En esta lección aprenderemos a obtener un área sombreada por medio de un ejemplo desarrollado paso a paso:
Proceso paso a paso para determinar la siguiente área:
1)Determinemos independientemente las áreas de las intersecciones entre A y B, entre A y C y ente B y C
Área entre A y B:
Área entre A y C:
Luego la parte central corresponde a la unión de las tres áreas que ya hallamos:
Por otro lado, al unir los conjuntos A, B y C obtenemos lo siguiente:
Pero, se requiere es la parte externa, es decir, el complemento, lo que corresponderá a:
Finalmente la parte sombreada corresponderá a la unión de la parte externa con la interna:
Es importante tener en cuenta que AC representa el complemento de A, es
AC también puede ser representada como A* ó como A' entre otras.
Conectivos lógicos
En el capítulo dos aprendimos que los conectivos lógicos: conjunción,
disyunción, condicional y bicondiconal, son usados de manera cotidiana en el lenguaje natural.
En esta lección estudiaremos la relación que estos conectivos lógicos tienen con el lenguaje y desde esta perspectiva le daremos sentido y pertinencia a la lección con nuestros diferentes programas académicos.
La conjunción corresponde en el lenguaje natural con la y, analicemos su sentido desde la perspectiva del lenguaje natural:
Cuando Juan afirma que estudia y trabaja, podemos concluir que Juan hace las dos actividades, no necesariamente en el mismo espacio y tiempo, pero es estudiante trabajador.
¿Cuando podemos afirmar que la proposiciónJuan estudia y trabaja es falsa? Cuando Juan estudie y no trabaje o cuando Juan trabaje pero no estudie o cuando Juan ni trabaje ni estudie.
Si denominamos las proposiciones simples p y q de la siguiente manera: p = Juan estudia
q = Juan trabaja
La proposición compuesta "Juan estudia y trabaja" tendrá el siguiente equivalente en lenguaje simbólico: p^q
Luego, si Juan estudia es una proposición falsa, la proposición compuesta p^q será falsa. y si Juan trabaja es una proposición falsa, la proposición compuesta p^q también será falsa. Es decir que las dos proposiciones simples deben ser verdaderas para que la proposición compuesta sea verdadera.
Podemos representar todos estos casos posibles mediante una tabla que denominaremos tabla de verdad:
pq p^q FF F FV F
VF F VV V
Disyunción
El conectivo lógico de la disyunción tiene su equivalente en el lenguaje natural en la o:
Partamos de suponer que para llegar a San Andrés, hay dos caminos, uno por el aire y el otro por el mar. Luego podemos construir la proposición compuesta "a San Andres se llega por aire o por mar", luego, las proposiciones simples serán:
p = a San Andrés se llega por aire q = a San Andrés se llega por mar
¿Cuando será falsa la proposición compuesta p v q? esta proposición lógica será falsa únicamente cuando a San Andrés no se pueda llegar ni por aire ni por mar, es decir, siempre que cualquiera los dos caminos sea válido la frase será verdadera.
La representación mediante la tabla de verdad será la siguiente: pq pvq
VF V VV V FF F FV V
Condicional
El conectivo lógico condicional tiene su equivalente en el lenguaje natural en el Si... entonces:
Partamos de un ejemplo:
"Cuando llueve en la mañana hace frío en la tarde", para identificar el
conectivo lógico presente en esta proposición compuesta, conviene reescribir la proposición como sigue:
"Si llueve en la mañana entonces hace frío en la tarde" ¿Cuando será falsa esta proposición lógica?
Las proposiciones simples serán: p = llueve en la mañana
q = hace frío en la tarde
¿Cuando será falsa la proposición compuesta p --> q? esta proposición lógica será falsa cuando llueva en la mañana y no haga frío en la tarde:
Es interesante resaltar que hacer frío en la tarde no es condición necesaria para que llueva en la mañana, es decir, que si no llueve, igualmente puede hacer frío, ya que la frase no expresa nada en este sentido.
La representación mediante la tabla de verdad será la siguiente: pq p-->q
VV V VF F FV V FF V
Bicondicional
El conectivo lógico bicondicional tiene su equivalente en el lenguaje natural en el Si y sólo si:
Partamos de un ejemplo inspirado en el artículo 17 de la Ley 434 de 1998: "El único camino posible para la paz es la inversión social", para identificar el conectivo lógico presente en esta proposición compuesta, conviene reescribir la proposición como sigue:
"hay paz, Si y sólo si hay inversión social" ¿Cuando será falsa esta proposición lógica? Las proposiciones simples serán:
p = hay paz
q = hay inversión social
¿Cuando será falsa la proposición compuesta p <--> q? esta proposición lógica será falsa cuando una proposición lógica se cumpla sin que se de la otra:
Es decir, si encontramos que hay paz sin inversión social, entonces la frase será falsa.
Y si encontramos que hay inversión social y tampoco hay paz, la frase también será falsa.
La representación mediante la tabla de verdad será la siguiente: pq p<-->q
VV V VF F FV F FF V
Resumen de Conectivos
Como te habrás dado cuenta, el orden de la tabla de verdad no afecta los resultados que de ésta se obtienen, lo importante es que en la tabla se encuentren presentes todas las combinaciones posibles de los diferentes valores de verdad.
Construyamos la tabla de verdad para la siguiente proposición compuesta: "La voluntad que obra por deber es buena, es virtuosa y, por tanto, digna de ser feliz" Adaptación de Kant.
Esta proposición compuesta debe ser transformada para encontrar los conectivos lógicos como:
"Si la voluntad obra por deber, entonces es buena y es virtuosa, y si la voluntad es buena y es virtuosa, entonces es digna de ser feliz"
Ahora declaremos las proposiciones simples: p = La voluntad obra por deber
q = La voluntad es buena r = La voluntad es virtuosa
s = La voluntad es digna de ser feliz
La representación en lenguaje simbólico de la proposición compuesta será: [p --> (q ^ r)]^[(q ^ r) --> s ]
Esta es una proposición compuesta de cuatro variables, luego, la tabla de verdad tendrá 24 (16) combinaciones posibles entre los diferentes valores de
Proposición directa, contraria, reciproca y contrarreciproca
Entre las variaciones de la proposición condicional encontramos cuatro proposiciones:
Implicación directa: p--> q
Implicación contraria: ¬p → ( ¬q ) Implicación recíproca: q→ p
Implicación contrarrecíproca: ¬q → ( ¬p )
Por ejemplo, dadas las proposiciones p = el animal es un perro q = el animal tiene cuatro patas
Las proposiciones directa, contraria, recíproca y contrarrecíproca serán:
Implicación directa: si el animal es un perro, entonces tiene cuatro patas Implicación contraria: si el animal no es un perro, entonces no tiene cuatro patas
Implicación recíproca: si el animal tiene cuatro patas, entonces es un perro Implicación contrarrecíproca: Si el animal no tiene cuatro patas, entonces el animal no es un perro
Si te detienes un momento y lees con atención encontrarás que las proposiciones contraria y recíproca no son equivalentes de la proposición directa, mientras que la proposición directa si será equivalente a su proposición contrarrecíproca.
