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Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann

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(1)

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann

Facultad de Ciencias

CAMPOS GRAVITACIONALES

Lic. Juan Manuel Abanto Sáenz

Tacna – Perú

2003

(2)

DEDICATORIAS

¡GRACIAS POR TODO SEÑOR JESUSCRISTO!

“Tanto amó Dios al mundo que entregó su Hijo Unico, para que todo el que crea en él no se pierda, sino que tenga

vida eterna.” Juan 3,16

A todos los niños del mundo, especialmente a los niños de Irak que están sufriendo la barbarie del hombre. A la memoria de mis seres más queridos: Mi Madre MARÍA, mi hermano RICARDO RAFAEL, mi tía TERESA y a

mi abuelita ELCIRA. A mis hijos: Juan Ramón María del Carmen Elizabeth Soledad

Juan Manuel y Fernando Jesús,

quienes siguen siendo la razón más poderosa de mi existencia para seguir luchando en la vida.

A mis hermanos: Eloy Elizabeth Esther Oscar Fernando Ernesto (Chochi)

quienes nunca me abandonaron. A mi Padre JUAN MANUEL :

Quien sigue siendo es ejemplo de honradez,trabajo y perseverancia.

(3)

TEMARIO

Resumen Introducción

1. Fundamentos básicos 2. Los campos gravitatorios 3. Movimiento de una partícula en un campo gravitatorio 4. Campo gravitatorio constante 5. Las ecuaciones del campo gravitatorio central 6. Movimiento en un campo gravitatorio central 7. Colapso gravitatorio 8. Ondas gravitatorias 9. Radiación de ondas gravitatorias Conclusiones Bibliografía

(4)

RESUMEN

El presente trabajo trata de estudiar los medios por las cuales interaccionan las diversas masas existentes en el Universo. Partimos de los conceptos de campos gravitacionales, pasando luego por las definiciones de ondas gravitacionales, colapso gravitatorio y radiación gravitacional , conjuncionándose con la Teoría General de la Relatividad, aproximándose a la Cosmología. La idea es ver como existe similitud en los campos gravitacionales con los campos electromagnéticos, y que sucede con estos.

INTRODUCCION

Definitivamente los campos gravitacionales son los responsables de la estructura macro del Universo, lo que no incide en las estructuras atómicas y moleculares. Entran a discutirse conceptos y teoría como: el principio de equivalencia, la Gran Explosión las que quedan sumergidas en la Teoría General de la Relatividad: que trata sobre cuerpos acelerados y fuera enunciado por Albert Einstein en 1915.

La gravitación, a pesar del hecho de que es la más débil de todas las interacciones conocidas, es la primera interacción cuidadosamente estudiada, debido al natural interés del hombre en la Astronomía y que la gravitación es responsable de muchos fenómenos que afectan directamente nuestras vidas. Para describir las interacciones: nuclear o fuerte, electromagnética, débil y gravitacional, introducimos el concepto de campo. Entendiendo por campo una propiedad física que se extiende sobre una región del espacio y se describe por una función de la posición y el tiempo. Los griegos supusieron que la tierra era el centro geométrico del universo y que los cuerpos celestes se movían alrededor de la tierra, ellos consideraban que el hombre era el centro del Universo. Esta teoría geocéntrica fue aceptada como correcta hasta el siglo XVI, en que el monje polaco Nicolás Copérnico (1473-1543) propuso describir el movimiento de todos los planetas, incluyendo la tierra, con respecto al sol, el cual estaría en el centro.

Isaac Newton estableció la ley universal de gravitación: la interacción gravitacional entre dos cuerpos puede expresarse por una fuerza de atracción central proporcional a las masas de los

(5)

cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Cuando se observa que una piedra se suelta, de una determinada altura esta cae. Se dice que cae por que la tierra lo atrae. Pero la acción de la tierra sobre la piedra se produce de un modo indirecto. La tierra origina en torno suyo un campo gravitacional. Este campo actúa sobre la piedra, lo cual provoca su caída. Los cuerpos que se mueven bajo la acción del campo gravitacional experimentan una aceleración que no depende lo más mínimo ni del material ni del estado físico de la materia La teoría gravitacional no se limita a lo que el hombre pueda alcanzar a ver, sino al mismo equilibrio del Universo.

Los llamados campos gravitatorios o campos de gravedad tienen la propiedad fundamental de que todos los cuerpos se mueven en ellos de la misma manera, con independencia de la masa, con tal que las condiciones iniciales sean las mismas, esto se cumple tanto en al mecánica no relativista como en la relativista.

El hombre siempre ha buscado su origen en la interpretación de la aparición del Universo. Trata de explicar el origen del mismo, mediante las teorías físicas, que no son siempre las mismas ni las únicas.

La Tierra no está aislada en el espacio, sino que se halla sujeta a una gran cantidad de efectos externos, siendo el Sol el responsable de la mayoría de ellos ya que ejerce una interacción gravitatoria que mantiene a la Tierra en su órbita; el efecto gravitatorio de los demás planetas y de las estrellas mas lejanas es despreciable, pero el efecto gravitatorio de la Luna se nota en la generación de las mareas terrestres.

Desde los comienzos de la civilización, hace más de diez mil años, la humanidad siempre ha querido ver que hay “más allá”: a la cual llamamos espacio o Universo.

1. FUNDAMENTOS BASICOS

El movimiento de una partícula en un campo gravitatorio está determinado, en mecánica no relativista, por una función de

(6)

Lagrange que (en un sistema de referencia inercial) tiene la forma φ − = mv m L 2 2 (1)

En un sistema de referencia inercial y en coordenadas cartesianas, el intervalo ds viene dado por la relación:

2 2 2 2 2 2 dz dy dx dt c ds = − − − (2)

En un sistema no inercial de referencia, el cuadrado del intervalo aparece, pues, como una forma cuadrática en las diferenciales de las coordenadas de tipo general, que tiene la forma

k i ikdx dx g

ds2 = (3)

donde las gik son ciertas funciones de las coordenadas espaciales

x1, x2, x3 y de la coordenada temporal x°. Por consiguiente,

cuando utilizamos sistemas de referencia no inerciales, el

sistema cuadrimensional de coordenadas x°, x1, x2, x3 es

curvilíneo. De las cantidades gik, que determinan todas las

propiedades geométricas en cada sistema de coordenadas curvilíneas, diremos que representan la métrica del espacio-tiempo. La teoría de los campos gravitatorios, construida sobre la base de la teoría de la relatividad, se llama teoría de la relatividad general.

Anteriormente se había sugerido que los movimientos de los planetas y la caída de los cuerpos terrestres pudieran deberse a una propiedad de los cuerpos materiales, según la cual se atraerían mutuamente dicha sugerencia la hizo Isaac Newton. Pero antes de Newton ya otros científicos enunciaban leyes referentes al movimiento de los planetas, como las leyes de Kepler, que son:

Cada planeta se mueve alrededor del sol en una elipse, con el sol en uno de los focos.

