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3.3 Superposición de ondas; ondas estacionarias

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Academic year: 2021

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7_0_ ONDAS EN UNA CUERDA_FUNDAMENTOS Lo que sigue es una trascripción textual de parte de los capítulos 3 y 4 del libro (se incluyen, pasadas por un escáner, las figuras originales): ROEDERER, JUAN. ACÚSTICA Y PSICOACÚTICA DE LA MÚSICA. RICORDI. 1997.

3.3 Superposición de ondas; ondas estacionarias

“...

Un caso particularmente importante [de superposición de ondas] es aquel de dos ondas sinusoidales de igual frecuencia y amplitud viajando

en direcciones opuestas. Esto ocurre, por ejemplo, cuando una onda se

refleja en un punto dado (sin absorción), superponiéndose con la onda que va llegando. Estudiemos primero el caso de ondas transversales en una cuerda (Fig. 3.11). Sumando las contribuciones de cada componente, obtenemos otra onda sinusoidal de la misma frecuencia pero de diferente amplitud. El hecho sorprendente, sin embargo, es que el perfil de esta onda resultante ¡no se propaga en absoluto! Queda anclada en ciertos puntos N1, N2, N3 ... llamados nodos, los cuales no

vibran. Los puntos entre nodos vibran con diferentes amplitudes, según sea su posición. En particular, los puntos A1, A2, A3, . . . (a mitad de

camino entre los nodos), llamados vientres [Nota al pie: Menos frecuentemente llamados antinodos (N. Del T.)], vibran con el máximo de amplitud (el doble de aquella de cada onda componente). La Fig. 3.12 muestra sucesivas formas de la cuerda, cuando dos ondas sinusoidales de la misma amplitud y frecuencia viajan en direcciones opuestas. Esto se llama onda estacionaria. Los puntos oscilan, pero no hay ninguna evidencia de propagación. El perfil de la onda cambia de amplitud, pero no se desplaza, ni hacia la derecha ni hacia la izquierda. En un momento dado (t1), la cuerda exhibe una deformación máxima;

en otro (t5) la cuerda no tiene deformación alguna. Como veremos en el

próximo capítulo, las ondas estacionarias tienen un rol clave en música, especialmente en los mecanismos de generación sonora de los instrumentos musicales.”

(2)

“...

Un análisis de la Fig. 3.12 revela que la distancia lN entre dos nodos

vecinos N1, N2 o la distancia lA entre dos vientres A1, A2 es exactamente

una mitad de longitud de onda λ: 2 / λ = = A N l l (3.13)

Poro otra parte, la distancia lNA entre un nodo N1 y un vientre A1 es un

cuarto de longitud de onda:”

4 / λ = NA l (3.14)

Por supuesto, también hay ondas estacionarias longitudinales. Aparecen cuando dos ondas sonoras de la misma frecuencia y amplitud de variación de presión viajan en direcciones opuestas. ...”

“... La música está formada por tonos compuestos, cada uno de los cuales está formado por una superposición de tonos puros, los cuales debido a sus relaciones de frecuencia, aparecen como un único ente perceptual. Así surge un tercer atributo tonal fundamental: la cualidad del tono, o timbre, relacionado con el tipo de mezcla de sonidos puros, o

componentes armónicos, que forman el tono compuesto ...”

4.1 Ondas estacionarias en una cuerda

Consideremos el caso de una cuerda bajo tensión, fija en los puntos P y Q (Fig. 4.1), de longitud L y masa por unidad de longitud d. La fuerza de tensión T puede ser modificada a gusto, por ejemplo, cambiando la masa m del cuerpo suspendido, tal como se muestra en la figura. Ahora punteamos o percutimos la cuerda en un punto determinado. Dos ondas elásticas transversales (dos impulsos) se propagarán hacia la derecha y hacia la izquierda, alejándose de la región de perturbación inicial con una velocidad dada por la relación (3.3). Cuando alcancen los puntos fijos P y Q, estos impulsos de onda serán reflejados: un impulso positivo «hacia arriba» volverá como un impulso negativo «hacia abajo», y viceversa. Después de cierto tiempo (extremadamente corto, en virtud

de la alta velocidad de las ondas en una cuerda tensa) habrá ondas propagándose en ambas direcciones a lo largo de la cuerda. En otras palabras, tendremos energía elástica en forma de ondas «atrapadas» entre P y Q, dos puntos que permanecen en reposo. Si no hubiera pérdidas, esta situación se mantendría invariable y la cuerda continuaría vibrando indefinidamente. Sin embargo, la fricción y las pérdidas en P y Q irán disipando gradualmente la energía almacenada, y las ondas decaerán1. Por ahora ignoraremos este efecto.

