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DOCUMENTO DE TRABAJO N° 329
MICROECONOMÍA: PREFERENCIAS Y ELECCIONES
DE LOS CONSUMIDORES
DOCUMENTO DE TRABAJO N° 329
MICROECONOMÍA: PREFERENCIAS Y ELECCIONES
DE LOS CONSUMIDORES
Cecilia Garavito
Mayo, 2012
DEPARTAMENTO
DE
ECONOMÍA
DOCUMENTO DE TRABAJO 329
© Departamento de Economía – Pontificia Universidad Católica del Perú, © Cecilia Garavito
Av. Universitaria 1801, Lima 32 – Perú. Teléfono: (51-1) 626-2000 anexos 4950 - 4951 Fax: (51-1) 626-2874
econo@pucp.edu.pe
www.pucp.edu.pe/departamento/economia/
Encargado de la Serie: Luis García Núñez
Departamento de Economía – Pontificia Universidad Católica del Perú, lgarcia@pucp.edu.pe
Cecilia Garavito
MICROECONOMÍA: PREFERENCIAS Y ELECCIONES DE LOS CONSUMIDORES
Lima, Departamento de Economía, 2012 (Documento de Trabajo 329)
PALABRAS CLAVE: Comportamiento microeconómico: principios; economía del consumidor: teoría.
Las opiniones y recomendaciones vertidas en estos documentos son responsabilidad de sus autores y no representan necesariamente los puntos de vista del Departamento Economía.
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2012-05921 ISSN 2079-8466 (Impresa)
ISSN 2079-8474 (En línea)
Impreso en Cartolán Editora y Comercializadora E.I.R.L. Pasaje Atlántida 113, Lima 1, Perú.
MICROECONOMÍA: PREFERENCIAS Y ELECCIONES DE LOS CONSUMIDORES
Cecilia Garavito
RESUMEN
Este es el primer capítulo de un libro sobre Microeconomía de pre grado, que además de presentar los temas estudiados a nivel intuitivo, gráfico y matemático, incorpora los elementos instituciones y de contexto de un país como el Perú, así como las relaciones de género allí donde es pertinente. En este capítulo presentamos el modelo simple del consumidor. Así partimos de las condiciones de óptimo del consumidor para llegar al análisis de dualidad y presentar los efectos sustitución e ingreso ordinarios. Luego del análisis de las curvas de demanda ordinaria y compensada, y el concepto de elasticidad precio e ingreso, llegamos finalmente a la Ecuación de Slutsky. Asimismo, presentamos la teoría de preferencia revelada y de allí seguimos con las diversas formas de medir los cambios en el bienestar del consumidor ante cambios en los precios. Finalmente derivamos la curva de demanda de mercado y los conceptos de ingreso medio y marginal. Allí donde es pertinente el capítulo profundiza en los diversos temas con ejemplos tomados de la realidad peruana.
Palabras clave: Comportamiento microeconómico: principios; economía del consumidor: teoría.
ABSTRACT
This is the first chapter of a book about pre graduate Microeconomics, which not only presents the themes to study at an intuitive, graphic and mathematical level, but also introduces the institutional and contextual elements of a country like Peru, as much as the gender relationships where it is pertinent. In this chapter we present the simple model of consumer. We start from the conditions of optimization and go the duality analysis in order to present the substitution and ordinary income effects. After deriving the ordinary and compensated demand curves, and add the concept of price and income elasticity, we finally get to the Slutsky Equation. We also present the revealed preferences theory, and then we follow with the different ways of measuring the changes in consumer’s welfare when prices change. Finally we derive the market demand curve and the concepts of average and marginal income. There where it is pertinent, this chapter deepens the study of the different themes with examples from Peruvian reality.
Keyword: Microeconomic Behavior: Underlying Principles, Consumer Economics: Theory
MICROECONOMÍA: PREFERENCIAS Y ELECCIONES DE LOS CONSUMIDORES
Cecilia Garavito1
1. INTRODUCCIÓN
El estudio de las elecciones del consumidor parte de un modelo simple donde el individuo busca maximizar una función que representa sus objetivos, sujeto a restricciones relacionadas con su participación en el mercado. Así, dadas sus preferencias y la existencia de escasez, el individuo escogerá aquella combinación de bienes que le permita maximizar su bienestar. El bienestar del individuo está representado por una función de preferencias, y la escasez por una recta de presupuesto. Sin embargo, el individuo no está aislado sino que forma parte de una familia, y en algunos casos trabaja en una empresa, o forma parte de alguna organización. En resumen, el individuo vive en sociedad y las instituciones de ésta influyen en su comportamiento económico. Adicionalmente, en la sociedad existen roles más o menos flexibles asignados a los géneros, roles que no solamente limitan sus posibilidades de elección, sino que también afectan sus preferencias.