El radio vector desde el sol al planeta barre áreas iguales en intervalos iguales de tiempo.

Los cuadrados de los períodos de dos planetas cualesquiera son proporcionales a los cubos de los semi-ejes mayores de sus

(7)

Newton enunció su ley que expresa: “todo objeto en el universo atrae a todo otro objeto con una fuerza que es proporcional a la masa de cada uno y varía inversamente con el cuadrado de la distancia entre ellos”. Este enunciado puede expresarse matemáticamente por la ecuación

22 1 r m m G F = (4)

donde m1 y m2, son las masas de los cuerpos que se atraen , r

su distancia mutua, y G una constante universal, cuyo valor es 2 2 11 10 67 6, x Nm kg G= −

Ya Tycho Brahe tuvo una idea diferente, de cualquiera de las propuestas por los antiguos: su idea fue que estos debates acerca de la naturaleza de los movimientos de los planetas se resolverían mejor si las reales posiciones de los planetas en el cielo se midieran con suficiente precisión. Brahe estudió durante muchos años las posiciones de los planetas, confeccionando voluminosas tablas, usadas posteriormente por Kepler.

Debemos tener presente que fue Roemer quien notó que a veces las lunas de Júpiter, parecían estar adelantadas respecto de su horario, y a veces atrasadas. Estas lunas se adelantaban cuando Júpiter estaba cerca de la Tierra y se atrasaban cuando Júpiter estaba más lejos de la Tierra .Difícilmente se hubiera podido explicar este fenómeno mediante la teoría de la gravitación. La razón es que se requiere un pequeño instante para ver las lunas de Júpiter debido al tiempo que demora la luz en viajar de Júpiter a la Tierra, y cuando está más lejos de la Tierra, el tiempo es mayor. Este fenómeno demostró que la luz no viaja instantáneamente, proporcionando el primer cálculo de la velocidad de la luz, esto fue hecho en 1656. A pesar de todo el entusiasmo que generó la ley de gravitación de Newton, esta no era correcta, ya que fue modificada por Einstein para tomar en cuenta la Teoría de la Relatividad. De acuerdo con Newton, el efecto gravitacional es instantáneo, argumentando Einstein que no podemos enviar señales más rápidas que la velocidad de la luz, de modo que la ley de gravitación debe estar equivocada; y, al corregirla para considerar los atrasos tenemos una ley llamada Ley de Gravitación de Einstein. Esta ley es entendible en la teoría

(8)

de la relatividad de Einstein, que todo lo que tiene energía tiene masa, masa que es atraída gravitacionalmente. Aún la luz, que tiene una energía tiene una “masa”. Por lo tanto cuando un haz de luz pasa cerca del Sol, hay una atracción sobre él por el Sol. A pesar de todo lo visto y estudiado no existe una explicación de la gravitación en términos de otras fuerzas en el presente.

La ecuac. (4) puede escribirse en una forma vectorial, sean r1 y

r2 los vectores de posición de las dos partículas. La fuerza

gravitatoria ejercida por m1 y r1 los vectores de posición de las

dos partículas. La fuera gravitatoria ejercida por ml sobre m2es

(

)

2 1 2 1 2 1 2 1 r r r r m Gm F − − = − (5)

La ecuac.(4) solo es aplicable a partículas o a cuerpos cuyas dimensiones sean despreciables frente a la distancia que los

separa; en otro caso, la distancia r1-r2 no queda definida con

precisión.

Si consideramos un cuerpo extenso de masa M y una partícula de masa m (fig.1).

Fig. 1

Dividiendo M en pequeños elementos de masa mi, cada uno de

ellos es atraído hacia m con una fuerza que llamaremos Fi.

Siendo la fuerza única

= i i F F (6) y P el punto arbitrario.

(9)

En la línea de acción de F se localiza el punto G a una distanciar de P tal que 2 r GmM F = (7)

siendo F la fuerza sobre M y -F la fuerza sobre m. El punto G se denomina centro de gravedad de M respecto al punto P; G, no está, en general, en el centro de masa de M, ni incluso sobre la recta que une el centro de masa con P.

La fuerza gravitatoria Fm que actúa sobre una partícula de masa

m en un punto r, debida a otras mi en puntos ri es

(

)

− = i i i i m r r r r G mm F 3 (8)

Si en vez de masas puntuales mi, tenemos una distribución

contínua de masa en el espacio con una densidad r(r), la fuerza sobre una masa puntual m en r es

(

) ( )

∫∫∫

− ρ = dV' r ' r ' r r ' r mG F 3 (9)

se define el campo gravitatorio

( )

m F r g = m (10) de ecuaciones anteriores

( )

(

3

)

r r r r G m r g i i i − − = (11)

( )

∫∫∫

(

) ( )

− ρ − = dV' r ' r ' r r ' r mG r g 3 (12)

El campo g(r) es la aceleración experimentada por una partícula situada en r, sobre la que no actúen más fuerzas que la gravitatoria.

(10)

Para la partícula m y mi, la energía potencial viene dada por i i r r Gmm mm V i − − = (13)

La energía potencial de una partícula de masa m en un punto r,

debida a un sistema de partículas mi, es entonces

i i m r r Gmm V − − = (14)

Definimos el potencial gravitatorio ς(r), en un punto r:

( )

( )

m r V r = m ς (15)

para un sistema de partículas

( )

− = i i i r r G m r ς (16)

Si ρ(r) representa una distribución continua de masa, su potencial gravitatorio es

( )

∫∫∫

( )

− = ' ' ' dV r r r G r ρ ς (17)

Se determina g, cuando se conoce ς , mediante la fórmula

ς

∇ =

g (18)

siendo una relación inversa

( )

=

r rsgdr

r .

ς (19)

Encontramos que las ecuaciones del campo gravitatorio son ρ π − = ∇.g 4 G (20) y ∇2ς =−4πGρ (21)

(11)

La Teoría de la Relatividad surgió del análisis de las consecuencias físicas que implicaba la ausencia de un sistema inercial de referencia. La Teoría de la Relatividad Especial que desarrolló Albert Einstein en 1905, trata problemas con relación a sistemas inerciales de referencia, que son sistemas de referencia que se mueven a velocidad constante con respecto a otros. La Teoría General de la Relatividad, propuesta por Einstein en 1915, trata problemas con relación a sistemas de referencia acelerados con respecto a otros. El logro principal de la Teoría General de la Relatividad es que ha liberado a la física de la necesidad de introducir el “sistema inercial” o “sistemas inerciales”.

2. LOS CAMPOS GRAVITATORIOS

Los llamados campos gravitatorio o campos de gravedad tienen la propiedad fundamental de que todos los cuerpos se mueven en ellos de la misma manera, con independencia de la masa, con tal de que las condiciones iniciales sean las mismas.

