎧ 2 ⎪⎪dz1dzjW −bdzjW −bdz1W+cW+∑(aj+1dzj +bj+1dzj )W = 0, j=2 (4) ⎨ 1 ⎪d −d W = 0, b = (b −ib ); j = 2,..., m−1. 1 2 ⎪⎩ z1 zj 2 m−1. ). − b Wn1 +1. (. ). (. ). +∑ a j +1d z j 2 + bj +1d z j Wn − bd z1 − c Wn = 0 j =2. La cual es una ecuación diferencial ordinaria con respecto a Wn1 +1. Wn1+1(z) =. 1 1 Fn1+1 (ζ ) exp( bz1 ) + JL(Wn ) (9) n1 +1 ( n1 +1)!. Fn1 +1 (ζ ) es una función arbitraria holomorfa en ⋅. G , la cual es la proyección de G sobre el subespacio z1 = const. m −1 ⎡ ⎤ L (V ( z ) ) = ⎢bd z1 − ∑ (a j +1d 2 z j + b j +1d z j ) − c ⎥ V ( z ) j =2 ⎣ ⎦. J (V ( z ) ) = ∫ V (ξ , ζ ) exp ( b ( z1 − ξ ) ) d ξ . z1. 0. De la ecuación (7) se tiene. Wn j +1 =. 1 d z W , j = 2,3,..m − 1 . nj +1 j. ⎛ . ⎞ ⎝ ⎠. arbitrarias W0 ∈ H (G ) y F j ∈ H ⎜ G ⎟ . La suma formal de la serie satisface el sistema (4).. Se pueden expresar la soluciones de (4) en términos de expansiones holomofas (HE). 2.1. Soluciones finitas. ∞. n. (5). n =0. donde. los. coeficientes. Wn ( z ) ∈ H (G ). son. indeterminados. Sustituyendo (5) en (4) obtenemos ∞. ∑. n =0. z ⎡⎣(n1 + 1)(d z1 − b)Wn1 +1. En particular cuando b1 = b2 = c = 0 en la ecuación (1) se cubren las ecuaciones clásicas de coeficientes constantes y además admiten soluciones finitas. En este caso (9) permanece invariable y (8) se transforma a:. Wn1 +1 (z) =. n. m −1. + ∑ (a j +1d z j + b j +1d z j )Wn − (bd z1 − c)Wn ⎤ = 0 , (6) ⎦ j =2 2. (10). Las ecuaciones (9) y (10) nos permiten calcular todos los coeficientes de la serie (5) empezando con las funciones. Este sistema es el análogo complejo de (3) dado que satisface la parte real y la parte imaginaria de W .. W = ∑ z Wn ( z ). (8). donde. 1 1 Fn1 +1 (ζ ) + JK (Wn ) . n1 +1 ( n1 +1)!. (. ). K (Wn ) = −∑ a j +1d z j 2 + b j +1d z j Wn ,. J (V ( z ) ) = ∫ V (ξ , ζ )dξ . La escogencia de las funciones iniciales. (11).

