Bloque 32 Guía: Composición de funciones SGUICEG071EM32-A17V1

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SGUICEG071EM32-A17V1

Bloque 32

Guía: Composición de

funciones

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TABLA DE CORRECCIÓN COMPOSICIÓN DE FUNCIONES N° Clave Habilidad Dificultad estimada

1 E Comprensión Media 2 A Comprensión Media 3 E Comprensión Fácil 4 D Aplicación Media 5 B Aplicación Difícil 6 A Aplicación Media 7 B Aplicación Difícil 8 C Aplicación Media 9 D Aplicación Media 10 B Aplicación Difícil 11 B Aplicación Fácil 12 D Aplicación Media 13 A Aplicación Media 14 C Aplicación Difícil 15 D Aplicación Media 16 D Aplicación Difícil 17 D ASE Difícil 18 D ASE Difícil 19 C ASE Media 20 C ASE Difícil 21 C ASE Difícil 22 C ASE Difícil 23 A ASE Difícil 24 B ASE Media 25 D ASE Difícil

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1. La alternativa correcta es E.

Unidad temática Teoría de funciones

Habilidad Comprensión

La función g(x) = 3, es una función constante. Esto significa que para cualquier x real, su imagen será 3. Por lo tanto, ₃_. 3 1 f g              2. La alternativa correcta es A.

Habilidad Comprensión

Por composición de funciones se tiene

x x

g

h( ( ))12 . Por tanto se tendrá que el dominio es IR{0}.

3. La alternativa correcta es E.

Habilidad Comprensión )) ( ( ) )( (f g x  f g x  f(x2 1)  (x2 1)2  x2 1 4. La alternativa correcta es D.

Habilidad Aplicación f(– 2) = 4 3 4 2 1 ) 2 ( ) 2 ( 1 2       f(f(– 2)) = _      4 3 f = 9 4 9 16 4 1 16 9 4 1 4 3 4 3 1 2           

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5. La alternativa correcta es B.

Habilidad Aplicación h(g(x)) = h(x + 2) = (x + 2)² y g(h(x)) = g(x²) = x² + 2. Luego: h(g(x)) = g(h(x)) (x + 2)² = x² + 2 x² + 4x + 4 = x² + 2 4x + 4 = 2 4x = – 2 x = 2 1  6. La alternativa correcta es A.

Habilidad Aplicación    2) ( )( 2) )( (g f f g g(f(2)) f(g(2)) g(2(2)21) f(322) = g(241) f(62) g(7) f(8) 212(1281) – 108 7. La alternativa correcta es B.

Habilidad Aplicación

Si suponemos una función g tal que g(x)2x3, entonces f(2x3) f(g(x)). Como queremos conocer el valor de f(7), entonces la imagen de algún x es la función g debe ser igual a 7, es decir:

2x – 3 = 7 (Sumando 3)

2x = 10 (Dividiendo por 2)

x = 5

Por lo tanto, f(7) f(g(5)), pero f(g(x))4x2 12x11, es decir: 11 5 12 5 4 )) 5 ( (g   2    f 4256011 10049 51

(5)

8. La alternativa correcta es C.

Por composición de funciones se tiene que

      _    2 1 3 2 1 )) ( ( x x f g f g  .

Luego, reemplazando se obtiene:

9 2 2 9 1 2 13 2 1 2 1 6 2 1 2 1 ) 2 ( 3 2 1 )) 2 ( (            _ _         _ _ _    f g 9. La alternativa correcta es D.

f(g(2)) = f(2² + 4) = f(8) = 3·8 = 24

f (g(x)) = log (a · b x) = log a + log (b x) = log a + x · log b

Como a y b son números reales positivos distintos de 1, entonces log a y log b son constantes reales distintas de 0. Por lo tanto, al representar la función f (g(x) = log a + x · log b en el sistema de ejes coordenados mencionado tendría la forma de una línea recta que no pasa por el origen.

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12. La alternativa correcta es D.

Habilidad Aplicación  )) 0 ( (g f        0 6 3 2 f       1 3 2 f       3 2 f 3  2 27

 

3 ₂₇ 2  2  3 9 13. La alternativa correcta es A.

Habilidad Aplicación    ( ( 5)) )) 5 ( (g f g f f(52) f((5)2) f(25) f(25)



251

 

 251



12 14. La alternativa correcta es C.