Esta propiedad de los campos gravitatorios hace posible establecer una analogía esencial entre el movimiento de los cuerpos en un campo gravitatorio y el movimiento de los cuerpos que no están situados en ningún campo exterior, pero que se considera desde el punto de vista de un sistema de referencia no inercial.

Las propiedades del movimiento en un sistema no inercial son, por consiguiente, las mismas que en un sistema inercial cuando existe un campo gravitatorio. En otras palabras, un sistema de referencia no inercial equivale a un cierto campo gravitatorio. Este es el llamado principio de equivalencia.

Es evidente que las cantidades gik se puede siempre considerar

simétricas respecto de los índices i y k, ya que están determinadas por las forma simétrica (3) donde gik y gki

aparecen como coeficientes de un mismo producto, dxidxk. En un

sistema de referencia inercia], cuando utilizamos coordenada

espaciales cartesianas x1,2,3 = x,y,z y el tiempo x0 = ct, las

(12)

k i para g g g g00 =1, 11 =

g

22= 33 =−1, ik =0 ≠ (22)

Llamaremos a un sistema de coordenadas

(cuadrimensional) con estos valores gik sistema galileano.

Lo mismo vale para los campos gravitatorios «reales». Todo campo gravitatorio no es sino un cambio en la métrica del espacio-tiempo, en correspondencia con cual el campo viene

determinado por las cantidades gik. Este importante hecho

significa que las propiedades geométricas del espacio-tiempo (su métrica, están determidas por fenómenos físicos y son propiedades invariables del espacio y del tiempo.

La teoría de los campos gravitatorios, construida sobre la base de la Teoría de la relatividad se llama Teoría de la Relatividad

General. Fue establecida por Einstein, (y finalmente formulada

por él en 1916), y representa probamente las más bellas teorías físicas existentes. Es notable que Einstein la desarrolló de manera puramente deductiva y tan sólo después se vio apoyado por observaciones astronómicas.

Un campo gravitatorio <<real>> no se puede anular por una transformación de coordenadas. Con otra palabras, en presencia de un campo gravitatorio el espacio-tiempo es tal que las

cantidades gik que determinan su métrica no pueden reducirse,

cualquiera que sea la transformación de coordenadas, a sus valores galileanos en todo el espacio. De un espacio-tiempo con estas características se dice que es curvo en contraposición al espacio-tiempo plano en el que es posible dicha reducción.

Se sigue, en particular, que el determinante g formado por las

cantidades; gik, es siempre negativo para un espacio-tiempo

real:

g <0 (23)

Un cambio en la métrica del espacio-tiempo representa también

un cambio en al métrica puramente espacial. A un conjunto gik

galileano en el espacio-tiempo plano, corresponde una geometría euclídea. En un campo gravitatorio, en cambio, la geometría del espacio pasa a ser no euclídea. Esto vale tanto para los campos gravitatorios «reales», en los que el espacio-tiempo es «curvo», como para los campos que resultan de que el sistema de

(13)

referencia es no inercial, campos que conservan el carácter plano del espacio-tiempo.

En el caso general de un campo gravitatorio variable arbitrario, la métrica del espacio no sólo no es euclídea, sino que además varía con el tiempo. Esto significa que las relaciones entre diferentes distancias geométricas cambian con el tiempo. Por lo tanto; la posición relativa de las «partículas de prueba» introducidas en el campo no puede mantenerse inalterada en ningún sistema de coordenadas. Así, si las partículas están colocadas sobre la circunferencia de un círculo y a lo largo de un diámetro, dado que la razón de la longitud de la circunferencia a la del diámetro no es igual a π y cambia con el tiempo, es claro que si las distancias entre partículas a lo largo del diámetro se conservan, las distancias entre las situadas sobre la circunferencia deben cambiar, y recíprocamente. Por consiguiente, en la teoría general de la relatividad, es imposible, hablando en términos generales, tener un sistema de cuerpos fijos unos respecto de otros. Este resultado cambia esencialmente el propio concepto de sistema de referencia en al teoría de la relatividad general con relación a su significado en al teoría especial.

3. MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN UN CAMPO GRAVITATORIO

El movimiento de una partícula material libre se determina, en teoría de la relatividad especial, a partir del principio de mínima acción: , ds mc S =− δ

= δ 0 (24)

Según el cual la partícula se mueve de manera que su línea de universo sea un extremal un par dado de puntos de universo, es decir, en nuestro caso una recta. El movimiento de una partícula en un campo gravitatorio ha de determinarse de acuerdo con el principio de mínima acción en la misma forma (24), dado que el campo gravitatorio no es sino un cambio en la métrica del espacio-tiempo, que se manifiesta, a su vez, sólo en

(14)

En vez de partir de nuevo directamente del principio de mínima acción, es más sencillo encontrar las ecuaciones del movimiento de una partícula en un campo gravitatorio mediante una generalización apropiada de la ecuación diferencial correspondiente al movimiento libre de una partícula en la teoría de la relatividad especial, es decir, en un sistema de coordenadas cuadrimensional galileano. Estas ecuaciones son

dui/ds = 0 o dui = 0, donde ui =dxi/ds es la cuadrivelocidad. La

generalización de esta ecuación al caso de coordenada curvilíneas es, claro está,

Dui=0 (25) Se encuentra: 0 2 2 = Γ + ds dx ds dx ds x d i k l kl i (26)

Ésta es precisamente la ecuación del movimiento buscada. Vemos, pues, que el movimiento de una partícula en un campo

gravitatorio está determinado por las magnitudes i

kl

Γ . La derivada

d2xi/ds2 =dui/ds es la cuadriaceleración de la partícula. Por

consiguiente, podemos llamar a la magnitud i k l

klu u mΓ

− la

«cuadrifuerza» que actúa sobre la partícula en el campo

gravitatorio. El tensor gik representa aquí el papel de los

«potenciales» del campo gravitatorio- sus derivadas determinan

la «intensidad» del campo i

kl

Γ .

Como antes, definiremos el cuadrimpulso de una partícula en un campo gravitatorio mediante la igualdad,

Pi = mcui (27) y su cuadrado es: p i pi =m2c2 (28) Substituyendo aquí i x S ∂ ∂ − / en de vez de pi, encontramos la

ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula en un campo gravitatorio:

(15)

0 2 2 = − ∂ ∂ ∂ ∂ c m x S x S gik i k (29) Substituyendo i x ∂ ∂ − ψ / en lugar de k; (

ψ

es el iconal),

encontramos la ecuación del iconal en un campo gravitatorio: 0 = ∂ ψ ∂ ∂ ψ ∂ k i ik x x g (30)

En el caso límite de pequeñas velocidades, las ecuaciones relativistas del movimiento de una partícula en un campo gravitatorio deben reducirse a las correspondientes ecuaciones no relativistas. Hay que tener en cuenta aquí que la hipótesis de que la velocidad es pequeña implica a su vez la condición de que el propio campo gravitatorio sea débil; si no lo fuera, una partícula colocada en él llegaría a adquirir una gran velocidad. Escribamos la ecuación (1) en al forma

φ − + − = mc mv m L 2 2 2 (31)

La acción no relativista S para una partícula en un campo gravitacional, por consiguiente, tiene la forma

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − = = . 2 2 dt c c v c mc Ldt S φ (32)

Elevando al cuadrado y prescindiendo de los términos que

tienden a cero para c→ ∞ , se encuentra.

