Examen Microeconomia 2 resuelto

Micro

Microeconomeconom´´ıa ıa I: I: GrupGrupo o ´´unico. Doble Grado EcoMatEst. Examen 2, 13 de Mayo, 2016unico. Doble Grado EcoMatEst. Examen 2, 13 de Mayo, 2016

Instrucciones Instrucciones

N´

N´umero de ejercicios: 5, M´umero de ejercicios: 5, M´axima puntuaci´axima puntuaci´on: 10, Tiempo: 90’.on: 10, Tiempo: 90’. La puntuaci´

La puntuaci´on indicada en cada ejercicio es orientativa, responda algo en TODOS loson indicada en cada ejercicio es orientativa, responda algo en TODOS los ejercicios, aunque la respuesta sea incompleta en algunos.

ejercicios, aunque la respuesta sea incompleta en algunos.

Responda debajo de cada pregunta. No desgrape las hojas ni use papel adicional. Responda debajo de cada pregunta. No desgrape las hojas ni use papel adicional. Las soluciones se publicar´

Las soluciones se publicar´an en el Campus Virtual.an en el Campus Virtual.

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Entregar este examen NO IMPLICA presentarse a la pr´oxima convocatoria.oxima convocatoria.

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1.

1. [2 [2 puntopuntos] s] ConsideConsidere una economre una econom´´ıa de intercamıa de intercambio puro con bienes,bio puro con bienes, x x11 y y x x22, y dos consumidores,, y dos consumidores, A

A y y B B, cuyas preferencias vienen dadas por las funciones de utilidad, cuyas preferencias vienen dadas por las funciones de utilidad u uii((xx11,, xx22) =) = x x11++ ααiilnln((xx22+1),+1), siendo

siendo α αAA == ₃₃11 y αy αBB == ₃₃22  para  para A A  y y B B , resp, respectivamenectivamente. Ete. En la n la economeconom´´ıa existe ıa existe una una unidad unidad de cade cadada bien. En el reparto inicial el consumidor

bien. En el reparto inicial el consumidor A A  posee todo el bien posee todo el bien x x11 y el consumidor y el consumidor B B  posee todo el posee todo el bien

bien xx22. Se pide:. Se pide: (a)

(a) ObteObtenga la funnga la funci´ci´on de exceso de demanda agregada de bienon de exceso de demanda agregada de bien x x22, denominada durante el curso, denominada durante el curso z 

z ₂₂.. (b)

(b) Obtenga, si existe, el ratio de precios de equilibrio competitivObtenga, si existe, el ratio de precios de equilibrio competitivo y o y las cantidalas cantidades consumidades consumidass en

en equiliequilibrio.brio.

Solution: Solution:

Las soluciones que se presentan tienen finalidad pedag´

Las soluciones que se presentan tienen finalidad pedag´ogica. En ocasiones puedeogica. En ocasiones puede omitirse una parte de la respuesta y/o contener informaci´

omitirse una parte de la respuesta y/o contener informaci´on no solicitada en laon no solicitada en la pregunta.

pregunta. (a)

(a) Ambos consumidAmbos consumidores tienen ores tienen preferencpreferencias conveias convexas y xas y no saciadas localmente (cuasilieno saciadas localmente (cuasiliena- na-les). Por tanto, en ambos casos las funciones de demanda se obtienen de:

les). Por tanto, en ambos casos las funciones de demanda se obtienen de: RM RMS S xx22 x x11 == pp₁₁  p  p22  p  p11xx11 + + p p22xx22 = = m m

Obtengamos RM S x2

x1. Partimos de

x1 + αiln(x2 + 1) = k Despejando x₂  tenemos x₂ = eαi1 (k−x1)

−

1. Luego RM S x2 x1 =

|

x  2

|

= 1 αi eα1(k−x1) = 1 αi (x2 + 1)

donde en la ´ultima igualdad (despu´es de derivar) hemos sustituido k   por su valor. De donde RM S x2 x1 = p1  p2

