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SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE MATLAB Y SU APLICACIÓN EN INGENIERÍA

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(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES “ARAGÓN”

DIVISIÓN DE LAS CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Y LAS INGENIERÍAS

CARRERA DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

“VII ENCUENTRO MULTIDISCIPLINARIO DE INVESTIGACIÓN 2010” AVANCES DE INVESTIGACIÓN:

“SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES MEDIANTE MATLAB Y SU APLICACIÓN EN

INGENIERÍA”

EJE TEMÁTICO:

LA INVESTIGACIÓN EN LAS CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS E INGENIERÍAS

.

(2)

VII ENCUENTRO MULTIDISCIPLINARIO DE INVESTIGACIÓN 2010 “SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MEDIANTE MATLAB Y SU APLICACIÓN EN INGENIERÍA” Autor: Ing. Luis Lorenzo Jiménez García

Prof.. de la Facultad de Estudios Superiores Aragón-UNAM. .

Resumen. Los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan para resolver muchos problemas de la ciencia y la ingeniería. La solución numérica de dichos sistemas la forman una gran variedad de algoritmos, como eliminación de Gauss, Gauss-Jordan, Gauss-Seidel, Montante, Jacobi, Lu y Cholesky entre otros, que de una manera u otra resuelven el sistema de ecuaciones lineales (si tiene solución). Sin embargo, cuando se trata de problemas muy complejos en donde intervienen muchas ecuaciones, se requiere de muchas operaciones aritméticas que pueden provocar caer en el tedio y el aburrimiento por tanto cálculo, entonces, debe emplearse una alternativa para el aprendizaje. Actualmente, los Métodos Numéricos tienen auge con la llegada de las computadoras y en especial para resolver sistemas de ecuaciones lineales que requieren cálculos matemáticos extremadamente complejos. Para el desarrollo de los algoritmos se ha empleado el paquete de cálculo numérico, simbólico y gráfico MatLab. Este software constituye una poderosa herramienta para resolver problemas de ingeniería, dónde están involucradas los sistemas lineales por sus algoritmos implementados a través de sus comandos y funciones. MatLab se debe usar apropiadamente y no viene a sustituir el conocimiento impartido en el aula, se debe empelar como un recurso didáctico para hacer más atractiva la enseñanza aprendizaje de los Métodos Numéricos.

Palabras claves: ecuaciones lineales, sistemas, métodos, comandos, funciones, gráficas.

Summary. The systems of linear equations are used to solve many problems of science and engineering. The numerical solution of these systems forms a great variety of algorithms, like elimination of Gaussian, Gaussian-Jordan, Gaussian-Seidel, Post, Jacobi, Lu and Cholesky among others, who of a way or another one solve the system of linear equations (if he has solution). Nevertheless, when one is very complex problems where many equations take part, it is required of many arithmetical operations that can cause to fall in the boredom and the boredom therefore calculation, then, must be used an alternative for the learning. At the moment, the Numerical Methods have height with the arrival of the computers and to especially solve systems of linear equations that require extremely complex mathematical calculations. For the development of the algorithms the package of numerical calculation, symbolic and graphical MatLab has been used. This software constitutes a powerful tool to solve engineering problems, where the linear systems by their algorithms implemented through their commandos and functions are involved. MatLab is due to use appropriately and it does not come to replace the knowledge distributed in the classroom, is due to empelar like a didactic resource to make education more attractive learning of the Numerical Methods.

Key words: linear equations, systems, methods, commandos, functions, graphs “SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

(3)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA. Aplicación de los comandos y funciones MatLab para la solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales en ingeniería y su implementación, así como el empleo de las funciones gráficas de MatLab para representar geométricamente dichos sistemas.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. El uso de las tecnologías se ha utilizado como recurso didáctico en la búsqueda de nuevos métodos de enseñanza-aprendizaje. Estos avances tecnológicos han generado software de aplicación (como MatLab) que hace que sea especialmente interesante reflexionar acerca de cómo esas tecnologías pueden modificar los procesos de enseñanza y aprendizaje de los Métodos Numéricos. Las experiencias de más de 30 años de actividades académica en el área de físico matemáticas y en especial de la impartición de la asignatura de Métodos Numéricos a los estudiantes de las diferentes carreras de ingeniería de FES Aragón, ha demostrado que el uso de MatLab como un recurso didáctico de apoyo en la solución de problemas, propicia y despierta el interés por la parte algorítmica y analítica que contiene los Métodos Numéricos. No se debe olvidar que estas tecnologías en sí mismas no promueven el aprendizaje y no constituyen ninguna panacea de carácter universal ni ninguna garantía de eficacia pedagógica, todo dependerá de la opción y concepción pedagógica por la cual se elija diseñar un determinado modelo educativo. Por último, basado en la experiencia, se ha hecho una investigación de corte cuantitativo, cuya fuente de investigación por profundidad es descriptiva. La información se obtuvo en forma experimental, siguiendo una metodología cuantitativa y de investigación comparada.

DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA. El presente trabajo contempla cubrir los métodos de solución numérica para resolver sistemas de ecuaciones lineales, mediante las funciones y comandos MatLab \, inv, rref, rrefmovie, solve, linsolve, lu, chol y eig, que ayuden al proceso enseñanza aprendizaje de los Métods Numéricos a los alumnos de ingeniería mecánica eléctrica, ingeniería industrial, ingeniería mecánica e ingeniería eléctrica electrónica.

OBJETIVOS:

 Enseñar al alumno diversas técnicas numéricas para encontrar (si existe) la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

 Aplicar los métodos de eliminación de Gauss, matriz inversa, Gauss-Jordan, y Factorización de LU y Cholesky, para obtener la solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales.

 Aplicar las capacidades de visualización gráfica de MatLab, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales en ingeniería.

(4)

Por sistema de ecuaciones lineales se entiende un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente y que presentan la siguiente estructura:

M N N M M M M N N N N N N b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a                     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 2 2 1 1 3 3 3 33 2 32 1 31 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11 (1)

Este sistema de M ecuaciones algebraicas lineales con N incógnitas puede escribirse en forma matricial como:

B X AMxN  donde:                    N M M M M N N N x M a a a a a a a a a a a a A . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 1 2 4 2 2 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1                  N x x x X . . 2 1                  M b b b B . . 2 1 (2)

La matriz de coeficientes A se llama matriz del sistema. La matriz formada por A, a la que se le ha agregado el vector de términos independientes B como última columna, se le llama la matriz ampliada o matriz aumentada del sistema de ecuaciones, que se representa por [A | B] y X es el vector de incógnitas.

Antes de proceder a resolver un sistema de ecuaciones es necesario determinar si dicho sistema tiene o no solución y, en caso de tenerla, cuántas posibles soluciones tiene. A continuación se presentan las diversas alternativas:

lineales ecuaciones de Sistema                        ado Indetermin trivial) (solución o Determinad Compatible Homogéneo le Incompatib ado Indetermin o Determinad Compatible homogéneo No

(5)

Si el vector de términos independientes B del sistema dado en (2) es diferente de cero se dice que el sistema de ecuaciones es no homogéneo y en caso contrario el sistema es homogéneo.

Sistema compatible o consistente. Es aquél que tiene solución y en este caso se cumple que (Teorema de Rouché-Frobenius):

rango[A] = rango [ A | B ]

El rango de una matriz es el número de columnas linealmente independientes. También es el orden de determinante no nulo de mayor orden que puede obtenerse de esa matriz.