(3) Scientia et Technica Año XIII, No 35, Agosto de 2007. Universidad Tecnológica de Pereira.. W0 = φ ( z1 ) P0 (ζ ) , Fj (ζ ) = Pj (ζ ) , j < ∞ , con Pj (ζ ) polinomios y. φ ( z1 ) ∈ H (G1 ). una función. arbitraria holomorfa en la proyección de G sobre el plano ζ = const , proporciona que todo Wn sea igual a cero para un valor de n lo suficientemente grande. Cualquier solución finita es generada por funciones iniciales del tipo mencionado anteriormente.. 3. APLICACIÓN DEL MÉTODO A continuación se hace una descripción detallada de la aplicación del método de las expansiones holomorfas para la siguiente ecuación. ∂ u ∂ u ∂ u ∂ u ∂u + + − − = 0. ∂x12 ∂x2 2 ∂x32 ∂x4 2 ∂t 2. 2. 2. introducen las ecuaciones siguientes. dz j − d z j =. ∂ ⎤ 1⎡ ∂ i⎥ − ⎢ 2 ⎢⎣ ∂ x j +1 ∂y j −1 ⎥⎦. 1⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂ i⎥ = − i, − ⎢ + 2 ⎢⎣ ∂ x j +1 ∂ y j −1 ⎥⎦ ∂y j −1 con j = 2,3, 4 .. ( dz − d z ) u = 0 , (dz3 − d z3 )u = 0, (dz4 −dz4 )u = 0.. (17). (13). (14). ω. u = ∑ n1 z nun ( z ) , donde. un , son coeficientes indeterminados de h(G ) .. Sustituyendo (20) en (18) y (19) se obtiene ω. dz 1d z1 (u) = ∑ ( n 1+ 1) z n n =0. dz2 dz2 (u ) = ∑ z n ω. 1 dz1 d z1 + dz2 dz2 − dz3dz3 − dz4 2 2 2 2 ∂ ∂ ∂2 ∂2 ∂ ⎤ 1⎡ ∂ = ⎢ 2+ + − + − ⎥ 2 2 2 2 4 ⎣ ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂ y1 ∂ y2 ∂ x5 ⎦ 1 dz1 d z1 + dz 2 dz2 − dz3 dz3 − dz 4 2 2 2 2 ∂ ∂ ∂2 ∂2 ∂ ⎤ 1⎡ ∂ = ⎢ 2+ + − + − ⎥ 2 2 2 2 4 ⎣ ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂ y1 ∂ y2 ∂ x5 ⎦. (20). n =0. n =0. (15). (19). Expresando la solución del sistema (18) y (19) en términos de EH Se tiene. ω. 2. (18). 2. 2. ∂2 ⎞ 1 ⎛ ∂2 (13) dz1 d z1 = ⎜ 2 + ⎟, 4 ⎝ ∂x1 ∂x2 2 ⎠ ⎤ ∂2 ∂2 1 ⎡ ∂2 − dz2 dz2 − dz3 dz3 = ⎢ 2 − 2 i⎥ 2 ∂ x3∂ y1 ⎦ 4 ⎣ ∂ x3 ∂ y1 ⎤ ∂ ∂ 1⎡ ∂ − ⎢ 2− −2 i⎥ , 2 ∂ x4 ∂ y2 ⎦ 4 ⎣ ∂ x4 ∂ y2 ∂ ⎤ 1 1⎡ ∂ − dz4 = − ⎢ − i⎥ , 2 4 ⎣ ∂ x5 ∂ y3 ⎦. yi = 1, 2,3 en (16) Se. 1 ⎛ ⎞ ⎜ dz1d z1 + dz2 dz2 − dz3 dz3 − dz4 ⎟ u = 0 , 2 ⎝ ⎠. Sea G un dominio en el espacio complejo de dimensión 4. Intercambiando la ecuación diferencial parcial real por operadores de Cauchy mediante las transformaciones. 2. Para eliminar los términos. (16). (12). Definimos las variables complejas. 2. ⎛ 1 ∂2 1 ∂2 1 ∂ ⎞ +⎜− + + ⎟i , ⎝ 2 ∂ x3∂ y1 2 ∂ x3∂ y2 4 ∂ y3 ⎠. Los operadores de Cauchy siguientes forman el análogo complejo del sistema (11). 2. z1 = x1 + ix2 , z2 = x3 + iy2 , z3 = x4 + iy2 , z4 = t + iy3 = x5 + iy3 .. 469. dz3dz3 (u ) = ∑ z n n =0. ω. dz4 (u ) = ∑ z n n =0. ∂ u n +1, n , n , n ( z ) , (21) ∂ z1 1 2 3 4. ∂2 un ( z ) , ∂z2 2. (22). ∂2 un ( z ) , ∂z32. (23). ∂2 un ( z ) , ∂z4 2. (24). Reemplazando las ecuaciones (20)-(24) en (18) se obtiene. ⎡ ∂ ∂2 + + ( n 1) u z un ( z ) ( ) ⎢ ∑ n ∂ z1 ∂z2 2 n =0 ⎣ ⎤ ∂2 1 ∂ − 2 un ( z ) − un ( z ) z n ⎥ = 0 . 2 ∂ z4 ∂z3 ⎦ ω. Por lo tanto. (25).

