67.31 Transferencia de Calor y Masa

13  10  Descargar (0)

Texto completo

(1)

6. Radiaci´on 3

6.1. Introducci´on . . . 3

6.1.1. El mecanismo f´ısico de la radiaci´on . . . 3

6.1.2. Cuerpo Negro, Leyes de Radiaci´on . . . 4

6.1.3. Intensidad de radiaci´on y Ley de Lambert . . . 6

6.2. Intercambio de energ´ıa radiante . . . 8

6.2.1. Radiaci´on en una cavidad . . . 8

6.2.2. Analog´ıa el´ectrica . . . 10

(2)
(3)

6.1

Introducci´

on

6.1.1 El mecanismo f´ısico de la radiaci´on Origen de la radiaci´on

Para una descripci´on cuantitativa de los mecanismos at´omicos y moleculares que participan del fen´omeno de la radiaci´on, es preciso acudir a la mec´anica cu´antica: en este curso nos limitaremos a una descripci´on cualitativa. Cuando se transfiere energ´ıa a un cuerpo, algunos de los ´atomos o mol´eculas que lo consti-tuyen pasa a estados excitados. Este estado no es estable y las part´ıculas tienden a retornar al estado de energ´ıa original. En el restablecimiento, emiten una cierta cantidad de energ´ıa bajo forma de ondas electromagn´eticas. La energ´ıa emitida es lo que llamamos radiaci´on. La potencia emisiva E(W/m2) nos indica la cantidad de energ´ıa radiante por unidad de tiempo y de ´area.

Caracter´ısticas de la radiaci´on, radiaci´on t´ermica. Formas de interacci´on de la radiaci´on con la materia

La radiaci´on electromagn´etica se caracteriza por su longitud de onda λ y su frecuencia νf de forma que la velocidad de propagaci´on de onda c = λνf. Asimismo, la radiaci´on manifiesta su naturaleza corpuscular ya que interact´ua con la materia por medio de cuantos discretos, fotones que tienen una energ´ıa E = hνf, donde h = 6,626× 10−34 es la constante de Planck. La cantidad de movimiento de cada fot´on es hνf/c.

La radiaci´on t´ermica est´a dada por el intervalo de longitudes de onda tales que al ser absorbido por un cuerpo, se transforma en energ´ıa cal´orica. El rango es:

λt´ermico∈ [0,1 . . . 100µm]

mientras que el espectro visible es λvisible ∈ [0,4 . . . 0,7µm] En un cuerpo real, no toda la energ´ıa inci-dente es absorbida sino que una parte es reflejada y otra transmitida por el mismo. Si consideramos el comportamiento global de un cuerpo, podemos definir los coeficientes:

de absorci´onα = Energ´ıa absorbida Energ´ıa incidente. de reflexi´onρ = Energ´ıa reflejada

Energ´ıa incidente. de transmisi´onτ = Energ´ıa transmitida

(4)

Edificios Humanos Mariposas Punta de aguja

Protozoos Moléculas Átomos Núcleo atómico

104 108 1012 1015 1016 1018 1020

1 K 100 K 10.000 K 10.000.000 K

¿Penetra la atmósfera terrestre?

Radio Microondas Infrarrojo Visible Ultravioleta Rayos X Rayos gamma

103 10−2 10−5 0,5×10−6 10−8 10−10 10−12 Tipo de radiación Longitud de onda (m) Escala aproximada de la longitud de onda Frecuencia (Hz) Temperatura de los objetos en los cuales la radiación con esta

longitud de onda es la más intensa

−272 °C −173 °C 9.727 °C ~10.000.000 °C Figura 6.1: Espectro electromagn´etico..Fuente

Luego, debe cumplirse que α + ρ + τ = 1. Este modelo simplista no tiene en cuenta que los cuerpos reales presentan coeficientes que son funci´on de la longitud de onda de la energ´ıa incidente.