Antes de analizar cada una de las afirmaciones, es conveniente realizar las composiciones entre las funciones del enunciado, es decir, (f ∘ g)(x) y (g ∘ f)(x). Entonces:

 (f g)(x) f(g(x)) f(4x3)2(4x3)18x618x5

 (g  f)(x)g(f(x)) g(2x1) 4(2x1)38x438x1

Luego:

I) Verdadera, ya que (g ∘ f) corresponde a una función afín con coeficiente de posición – 1, es decir, su gráfica pasa por el punto (0, – 1).

II) Falsa, ya que al evaluar el valor (– 1) en (f g)(x)8x5, se obtiene

3 5 8 5 ) 1 ( 8 ) 1 )(

(f g         . Luego, el par (– 1, – 3) perteneces a (f ∘ g).

III) Verdadera, ya que (f ∘ g) y (g ∘ f) son funciones con comportamiento lineal con igual pendiente y distinto coeficiente de posición, es decir, gráficamente corresponden a rectas paralelas no

coincidentes, en la que la recta asociada a (f ∘ g) está siempre por sobre la recta asociada a (g ∘ f), para cualquiera sea el valor de x. Luego, (f ∘ g)(x) es siempre mayor que (g ∘ f)(x).

(7)

Habilidad Aplicación Sean f(x)x5 y g(x)2(1x)3, entonces 5 2 )) ( ( 3 8 2 )) ( ( 3 ) 4 ( 2 )) ( ( 3 ) 5 1 ( 2 )) ( ( 3 )) 5 ( 1 ( 2 )) ( ( ) 5 ( )) ( (                     x x f g x x f g x x f g x x f g x x f g x g x f g 16. La alternativa correcta es D.

Para que el 5 no sea parte del dominio, entonces no debe tener imagen en una de las funciones de las alternativas. Por lo tanto,

A) f (gh)(5) f(g(h(5))) f(g(1)) f(1)3

B) g(f h)(5) g(f(h(5)))g(f(1))g(3)2

C) f (hg)(5) f(h(g(5))) f(h(3)) f(1)3

D) h(f g)(5)h(f(g(5)))h(f(3)), f(3)no tiene imagen, ya que 3 no es parte del dominio de f , por lo tanto 5 no es parte del dominio de h(f g).

(8)

Habilidad ASE

I) Falsa, ya que (g  f)(x)g(f(x)) g(3 x2)3 x2 33 x2 6x9 II) Verdadera, ya que (g  f)(x)g(f(x)) g(8(x23(2x3))

2 ) 3 2 ( 3 ( 8 3  2    x x 2 9 6 23 2    x x 3 2 9 6    x x III) Verdadera, ya que ₍_{g } _f₎₍_x₎_g₍_f₍_x₎₎_g₍_x₍_x₆₎₎3 _x₍_x₆₎₉3 _x2 ₆_x₉

Por lo tanto, solo II y III son verdaderas.

Habilidad ASE I) Falsa, ya que x x x h m x

f( ) ( ( )) 1  1 , solo está definida para los reales positivos.

II) Verdadera, ya que ( ( )) 1 y 1 1 m(h(x)) x x x x m h    .

III) Verdadera, ya que

3 2 3 1 1 9 1 1 )) 9 ( (

1m h      y por otra parte .

3 2 9 4 4 9 _ _             m h

Por lo tanto son verdaderas solo II y III.

Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que (f g)(m) f(g(m)), luego

(9)

II) Falsa, ya que (g f)(5)g(f(5)), luego g( f(5)) g(32·5) g(7) 4·(7)1 27 III) Verdadera, ya que (f g)(1)(f g)(1) f(g(1)) f(g(1)), luego

f(g(1)) f(g(1)) f(5) f(3)32·532·(3)310362 Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.

Habilidad ASE

La función logaritmo está definida para los reales positivos. Como la función x2 tiene su recorrido en los reales positivos más el cero, entonces, es necesario eliminar el cero para que sirva de argumento de la función logaritmo.

Es decir, si a la función x2 se le ingresa cualquier número real distinto de cero, entonces la función f(x) = log (x2) queda bien definida. Luego, el dominio de la función f(x) = log (x2) es IR – {0}

Habilidad ASE

Como (g  f)(x)15x29, entonces g(f(x))15x29. Es decir, g(3x7)15x29. Luego: g(3x7)15x29 (Sumando 7 a la variable) ⟹ g(3x77)15(x7)29 (Calculando) ⟹ 29 3 7 15 3 3 _               x x

g (Dividiendo la variable por 3)

⟹ g

 

x 5(x7)29 (Simplificando) ⟹ g

 

x 5x3529 (Distribuyendo) ⟹ g

 

x 5x6 (Calculando)

(10)

Habilidad ASE

Se sabe que si (g  f)(x) es igual a g(f(x)), entonces el recorrido de f será el dominio de g.