Sistema incompatible o inconsistente. Es aquél que no tiene solución y cumple la relación:

rango[A] < rango [ A | B ]

Sistema determinado. Es un sistema compatible que presenta solución única y en este caso se verifica que:

rango[A] = número de incógnitas

Un sistema homogéneo que es determinado tiene únicamente la solución trivial X=0.

Un sistema compatible que presenta infinidad de soluciones se conoce como sistema indeterminado y se caracteriza por:

rango[A] < número de incógnitas

2. COMANDOS Y FUNCIONES MATLAB PARA SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

La siguiente tabla muestra las funciones y comandos empleados en MatLab para la solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales, valores característicos (eigenvalores) y vectores característicos (eigenvectores) de una matriz no singular.

Función Descripción

syms x y z . . . t Convierte las variables x y z . . . t en simbólicas. solve(„ec1,ec2,

…ecn‟,‟x1,x2,…xn`)

Resuelve n ecuaciones lineales simultáneas ec1, ec2,… ecn. (Sistema de las variables x1, x2,… xn).

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independiente del sistema de ecuaciones.

X = A\B Resuelve el sistema triangular A*X=B. Emplea eliminación de Gauss.

X = inv(A)*B Resuelve el sistema A*X=B. Emplea la matriz inversa.

X = rref([A, B])

Obtiene la matriz reducida escalonada por renglones de A, utilizando el método de Gauss-Jordan, en la cual, la diagonal principal tiene 1 y los demás elementos 0. El número de renglones no nulos de rref.(A) es el rango de A. Además, muestra cuando un sistema es incompatible o indeterminado mediante el vector de términos independientes B.

rrefmovie( [A, B] ) Muestra el procedimiento paso a paso de la solución del sistema de ecuaciones lineales haciendo, incluso, cambio de renglones para facilitar los cálculos, mostrando el resultado final.

[L , U] = lu(A)

Descomposición (Factorización) LU. Devuelve una matriz triangular superior U y una matriz triangular inferior L (triangularizable mediante permutación). Se cumple que A=L*U. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales mediante la operación: X = U \ ( L\ B).

U = chol(A)

Descomposición (Factorización) de Cholesky de una matriz simétrica y definida positiva. Devuelve la matriz triangular superior U de A. Sólo se utiliza la diagonal y la parte triangular superior de A. Si A no es definida positiva devuelve un error. Se cumple que A = U' * U. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales mediante la operación X = U \ ( U‟ \ B).

A‟ Matriz transpuesta de A.

inv(A) Calcula, si existe, la matriz inversa de la matriz cuadrada A (A-1).

det(A) Determinante de la matriz cuadrada A. rank(A) Rango de la matriz A.

e = eig(A)

Halla los valores característicos (eigenvalores) de la matriz cuadrada A. Es decir, calcula directamente las raíces que definen al polinomio característico de la matriz A.

[ V, D] = eig(A,B)

Halla la matriz diagonal D de valores característicos

generalizados de la matrices cuadradas A y B y una matriz V, cuyas columnas son los vectores característicos

correspondientes, cumpliéndose que A*V=B*V*D.

P = poly(A) Calcula los coeficientes del polinomio característico de la matriz cuadrada A.

(7)

2.1 Método de Eliminación de Gauss.

El software MatLab encuentra la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, dadas en (3.1), mediante el método de eliminación de Gauss usando la forma dada en el sistema (3.2) mediante la operación: X = A \ B. Es decir, usa el operador aritmético “ \ “ (División izquierda de la matriz).

Ejemplo 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de eliminación de Gauss: 15 5 2 21 8 4 7 4            z y x z y x z y x                5 1 2 1 8 4 1 1 4 A             15 21 7 B (3) Solución:

Escribiendo el sistema de matrices dado en (3) en forma de vectorial, tenemos: >> A = [4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5]; B = [ 7; -21; 15] B = 7 -21 15 >> X= A\ B X = 2 4 3 Nota: La solución es X = 2, Y = 4, Z = 3

Con ayuda de MatLab podemos visualizar el comportamiento gráfico del sistema de ecuaciones lineales dado en (3)

Usando el comando surf para graficar, tenemos las figuras 1, 2 y 3: >>[x y] = meshgrid(-5:0.5:10);

>> z = 7 - 4*x + y;

(8)

>>surf(x,y,z) >> xlabel('Eje X') >> ylabel('Eje Y') >> zlabel('Eje Z')

>> hold on % Permite graficar el sistema sobre la misma figura.

>>z = -21 - 4*x + 8*y;

Realiza la gráfica de la segunda ecuación >>surf(x,y,z)

>> z = 15 + 2*x - y;

Realiza la gráfica de la tercera ecuación >>surf(x,y,z)

(9)

Figura 2. Representación gráfica de la ecuación 1 y 2 del sistema (3)

(10)

Se obtienen los tres planos de la figura 3 interceptados en el punto (2, 4, 3). Recuerde que se puede observar mejor el punto de intercepción en la ventana gráfica de MatLab, rotando la figura (rotate 3D), en la barra de herramienta de Figure. Como se puede observar en la figura 3 es muy difícil determinar visualmente el punto de intercepción del sistema de las tres ecuaciones lineales, por lo que son necesarios los métodos numéricos para resolver dichos sistemas.

Ejemplo 2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de eliminación de Gauss: 24 9 3 6 10 5 2 12 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1           X X X X X X X X X                9 3 6 5 2 1 3 1 2 A            24 10 12 B (4) Solución:

Escribiendo el sistema (4) en forma vectorial y usando el operador \ tenemos: >> A = [-2 1 3; 1 2 5; 6 -3 -9];

>> B = [12; 10; 24]; >> X = A\ B

Warning: Matrix is singular to working precision. X =

Nan -Inf Inf

Se observa que el método de eliminación de Gauss no puede encontrar la solución del sistema dado en (4), debido a que es una matriz singular.

Usando el comando surf, obtenemos el comportamiento gráfico del sistema dado en (4) como se observa en la figura 4.

(11)

Las dos variables tienen el mismo intervalo >> [x1 x2] = meshgrid( - 10: 0.5: 10); >> x3 = (12 + 2*x1 - x2)/3; >> surf(x1, x2, x3) >> hold on >> xlabel('Eje X_1') >> ylabel('Eje X_2') >> zlabel('Eje X_3') >> x3 = (10 -x1-2*x2)/5; >> surf(x1,x2,x3) >> x3= (24 - 6*x1 + 3*x2)/( -9 ); >> surf(x1,x2,x3)

Figura 4 Gráfica de un sistema inconsistente

Se puede observar en la figura 4 que los tres planos de las rectas nunca se cruzan y por lo tanto no existe un punto en común, es decir, el sistema es incompatible o inconsistente (no tiene solución).

(12)

Ejemplo 3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de eliminación de Gauss: 7 2 8 2 0 5 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1              X X X X X X X X X

                1 1 2 1 2 1 5 2 3 A              7 8 0 B (5) Solución:

Escribiendo los datos del sistema dado en (5), tenemos:

>> A = [3 2 -5; -1 2 -1; -2 1 1]; B = [0; -8; -7]; >> X = A\B

Warning: Matrix is singular to working precision. X =

Nan -Inf -Inf

Usando el comando sur f(como en los casos anteriores), obtenemos el comportamiento gráfico del sistema dado en (5) como se observa en la figura 5.

(13)

Se puede observar en la figura 5 que los tres planos son interceptados por una línea recta. Esto significa que el sistema tiene muchas soluciones, es decir, es compatible indeterminado y todas las soluciones se encuentran sobre la línea recta. En este caso MatLab no puede determinar cuando un sistema no tiene solución o tiene infinidad de soluciones, pues manda el mismo mensaje de salida para ambos sistemas.