6.1.2 Cuerpo Negro, Leyes de Radiaci´on

Un cuerpo negro es la superficie que absorbe la totalidad de la radiaci´on incidente, no importando el ´

angulo ni su longitud de la onda. Seg´un el coeficiente global, α = 1, no se produce reflexi´on de la radiaci´on. Luego, toda radiaci´on que proviene de un cuerpo negro es emitida exclusivamente por su superficie. Seg´un la ley de Stefan Boltzmann, la emisi´on vale

Eb =σT4 [W/m2] (6.1)

dondeσ = 5,67· 10−8W/m2K4 es la constante de Stefan-Boltzmann. Sin embargo, la emisi´on del cuerpo negro no es independiente de la longitud de onda: se rige por la ley de Planck que establece la variaci´on de la emisi´on

Ebλ =

C1λ−5

eC2/λT − 1 (6.2)

donde, si λ est´a en µm, C1 = 3,742· 108Wµm4m2 y C2 = 1,4389· 104µm K. Integrando la expresi´on (6.2) se recupera el resultado de Stefan-Boltzmann.

Por otro lado, la ley de Wien, establece el desplazamiento de los m´aximos de las curvas en funci´on de la temperatura de la emisi´on. Esta ley se puede deducir tambi´en a partir de la expresi´on de Planck. Resulta λmaxT = 2897µm K. Una consecuencia pr´actica de la ley de Wien es que cuanto mayor sea la temperatura de un cuerpo negro, menor es la longitud de onda en la cual emite.

(5)

10−2 10−1 100 101 102 λ[µm] 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Ebλ T = 5400 K T = 2000 K T = 1000 K T = 500 K T = 300 K Ley de Wien

Figura 6.2: Potencia emisiva monocrom´atica de una superficie negra a diferentes temperaturas. El pico de la curva se desplaza hacia las longitudes cortas para mayores temperaturas. La curva en negro indica la predicci´on de la teor´ıa cl´asica, a diferencia de la teor´ıa cu´antica que predice la forma correcta de las curvas. Ley de Planck, ley de Wien.

Cuerpos grises, Ley de Kirchoff.

Los objetos reales nunca se comportan como cuerpos negros ideales. La emisividad ε depende de la longitud de onda de la radiaci´on, la temperatura de la superficie, ´angulo de emisi´on y de propiedades como rugosidad, etc.

En algunos casos resulta conveniente suponer que existe un valor de emisividad constante para todas las longitudes de onda, siempre menor que 1 (que es la emisividad de un cuerpo negro). La simplificaci´on que nos sirve para resolver algunos casos en ingenier´ıa donde no es necesario introducir la expresi´on de Planck y eventuales c´alculos.

La ley de Kirchoff es una relaci´on entre la emisi´on monocrom´atica direccional y la absorci´on monocrom´atica direccional para una superficie que est´a en equilibrio termodin´amico con su alrededor.

ελ(T, θ, φ) = αλ(T, θ, φ) (6.3)

La ley establece que un cuerpo en equilibrio termodin´amico emite tanto energ´ıa como la que absorbe en cada direcci´on y en cada longitud de onda. Si esto no ocurriese, el cuerpo podr´ıa actuar como una bomba de calor absorbiendo desde una direcci´on y emitiendo en otra: podr´ıa refrigerar una direcci´on sin necesidad de trabajo... lo que ir´ıa contra el segundo principio de la termodin´amica. El mismo razon-amiento se extiende para el comportrazon-amiento espectral deε, luego, la ley de Kirchoff es una consecuencia de la aplicaci´on del segundo principio.