En vista de lo expuesto en la Sec. 3.3, nos damos cuenta que el proceso descrito arriba se asemeja mucho a la situación que se presenta con una onda estacionaria. En realidad, puede demostrarse matemáticamente que

las ondas estacionarias son el único modo posible de vibración estable para una cuerda con extremos fijos, y en el que los puntos de anclaje P y Q asumen el rol de nodos.

Esto tiene una consecuencia muy importante. Entre todas las formas de ondas estacionarias imaginables, solo son posibles aquellas para las cuales ocurren nodos en P y Q. En otras palabras, únicamente son permitidas aquellas ondas sinusoidales que «entran» un número entero de veces entre P y Q (Fig. 4.2), es decir, para las cuales la longitud L de la cuerda es un múltiplo entero de la distancia entre nodos lN, dada por

1 Es precisamente esta pérdida de energía por unidad de tiempo a través de los puntos fijos (principalmente en el puente), la que se transforma en potencia sonora del cuerpo de resonancia de un instrumento de cuerda.

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la relación (3.13). Teniendo en cuenta esta relación, obtenemos la condición L = nLN = nλ/2, donde n es cualquier número entero 1, 2, 3,...

Esto nos dice que las únicas longitudes de onda permitidas (Fig. 4.2) son N L n 2 = λ n = 1, 2, 3, ... (4.1)

Usando la relación (3.8), encontramos que las únicas frecuencias de vibración de una cuerda son las siguientes:

1 2 1 nf d T L n d T fn = = = λ (4.2)

La frecuencia más baja posible f1 se obtiene para n = 1:

d T L f 2 1 1 = (4.3)

Esta es la llamada frecuencia fundamental de la cuerda vibrante. Obsérvese en la ecuación (4.2) que la frecuencia de cualquier vibración posible es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental. Estos son los llamados armónicos superiores de f1 (Sec. 2.7). Nótese en particular que el primer armónico (n = 1) es idéntico a la frecuencia fundamental; el segundo armónico f2 es la octava superior de f1; el tercer armónico es la duodécima (una quinta encima de una octava); el cuarto armónico es la decimoquinta (doble octava); etc. (Fig. 4.3). Los armónicos superiores son llamados también tonos parciales1.

La relación (4.3) nos dice que la frecuencia fundamental de oscilación de una cuerda es proporcional a su longitud y a la raíz cuadrada de su masa por unidad de longitud. Esto explica muchas propiedades características de las cuerdas de piano: en la parte superior del teclado,

1 Más precisamente, los parciales son los componentes de frecuencia más altas de una vibración compleja, sin importar si sus frecuencias son o no múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.

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las cuerdas son cada vez más cortas (frecuencia fundamental f1 cada vez más alta); si tenemos que afinar una cuerda determinada un poco más agudo, es necesario aumentar la tensión (f1 más alta) y recíprocamente; en la región de alturas graves, con el fin de ahorrar espacio y maximizar la potencia de salida, en lugar de acrecentar la longitud de la cuerda se incrementa su masa por unidad de longitud d (f1 más baja) rodeando la cuerda con un rollo de alambre adicional. En el violín, que solo tiene cuatro cuerdas de casi igual longitud, cada una debe tener diferente tensión y/o masa para que cada una pueda exhibir una altura propia diferente. Para variar la frecuencia fundamental f1 de una cuerda determinada, se cambia su longitud vibrante L presionando la cuerda contra la trastiera, introduciendo de ese modo un nodo en el punto de contacto.

La aparición natural de frecuencias discretas relacionadas en forma simple con una frecuencia fundamental, determinada por las condiciones del sistema, con todas las otras frecuencias «prohibidas”, recibe el nombre de «cuantización» y tiene un rol importantísimo en toda la física. Las diferentes formas discretas, permitidas, de vibración de un sistema físico, se llaman modos de vibración de ese sistema. La fundamental, la octava, la duodécima, etc., representan el primer, segundo, tercer, etc., modo de vibración de una cuerda bajo tensión. Las frecuencias que no corresponden a todos los modos posibles de vibración de una cuerda están dadas por la relación (4.2) en la que solo aparecen cantidades que dependen de la cuerda; los modos de vibración

son así una característica permanente del sistema físico particular considerado. Dado los modos posibles de vibración, ¿en cuales de ellos

vibrará la cuerda realmente? Esto estará determinado por la forma en que las vibraciones sean iniciadas, es decir, por el mecanismo primario de excitación. A causa de la propiedad de superposición lineal de las ondas, muchos modos de vibración pueden ocurrir simultáneamente sin

molestarse entre sí. En esta sección centraremos nuestra atención sobre

como una cuerda puede vibrar; en la próxima sección discutiremos la cuestión do como realmente vibrará en un caso dado.

Consideremos el caso de una cuerda vibrante en el cual sólo un modo de

vibración está excitado. ...”