2.2 Método de la Matriz Inversa

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (matriz cuadrada) y el determinante de la matriz de coeficientes A es distinto de cero. Es decir, resuelve sistemas compatibles determinados (no-homogéneos). Por medio de MatLab, la solución del sistema se hace mediante la operación X = inv(A)*B. Se fundamenta en:

B A X B A X I B A X A A B X A*   1* *  1*  *  1*   1*

Ejemplo 4. Resuelve los sistemas dados en (3), (4) y (5) por el método de la matriz inversa.

Solución:

Escribiendo las instrucciones de MatLab tenemos:

>> A = [4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5]; B = [ 7; -21; 15]; >> d = det(a) % Determinante de A d = -154 >> X = inv(A)*B X = 2.0000 4.0000 3.0000 >> A = [-2 1 3; 1 2 5; 6 -3 -9]; B = [12; 10; 24]; >> determinante = det(A) determinante = 0

Veamos que sucede si no se cumple d ≠ 0

>> X = inv(A)*B

Warning: Matrix is singular to working precision. X =

(14)

Inf Inf Inf >> A = [3 2 -5; -1 2 -1; -2 1 1]; B = [0; -8; -7]; >> determinante = det(A) determinante = 0

No se cumple que det(a) ≠0 >> X = inv(A)*B

Warning: Matrix is singular to working precision. X =

NaN NaN NaN

El operador matricial de MatLab "\" división izquierda equivale a la solución de sistemas lineales mediante X = inv(A)*B. este operador es más poderoso de lo que parece, puesto que suministra la solución aunque la matriz A no tenga inversa y además proporciona solución directa sobre sistemas indeterminados.

2.3 Método de Gauss-Jordan

Es una variante del método de Gauss y resulta ser más simple al final del proceso, ya que no es necesario despejar las variables, pues la solución se obtiene directamente. Se basa en diagonalizar la matriz de coeficientes, esto es, obtener la matriz identidad, que consiste en hacer 1 la diagonal principal y 0 los demás elementos de la matriz (Matriz escalonada) . MatLab calcula la solución del sistema mediante el comando X=rref([A,B]).

Ejemplo 5. Resuelve los sistemas dados en (3), (4) y (5) por el método de Gauss-Jordan.

Solución:

MatLab encuentra la solución convirtiendo la matriz A en matriz identidad I y la última columna es el vector solución del sistema.

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>> A = [4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5]; B = [7; -21; 15]; >> X = rref([A B]) X = 1 0 0 2 0 1 0 4 0 0 1 3 Nota: La solución es x = 2, y = 4, z = 3 >> A = [-2 1 3; 1 2 5; 6 -3 -9]; B = [12; 10; 24]; >> X = rref([A B]) X = 1.0000 0 -0.2000 0 0 1.0000 2.6000 0 0 0 0 1.0000

Nota: Se observa en el tercer renglón que 0=1, por lo que el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.

>> A = [3 2 -5; -1 2 -1; -2 1 1]; B = [0; -8; -7]; >> X = rref([A B]) X = 1 0 -1 2 X1 - X3 = 2 0 1 -1 - 3 X2 - X3 = -3 0 0 0 0

Nota: Se observa en el tercer renglón que 0 = 0, por lo que el sistema es indeterminado, es decir, tiene muchas soluciones y se resuelve dando un valor arbitrario a cualquiera de las incógnitas.

Por ejemplo, si X3=1, X1=3 y X2=-2.

Si deseamos ver el procedimiento paso a paso del método de Gauss-Jordan, usamos el comando rrefmovie([A B]).

Utilizando el comando rrefmovie para analizar el sistema dado en (3) tenemos (MatLab despliega el proceso de solución paso por paso):

>> A = [4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5]; >> B = [ 7; -21; 15];

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2.4 Uso de los Comandos solve y linsolve

Se usan para resolver sistemas con n ecuaciones simultáneas. Los comandos solve y linsolve aceptan el sistema como entrada en su sintaxis y resuelve ecuaciones del tipo A*X = B.

Ejemplo 6. Resuelve los sistemas dados en (3), (4) y (5) usando los comandos solve y linsolve.

Solución:

Utilizando los comandos solve y linsolve para resolver los sistemas mencionados, tenemos:

Los resultados en realidad se proporcionan en forma vertical. >> [x,y,z] = solve('4*x-y+z=7','4*x-8*y+z=-21','-

2*x+y+5*z=15','x', 'y','z') x = 2 y = 4 z = 3

La sintaxis también se puede escribir de la siguiente forma: >>[x,y,z] = solve('4*x-y+z=7,4*x-8*y+z=-21, -2*x+y+5*z=15','x, y,z')

x = 2 y = 4 z = 3

También puede utilizarse la sintaxis siguiente:

>> A = [4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5]; B = [ 7; -21; 15]; >> X = linsolve(A,B)

X = 2 4 3

>> A = [-2 1 3; 1 2 5; 6 -3 -9]; B = [12; 10; 24]; >> X = linsolve(A,B)

Warning: Matrix is singular to working precision. X =

NaN -Inf Inf

Nota: linsolve, ni solve encuentran la solución, por ser un sistema incompatible.

>> A = [3, 2, -5; -1, 2, -1; -2, 1, 1]; >> B = [0; -8; -7];

(17)

>> x = linsolve(A,B)

Warning: Matrix is singular to working precision. X =

NaN -Inf Inf

Nota: linsolve, ni solve encuentran la solución, por ser un sistema indeterminado

Es más fácil usar linsolve que solve porque trabaja con vectores matriciales al igual que los métodos anteriores, aunque didácticamente solve presenta mejor los resultados y se manipula directamente el sistema de ecuaciones lineales.

Los comandos \ , rref, linsolve también resuelven sistemas de ecuaciones lineales con más ecuaciones que incógnitas y viceversa.

2.5 Métodos de Descomposición (Factorización)

2.5.1 Descomposición LU

Cuando tenemos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas Axb, donde A es la matriz de coeficientes (cuadrada de orden NxN), sabemos que el sistema tiene solución única si y sólo si el determinante de la matriz es no nulo, esto es, la matriz es invertible. Entonces, para resolver el sistema hay que multiplicar ambos lados de la ecuación, por la inversa de la matriz A. Sin embargo, calcular la inversa de la matriz es un proceso tedioso manualmente, en lugar de eso, introduciremos el concepto de factorización triangular. Lo que se hace es descomponer la matriz A como el producto de dos matrices que llamamos L (Lower-inferior) y U (Upper-superior), esto es, AL*U. La matriz L es una matriz triangular inferior, cuyos elementos en la diagonal principal son todos iguales a uno (ceros sobre la diagonal principal), y la matriz U es una matriz triangular superior con elementos en la diagonal distintos de cero (ceros bajo la diagonal principal).

Una vez que tenemos la descomposición, si Axb y AL*U, entonces b

x U

L*  . Ahora, multiplicando por la inversa de L a ambos lados de la ecuación, se tiene que U xL1b y multiplicando a ambos lados por la inversa de U tenemos finalmente: xU1*L1b. La ventaja de esto es que calcular la inversa de una matriz triangular (inferior o superior) es más sencillo que calcular la inversa de la matriz A. Este proceso se realiza suponiendo que no hay intercambio de renglones.