Otra forma de considerar el enunciado de Kirchoff es pensar dos cuerpos, el primero una cavidad y el segundo rodeado por el primero. Supongamos que el primer cuerpo es un cuerpo negro que se encuentra

(6)

a una temperatura T0 mientras que el segundo cuerpo, a la misma temperaturaT0, no lo es sino que su absorci´onα y su emisi´on ε son arbitrarias. Nuestro an´alisis es m´as simple si ε s´olo depende de la longitud de onda λ, aunque el resultado se puede extender para ε(λ, θ, ϕ). El cuerpo 2 recibe una cantidad de calor para una dadaλ, ˙qaλ =αλEbλA donde Ebλ es la potencia emitida por el cuerpo negro a la longitud de ondaλ y A es el ´area. Por otra parte, como el cuerpo 2 est´a inmerso en el 1 y a la misma temperatura, emite radiaci´on seg´un ˙qeλ =ελEbλA. La condici´on de equilibrio exige que ˙qeλ = ˙qaλ, luego, ελ =αλ, un resultado que s´olo depende de las propiedades espectrales del cuerpo 21.

Se desprende de la ley de Kirchoff que α = ε. Dado que el cuerpo negro se define como aquel en donde α = 1, en cuerpos reales α < 1 y entonces, ning´un cuerpo real podr´a emitir m´as que un cuerpo negro a la misma temperatura.

El cuerpo negro es un cuerpo ideal pero en algunas circunstancias, se puede aproximar el comportamiento de un cuerpo real al de un cuerpo negro.

Figura 6.3: Materializaci´on de un cuerpo negro.

6.1.3 Intensidad de radiaci´on y Ley de Lambert

Para considerar los efectos de la geometr´ıa en el intercambio por radiaci´on, debemos estudiar la manera en la cual los ´angulos de orientaci´on afectan la radiaci´on entre superficies como muestra la figura 6.4. La superficie circular dA emite radiaci´on en todas las direcciones. Una superficie de radio r recibe la radiaci´on y, en particular, una porci´ondAa de la misma. El calor que fluye hasta dAa ser´a proporcional al ´angulo s´olido2 dω que se establece desde dA. Si la superficie es esf´erica, dA

s = rdθr sin θdφ luego dω = sin θdθdφ. El flujo de calor depende tambi´en del ´angulo θ: en la figura 6.4 pueden observarse tres elementos de ´area como son vistos desdedA. En los dos casos extremos es f´acil ver el efecto: para θ = 0◦, el ´area coincide con dA ; por otro lado, para θ = 90◦, el ´area es nula.

Ahora podemos definir a la intensidad de radiaci´onI(θ, φ) como la cantidad de calor que fluye desde dA por unidad de ´angulo s´olido y por unidad de ´area proyectada ortogonalmente a la direcci´on considerada. sidAa percibe un flujo de calord ˙Q(θ, φ),

I(θ, φ) = d ˙Q(θ, φ)

dA cos θdω[W/m 2

] (6.4)

Si I(θ, φ) fuera independiente de la direcci´on, se dice que la radiaci´on es difusa. Si se cumple esta condici´on, se satisface la ley de Lambert3. Una forma pr´actica ocurre cuando dA es una superficie

1Se˜nalemos nuevamente que podemos extender ε

λ= αλ a ελ,θ,ϕ= αλ,θ,ϕ.

2As´ı como para una curva, el ´angulo se define a partir de dαr = dS en radianes, para una superficie es dω = dA/r2en

est´ereo-radianes

(7)

Figura 6.4: Elementos de superficie que intervienen en la definici´on de la intensidad.

esf´erica (en vez de un disco) negra. El flujo total por unidad de superficie que sale en este caso desde dA vale:

q = d ˙Q

dA =I cos θdω (6.5)

reemplazando la expresi´on para el ´angulo s´olido dω e integrando sobre el hemisferio, obtenemos la radiosidad J: J = Z 2π 0 Z 2π 0

I(θ, φ) cos θ sin θdθdφ (6.6)

Siendo una superficie difusa I es constante, luego J = πI. Si la superficie es negra, la intensidad la emisi´on es σT4 por unidad de ´area. Luego,

I = σT 4

π (6.7)

Los cuerpos negros o grises son por definici´on de radiaci´on difusa. En cuerpos reales, los no metales presentan su emisividad mayor para la direcci´on normal a la superficie, mientras que los metales la tienen en una cercana a la azimutal (Figura 6.5).