(4) Scientia et Technica Año XIII, No 35, Agosto de 2007. Universidad Tecnológica de Pereira.. 470. (n + 1) −. ∂ ∂2 u n ( z ) + 2 un ( z ) ∂ z1 ∂z2. Sustituyendo (29) en (30) se tiene. u1,0,0,0 =. ∂2 1 ∂ u z − un ( z ) = 0 , 2 n( ) ∂z3 2 ∂ z4. (26). ω. dz1 (u ) = ∑ n 1 z n z1−1u n( z ) . n =0. Para. j = 2,3, 4 ω. dz j (u ) = ∑ z n n =0. ∂ u n ,..., n , n ( z ) , ∂ z j 1 j+1 4. n =0. u1,1,0,0. ⎡ ∂ dz j (u ) − d z j (u ) = ∑ ⎢ u n1 , n j , n3 , n 4 ( z ) n =0 ⎢ ⎣ ∂zj ω ⎤ − ∑ (n j + 1) un 1 , n2 , n j +1, n4 ( z ) ⎥ = 0 . n =0 ⎥⎦ ω. De igual manera se calculan los demás coeficientes. 1 u = cos ( z1 ) z2 z3 z4 + sen ( z1 ) z2 z3 z1 2 1 1 + sen ( z1 ) z3 z1 z2 + sen ( z1 ) z2 z1 z3 2 2 + cos ( z1 ) z3 z4t2 + cos ( z1 ) z2 z4t3. ∂ un , n ,.., n ( z ) − (n j + 1)un 1 , n2 , n j +1, n4 ( z ) = 0 . ∂zj 1 j 4 1 ∂ un , n ,.., n ( z ) . nj +1 ∂ z j 1 j 4. (27). Si reorganizamos (26) se obtiene. ⎤ ∂2 1 ∂ + 2 u n( z ) + u n( z ) ⎥ . ∂z3 2 ∂ z4 ⎦. (28). 1,. Separando la parte real e imaginaria de (31) finalmente se tiene dos soluciones reales, que corresponden a la solución de la ecuación diferencial parcial (12). +8cos ( x1 ) cos h ( x2 ) x3 x4 x5 , (29). Im(u ) = 2 cosh ( x1 ) sen ( x2 ) x1 x3 x4 −2 cosh ( x2 ) sen ( x1 ) x2 x3 x4. Para efecto de hallar algunas soluciones finitas a partir de las relaciones de recurrencia (27) y (29) escogemos. ( z2 , z3 , z4 ) = 0 y y una función inicial. −8sen ( x1 ) senh ( x2 ) x3 x4 x5 . 4. CONCLUSIÓN GENERAL. Wo = φ ( z1 ) Po ( z2 , z3 , z4 ) = cos ( z1 ) z2 z3 z4 = u0,0,0,0 . Así que. u0,0,0,0 = cos ( z1 ) z2 z3 z4 .. + cos ( z1 ) z3 z2 z4 + cos ( z1 ) z2 z3 z4. +2 cos ( x1 ) sen ( x2 ) x2 x3 x4. f n1 +1. ( z) ( n1 + 1)! ⎡ ∂ 2un ( z ) ∂ 2un ( z ) 1 ∂un ( z ) ⎤ − + + dz. n1 +1. (31). R e(u ) = 2 cosh ( x2 ) sen ( x1 ) x1 x3 x4. Integrando con respecto a z1 esta última expresión. ∫f. + cos ( z1 ) z2 z3 z4 + cos ( z1 ) z4 z2 z3. 1 + cos ( z1 ) z2 z3 z4 + sen ( z1 ) z1 z2 z3 . 2. 1 ⎡ ∂2 ∂ u n( z ) = u n( z ) ⎢− ∂ z1 n1 + 1 ⎣ ∂z2 2. +∫ ⎢ ⎥ ∂z2 2 ∂z32 2 ∂z4 ⎦ ⎣ con ni = 0,1, 2,… , i = 1, 2,3, 4 .. un .. Así la solución correspondiente a la ecuación (18) y (19) es de la forma:. De esta manera. un1 +1, n2 , n3 , n4 ( z ) =. ∂ ( sen ( z1 ) z2 z3 ) , ∂z2 1 = sen ( z1 ) z3 . 2. u1,1,0,0 =. d z j (u ) = ∑ (n j + 1) z nun1 ,...,n j+1 , n4 ( z ) ,. un 1 , n2 , n j +1, n4 ( z ) =. 