(

2

)

2 2 2 2 dr dt c ds = + φ − (33)

Así, pues, en el caso límite la componente goo del tensor métrico

es igual a 2 2 1 c g = + φ (34)

(16)

4. CAMPO GRAVITATORIO CONSTANTE

De un campo gravitatorio se dice que es constante si es posible elegir un sistema de referencia en el que todas las componentes del tensor métrico son independientes de la coordenada temporal x°; ésta se llama entonces tiempo universal.

La elección de un tiempo universal no es del todo unívoca. Así, si sumamos x° una función arbitraria de las coordenada espaciales,

las gik seguirán sin contener xº; esta transformación corresponde

a la arbitrariedad en la elección del original del tiempo en cada punto del espacio. Además el tiempo universal se puede multiplicar por una constante arbitraria, es decir, la unidad para medirlo es arbitraria.

En rigor, únicamente el campo producido por un sólo cuerpo puede ser constante. En un sistema de varios cuerpos, su atracción gravitatoria mutua dará lugar a un movimiento, como resultado del cual el campo producido por ellos no puede ser constante.

El significado del tiempo universal en un campo gravitatorio constante es el siguiente: un intervalo de tiempo universal entre dos sucesos que ocurren en un cierto punto del espacio coincide con el intervalo de tiempo universal entre otros dos sucesos cualesquiera que ocurren en cualquier otro punto del espacio, con tal que estos dos sucesos sean respectivamente simultáneos con los sucesos del primer par. Pero al mismo intervalo de tiempo propio t. La relación entre tiempo universal y tiempo propio, se puede escribir ahora

0 00 1 x g c = τ (35)

aplicable a intervalos finitos cualesquiera.

En un campo gravitatorio débil podemos utilizar la expresión a proximada. 2 0 2 1 c c x φ τ = + (36)

(17)

y con la misma precisión, ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 0 1 2 c c x φ τ (37)

Consideremos la propagación de un rayo luminoso en un campo gravitatorio constante. Se sabe que la frecuencia de la luz es

igual a la derivada del iconal

ψ

respecto al tiempo. La

frecuencia, expresada en función del tiempo universal x°/c, es,

por consiguiente,

ω

0

=

c

ψ

x

0 Dado que la ecuación del

iconal (30) en un campo constante no contiene x explícitamente,

la frecuencia ω se conserva constante durante la propagación

del rayo de luz. En cambio, la frecuencia medida en función del tiempo es igual es diferente en puntos del espacio diferentes. Durante el movimiento de una partícula en un campo constante;

su energía se conserva, energía que está definida por ( / o)

x S c∂ ∂

− ,

es decir por la derivada de la acción respecto del tiempo universal; ello se sigue, por ejemplo, del hecho que x no aparece explícitamente en al ecuación de Hamilton-Jacobi. La energía definida de esta manera es la componente temporal del

cuadrivector impulso covariante pk = mcukiui . En un campo

estático ds2 = g

oo

dx

20-dl2, y para la energía que designamos aquí

por

ε

o, tenemos.

( )

0 2 2 00 0 00 2 0 00 2 0 dl dx g dx g mc ds dx g mc − = = ε (38)

Introduzcamos la velocidad de la partícula. 0 00dx g cdl d dl v = τ = (39)

Medida en función del tiempo propio, esto es, medida por un observador situado en el punto dado. Obtenemos entonces para la energía.

(18)

2 2 00 2 0 1 c v g mc − = ε (40)

Ésta es la cantidad que se conserva durante el movimiento de la partícula.

En el caso límite de un campo gravitatorio débil y pequeñas

velocidades, substituyendo 00 1 2 2 c g = + ϕ en (40) se obtiene, aproximadamente, ϕ + + = ε mc mv m 2 2 2 0 (41)

donde m es la energía, potencial de la partícula en el campo ϕ

gravitatorio, lo que está de acuerdo con la función de Lagrange (31).

5. LAS ECUACIONES DEL CAMPO GRAVITATORIO CENTRAL Estas ecuaciones se obtienen a partir del principio de mínima

acción δ

(

Sm+Sg

)

=0, donde S y S son las acciones del campo

gravitatorio y de la materia, respectivamente. La variación afecta

ahora al campo; gravitatorio, esto es, a las cantidades gik.

Calculemos la variación δ . Se tiene Sg

− Ω=δ

− Ω δ R gd gikRik gd

{

− δ + δ − + − δ

}

Ω =

Rik g gik Rikgik g gik g Rik d (42) Se deduce ik ik g g g g g δ

g

δ δ =− − − − = − 2 1 2 1 (43)

(19)

y substituyendo este resultado en la expresión anterior se encuentra:

⎟ − Ω+ − Ω ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Ω −gd R R g gd g R gd R ik ik ik ik ik

g

δ δ δ 2 1 (44)

En consecuencia, la segunda integral del segundo miembro de (44) es igual a

(

)

Ω ∂ − ∂ = Ω − δ d x W g d g R g l l ik ik (45)

y según el teorema de Gauss se puede transformar en la integral

de wl extendida a una hiper superficie que rodee al volumen de

cuatro dimensiones. Dado que las variaciones del campo son nulas en los límites de integración, este término es igual a cero.

Así, la variación δS g es igual a

⎟ − Ω ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = R R g gd k c S ik ik ik g π

g

δ δ 2 1 16 3 (46)

Nótese que si hubiéramos partido de la expresión

− Ω π − = G gd k c Sg 16 3 (47)

de la acción del campo, hubiéramos obtenido. Cómo es fácil ver,

(

)

(

)

δ Ω ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ − ∂ − ∂ π − = δ g d x g g G x g g G k c S ik l ik l ik g 16 3 (48)

Comparando este resultado con (46), Se encuentra la siguiente relación:

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ − ∂ − ∂ − = − l ik l ik ik ik x g g G x g g G g R g R 1 2 1 (49)

(20)

Para la variación de la acción correspondiente a la materia podemos escribir:

δ − Ω − = δ T g gd c Sm ik ik 2 1 (50)

donde Tik es el tensor energía-impulso de la materia (incluido el

campo electromagnético). La interacción gravitatoria representa un papel tan sólo en el caso de cuerpos con una masa suficientemente grande (debido a la pequeñez de la constante de la gravitación). En el estudio del campo gravitatorio se trata así, por lo general, de cuerpos macroscópicos.