(8)

Figura 6.5: Variaci´on de la emitancia direccional con el ´angulo para algunos materiales.

6.2

Intercambio de energ´ıa radiante

6.2.1 Radiaci´on en una cavidad

Supongamos en primer caso dos superficies negrasA1yA2a temperaturasT1yT2respectivamente que se encuentran dispuestas como muestra la figura 6.6. Seg´un la ley de Stefan-Boltzmann, la el objeto interior

Figura 6.6: Intercambio de calor por radiaci´on en dos superficies emite una radiaci´on σT4

2A2. Si las superficies se encuentran en equilibrio, a temperaturas T2 = T1, el cuerpo absorbe σT4

2A2. Si el objeto tuviera una absortancia α, en equilibro la emisi´on ser´a igual a la absorci´on A2σT4α.

Si no hay equilibrio de temperaturas, la emisi´on esσT4

(9)

neto resulta:

˙

Q21=A2σ(T24− T 4

1) (6.8)

El intercambio de calor en algunas configuraciones geom´etricas se corresponde bien con el ejemplo anterior: 2 esferas conc´entricas, 2 cilindros largos coaxiales, 2 placas grandes enfrentadas.

Figura 6.7: No toda la energ´ıa radiada de 1 es absorbida por 2.

Factor de forma

Otras geometr´ıas pueden implicar que una parte de la radiaci´on emitida por una de las superficie no sea completamente absorbida por la restante, como se ve en el esquema de la figura 6.7. Es necesario definir un factor de forma

Fmn =

Potencia emisiva de m que llega a n Potencia emisiva de m en todo espacio

Fmn ≤ 1 y es funci´on del tama˜no, de la forma y de la orientaci´on de 2 superficies. En forma similar a (6.8),

˙

Q21 =F21A2σT24− F12A1σT14 (6.9)

Si ambas superficies estuviesen a la mima temperatura, ˙Q12 = 0 y F21A2 = F12A1. Como el factor de forma no depende de la temperatura, el resultado anterior es v´alido para a´un cuando las temperaturas son diferentes. La relaci´on se conoce como regla rec´ıproca. Entonces

˙ Q21 =F21A2σ(T24− T14) (6.10) En forma anal´ıtica, A2F21=A1F12 = Z A1 Z A2 cosβ1cosβ2 dA1dA2 πs2 (6.11)

Para configuraciones sencillas, el factor de forma se encuentra tabulado. Algunas propiedades ´utiles: Para un recinto cerrado

n X j=1 Fij = 1 F1,(2+3) =F12+F13, generalizando: Fij = n X k=1 Fik.

(10)

Figura 6.8: Determinaci´on anal´ıtica del factor de forma entre 2 superficies arbitrarias. 6.2.2 Analog´ıa el´ectrica

Cuerpos negros

La ecuaci´on 6.10) nos muestra el intercambio entre 2 superficies negras. Si llamamos potencia emisiva del cuerpo negro Eb =σT4, la forma lineal de (6.10) sugiere una analog´ıa el´ectrica.

˙ Q21=

Eb2− Eb1 1/F21A2 En forma general para 2 superficiesij:

˙ Qij =

Ebi− Ebj 1/FijAi

(6.12) Luego, las potencias emisivasEbi pueden asociarse a potenciales el´ectricas y la inversa del ´area afectada por el factor de forma puede asociarse a una resistencia espacial a la radiaci´on. El planteo nos permite ver con sencillez algunas configuraciones. Consideremos el caso de una pantalla (o escudo) que separa dos placas infinitas (Figura 6.9 ). En estado estacionario la pantalla no puede almacenar energ´ıa y los flujos de calor: ˙Q13 = ˙Q32. Como ˙Q1 = ˙Q13 y ˙Q2 =Q23, ˙Q1 =− ˙Q2. El circuito equivalente de la Figura 6.9 determina:

˙ Q1 =

Eb1− Eb2 1/A1F13+ 1/A3F32 Como las ´areas son las mismas yF13=F32= 1,

˙ Q1 =

Eb1− Eb2 2/A1

El efecto del escudo es reducir la mitad el intercambio por radiaci´on. Puede probarse que paran pantallas, las radiaci´on se reducem + 1 veces.