Ejemplo 1.1: Decisiones Individuales versus Decisiones Familiares
Cada mes deben hacerse compras de bienes y servicios para el hogar. Los bienes de consumo diario (como los alimentos) deben comprarse con una frecuencia mayor que los bienes de consumo durable (como los accesorios del hogar), y hay servicios que deben pagarse una vez al mes (energía, agua). Si el hogar es unipersonal, podemos decir que la decisión depende de las preferencias y restricción de presupuesto de un individuo, pero si hay más de una persona, esa abstracción tan simple no necesariamente refleja la realidad. Becker (1965, 1993) asume que existe un jefe de hogar benevolente de manera que si bien son sus preferencias las que cuentan, se preocupa por los demás miembros del hogar. Para el caso de Canadá, Browning y Chiappori (1998) demuestran que el modelo unitario no explica las decisiones familiares. En el caso del Perú, Monge (2004) encuentra evidencia empírica que permite rechazar el modelo unitario para el caso de los gastos en comida, en educación y en salud de los miembros del hogar; y Garavito (2012) encuentra evidencia de que el género es importante en las decisiones familiares sobre la educación de los hijos.
1 Profesora Principal del Departamento de Economía de la Pontificia Universidad Católica del Perú.
Ejemplo 1.2: Preferencias y Género
En el análisis de las elecciones del consumidor, se asume que las preferencias están dadas, y que existe altruismo al interior de la familia. Sobre el primer punto, Folbre (1986, 1996), Folbre y Nelson (2000), y Woolley (1992) señalan que existe una contradicción lógica al suponer un comportamiento altruista dentro del hogar, y uno competitivo en el mercado. Sobre el segundo punto, Sen (1989) señala que las percepciones de los géneros sobre el propio bienestar se ven alteradas por la socialización diferencial que reciben, como cuando a las mujeres se le enseña que siempre debe poner el bienestar del resto de la familia sobre el suyo.
En este capítulo vamos a ocuparnos de la teoría del consumidor, analizando cómo la decisión de un individuo sobre los bienes y servicios que consume se expresa a través de demandas individuales, las cuales pueden agregarse para obtener la curva de demanda de mercado. En el siguiente capítulo vamos a analizar las extensiones de ese modelo simple.
El consumidor desea consumir una canasta de bienes, dadas sus preferencias. Sin embargo, los ingresos de que dispone y los precios de los bienes representan límites a su capacidad de consumo. Es así que el consumidor debe encontrar el equilibrio entre sus preferencias subjetivas y su restricción de presupuesto (ingresos y precios de mercado de los bienes y servicios que desea consumir). Entonces, como primer paso debemos definir la función de preferencias del individuo.
2. PREFERENCIAS Y UTILIDAD
Para definir la función de preferencias del individuo partimos de una serie de supuestos sobre su comportamiento. El modelo más simple asume que el individuo elige entre conjuntos de bienes y servicios a los cuales llamamos canastas de consumo. Si la canasta de consumo (Y) está compuesta por m bienes, podemos expresarla por medio de la siguiente
ecuación:
) ,..., ,
(y1 y2 ym
Donde yj representa la cantidad del bien o servicio j que el individuo i
consume. El consumidor debe poder decidir qué canasta prefiere, es decir, cuál le permitirá obtener un mayor nivel de bienestar. Necesitamos entonces una función de preferencias sobre el conjunto de canastas de bienes Ω. Debemos poder responder a preguntas como: ¿Por qué algunas personas prefieren el cine y otras los libros? ¿Por qué algunas personas prefieren una combinación de ambos y no otra? ¿Por qué algunos bienes son consumidos solamente por un grupo de personas y no por otro? ¿Por qué el bienestar de algunas personas depende del bienestar de otras? ¿Cómo decide la familia qué y cuánto consumir? Muchas de estas preguntas se pueden contestar con el modelo más simple, por lo cual empezaremos con él. El resto de preguntas las desarrollaremos en el capítulo siguiente.
2.1 Axiomas de la Elección Racional
Sea Ω un conjunto convexo2 de canastas de consumo, donde cada canasta contiene
m
bienes (y1,y2,...,ym). Para poder derivar la función de preferencias o de utilidad partimos de los siguientes supuestos:Reflexividad: Este supuesto es sobre todo una condición matemática, pero se puede interpretar como la necesidad de que la canasta de bienes no esté vacía. Matemáticamente, dada la canasta Y'=(y1',y2',...,ym'), debe cumplirse la siguiente relación:
' '
~Y
Y La canasta Y es “al menos tan buena como” si misma
Completitud: Dadas dos canastas de bienes, el consumidor debe poder elegir entre ambas. Entonces, decimos que dadas las canastas Y' e Y", donde
) ' ,..., ' , ' (
' y1 y2 ym
Y = e Y"=(y1",y2",...,ym"), se cumple una de las siguientes relaciones:
" ' Y
Y La canasta Y' “es preferida a” la canasta Y"
' " Y
Y La canasta Y" “es preferida a” la canasta Y'
" ~ ' Y
Y La canasta Y' “es equivalente a” la canasta Y"
Transitividad: Una vez que establecemos que las canastas de bienes no pueden estar vacías, y que el consumidor siempre puede elegir entre dos de ellas, la transitividad nos asegura coherencia en el orden de dichas elecciones. Así tenemos que dadas las canastas Y', Y" e Y'", donde la canasta Y'"=(y1'",y2'",...,ym'")se cumple que:
Si Y'Y", e Y"Y'", entonces Y'Y"'
También se cumple que:
Si Y'~Y", e Y"~Y'", entonces Y'~Y"'
Es decir, si la canasta Y' es preferida a (es equivalente a) la canasta Y", y la canasta Y" es preferida a (es equivalente a) la canasta Y"', entonces la canasta Y' es preferida a (es equivalente a) la canasta Y"'.