(18)

Sin embargo, puede ocurrir que una matriz invertible A no admita factorización U

L

A * , entonces, es necesario usar una matriz de permutación P (matriz NxN tal que en cada renglón y en cada columna sólo tienen un elemento igual a 1, siendo todos los demás valores iguales a cero) que permita la factorización. Entonces, para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales, la descomposición LU se reescribe como:

b P L U x b P L x U b P x U L U L A P*  *  *  *   1* *   1* 1* *

En la descomposición LU, la matriz inferior L tiene números 1 en la diagonal. Formalmente, a este proceso se le llama descomposición o factorización de Doolittle y al método alternativo que usa una matriz superior U con números 1 sobre la diagonal se le conoce como descomposición de Crout.

Para llevar a cabo la descomposición (factorización) LU de una matriz no singular A, MatLab usa el comando lu(A) y obtiene la solución del sistema de ecuaciones lineales mediante la operación: X = U \ ( L\ B).

Ejemplo 7. Resuelve los sistemas dados en (3), (4) y (5) usando la descomposición LU.

Solución:

Escribiendo las instrucciones en la ventana de comandos de MatLab tenemos: >> A = [4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5]; B = [ 7; -21; 15]; >> [L U] = lu(A) L = 1.0000 0 0 1.0000 1.0000 0 -0.5000 -0.0714 1.0000 U = 4.0000 -1.0000 1.0000 0 -7.0000 0 0 0 5.5000

Obtención de la solución del sistema >> sol_sistema = U\(L\B)

(19)

La solución de los sistemas (4) y (5) es la misma que la dada por los métodos anteriores.

2.6.2 Descomposición de Cholesky

Para llevar a cabo la descomposición (factorización) de Cholesky de una matriz A definida positiva, MatLab usa el comando chol(A) y resuelve el sistema de ecuaciones lineales mediante la operación: X = U \ ( U‟ \ B).

Ejemplo 8. Resuelva los sistemas dados en (3), (4) y (5), usando la descomposición de Cholesky.

Solución:

Usando el comando chol para resolver los sistemas mencionados, tenemos: >> A = [4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5]; B = [ 7; -21; 15]; >> U = chol(A)

??? Error using ==> chol

Matrix must be positive definite. (La matriz debe ser definida positiva)

>> A = [-2 1 3; 1 2 5; 6 -3 -9]; B = [12; 10; 24]; >> U = chol(A)

??? Error using ==> chol

Matrix must be positive definite. La matriz debe ser definida positiva)

>> A = [3, 2, -5; -1, 2, -1; -2, 1, 1]; B = [0; -8; -7]; >> u = chol(a)

??? Error using ==> chol

Matrix must be positive definite. (La matriz debe ser definida positiva)

Como se puede observar el método de descomposición de Cholesky tiene más limitaciones para su uso. Hagamos un ejemplo para una matriz definida positiva.

>> A = [4 2 2 4; 2 5 7 0; 2 7 19 11; 4 0 11 25]; >> B = [-1; 1; 2.5; 0.25];

(20)

>> [A B] ans = 4.0000 2.0000 2.0000 4.0000 -1.0000 2.0000 5.0000 7.0000 0 1.0000 2.0000 7.0000 19.0000 11.0000 2.5000 4.0000 0 11.0000 25.0000 0.2500 >> U = chol(A) U = 2 1 1 2 0 2 3 -1 0 0 3 4 0 0 0 2 >> [U L] = chol(A) U = 2 1 1 2 0 2 3 -1 0 0 3 4 0 0 0 2 L = 0 >> sol = U\(U'\B) sol = -0.8125 0.8750 -0.2500 0.2500

Nota: Como se puede observar, Cholesky solamente emplea la matriz superior U.

2.7 Valores y Vectores Característicos o Propios de Una Matriz

Sea A una matriz cuadrada de orden n y considérese la ecuación vectorial Ax = λx, donde λ es un valor escalar. El vector nulo x = 0 es una solución (trivial) de la ecuación vectorial. Un valor del escalar λ que satisface la ecuación mencionada con x0se llama valor característico, propio o eigenvalor de la matriz A. El vector

0 

x es el vector característico propio o eigenvector de A, correspondiente al valor característico λ.

(21)

Para cada valor característico λ existe un vector característico x. Una matriz cuadrada de orden n tiene cuando más n valores característicos.

El planteamiento de la ecuación vectorial dada se emplea frecuentemente en problemas de resistencia de materiales, donde los valores característicos corresponden a los esfuerzos principales y, los vectores característicos a las direcciones asociadas a dichos esfuerzos. Para sistemas dinámicos lineales e invariables con el tiempo, los valores característicos de la matriz A son las frecuencias naturales de oscilación del sistema y, los vectores característicos son los modos de vibración.

MatLab tiene los comandos eig y poly para la obtención de los valores característicos (raíces iguales o diferentes, reales o complejas) y vectores característicos, así como para el polinomio característico.

3. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN INGENIERÍA.

Para resolver problemas en ingeniería que involucra sistemas de ecuaciones lineales se recomienda tener en cuenta lo siguiente:

1. Entender el problema.

2. Determinar los datos conocidos.

3. Nombrar adecuadamente las incógnitas de acuerdo a lo que se pida.

4. Establecer las relaciones existentes entre los datos conocidos y las incógnitas. 5. Determinar el sistema de ecuaciones lineales asociado a las relaciones en 4. 6. Resolver el sistema de ecuaciones lineales resultante en 5.

7. Verificar que las respuestas obtenidas estén de acuerdo al problema. 8. Interpretar el resultado si es posible.

Problema 3.1. Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro artículos diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas estas estarán en operación un turno de 8 horas diarias. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de cada uno de los cuatro artículos está dado por

Máquina Artículo 1 Artículo 2 Artículo 3 Artículo 4

1 1 2 1 2

2 2 0 1 1

3 1 2 3 0

Por ejemplo, en la producción de una unidad del artículo 1 la máquina 1 se usa 1 hora, la máquina 2 se usa 2 horas y la máquina 3 se usa 1 hora. Encuentre el

(22)

número de unidades que se deben producir de cada uno de los 4 artículos un día de 8 horas completas.

Solución: Sea 𝑋𝑖 el número de unidades que se deben producir del artículo 𝑖 que se fabrican durante las 8 horas con 𝑖 = 1, 2, 3, 4.

1x1: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 1.

2x2: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 2.

1x3: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 3.

2x4: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 4.

Como la máquina 1 debe ser usada 8 horas diarias, entonces tenemos que: 1𝑋1+ 2𝑋2+ 1𝑋3+ 2𝑋4 = 8

Procediendo de forma similar para las máquinas 2 y 3 obtenemos el sistemas de ecuaciones lineales siguiente:

1𝑋1+ 2𝑋2+ 1𝑋3+ 2𝑋4 = 8 2𝑋1+ 0𝑋2+ 1𝑋3+ 1𝑋4 = 8 1𝑋1+ 2𝑋2+ 3𝑋3+ 0𝑋4 = 8

Aplicando el método de Gauss-Jordan y escribiendo las instrucciones en la ventana de comandos de MatLab tenemos:

>> A=[1,2,1,2;2,0,1,1;1,2,3,0]; B=[8;8;8]; X=rref([A B]) X =

1 0 0 1 4 0 1 0 1 2 0 0 1 -1 0

Se tiene una solución indeterminada, esto es: 𝑋1+ 𝑋4 = 4

𝑋2+ 𝑋4 = 2 𝑋3− 𝑋4 = 0

(23)

El modelo matemático tiene infinidad de soluciones, sin embargo, el problema real de producción tiene soluciones finitas.

Cada 𝑿𝑰 es no negativa por representar la cantidad de unidades fabricadas del artículo 𝒊 cada día, por lo tanto 𝑿𝑰< 0 no tiene sentido.