(11)

Figura 6.9: Pantalla. Analog´ıa el´ectrica.

Cuerpos grises

Figura 6.10: Esquema del intercambio de una superficie gris.

En el caso de superficies grises hay que agregar al an´alisis las caracter´ısticas de absorci´on, emisi´on y de reflexi´on de las mismas. La figura 6.10 muestra los flujos de calor radiativos para una superficie gris opaca (sin transmisi´on). Sobre ella incide una irradiaci´onG. La radiosidad J representa la radiaci´on que sale de la superficie, ya sea por emisi´on o por reflexi´on:J = εEb+ρG. Por otro lado, el flujo de calor es q = J− G, positivo si sale m´as de lo que entra.

q = εEb+ρG− G = εEb+ (ρ− 1)G q = εEb+ (ρ− 1)(J − q)

siendo α + ρ = 1 y α = ε, luego ε = 1− ρ.

q = εEb+ (−ε)(J − q) q(1− ε) = εEb+ (−εJ)

(12)

q = ε

1− ε(Eb− J) (6.13)

Tenemos as´ı definido el flujo de calor radiante neto a partir de una superficie gris en funci´on de la potencia emisiva de cuerpo negro Eb y de la radiosidad J. Si consideramos 2 superficies grises del tipo de la figura 6.6, de un cuerpo encerrado dentro de otro, los flujos de calor pueden definirse seg´un:

˙

Q12 =J1A1F12− J2A2F21

dondeJ1A1F12 representa la energ´ıa que recibe el cuerpo 2 a partir del 1 y J2A2F21 respectivamente la energ´ıa que recibe el cuerpo 1 a partir del 2. Recordando que A1F12 =A2F21,

˙ Q12=A1F12(J1− J2) Retomando el resultado de (6.13), ˙Q1 =q1A1 =A1 ε1 1− ε1 (Eb1− J1) y el flujo ˙Q2 =A2 ε2 1− ε2 (Eb2− J2). El balance de energ´ıa del problema estacionario es:

˙

Q1 = ˙Q12=− ˙Q2 Reemplazando, podemos despejar el valor del flujo de calor ˙Q12

Eb1− Eb2 1−ε1 ε1A1 + 1 A1F12 + 1−ε2 ε2A2 (6.14)

Para un problema donde los datos sean las temperaturas, el factor de forma y la emisividad de las super-ficies, obtenemos as´ı el valor del flujo de calor para superficies grises. Pensando en la analog´ıa el´ectrica, (1− εi)/εiAi representa una resistencia de la superficie i. Otras configuraciones pueden resolverse con la ayuda de la analog´ıa.

6.2.3 Intercambio entre n -superficies

La analog´ıa el´ectrica deja de ser conveniente cuando se tienen m´as de 3 superficies en juego. Una cavidad de m´ultiples superficies como la representada en la figura 6.11, precisa un planteo matricial. Para ello, supondremos que:

las superficies son grises y opacas.

Las temperaturas son conocidas en cada superficie. Son conocidos los factores de forma.

La conducci´on y la convecci´on son despreciables y el fluido presente es transparente y no radiante. Para cada superficie,

Ji =εiσTi4+ρiGi =εiσTi4+ (1− εi)Gi La energ´ıa incidente sobre cada superficie ser´a

Gi = n X

j=1 FijJj

(13)

Figura 6.11: Cavidad de n-superficies. . Entonces: Ji =εiσTi4+ρiGi =εiσTi4+ (1− εi) n X j=1 FijJj (6.15)

Figure

Actualización...

Referencias

  1. etico..F