El principio de mínima acción δSmSg =0, por lo tanto, teniendo

en cuenta las relaciones (46) y (50), a la igualdad:

⎟ − Ω= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 8 2 1 16 4 3 d g g T c T R R k c ik ik ik ik ik

g

δ π π (51)

de donde, dada la arbitrariedad de las ik

g δ : ik ik ik T c k R R

g

8 4 2 1 π = − (52) o, en componentes mixtas, k i k i k i T c k R R 84 2 1δ = π − (53)

Éstas son precisamente las ecuaciones del campo gravitatorio buscadas- las ecuaciones fundamentales de la teoría de la relatividad general. Se las llama ecuaciones de Einstein.

6. MOVIMIENTO EN UN CAMPO GRAVITATORIO CENTRAL Consideremos el movimiento de un cuerpo en un campo gravitatorio central.

(21)

Como en todo campo de estas características, el movimiento tiene lugar en un “plano” que pasa por el origen de coordenadas; elegiremos este plano como plano θ= π /2.

Se encuentra la siguiente ecuación : , 0 2 2 2 = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − c m S r r S e t c S e v v Ø 1 2 2 (54) donde, r r ev = 1− g (55)

(m´ es la masa del cuerpo que produce el campo; rg es su radio

gravitatorio). Siguiendo el método general de resolución de la ecuación de Hamilton – Jacobi, buscaremos una S que sea de la forma.

), (

0t M S r

S =−ε + φ + r (56)

con energía constante ε0 y momento cinético M. Substituyendo

esta expresión en (54), se encuentra la ecuación. , 2 2 2 2 2 2 2 0 c m r e r M c e v v

S

r⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − − − ε (57) de donde,

(

)

(

)

(

)

. . 2 1 2 2 2 0 4 2 4 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 dr r r r M r r c rr c m c m r dr e r M c m e c Sr g g v v ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + − ∫ = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∫ = − − ε ε (58)

La trayectoria viene determinada, como es sabido, por la

ecuación const

MS =

(22)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ∫ = r r r M c m c g 1 r Mdr 2 2 2 2 2 2 0 2

ε

φ (59)

Esta integral se reduce a una integral elíptica.

Para el movimiento de un planeta en el campo de atracción del Sol, la teoría relativista conduce tan sólo a una corrección insignificante respecto de la teoría de Newton, ya que las velocidades de los planetas son muy pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. En el integrando de la ecuación de la trayectoria (59), este último se refleja en el pequeño valor de la

razón rg/r, donde rg es el radio gravitatorio del Sol.

Para hallar las correcciones relativistas que afectan a la trayectoria, es conveniente partir de la expresión (58) correspondiente a la parte radial de la acción, antes de derivar respecto de M.

Efectuemos un cambio de la variable de integración haciendo.

(

)

´2 r r r rg = , esto es, ´ 2 r r rg ≅ ,

como consecuencia del cual el segundo término de radicando

toma la forma M2/r´2.

Desarrollemos el primer término en serie de potencias de rg/r´, con lo que se obtiene, dentro del orden de precisión requerido:

, 2 3 1 ) 4 ´ 2 ( 1 ´ ´ 2 2 1 2 2 2 2 2 ' 2 2 2 dr r c m M r m k m m r c m Sr

r

g g ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + = ε ε

ε

(60)

Donde para abreviar hemos prescindido del apóstrofo en r´ e

introducido la energía no relativista ε´ (sin energía en reposo).

Dado que la trayectoria está definida por la ecuación =

∂ ∂ + M Sr φ ,

const, el cambio del ángulo φ después de una revolución del

(23)

, r S M ∆ ∂ ∂ − = ∆φ

Introduciendo también en vez de la constante M una constante ς

definida por ς=cM/ω0 se obtiene

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = r r r r dr 0 2 2 2 1 1 1 ς φ . (61)

S prescindimos de la correcciones relativistas (rg→0), esta

ecuación da r = ς/cos , es decir, una recta que pasa a una distancia ς del origen. Para estudiar las correcciones relativistas procederemos de la misma manera que en el caso anterior.

Para la parte radial del iconal tenemos :

. ) ( ) ( ) ( 2 2 2 0 dr r r r r r r c r g g

− =ω ς ψ

Efectuamos exactamente las mismas transformaciones que antes llevaron de (58) a (60), se obtiene: . 2 1 ) ( 2 2 0 dr r r r c r

+ g −ς ψ

Desarrollando ahora el integrando en potencias de rg/r, se tiene:

, R arcosh ) ( (0) 0 2 2 0 (0) ς ω ψ ς ω ψ ψ c r r dr c r r r g = r + g − + =

donde (0) r

ψ corresponde al rayo clásico rectilíneo.

El cambio total en ψ, durante la propagación de la luz desde un

distancia muy grande R al punto r = ς más próximo al centro para volver de nuevo a la distancia R es igual a

ς ω ψ ψ ar r c rg r r 2 cosh 0 ) 0 ( + ∆ = ∆ ,

(24)

El cambio correspondiente del ángulo polar φ a lo largo del rayo

se obtiene derivando respecto de M = ςω0/c:

. 2 2 2 ) 0 ( ς ϑ ψ ψ φ − + ∂ ∆ ∂ − = ∂ ∆ ∂ − = ∆ R R r M M g r r

Finalmente, pasando al límite para R →∞, y observando que al

rayo rectilíneo corresponde ∆φ =π , obtenemos:

. 2 ς π φ rg + = ∆

Esto significa que el rayo de luz se curva bajo la influencia del campo de atracción: su trayectoria es una curva que presenta la concavidad hacia el centro (el rayo es <atraído> hacia él), de

manera que el ángulo formado por sus dos asíntotas de π en

ς ς δφ g 2 c 4km´ 2r = = (63)

Con otras palabras, el rayo de luz que pasa a una distancia ς del

centro del campo sufre una desviación dada por el ángulo δφ.

7. COLAPSO GRAVITATORIO

En la métrica de Schwarzschield g00se anula y g11 tiende a

infinito para r = rg (sobre la <<esfera de Schwarzschield >>).

Esta circunstancia podría prestar una base a la conclusión de que existe una singularidad en la métrica espacio-temporal y, por consiguiente, a la conclusión de que existe una singularidad en la métrica espacio-temporal y, por consiguiente, a la conclusión de que es imposible que exista un cuerpo (de masa dada) con un <radio> menor que el radio gravitatorio. En realidad, sin embargo, tales conclusiones sería de hecho incorrectas. Que así

es lo apunta ya el que el determinante g = -r4 sen2θ no

presenta ninguna singularidad en r = rg , de modo que la

(25)

efectivamente tan sólo de la imposibilidad de que exista el

correspondiente sistema de referencia para r < rg.