1 sen( z1 ) z2 z3 , 2 1 ∂ ⎡1 ⎤ u2,0,0,0 = ∫ Sen( z1 ) z2 z3 ⎥ dz1 = 0 , ⎢ 2 ∂z4 ⎣ 2 ⎦ un ,0,0,0 = 0 , n ≥ 2 . =. Utilizando (27) se obtiene. ∞. Así. 1 ⎡ ∂2 ∂2 ∂2 ⎤ − + − ⎢ ⎥ ( cos ( z1 ) z2 z3 z4 ) dz1 2 ∫ ⎣ ∂z2 2 ∂z32 ∂z4 2 ⎦. (30). El método de las expansiones holomorfas se puede aplicar para hallar soluciones analíticas explicitas de las ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes de segundo orden en particular las ecuaciones clásicas de la físico-matemática (la ecuación de transferencia de calor,.

(5) Scientia et Technica Año XIII, No 35, Agosto de 2007. Universidad Tecnológica de Pereira.. la ecuación de onda, y la ecuación de Laplace). También es posible una generalización del mismo para tratar algunas ecuaciones EDP con coeficientes variable así como sistemas de EDP de coeficiente variable véase ([3] y [7]). El método tiene una particular eficacia tratándose de la búsqueda de soluciones simbólicas por lo que es posible en principio elaborar un software simbólico en cualquiera de los paquetes comerciales que existen en el mercado como el Maple o el Matemática. Además se puede hallar soluciones finitas exactas de EDP de coeficientes constantes lo cual es de considerable interés teórico en la comparación de la bondad de los modelos numéricos basados en esquemas de diferencia finita, método de elementos finitos y residuos ponderados entre otros véase ([5,6]). También se pueden hallar bases para el espacio de soluciones polinomiales los resultados pueden ser comparados con [1,2].. 5. BIBLIOGRAFÍA [1] P.S. Pedersen, A basis for polynomial solutions to systems of linear constants coefficient PDEs, Adv.Math 117 (1) (1996), 157-163. [2] A. Turbiner, On polynomial solutions of differential equations, J.-Math.-Phys. 33(12) (1992), 3989-3993. [3] A.I Alexandrovich, Application of two complex variables to the theory of elasticity, Dokl.-Akad.Nauk 232(3) (1977), 542-544 [4] V.I Vasov, S.L Skorokhodov, On the development of Trefftz method, Dokl.-Akad.-Nauk, 337(6) (1994), 713-717. [5] K. Rectorys, V. Zahradnik, Solution of he firs biharmonic problem by the method of leat squares on the boundary, Aplikace Matematiky, 19(2) (1974), 101-131. [6] A. Rodionov, Explicit Solutions for linear partial differential equations, J.-Math, Vol 2, No 2. December (2000), 34-42. [7] A. Rodionov. C. M. Escobar, Solución al sistema de Lamé utilizando la variable compleja, tesis de grado, Universidad Nacional de Colombia. ( 2003).. 471.

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