Si asumimos que se produce un número completo de unidades, entonces 𝑿𝑰 debe ser además un número entero para que todos los 𝑿𝑰, sean no negativos, 𝑿𝟒 debe ser un entero menor o igual que 2, y por lo tanto las posibles soluciones son

Solución x1 x2 x3 x4

1 4 2 0 0

2 3 1 1 1

3 2 0 2 2

Por ejemplo la solución 1 significa que en un día para las máquinas estar completamente utilizadas se deben producir 4 unidades del artículo 1, 2 del artículo 2 y ninguna de los artículos 3 y 4.

Problema 3.2. El circuito eléctrico, mostrado en la figura 6, consiste en resistencias y fuentes de voltaje. Determina la corriente de cada resistencia usando las Leyes de Kirchhoff, si V1 = 20; V2 = 12; V3=40; R1 = 18; R2 =10; R3 = 16; R4 =6; R5 = 15; R6 = 8; R7 = 12; R8 = 14 (Gilat, 2005):

(24)

Solución:

Las Leyes de Kirchhoff (Ley de Nodos y Ley de Mallas) establecen que la suma de voltajes alrededor de un circuito cerrado es cero. Una corriente se asigna para cada malla. (i1, i2, i3, i4 en la figura). Entonces, la Ley de Mallas de Kirchhoff se

aplica en cada malla, obteniendo un sistema de ecuaciones lineales para las corrientes (en este caso cuatro ecuaciones). La solución de este sistema nos da los valores de las corrientes en las mallas. La corriente en una resistencia que fluye en dos mallas es la suma de las corrientes en las correspondientes mallas. Es conveniente asumir que todas las corrientes van en la misma dirección (sentido de las manecillas del reloj en nuestro caso). En la ecuación para cada malla, la fuente de un voltaje es positiva si la corriente fluye hacia el polo negativo (-) y el voltaje de la resistencia es negativo para corrientes en la dirección a la corriente en la malla.

Las ecuaciones para las cuatro mallas son:

V1 - R1 i1- R3( i1 - i3 ) – R2 ( i1 - i2 ) = 0

- R5 i2 - R2 ( i2 - i1 ) – R4 ( i2 - i3 ) - R7 ( i2 - i4 ) = 0 - V2 - R6( i3 - i4 ) – R4 ( i3 - i2 ) – R3 ( i3 - i1 ) = 0 V3 - R8 i4 - R7 ( i4 - i2 ) – R6( i4 - i3 ) = 0

Sustituyendo los datos, tenemos:

34 4 34I 3 8I 2 12I 12 4 8I 3 30I 2 6I 1 16I 0 4 12I 3 6I 2 43I 1 10I 20 3 16I 2 10I 1 44I                 

Las cuatro ecuaciones pueden ser reescritas en forma matricial:

                 34 8 12 0 8 30 6 16 12 6 43 10 0 16 10 44 A                40 12 0 20 B (6)

(25)

>> A = [-44 10 16 0; 10 -43 6 12; 16 6 -30 8; 0 12 8 -34]; >> B = [-20; 0; 12; -40]; >> X = rref([A B]) X = 1.0000 0 0 0 0.8411 0 1.0000 0 0 0.7206 0 0 1.0000 0 0.6127 0 0 0 1.0000 1.5750

Los valores de las corrientes en cada malla son:

i1 = 0.8411 A; i2 = 0.7206 A; i3 = 0.6127 A; i4 = 1.5750 A La corriente en la resistencia R1 es i1 = 0.8411 A

La corriente en la resistencia R5 es i2 = 0.7206 A

La corriente en la resistencia R8 es i4 = 1.5750 A

Para las siguientes resistencias, pertenecen a dos mallas a la vez, por tanto, sus corrientes son la suma de las corrientes en las mallas respectivas.

La corriente en la resistencia R2 es i1 – i2 = 0.1205 A

La corriente en la resistencia R3 es i1 – i3 = 0.2284 A

La corriente en la resistencia R4 es i2 – i3 = 0.1079 A

La corriente en la resistencia R6 es i4 – i3 = 0.9623 A

La corriente en la resistencia R7 es i4 – i2 = 0.8544 A

Problema 3.3 La figura 7 muestra un circuito resistivo puro (Torres, 1990). Empleando las leyes de Kirchhoff, obtenga el sistema de ecuaciones lineales en las corrientes de las mallas I. Si las resistencias son 2Ω y las fuentes de voltaje valen V1= V2 =110 V y V3= V4 = 220 V. Determinar las 4 corrientes de malla I. Solución:

Empleando las Leyes de Kirchhoff tenemos:

V1 - V2 = (I 1 - I 2 ) R 3 + ( I 1 - I 3 ) R 4 + I 1 ( R 1 + R 2 ) V2 - V3 = ( I 2 - I 1 ) R 3 + ( I 2 - I 3 ) R 8 + ( I 2 - I 4 ) R + I 2 R 4

V4 = ( I 3 - I 1 ) R 4 + ( I 3 - I 2 ) R 8 + ( I 3 - I 4 ) R 7 + I3 ( R 5 + R 6 )

(26)

Figura 7. Circuito resistivo puro

Sustituyendo los datos, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

220 6 2 2 220 2 10 2 2 110 2 2 8 2 0 2 2 8 4 3 2 4 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1                   I I I I I I I I I I I I I I (7)

Usando el comando rref (Método de Gauss-Jordan) en el sistema (7) tenemos: A = [8 -2 -2 0; -2 8 -2 -2; -2 -2 10 -2; 0 -2 -2 6]; B = [ 0; -110; 220; 220 ]; sol = rref([A B]) %Método de Gauss-Jordan

sol =

1.0000 0 0 0 12.3841 0 1.0000 0 0 12.0199 0 0 1.0000 0 37.5165 0 0 0 1.0000 53.1788 Las corrientes son I1 = 12.3841 A

I2 = 12.0199 A

I3 = 37.5165 A

(27)

Problema 3.4. Tres máquinas limpiadoras A, B y C trabajando juntas realizan la limpieza de unos grandes almacenes en 4 horas. Si se descompone la máquina B, entonces A y C realizan el trabajo en 6 horas, pero si se descompone la máquina C, entonces A y B lo realizan en 8 horas. ¿Cuánto tardará cada máquina individualmente en realizar el trabajo de limpieza?

Solución:

Reordenando los datos para tener una mejor perspectiva del problema, se tiene la siguiente tabla: Máquinas trabajando Tiempo limpieza (hrs) Limpieza en 1 hora A,B y C juntas 4 1/4 A y C 6 1/6 A y B 8 1/8

Llamamos x, y, z al número de horas que tarda cada máquina individualmente en hacer todo el trabajo.

Entonces, en 1 hora A limpiará 1/x del total; 1 hora B limpiara 1/y del total; 1 hora C limpiará 1/z del total.

Por conveniencia hacemos un cambio de variables, X = 1/x, Y = 1/y, Z =1/z. Entonces:

8

/

1

6

/

1

4

/

1

y

x

z

x

z

y

x

(8)

Escribiendo las instrucciones en la ventana de comandos y usando el operador \ (Método de eliminación de Gauss) del sistema (8) tenemos:

>> A = [1 1 1; 1 0 1; 1 1 0] ; >> B = [1/4; 1/6; 1/8] ;

>> sol = A\B

sol = 0.0417 0.0833 0.1250 Haciendo cambio de variable, la solución es: >> x = 1./sol

(28)

x =

24.0000 12.0000 8.0000

Mmáquina A=24 horas; B =12 horas; C =8 horas.