Para dilucidar el auténtico carácter de la métrica espacio-temporal en este dominio, efectuemos un cambio de coordenadas de la forma: , 1 ) (

− ± ± = r r dr r f ct c g τ R , ) ( 1 dr ct

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = r f r rg (64) Entonces ) ( ) ( 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

d

τ

f

dR

r

d

θ

sen

θ

d

ϕ

f r r ds g + − − − − =

Eliminaremos la singularidad en r = rg eligiendo f(r) = 1. Si se

hace f(r)= r rg , el nuevo sistema de coordenadas será también

síncrono( gtt = 1). Eligiendo primero los signos superiores en

(64), tendremos: , 3 2 ) / 1 ( ) 1 ( 2 / 1 2 / 3 2

r

r

g g g dr r r r r f c R = = − − = − τ

o bien

r

c

R

g r 1/3 3 / 2

)

(

2

3

⎥⎦

⎢⎣

=

τ

(65)

(hemos tomado igual a cero la constante de integración, que depende del origen del tiempo τ ). El elemento de intervalo es :

(26)

) ( g

d

sen

d

r

)

c

R

(

2

3

)

c

R

(

r

2

3

dR

d

c

ds

2g/3 2 2 2 3 / 4 3 / 2 2 2 2 2

ϕ

θ

τ

τ

τ

− − + θ =

⎥⎦

⎢⎣

(66)

En estos sistemas de coordenadas no existe singularidad sobre la esfera de Schwarzschild [a la que corresponde aquí la igualdad

(3/2)(R - cτ )=rg ]. La coordenada R es espacial en todos los

puntos, y τ , temporal. La métrica (66) es no-estacionaria. Como

en cualquier sistema de referencia síncrono, las líneas del tiempo son él líneas geodésicas. En otras palabras, las partículas de << prueba >> que se encuentran en reposo respecto al sistema de referencia, son partículas que se mueven libremente en el campo dado.

Consideremos la propagación de señales luminosas radiales. La

ecuación ds2 = 0

(para θ,φ = const) da para la derivada dτ /dR a lo largo del rayo:

(

)

r r c R r 2 3 1 dR dr c 1/3 g g + − + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = τ (67)

Los dos signos corresponden a las dos fronteras del <<cono>> de luz con vértice en el punto de universo dado.

De manera análoga, eligiendo en la transformación (64) los signos inferiores, obtendríamos un sistema de referencia << en expansión >>, con una métrica que difiera de la (66) en el

cambio de signo de τ . Corresponde dicho sistema a un espacio-

tiempo en el cual (en el dominio r < rg ) es imposible como antes

el reposo, pero la propagación de todas estas señales tiene un lugar alejándose del centro.

Los resultados expuestos pueden aplicarse al problema que plantea el comportamiento de los cuerpos de gran masa en la teoría general de la relatividad.

(27)

El estudio de las condiciones relativistas de equilibrio de un cuerpo esférico pone de manifiesto que, para un cuerpo cuya masa sea suficientemente grande, puede no existir un estado de equilibrio estadístico. Es evidente a priori que dicho cuerpo debe contraerse ilimitadamente (éste es el llamado colapso

gravitatorio).

En un sistema de referencia no ligado al cuerpo y galileano en el

infinito, el radio del cuerpo central no puede ser menor que rg.

Esto significa que según el reloj t de un observador alejado, el radio del cuerpo en contracción sólo asintóticamente, para t

→ , tiene al radio gravitatorio. Es fácil hallar la ley límite de

esta aproximación.

Una partícula sobre la superficie del cuerpo que se contrae se encuentra permanentemente en el campo gravitatorio de una

masa constante m – la masa total del cuerpo. Cuando r rg, las

fuerzas gravitatorias llegan a ser muy grandes; en cambio, la densidad del cuerpo (y con ella, también la presión) se conserva finita. Prescindiendo, por este motivo, las fuerzas de presión, reducimos la determinación de la dependencia r = r(t) del radio del cuerpo en función del tiempo al estudio de la caída libre de una partícula de prueba en el campo de la masa m.

La ley r(t) para la caída en campo de Schwarzschild se puede hallar (siguiendo el método de Hamilton-Jacobi) a partir de la

igualdad ∂S /∂E0 =const con la acción S dada por (56) y (58),

teniendo en cuenta, además, que para un movimiento puramente radial el momento cinético M = 0. De esta manera obtendremos: r r 1 mc r r 1 dr mc ct g 2 2 g 2 + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∫ = ε ε (68)

(para abreviar se ha prescindido del subíndice en ε0). Esta

integral diverge para rrg como r ln g

(

rrg

)

. De aquí se sigue

a ley asintótica: = −rg r const rg ct e − (69)

(28)

Aunque la velocidad de la contracción observada desde el exterior tiende asintóticamente a cero, la velocidad v de las partículas que caen, medida según sus tiempos propios, por el contrario crece, teniendo a la velocidad de la luz. En efecto, de acuerdo con la definición (40):

. 2 00 11 2 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = dr dt g g v v v a a (70)

tomando para g y 11 g ciertos valores dados y para dr/dt el 00

dado por (68), se encuentra que v2c2.

La aproximación al radio gravitatorio, que exige un tiempo infinito de acuerdo con el reloj de un observador exterior, supone solamente un intervalo finito de tiempo propio (tiempo medido en el sistema de referencia que acompaña al cuerpo). Esto es claro, sin más, por el análisis general expuesto anteriormente, pero es fácil comprobar directamente que así es calculando el

tiempo propio τ como integral invariante ds

c

1 . Efectuando el

cálculo en el sistema de referencia de Schwarzschid y tomando para la partícula que cae el valor dr/dt dado por (68), se obtendrá: 2 2 g g g 2 mc 1 r r dr dr r r 1 1 r r 1 dr dt c ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∫ = − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ = ε τ (71)

Esta integral converge para rrg.

Una vez alcanzado (según el ultimo propio) el radio gravitatorio, el cuerpo seguirá contrayéndose de forma que sus partículas alcanzan todas el centro al cabo de un tiempo propio finito. Este proceso, sin embargo, no es observable desde el sistema de referencia exterior; vimos que debajo de la esfera de Schwarzschild no parte señal alguna (en el sistema de referencia << en concentración>>).

Respecto del observador exterior, la contracción hacia el radio gravitatorio va acompañada de un << encerrarse en sí mismo>>

(29)

del cuerpo. El tiempo de propagación de las señales emitidas desde él tiende a infinito: para una señal luminosa es cdt =

dr/(1-rg/r) y la integral. r r dr ct g / 1− ∫ = (72)

diverge para rrg . Los intervalos de tiempo propio sobre la

superficie del cuerpo se ven acortados respecto de los intervalos

de tiempo t del observador alejado, en la razón 1−rg /r; por lo

tanto, cuando rrg todos los procesos sobre el cuerpo,

respecto del observador exterior, se << congelan>>, quedan inmovilizados. Este cuerpo <<congelado>> está en interacción con los cuerpos que lo rodean tan sólo mediante su campo gravitatorio estático.