→

x∗ 2,i = αi  p1  p2

−

1 Y por tanto z 2 = x∗2,A + x∗2,B

−

1 = (αA + αB)  p1  p₂

−

3 = p1  p₂

−

3

(b) Claramente z 2 = 0

⇐⇒

 _pp1₂ = 3. Dado que se cumple la Ley de Walras (hay no saciaci´on local), el anterior ratio de precios tambi´en garantiza z ₁ = 0 y por tanto es un ratio de precios de equilibrio. Las cantidades consumidas de bien x₂ en equilibrio se obtienen de sustituir en la demanda. Teniendo en cuenta los valores de αA y αB, tenemos

x∗ 2,A = αA  p1  p₂

−

1 = 0; x ∗ 2,B = αB  p1  p₂

−

1 = 1 Adem´as, tenemos  p1x∗1,i + p2x∗2,i = mi

⇐⇒

p₁  p2 x∗_1,i = mi  p2

−

x∗_2,i

_⇐⇒

x∗_1,i = 1 3



m_i  p2

−

x∗_2,i



donde hemos usado que p1/p2 = 3. Tenemos adem´as que mA/p2 = p1/p2 = 3 y mB/p2 = 1. Sustituyendo en la expresi´on anterior queda x∗

1,A = 1 y x∗1,B = 0. Por tanto, las dotaciones iniciales constituyen una asignaci´on de equilibrio competitivo.

2. [2 puntos] Para la econom´ıa descrita en el ejercicio 1 se pide:

(a) Escriba las ecuaciones algebraicas que caracterizan la curva de contrato de la econom´ıa. (b) Resuelva las ecuaciones obtenidas en el apartado anterior. Relacione su soluci´on con el

equi-librio (si existe) obtenido en el ejercicio 1.

Solution:

(a) Dado que las preferencias son estrictamente convexas, la curva de contrato se caracteriza por

RM S x2

x1

|

A = RM S 

x2

Sustituyendo las expresiones obtenidas en el ejercicio anterior, la anterior igualdad queda 1

α_A(x2,A + 1) = 1

α_B(x2,B + 1)

La anterior igualdad solamente determina el reparto de x2  entre ambos consumidores. Dado que la cantidad total de x2 es 1, en dicho reparto debe ocurrir

x2,A + x2,B = 1

Las dos igualdades anteriores determinan la curva de contrato a pesar de que no espe-cifican repartos de x1. Dicho de otro modo, cualquier reparto de x2  que satisfaga estas igualdades junto con un reparto arbitrario de bien x1 es Optimo de Pareto. Esta es una propiedad general de las preferencias cuasi-lineales: si la utilidad de todos los consumi-dores es lineal en la misma variable, la curva de contrato solamente impone condiciones sobre el reparto de la variable en la que la utilidad no es lineal (tambi´en generaliza a I  variables).

(b) Usando α_B/α_A  = 2, el ´unico reparto de x₂  que satisface las ecuaciones anteriores es x2,A = 0, x2,B = 1, es decir, que el consumidor B consuma todo el bien x2. El equilibrio competitivo genera ese reparto en x₂, algo que podr´ıamos haber deducido a partir del primer teorema del bienestar: si las preferencias son no saciadas localmente, el equilibrio competitivo (si existe) es Optimo de Pareto.

3. [1 punto] Considere una econom´ıa de intercambio puro con dos consumidores, A y B, y dos bienes (o un bien, lo que sigue aplica para cualquier n´umero de bienes). Denotamos una asignaci´on por un par (xA, xB). Denotamos las funciones de utilidad U A y U B, para A y B, respectivamente, de modo que la asignaci´on (xA, xB) genera las utilidades U A(xA) y U B(xB). Indique (y justifique) si la siguiente definici´on es cierta o falsa.

Afirmaci´on:  Una asignaci´ on factible (x_A, x_B) es Optimo de Pareto cuando, para cualquier otra  asignaci´ on factible  (x

A, xB), se verifica  U A(xA)

≥

U A(xA ) y  U B(xB)

≥

U B(xB) con la desigualdad 

estricta para al menos un i

_{∈ {}

A, B

_}

Solution:

La afirmaci´on es falsa. Una asignaci´on Optimo de Pareto no necesariamente domina en sentido de Pareto a cualquier otra asignaci´on factible. La frase cierta es que una asignaci´on Optimo de Pareto no est´a dominada por ninguna otra asignaci´on factible. En t´erminos de la notaci´on usada, la frase correcta es la siguiente.