Problema 3.5. Empleando las leyes de Kirchhoff, se obtuvieron las siguientes ecuaciones lineales para el circuito mostrado en la figura 8 (Torres, 1990):

Figura 8 Circuito eléctrico de ramas

(9)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

9 9 7 7 6 6 6 6 3 3 5 5 8 8 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 9 6 5 8 7 6 3 2 2 1 3 1 5 4 4 8

i

R

i

R

i

R

i

R

i

R

i

R

i

R

i

R

i

R

i

R

i

R

i

R

i

i

i

i

I

i

i

i

I

i

I

i

i

i

i

I

i

i

I

i

i

C B B A A

(29)

Donde: i son las corrientes de rama, I las corrientes de las fuentes y R los valores de las resistencias.

Si el valor de las fuentes es IA 2A, IB 6A,IC 4A y el de las resistencias 

  2 2

1 R

R ; R4R8 3; R5R6  5; R7R9  4; R3  6.

Obtener las nueve corrientes de rama por el método de eliminación de Gauss. Solución:

Sustituyendo los datos en el sistema (8) tenemos:

0 4 4 5 0 5 5 6 0 3 5 3 0 6 2 2 4 6 6 2 2 9 7 6 6 5 3 8 5 4 3 2 1 9 8 6 5 7 6 3 2 2 1 5 4 3 1 8 4                                   i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i (9)

Escribiendo el sistema (9) en forma matricial tenemos:

                                          4 0 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 6 0 0 0 3 0 0 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 2 2 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 A                                 0 0 0 0 4 6 6 2 2 B (10)

Escribiendo los datos del sistema (10) y usando el comando “\” (Método de eliminación de Gauss) tenemos:

>> A = [0 0 0 -1 0 0 0 1 0; -1 0 -1 1 1 0 0 0 0; 1 -1 0 0 0 0 0 0 0; 0 1 1 0 0 1 -1 0 0;

(30)

0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1; 2 2 -6 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 3 -5 0 0 3 0; 0 0 6 0 5 -5 0 0 0; 0 0 0 0 0 5 4 0 -4]; >> B = [2; -2; 6; -6; -4; 0; 0; 0; 0]; >> corrientes_i = A\B corrientes_i = 2.3761 -3.6239 -0.4160 -0.5636 0.5237 0.0245 1.9847 1.4364 2.0153

Las corrientes de rama son:

A i A i A i A i A i A i A i A i A i 0153 . 2 ; 4364 . 1 ; 9847 . 1 ; 0245 . 0 ; 5237 . 0 ; 5636 . 0 ; 4160 . 0 ; 6239 . 3 ; 3761 . 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1            

Problema 3.5. Si la frecuencia de oscilación de una máquina coincide con la frecuencia natural de oscilación de la estructura sobre la que está montada, la estructura entra en resonancia y puede colapsar. Esto es análogo a un columpio: el columpio se balancea a cierta frecuencia (natural) y cada vez que llega a un extremo le damos un empujón (frecuencia excitadora que coincide con la frecuencia natural), cada vez adquirirá mayor amplitud. Una estructura moviéndose cada vez con mayor amplitud puede dañarse.

Las frecuencias naturales de oscilación wi de cierta estructura son las raíces de los valores característicos λi de la siguiente matriz:

6

0

0

0

0

4

0

0

0

0

5

1

0

0

1

5

(11)

(31)

Determinar si las frecuencias naturales de oscilación de la estructura son menores que la frecuencia de oscilación de 50 ciclos/s de una máquina montada sobre ella. Solución:

Escribiendo las instrucciones del sistema matricial (11) tenemos: >> A = [-5 1 0 0; 1 -5 0 0; 0 0 -4 0; 0 0 0 -6];

>> frecuencias = eig(A) frecuencias =

-6 -6 -4 -4

Las frecuencias naturales de oscilación son menores de 50 ciclos/s

Problema 3.7. Considere el sistema de tres péndulos de masa m sujetos a dos resortes de constante k, a media altura de los péndulos de longitud 2a como se muestra en la figura 3.10. Los resortes no tienen esfuerzo cuando los péndulos están en posición vertical.

Figura 3.10 Sistema de péndulos acoplados

Las frecuencias naturales de oscilación wi del sistema están relacionados por λi = 4ma2wi2 a los valores característicos λi de la matriz:

2 2 2 2 2 2 2

2

0

2

2

0

2

ka

mag

ka

ka

ka

mag

ka

ka

ka

mag

(32)

Los modos de vibración natural del sistema son los vectores característicos correspondientes. Determina los valores y vectores característicos de la matriz simétrica, si mag = 2 y ka2 = 1.

Solución:

Sustituyendo los datos se obtiene la siguiente matriz:

               5 1 0 1 6 1 0 1 5 A (12)

Escribiendo los datos del sistema matricial (12) tenemos: >> A= [5 -1 0; -1 6 -1; 0 -1 5]; Y = poly(A) Y = 1.0000 -16.0000 83.0000 -140.0000 3 162  83 140  0 >> val = eig(A) val = 4.0000 5.0000 Valores característicos 7.0000 >> [V,D] = eig(A) V = -0.5774 -0.7071 0.4082 -0.5774 0.0000 -0.8165 Vectores característicos -0.5774 0.7071 0.4082 D = 4.0000 0 0 0 5.0000 0 Valores característicos 0 0 7.0000

Para una frecuencia mínima λ = 4, el sistema de los tres péndulos tiene un movimiento de vaivén uniforme semejante al péndulo de un reloj. Para la frecuencia λ = 5, el péndulo de en medio está en reposo y los otros dos se mueven a los lados. Para la frecuencia máxima λ = 7, los péndulos tienen

(33)

movimientos totalmente irregulares y significa que el sistema está a punto de colapsar.

Problema 3.8 Considérese un valle aislado con N1(t) linces que se alimentan exclusivamente de liebres, de los cuáles hay un número N2(t) como se muestra en la figura 11 (Torres, 1990).

Figura 11 Sistema ecológico presa-depredador

La tasa de cambio en el número de predadores (linces) es proporcional a su cambio natural (debido a natalidad y mortalidad), así como a la cantidad de comida disponible (número de liebres). Esta relación se puede expresar matemáticamente como: 2 1 1 a N bN dt dN  

Donde: a y b son constantes. Asimismo, la tasa de cambio de las liebres se puede escribir como: 2 1 2 N d N c dt dN

Donde: c y d son constantes. Este sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial como:

                   2 1 2 1 N N d c b a N N dt d

La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales es de la forma:

t t e x c e x c t N t N 1 2 2 2 1 1 2 1 ) ( ) (       

(34)

Donde: λ1 y λ2 son los valores característicos correspondientes a los vectores característicos X1 y X2 de la matriz y C1 y C2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales.

Obtener los valores característicos para las siguientes matrices de coeficientes:          1 2 5 6 A         1 2 5 6 B         1 2 5 5 C (12) Solución:

Escribiendo los datos en la ventana de comandos de MatLab del sistema de matrices (12), tenemos: >> A = [6 5; -2 -1]; >> valores_caracteristicos = eig(A) valores_caracteristicos = 4 1 >> B = [-6 5; -2 1]; >> valores_caracteristicos = eig(B) valores_caracteristicos = -4 -1 >> C = [-5 5; -2 1]; >> valores_caracteristicos = eig(C) valores_caracteristicos = -2.0000 + 1.0000i -2.0000 - 1.0000i

De la solución se observa que si ambos valores característicos λ1 y λ2 son positivos, el sistema ecológico explota pues las exponenciales tienden a infinito. Si ambos valores característicos son negativos, las poblaciones se exterminan (decrecen a cero). Si los valores característicos son complejos conjugados, las poblaciones oscilan pues e(aib)teat (cos btisenbt).