La cuestión acerca del colapso gravitatorio de cuerpos no esféricos no se encuentra todavía actualmente aclarada en grado satisfactorio. Cabe afirmar, al parecer, que para pequeñas desviaciones respecto de la forma esférica, el colapso conduce (en relación con el sistema del observador exterior) al mismo estado de cuerpo <<congelado>> y en el sistema de referencia acompañante, al paso por debajo de la esfera de Schwarzschild. La suerte ulterior del cuerpo en el sistema acompañante, sin embargo, no está clara).

Para terminar, una observación todavía de carácter metódico. Hemos visto que, para un campo central en el vacío, el <<el mismo sistema observador exterior>>, inercial en el infinito, no es completo: no hay en él para las líneas de universo de las partículas que se mueven dentro de la esfera de Schwarzschild. En cambio, la métrica (66) es factible también dentro de dicha esfera, si bien tampoco este sistema de referencia es completo, en cierto sentido. En efecto, consideremos una partícula que se mueve radialmente en este sistema alejándose del centro. Su

línea de universo, para τ →∞, se dirige al infinito, para τ →−∞

debe acercarse asintóticamente a r = rg, puesto que, en la

métrica dada, dentro de la esfera de Schwarzschild el movimiento puede tener lugar solamente en dirección hacia el

centro. Por otra parte, el paso de una partícula de r = rg a

cualquier punto dado r >rg tiene lugar al cabo de un intervalo

(30)

consiguiente, la partícula debe alcanzar desde dentro la esfera de Schwarzschild antes de empezar a moverse por fuera de ella; pero esta parte de la historia de la partícula no puede describirse en el sistema de referencia dado.

Subrayaremos, sin embargo, que este carácter incompleto resulta solamente en la consideración formal de la métrica del campo en tanto que creado por una masa puntual. En un problema físico real, digamos en el colapso de un cuerpo que posee una extensión, no se da aquél carácter: la solución que se obtiene enlazando la métrica (66) con la solución dentro de la materia será, claro está, completa y describirá toda la historia de todos los movimientos posibles de las partículas (las líneas de

universo de las partículas que se mueven en el dominio r > rg

alejándose del centro, comienzan inmediatamente a partir de la superficie de la esfera, aun antes de su contracción por debajo de la esfera de Schwarzschild).

8. ONDAS GRAVITATORIAS

Consideremos un campo gravitatorio débil en el vacío. En un campo débil, la métrica del espacio-tiempo es <<casi galileana>>, es decir, podemos elegir un sistema de referencia en el que los componentes del tensor métrico son casi iguales a sus valores galileanos, que representamos por.

αβ

δ

αβ(0) =:−

g , gαβ(0) =o, g00(0) =1

(73)

Podemos, por consiguiente, escribirlas en la forma:

ik h g

gik = ik(0) + ,

(74)

donde las h son pequeñas correcciones determinadas por el ik

campo gravitatorio.

Si las h , son pequeñas, las componentes ik Γ , que se expresan kli

en función de las derivadas de la g , son también pequeñas. ik

(31)

podemos conservar en el tensor Riklm, sólo los términos que

figuran en el primer paréntesis:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ = i ilml l k km ml i ikl l k im iklm x x h x x h x x h x x h R 2 2 2 2 2 1 (75)

Para el tensor contracto R tenemos, dentro del mismo orden, ik

k lm k lm ik g R g R R = lim ≈ (0) lim o ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − = i kl l i k l k l i m l ik lm ik x x h x x h x x h x x h g R 2 2 2 2 ) 0 ( 2 1 (76) donde h = i i h .

Hemos elegido el sistema de referencia de manera que las g ik

difieren poco de las (0)

ik

g . Pero esta condición se conserva

también en una transformación de coordenadas infinitesimal, de

modo que podemos todavía imponer a las h cuatro condiciones ik

(igual al número de coordenadas) sin violar la condición de que las h sean pequeñas. Como condiciones suplementarias ik

elegiremos las ecuaciones. 0 = ∂ ∂ k k i x ψ h ikh k i k i δ ψ 2 1 − = . (77)

Hay que señalar que, incluso con estas condiciones, el sistema de coordenadas no queda determinado unívocamente; veamos qué transformaciones son todavía admisibles. En la

transformación i i i

x

x´ = +ξ , donde las ξi son cantidades

pequeñas, el tensor g se transforma en ik

ki , k i ik x x g g ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ξ ξ ´ ik es decir,

(32)

ki k i ik h h ξ ξ ξ ξ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ´ ik (78)

se ve entonces fácilmente que si las h satisfacen la condición , ik

las ´

ik

h satisfarán también esta condición, con tal que las ξi sean

soluciones de la ecuación

ξi =0 (79)

Donde simboliza el operador de d´Alembert.

= - 2 22 12 22 t c x x x g x m l ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ (0)lm

De la condición (77) se sigue que los últimos tres términos de la

expresión (76) de R se reducen entre sí, y encontramos: ik

2 1 = ik R h . ik

La ecuación del campo gravitatorio en el vacío toma la forma

k =0

i

h

(80)

Ésta no es sino la ecuación ordinaria de la ondas. Los campos gravitatorios, por consiguiente, al igual que los campos electromagnéticos, se propagan en el vacío con la velocidad de la luz.

Consideremos una onda gravitatoria plana. En una onda de este tipo el campo cambia solamente a lo largo de una dirección en el

espacio; elijamos el eje x1 = x en esta dirección. La ecuación

(80) pasa a ser entonces.

1 2 0 2 2 2 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ k i h t c x , (81)

(33)

Dado que posee una determinada energía, una onda gravitatoria produce en torno de sí un cierto campo gravitatorio adicional. Este campo es una cantidad de orden superior (de segundo orden) respecto del campo de la propia onda, ya que la energía que lo produce es una cantidad de segundo orden.

Como condiciones iniciales para el campo arbitrario de una onda gravitatoria hay que fijar cuatro funciones arbitrarias de las coordenadas: debido al carácter transversal del campo, hay sólo

dos componentes independientes h y, además, debemos fijar αβ

sus derivadas primeras respecto del tiempo. Aunque aquí hemos llegado a este resultada partiendo de la propiedades de un campo gravitatorio débil, es claro que el hecho de que sean 4 funciones arbitrarias no se puede vincular a esta hipótesis y vale para cualquier campo gravitatorio libre, es decir, para cualquier campo que ni esté ligado a masas gravitatorias.