Como f es una función afín creciente y el dominio de f corresponde al intervalo [– 1, 4[, entonces el menor valor que tomará f será cuando x sea – 1, es decir, f(1)5(1)3538; mientras que el mayor valor que tomará f será cuando x se acerca a 4, que al evaluar en este valor se obtiene

17 3 20 3 4 5 ) 4 (      

f . Por lo tanto, el recorrido de f corresponde al intervalo

[ 17 , 8 [ )[ 4 ( ), 1 ( [f  f   .

Luego, el recorrido de f es igual al dominio de g, por lo que el recorrido de g a partir del dominio determinado, corresponderá al recorrido de (g  f).

Como nuevamente la función g es afín creciente, entonces el mínimo valor que tomará g(x) será cuando x sea igual a – 8, es decir,g(8)2(8)416412; mientras que el máximo valor se obtendrá cuando x se acerca a 17, que al evaluar en este valor se obtiene g(17)217434438. Por lo tanto, el recorrido de (g  f) corresponde al intervalo [g(8),g(17)[, es decir, [– 12, 38[.

23. La alternativa correcta es A.

Habilidad ASE

Sean f(x) x2 1 y g(x) x, entonces g(f(x)) g(x21) x21, una función real con x en todos los reales, es decir, el dominio de esta función corresponde a IR, mientras que su recorrido son solo los reales positivos. Por otro lado, f(g(x)) f

   

x  x 21 x1, para x0, es decir, el dominio de esta función es



0,



, mientras que su recorrido es



1,



Entonces:

I) Verdadero, ya que el dominio de (g  f) es IR.

II) Falso, ya que el recorrido de (f g)_{son los reales que pertenecen a}



1,



. III) Falso, ya que g(f(2)) (2)2 1 5, mientras que f(g(4))415. Por lo tanto, solo I es una afirmación verdadera.

(11)

Habilidad ASE

Antes de analizar cada una de las informaciones adicionales, realizaremos la composición de las funciones. (g f)(x)  g(f(x))  g(xb)  xb2a

Luego, evaluando en (2a – b)  (g f)(2ab)(2ab)b2a2abb2a2b

Revisando cada una de las informaciones adicionales:

(1) El valor numérico de a. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de

) 2 )(

(g f ab , ya que esta última expresión no depende de a, por lo que a puede ser cualquier valor real y no afectará al resultado final.

(2) El valor numérico de b. Con esta información, es posible determinar el valor numérico de

) 2 )(

(g f ab , ya que el valor de esta expresión depende únicamente de b. Como

b b

a f

g )(2 ) 2

(    , entonces conociendo el valor numérico de b, se puede determinar el valor solicitado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es: (2) por sí sola.

Habilidad ASE

(1) (f g)(x)6x5. Con esta información sí es posible determinar la expresión que representa a f, ya que al hacer la composición de funciones, se obtiene:

)) ( ( ) )( (f g x  f g x  f((a1)xb)a((a1)xb)b (a2 a)xabb. Como (f g)(x)6x5, entonces se cumple que (a2a)xabb6x5. Luego se cumple que a2a6 y abb5, ya que (a2 a) corresponde a la pendiente, mientras que

)

(abb corresponde al coeficiente de posición.

2 o 3 0 ) 2 )( 3 ( 0 6 6 2 2             a a a a a a a a . Si a = – 3, entonces 4 5 5 4 5 ) 3 ( 5           

ab b b b b b . Por lo tanto, a no puede

(12)

parte, si a = 2, entonces abb5  2bb5  b5  b5, siendo ambos valores números enteros. Luego, f(x)2x5.

(2) (g  f)(x)6x10. Con esta información sí es posible determinar la expresión que representa a f, ya que al hacer la composición de funciones, se obtiene:

)) ( ( ) )( (g f x g f x g(axb) (a1)(axb)b(a2 a)xab Como (g  f)(x)6x10, entonces se cumple que (a2a)xab6x10. Luego se cumple que a2a6 y ab10, por el mismo motivo que la información (1).

2 o 3 0 ) 2 )( 3 ( 0 6 6 2 2             a a a a a a a a . Si a = – 3, entonces 3 10 10 ) 3 ( 10        b b

ab . Por lo tanto, a no puede ser igual a – 3,

ya que b sería un número no entero, lo que se contradice con el enunciado.

Por otra parte, si a = 2, entonces ab10  2b10  b5, siendo ambos valores números enteros. Luego, f(x)2x5.