Problema 3.9 Considere un sistema de cinco discos, cada uno de momento de inercia j, unidos a una flecha de constante elástica torsional k, como se muestra en la figura 12.

(35)

Figura 12 Discos unidos por una flecha

Determinar las frecuencias naturales de oscilación torsional ωi, relacionadas por λi = ωi2 j/k con los valores característicos λi de la matriz simétrica:

                        1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 1 (13)

Así como calcular los modos de vibración torsional (vectores característicos de la matriz). Considerar j=3kg-m2 y k=2 rad/N-m.

Solución:

Escribiendo los datos del sistema matricial (13), tenemos:

>> A = [1 -1 0 0 0; -1 2 -1 0 0; 0 -1 2 -1 0; 0 0 -1 2 -1; 0 0 0 -1 -1]; >> [V,D] = eig(A) V = -0.0155 -0.6852 0.5670 0.4051 0.2115 -0.0362 -0.5826 -0.0752 -0.5971 -0.5450 -0.1052 -0.3929 -0.6323 -0.1220 0.6480 Vectores característicos -0.3143 -0.1445 -0.4732 0.6549 -0.4770 -0.9426 0.1257 0.2219 -0.1885 0.1042 D = -1.3335 0 0 0 0 0 0.1496 0 0 0 0 0 1.1327 0 0 Valores característicos 0 0 0 2.4741 0 0 0 0 0 3.5771

(36)

Nota: Los valores y vectores característicos, nos indican que la oscilación de los discos no es uniforme y tienden al “cabeceo”.

Problema 3.9 En una armadura estáticamente determinada con nudos articulados (Fig.13), la tensión 𝐹𝑖 en cada miembro, puede obtenerse a partir de la ecuación matricial que se presenta enseguida (la ecuación resulta de poner todas las sumas de fuerzas, actuando horizontal o verticalmente en cada nudo igual a cero). Obtenga los valores de las tensiones de la armadura (Curtis, 1987).

Figura 13 Armadura con nudos articulados

                                    7071 . 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5 . 0 0 0 0 0 0 1 0 1 8660 . 0 0 0 0 0 7071 . 0 0 0 0 0 1 0 0 0 7071 . 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 5 . 0 0 1 0 7071 . 0 0 0 0 0 8660 . 0 1 0 0 7071 . 0 F=                               0 500 0 0 500 0 0 1000 0 (14) Solución:

Escribiendo las instrucciones en la Ventana de comandos de MatLab del sistema matricial (14) tenemos:

(37)

>> A = [0.7071 0 0 -1 -0.8660 0 0 0 0 0.7171 0 1 0 0.5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0.7071 0 0 0 1 0 0 0 0 -0.7071 0 0 0 0 0.8660 1 0 -1 0 0 0 0 0 -0.5 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.7071]; > B = [ 0; -1000; 0; 0; 500; 0; 0; -500]; >> X = A\B X = 1.0E+003 * -1.0247 0.7245 0 -0.2652 -0.5304 0.7245 0.2652 0.2652 -0.3741 Las tensiones son:

4 . 530 2 . 265 0 5 . 724 7 . 1024 5 4 3 2 1         F F F F F 1 . 374 2 . 265 2 . 265 5 . 724 9 8 7 6      F F F F

Nota: Los valores negativos son comprensión y los positivos son estiramiento.

CONCLUSIÓN.

La aplicación de los métodos de solución numérica para sistemas de ecuaciones lineales mediante el software de aplicación MATLAB, les facilitará a los alumnos de ingeniería la mejor comprensión de estos sistemas y de los procesos matemáticos. También permite una participación constructivista por parte del alumno, ya que puede conjeturar, experimentar y extraer conclusiones. MatLab es un potente recurso matemático que acompañará siempre al alumno en su proceso de aprendizaje, ya que con mínimos conocimientos informáticos ofrece toda una

(38)

gama de posibilidades para resolver los problemas de Métodos Numéricos, dando como resultado un mejor aprendizaje.

BIBLIOGRAFÍA

Etter, D. (1997). Solución de Problemas de Ingeniería con MatLab. (2ª ed.), México, Ed. Prentice Hall Hispanoamericana.

Gerald, C y Wheatley, P. (2000). Análisis Numérico con Aplicaciones. (6ª ed.), México, Ed. Prentice Hall/Pearson Educación.

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Mathews, J. H. y FINK, K.D.(2000). Métodos numéricos con MatLab. (3ª ed.), España, Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana.

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Yang, W., Cao W, Chung T. and Morris, J.(2005). Applied Numerical Methods Using MATLAB. USA; Ed. Wiley-Interscience.

(39)

SÍNTESIS CURRICULAR Nombre: Ing. Luis Lorenzo Jiménez García.

e-mail: jimenezg@att.net.mx Tel. (55) 56230810 Ext. 39313 Grado académico: Ingeniero Civil.

Estudios realizados: Posgrado en Maestría en Pedagogía (100% de créditos aprobados). Diplomado en docencia universitaria. FES Aragón. UNAM.

Reconocimientos otorgados:

 Reconocimiento a mi labor académica con el cambio de categoría de Profesor de Carrera

Asociado “B” Tiempo Completo Interino a Profesor de Carrera Asociado “C” Tiempo Completo

Definitivo. FES Aragón. 18 de Marzo de 2010.

 Reconocimiento por 30 años de Servicios Académicos. F.E.S. Aragón. UNAM

 Reconocimiento a mi labor académica con ingreso al Programa de Apoyo a la Incorporación del Personal Académico de Tiempo Completo (PAIPA).

 Reconocimiento al Mérito Universitario. Diploma y medalla por los 25 años de Servicios Académicos. F.E.S. Aragón. UNAM.

 Distinción al Profesor de Asignatura Nivel 2. E.N.E.P. Aragón. UNAM.

 Profesor Fundador de la carrera de Ingeniería en Computación. E.N.E.P. Aragón.UNAM.

 Reconocimiento por destacada vocación al servicio. Secretaría de Desarrollo Urbano y Ecología. México, D.F.

Cursos impartidos:

“El software de aplicación MatLab en la solución de problemas de Ingeniería”. Curso

Intersemestral de la Carrera de Ingeniería Mecánica Eléctrica. F.E.S. Aragón. (20 horas). 2 al 6 de Agosto de 2010.

“El MatLab aplicado a la Ingeniería”. Curso Intersemestral de la Carrera de Ingeniería

Mecánica Eléctrica. F.E.S. Aragón. (20 horas). 22 al 29 de Enero de 2010.

“Resolución de Problemas con MatLab”. 2º Diplomado de Actualización en

Matemáticas. DGAPA-División de la Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón. (25 horas) Septiembre 2009.

“MatLab y sus Aplicaciones en la Ingeniería”. Curso Intersemestral de la Carrera de Ingeniería

Mecánica Eléctrica. . F.E.S. Aragón (Febrero 2009).

“Didáctica de las Matemáticas”. Diplomado de Actualización en Matemáticas. FES Aragón. Dirección General de Asuntos del Personal Académico. (Septiembre 2008).

“Aplicación de MatLab en las Ciencias Físicomatemáticas”. Unidad de Sistemas y

Servicios de Cómputo. F.E.S. Aragón. (Agosto 2008)

“MatLab y su aplicación en Ingeniería”. Unidad de Sistemas y Servicios de Cómputo.