9. RADIACION DE ONDAS GRAVITATORIAS

Consideremos ahora un campo gravitatorio débil producido por cuerpos cualesquiera que se mueven con velocidades pequeñas respecto de la velocidad de la luz.

Debido a la existencia de materia, las ecuaciones del campo gravitatorio diferirán de la simple ecuación de las ondas □

) 80 ( 0 hK

i = en que, en el segundo miembro de la igualdad,

aparecerán términos asociados con el tensor energía impulso de la materia. Escribiremos estas ecuaciones en la forma.

2 1 □ k i k i c k τ π ψ = 8 4 , (82)

donde se han introducido, en vez de las k

i k , las cantidades , 2 1 h h k i k i k i δ

ψ = − mas conveniente en este caso, y donde k

i

T

representa las expresiones adicionales que se obtienen al pasar, en las ecuaciones exactas de la gravitación, al caso de un campo

(34)

débil dentro de la aproximación que estamos considerando. Es

fácil comprobar que las componentes 0 0

0 yTa

T se obtienen

directamente a partir de las correspondientes componentes

k i

T separado en ellas los términos cuyo orden de magnitud es el

que nos interesa; en cuanto a las componentes a

Tβ , términos de

segundo orden que producen de R kR

i k i δ 2 1 − Las cantidades k i ψ satisfacen la condición (77), k k ix ∂ψ / =0. De

cierta ecuación se sigue que esta misma ecuación vale las

τ

k

i : 0

x

k k i =

τ

(83)

Valiéndose de las ecuaciones que preceden, consideremos el problema de la energía radiada en forma de ondas gravitatorias por los cuerpos en movimiento en la <<zona de ondas>>, es decir a distancias grandes comparadas con la longitud de las ondas radiadas.

En principio, todos los cálculos son completamente análogos a los que efectuamos en el caso de las ondas electromagnéticas. Las ecuaciones (82) de un campo gravitatorio débil tienen la misma forma que la ecuación de los potenciales retardados. Por ello escribir sin más su solución general en la forma: =−

( )

R dV c k 4 c r t k i 4 k i τ ψ (84)

Dado que la velocidades de todos los cuerpos en el sistema son pequeñas, para el campo a gran distancia del mismo podemos escribir

( )

dV R c k 4 c R k i 0 4 k i =−

τ τ 0 ψ (85)

(35)

Donde Ro es la distancia a partir del origen de coordenadas, situado en un punto cualquiera interior al sistema; para abreviar, en lo que sigue prescindiremos del

índice

c R

to es el integrando.

Para calcular estas integrales utilizaremos las ecuaciones

(105.2) Bajando índices en la k

i

τ y separando las componentes

espaciales y temporal, escribiremos (83) en la forma.

00 =0, ∂ ∂ − ∂ ∂ χ τ χ τ α γ αγ 0. 0 00 0 = ∂ ∂ − ∂ ∂ χ τ χ τ γ γ (86)

Multiplicando la primera ecuación por χβ e integrando en todo el

espacio se obtiene:

(

)

∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ dV dV dV dV γ αβ β αγ β γ αγ β α χ τ χ τ χ χ τ χ τ χ0 (87)

Dado que en el infinito τik =0, la primera integral del segundo

miembro se anula, en virtud del teorema de Gauss. Sumando a la ecuación restante esta misma ecuación con índices transpuestos y dividiendo el resultado por 2, se encuentra:

(

)

+ ∂ ∂ − = dV dV α b β α αβ χ τ χ τ χ τ 0 0 0 2 1 (88)

Multipliquemos ahora la segunda ecuación (86) por χαχβ e

integremos en todo el espacio. Una transforma análoga conduce a

(

)

=−

+ ∂ ∂ dV dV α β β α β αχ τ χ τ χ χ τ χ0 00 0 0 (89)

(36)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = . 2 1 00 2 0 dV dV α β αβ χ τ χ χ τ (90)

Las integrales de todas las ταβ aparecen así expresadas en

función de integrales que contienen únicamente la componente 00

τ . Pero esta componente, conforme se demostró antes,

coincide con la correspondencia componente τ00 del tensor

energía – impulso y, con precisión suficiente, se puede escribir en la forma: 2 c µ τ00 = (91)

Substituyendo este resultado en (90) e introduciendo el tiempo t

= x0/c, se encuentra para (85).

∂ ∂ − = x x dV t R c k α β αβ µ ψ 22 0 4 2 . (92)

A gran distancia de los cuerpos, las ondas se pueden considerar planas (en regiones del espacio no demasiado grandes). Por lo tanto, podemos calcular el flujo de energía radiada por el

sistema a los largo, por ejemplo, del eje x1. En ésta figuran

componentes h2323y h22h3322 −ψ33. De (92) se deduce para

ellas las expresiones.

) D D ( R c 3 k 2 h h . D R c 3 k 2 h 22 33 0 4 33 22 23 0 4 − =− − = 23 (93)

donde hemos introducido el tensor

(

)

− = 2 , dV x x Dαβ µ 3xα β δαβ y (94)

el <momento cuadripolar> de las masas. Resulta así para el flujo

de energía a lo largo del eje x1 la expresión.

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + = 2 23 33 22 2 D D D R c k ct 2 2 5 10 36π . (95)

(37)

Una vez conocida la radiación en la dirección del eje x-1, es fácil

determinar la radiación en una dirección arbitraria definida por el vector unitario n. Para ello hemos de construir, con las

componentes del tensor Dαβ y del vector nα un escalar,

cuadrático en las Dαβ que para n1 = 1 y n2 = n3 = 0 se reduzca

a la expresión que aparece dentro del paréntesis recto en (95). El resultado a que se llega para la intensidad de la energía radiada dentro del ángulo sólido ds es:

σ π Dαβnαnβ Dαβ DαβDαγnβnγ d c k dI ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = 2 2 5 2 1 ) ( 4 1 36 . (96)

La radiación total en todas direcciones, es decir, la pérdida de

energía del sistema por unidad de tiempo ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− dt dξ , se puede hallar calculando el valor medio del flujo respecto de todas las direcciones y multiplicando el resultado por 4 π . Se llega así a la siguiente expresión de la pérdida de energía:

2 5 45 αβ ξ D c k dt d = − (97)

Es necesario observar que el valor numérico de esta pérdida de energía, incluso para objetos astronómicos, es tan pequeño que sus efector sobre el movimiento, aun después de intervalos de tiempo cósmico, es completamente despreciable (así, para las estrellas dobles la pérdida de energía por año por año resulta ser

(38)

CONCLUSIONES

Se demuestra la vigencia de toda la Teoría General de la Relatividad para el entendimiento de los campos gravitatorios y nos da una idea concreta de la expansión del Universo.

Al estudiar los campos gravitacionales se demuestra que se va perdiendo energía, energía una vez detectada nos podrá decir la edad del Universo.

BIBLIOGRAFÍA

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Referencias

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