4.2 Generación de ondas estacionarias complejas en

instrumentos de cuerda

“Existen dos formas fundamentales de excitar una vibración en una cuerda tensa: 1) un suministro de energía dado una única vez por medio de la acción de un golpe (piano) o de una pulsación (clavicémbalo, guitarra); y 2) un suministro de energía continuo por medio de una acción de frotamiento (instrumentos de la familia del violín). En ambos casos el resultado es una superposición de mucho modos activados

simultáneamente.

En otras palabras, los sonidos musicales generados en forma natural en las cuerdas contienen muchas frecuencias diferentes al mismo tiempo: aquellas que corresponden a los armónicos del sistema en vibración. La figura 4.4 muestra cómo esto puede ocurrir en la práctica: sumando el primer y, digamos, el tercer armónico, se obtiene como resultado una suposición que en un instante dado puede tener la forma de la figura. Cada modo se comporta independientemente, y la forma de la cuerda en cualquier instante estará dada por la superposición (suma) de los desplazamientos individuales, dictados por cada componente separadamente. ... La proporción relativa con que cada armónico interviene en la vibración resultante, determina (Secs. 1.2 y 4.8) el carácter particular, la cualidad o timbre del tono generado. La altura del tono compuesto de la cuerda está determinada por la frecuencia fundamental ...”

(5)

“...

Muchos modos de vibración aparecen juntos cuando una cuerda es puesta en vibración. ¿Qué es lo que determina cuáles, y cuánto de cada uno? Esto, en principio, está dado por la forma específica en que la cuerda es puesta en vibración, es decir, por el mecanismo primario de excitación. De como y dónde golpeamos, punteemos o frotemos la cuerda, depende que obtengamos diferentes mezclas de armónicos y, por ende, diferentes cualidades del sonido resultante.”

“... qué ocurrirá si la forma inicial sea aquella (más realista) mostrada en la Fig. 4.6, y que se asemeja a la forma inicial cuando punteamos la cuerda en el punto medio A entre P y Q? Para averiguarlo, superpongamos -es decir, sumemos linealmente- los casos de las figuras 4.5(a) y 4.5(b). Lo que obtenemos es la forma mostrada en la Fig. 4.7(a), que concuerda bastante bien con la forma inicial de la cuerda punteada de la figura 4.6. Por lo tanto, podemos anticipar que el modo fundamental y por lo menos el tercer armónico deberán estar presentes simultáneamente en la vibración de una cuerda punteada en el punto medio. Podemos mejorar en gran medida la aproximación de a la forma de la figura 4.6, sumando más armónicos superiores en proporciones adecuadas (Fig. 4.7b). Se pueden limar los serpenteos que quedan ,

agregando más y más armónicos superiores en proporciones adecuadas hasta que la forma deseada sea reproducida casi exactamente.

En todo esto no hay conjetura alguna: puede demostrarse matemáticamente que cualquier forma inicial arbitraria de una cuerda

puede ser reproducida con un grado arbitrario de precisión por medio de una determinada superposición de formas geométricas que correspondan a los modos de vibración armónicos de la cuerda (ondas

estacionarias). ...”

4.3 Espectros sonoros y resonancia

“Cuando una cuerda vibra simultáneamente en una serie de modos diferentes, las ondas sonoras generadas también son complejas. Cada componente armónico de la vibración original de la cuerda contribuye independientemente a la onda sonora resultante, con una frecuencia igual a la del modo correspondiente, y una intensidad y fase dadas por los procesos de transformación que intervienen. ...”

(6)

“...

Finalmente llegamos a un punto muy importante para la música. La curva de respuesta de un resonador es una característica invariable de un instrumento musical. Si, por ejemplo, el resonador de un instrumento tiene una región de resonancia alrededor de los 1.000 Hz, reforzará todos los armónicos armónicos superiores cuyas frecuencias caigan cerca de los 1.000 Hz, sin importar qué nota sea la que esté sonando (siempre que, por supuesto, la frecuencia fundamental de esa nota esté debajo de los 1.000 Hz), ni cuál sea el espectro de la vibración original de la cuerda. Una región de resonancia ancha, que refuerza los armónicos superiores que caen en un rango de frecuencias fijo, se llama

formante. Un instrumento musical (su resonador) puede tener varios

formantes. Se cree que los formantes, es decir, el reforzamiento de armónicos en bandas de frecuencias fijas, características del instrumento, son usados por el sistema auditivo como uno de los «rasgos» más importantes de identificación de un instrumento musical (Sec. 4.9). Una de las razones que apoya esta hipótesis es el hecho de que los formantes son la única característica común a la mayor parte de los sonidos de un instrumento determinado, mientras que el espectro de cada una de las notas individuales puede variar mucho de una a otra.”

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