Afirmaci´on: Una asignaci´ on factible (xA, xB)  es Optimo de Pareto cuando, para cualquier 

otra asignaci´ on factible (x

A, xB), no se verifica U A(xA)

≥

U A(xA) y U B(xB)

≥

U B(xB) con la 

4. [3 puntos] Suponga una funci´on de producci´on del bien Y  a corto plazo, con L como ´unico factor, definida Y  = 1₂

√ 

L. El precio del trabajo es w = 2 y el coste fijo es C F  = 2. Se pide:

(a) Calcule la funci´on de costes y el precio de beneficio 0.

(b) Calcule la curva de oferta de producto. ¿A qu´e precio entra esta empresa en el mercado? (c) Suponga que ´esta es la ´unica empresa en el mercado y que la demanda agregada es Y  =

1

16 (2

−

P ). ¿Qu´e excedente obtiene la empresa en el equilibrio del mercado? Solution:

(a) La funci´on de costes es C (Y ) = C F + wf −1(Y ), siendo f  la funci´on de producci´on. Con los datos del ejercicio es

C (Y ) = 2 + 8Y 2

Dado que la funci´on de costes es convexa, el precio de beneficio cero puede caracterizarse como el m´ınimo de los costes medios o la ordenada en la que el coste medio iguala al marginal. Tenemos CMe(Y ) = _Y 2 + 8Y , de donde

minY  ≥0

{

CMe(Y )

} → −

2

Y 2 + 8 = 0

→

Y  = 1 2 El precio de beneficio cero es pbe _{= C Me}

_

1

2



 = 8.

(b) La funci´on de costes variables es CV (Y ) = 8Y 2_{, de donde tenemos que la funci´on de} costes medios variables es  CMeV (Y ) = 8Y . Esta ´ultima alcanza su m´ınimo en 0, por lo que la empresa entra en el mercado para cualquier precio positivo, y para cualquier precio positivo su curva de oferta viene dada por P  = C Mg(Y ), es decir P  = 16Y   o bien Y  = ₁₆1 P .

(c) De igualar oferta y demanda tenemos 1

16 (2

−

P ) = 1

16P 

⇐⇒

P  = 1 Por lo que el excedente de la empresa es

E  p =

 

1 0 1 16P dP  =



1 32P  2



1 0 = 1 32

Donde los limites inferior y superior de integraci´on son el precio de cierre y el de equilibrio, respectivamente.

5. [2 puntos] Suponga un mercado de bien Y  en el que la oferta agregada es Y  = P 

 ₋

1. Hay dos consumidores, A y B , cuyas demandas son Y A = 3

−

2P  e Y B = 1

−

P , respectivamente. Se pide: (a) Obtenga la demanda agregada del mercado. Indique a qu´e precio entra cada consumidor en

(b) ¿Cu´al el excedente de cada consumidor en equilibrio? Basta con que escriba la correspondiente integral definida, no es necesario que la calcule.

Solution:

(a) Los consumidores A y B   entran a los precios 3/2 y 1, respectivamente. La demanda agregada es Y da =















0 si P 

 _≥

3₂ 3

₋

2P  si P 

 _∈



1, 3₂



4

₋

3P  si P 

 _≤

1

(b) Notemos que la empresa entra a precio 1 ofreciendo 0, luego en el equilibrio el consumidor B  no entra en el mercado (y por tanto obtiene excedente cero). Por tanto, el precio de equilibrio debe satisfacer

3

₋

2P  = P 

 ₋

1

lo que da lugar a P  = 4₃, que est´a en



1, 3₂



, como requiere la definici´on de Y da. El excedente del consumidor A es

E  p =

 

3 2 4 3 (3

₋

2P )dP  =



3P 

 ₋

P 2



3/2 4/3 = 1 36

Donde los limites inferior y superior de integraci´on son el precio de equilibrio y el precio de entrada en el mercado, respectivamente.