F.E.S. Aragón. (Agosto 2008)

“Métodos Numéricos aplicados con MatLab”. Unidad de Sistemas y Servicios de

Cómputo. F.E.S. Aragón. (Agosto 2008)

“MatLab”. Unidad de Sistemas y Servicios de Cómputo. F.E.S. Aragón. (Agosto 2008)

“El MatLab y las aplicaciones en Matemáticas”. Curso Intersemestral de la Carrera de

Ingeniería Mecánica Eléctrica. F.E.S. Aragón (2008).

“MatLab y su aplicación en Ingeniería”. Unidad de Sistemas y Servicios de Cómputo.

(40)

“MatLab”. Unidad de Sistemas y Servicios de Cómputo. F.E.S. Aragón. (Agosto 2007)

“Aplicación de MatLab a las Ciencias Físicomatemáticas y la Ingeniería”. Curso

Intersemestral de la Carrera de Ingeniería Mecánica Eléctrica. F.E.S. Aragón (2007).

“MatLab aplicado al Cálculo Integral”. Curso Intersemestral de la Carrera de Ingeniería

Mecánica Eléctrica. F.E.S. Aragón (2007)

“MatLab”. Unidad de Sistemas y Servicios de Cómputo. F.E.S. Aragón. (2007)

“Aplicaciones de MatLab a la Ingeniería”. Curso Intersemestral de la Carrera de

Ingeniería Mecánica Eléctrica. . F.E.S. Aragón (2006). Publicaciones electrónicas:

“La enseñanza-aprendizaje de los Métodos Numéricos con Matlab”. Publicación

Electrónica. 2º Encuentro Internacional sobre la enseñanza de las Matemáticas. FES Cuautitlán. Mayo de 2010.

“Aplicación de la Integración Numérica en Ingeniería mediante MatLab”. Publicación

Electrónica. Número de ISBN: 978-607-02-1090-7. VI Encuentro Multidisciplinario de Investigación. FES Aragón. UNAM (2009).

“El Software didáctico MatLab aplicado a los Métodos Numéricos. Caso: Solución Numérica de Ecuaciones en Derivadas Parciales”. V Encuentro Multidisciplinario de

Investigación. FES Aragón (2008).

“El software didáctico MatLab aplicado a los Métodos Numéricos en Ingeniería”. IV

Encuentro Multidisciplinario de Investigación. F.E.S. Aragón (2007). Cursos tomados:

“Autocad en 2D y 3D para Ingeniería”. Curso Intersemestral de la Carrera de

Ingeniería Mecánica Eléctrica. F.E.S. Aragón. (20 horas). 14 al 23 de Junio de 2010.

“Formación docente y calidad del proceso formativo”. División de Estudios de

Posgrado e Investigación. FES Aragón. 7 al 20 de Junio de 2010.

“Creatividad aplicada a la enseñanza universitaria”. División de Estudios de Posgrado

e Investigación. FES Aragón. 11 al 24 de Mayo de 2010.

“Didáctica de las matemáticas (Aprendizaje convencional vs Competencia

matemática)”. Dirección General de Asuntos del Personal Académico. 12 al 22 de

Enero de 2010

“Usos y apropiaciones de la Investigación Comparada”. Dirección General de Asuntos del Personal Académico. 11 al 15 de Enero de 2010

3er. Diplomado en Cómputo para Profesores de Licenciatura UNAM. “Introducción a la Tecnología Informática”. Centro de Cómputo. FES Aragón. (150 horas). (2009).

“Métodos Numéricos con Mathematica”. Módulo 4 del 2º. Diplomado en Matemáticas.

División de las Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón (Junio 2009).

“La Geometría Analítica en 2D y 3D en la Ingeniería”. Módulo 3 del 2º. Diplomado en

Matemáticas. División de las Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón (Junio 2009).

“Álgebra, Conjuntos y Álgebra lineal”. Módulo 2 del 2º. Diplomado en Matemáticas.

División de las Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón (Mayo 2009).

“Historia de las Matemáticas y su Desarrollo”. Módulo 1 del 2º. Diplomado en

Matemáticas. División de las Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón (Marzo 2009).

“Herramientas de cómputo”. Módulo 5 del Diplomado en Matemáticas. División de las

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“Pensamiento matemático avanzado”. Módulo 4 del Diplomado en Matemáticas.

División de las Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón (2008).

“Sistema de cambio variacional”. Módulo 3 del Diplomado en Matemáticas. División de

las Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón (2008).

“Pensamiento funcional, visualización y percepción espacial”. Módulo 2 del Diplomado

en Matemáticas. División de las Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón (2008).

“1er Taller, estrategias de la investigación de campo”. Curso Intersemestral de la

Secretaría Académica del Programa de Investigación. F.E.S. Aragón (2008).

“Análisis de proyectos educativos”. Curso Intersemestral de la División de Estudios de

Posgrado. F.E.S. Aragón (2008).

“Formación de tutores para el fortalecimiento de los estudios de licenciatura en la FES Aragón”. Curso de la División de Humanidades y Artes. F.E.S. Aragón (2008).

“Aplicaciones de la energía renovable en el sector agropecuario”. Curso de la UACh.

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Posgrado e Investigación. F.E.S. Aragón (2007).

Curso Básico de Sismología. Curso de la Secretaría Académica del Programa de Investigación. F.E.S. Aragón. (2007)

“Metodología de la Investigación I”. Curso Intersemestral de la Secretaría Académica

del Programa de Investigación. F.E.S. Aragón (2007).

“El dibujo asistido por computadora aplicado a la Ingeniería Mecánica Eléctrica”. Curso

Intersemestral de la Carrera de Ingeniería Mecánica Eléctrica. F.E.S. Aragón (2007). Conferencias Impartidas.

“La enseñanza-aprendizaje de los Métodos Numéricos con Matlab”. 2º Encuentro

Internacional sobre la enseñanza de las Matemáticas. FES Cuautitlán. Mayo de 2010.

“Aplicación de la Integración Numérica en Ingeniería mediante MatLab”. VI Encuentro

Multidisciplinario de Investigación. FES Aragón. Octubre 2009.

“Técnicas de Aprendizaje”. Conferencia impartida en la Escuela Preparatoria Oficial

No. 52. Actividades referentes a la 16ª Semana Nacional de Ciencia y Tecnología. Parque Residencial Coacalco. Coacalco, Edo. deMéxico.(2009).

“Nuevas Tecnologías para la Enseñanza de las Matemáticas”. Conferencia impartida

en la Escuela Preparatoria Oficial No. 3. Actividades referentes a la 16ª Semana Nacional de Ciencia y Tecnología. Nezahualcóyotl, Edo. de México (2009).

“Métodos Activos de Aprendizaje”. Conferencia impartida en el CECYTEM Ecatepec.

Actividades referentes a la 15ª Semana Nal. de Ciencia y Tecnología. (Octubre 2008).

“Nuevas Tecnologías para la Enseñanza de las Matemáticas”. Conferencia impartida

en el CECYTEM Ecatepec. Actividades referentes a la 15ª Semana Nacional de Ciencia y Tecnología (Octubre 2008).

“El Software didáctico MatLab aplicado a los Métodos Numéricos. Caso: Solución Numérica de Ecuaciones en Derivadas Parciales”. V Encuentro Multidisciplinario de

Investigación. FES Aragón (2008).

“Métodos Activos de Aprendizaje”. (Turno matutino y Turno Vespertino). Escuela

Preparatoria Oficial No. 3. 14ª Semana Nacional de Ciencia y Tecnología. Nezahualcóyotl, Edo. de México (2007).

“Las nuevas tecnologías en la enseñanza de las matemáticas”. (Turno matutino y Turno Vespertino). Escuela Preparatoria Oficial No. 3. 14ª. Semana Nacional de

Referencias

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