No Saturación: Pasamos ahora a comparar las canastas tomando en cuenta las cantidades de los diversos bienes que poseen. Dado que un consumidor siempre prefiere más bienes a menos bienes (no saturación), una canasta Y' será preferida a otra canasta Y", si Y' contiene al menos más de un bien y no menos del resto de bienes otro. Por ejemplo dadas las siguientes canastas de dos bienes cada una
Y
'
=
(
y
1'
,
y
2'
)
eY
"
=
(
y
1"
,
y
2"
)
, Y' será preferida a Y" en los siguientes casos:Si yi'= yi", e yj'> yj" ∀i,j=1,2
Si yi'> yi", e yj'> yj"
Continuidad: Cuando un individuo escoge entre canastas, asumimos que todos los bienes en la canasta tienen la misma importancia, que no hay jerarquías entre estos. Es decir, el tipo de bienes al interior de la canasta no
determina la elección, sino las cantidades de estos bienes, tal como se vio en el axioma anterior. De esta manera estamos dejando de lado otros supuestos posibles sobre la forma en que los consumidores eligen los bienes3, con el fin de obtener una función de utilidad con ciertas características que la hacen más sencilla.
Formalmente, suponemos que los conjuntos Ψ1 y Ψ2, definidos de la
siguiente manera: Ψ1 ={Y /Y Y'} y Ψ2 ={Y/Y'Y}, son cerrados y limitados por su frontera. Este axioma implica que si un individuo dice que Y' es preferida a Y", cualquier canasta entre Y' e Y" será también preferida a Y". Otra manera de verlo es decir que el lugar geométrico de las canastas menos preferidas que el conjunto Ψ1, y preferidas al conjunto Ψ2 es una función
continua.
2.2 La Función de Utilidad
A partir de los supuestos anteriores se puede derivar una función de utilidad para los m bienes y/o servicios que consume el individuo:
) ,..., , ( )
(Y U y1 y2 ym U
U = = (ii)
Donde la función de utilidad
U
es un indicador del orden de satisfacción queel consumidor obtiene a partir de los bienes y servicios consumidos. Por lo tanto si calculamos un valor a partir de una forma funcional específica, éste será arbitrario e indicará solamente dicho orden de satisfacción. Entonces, si tenemos dos canastas Y' e Y", se cumple lo siguiente:
) " ( ) '
(Y U Y
U > ⇔ Y'Y"
) " ( ) '
(Y U Y
U ≥ ⇔ ' '
~Y
Y
) " ( ) '
(Y U Y
U =
⇔
Y'~Y"
3 Específicamente, la teoría de las Preferencias Lexicográficas, donde existe una jerarquía entre los bienes al interior de una canasta.
2.3 Curvas de Indiferencia
La curva de indiferencia nos muestra las distintas canastas o combinaciones de bienes que mantienen el nivel de utilidad constante. Si fijamos este nivel en U0:
) ,..., , ( 1 2
0 U y y yn
U = (iii)
En la Figura 1.1 podemos ver una curva de indiferencia para el caso de dos bienes. La pendiente de esta curva es negativa y representa la tasa de cambio entre ambos bienes, es decir, a cuánto de
y
2 está dispuesto arenunciar el consumidor para obtener una unidad más de
y
1, manteniendo elnivel de utilidad constante. Vemos asimismo que la curva es convexa. Esto se debe a que a medida que el individuo tiene menos
y
2 está dispuesto arenunciar a menos de éste bien a cambio de más
y
1.Figura 1.1: Curva de indiferencia para el caso de dos bienes. La pendiente de la curva de indiferencia es el cociente entre la reducción en el consumo del bien
y
2 y el aumento consiguiente en el consumo del bieny
1, necesarioSi tomamos diferenciales totales a la expresión (iii):
2 2 1 1
0 0 dy
dy dU dy dy dU
dU = = +
Reordenando la expresión, obtenemos la relación marginal de sustitución en el consumo ( )
2 1y
y
RMSC , la cual representa pendiente de la curva de
indiferencia. Esta relación es decreciente debido a que depende de la escasez relativa de ambos bienes.
2 1
2 1 1
2
2 1
U U
dy dU
dy dU
dy dy
3. CONJUNTO FACTIBLE Y RECTA DE PRESUPUESTO
El conjunto factible es la capacidad de compra del consumidor, y la recta de presupuesto el límite máximo de dicha capacidad de compra. Partimos de que el consumidor conoce su ingreso y los precios de mercado de los bienes que va a comprar, y asumimos que su demanda de bienes es muy pequeña en relación a la demanda agregada de cada bien, por lo que no puede influir en los precios.
3.1 El Conjunto Factible
Supongamos que los precios de los bienes
y
1 ey
2 sonP
1 yP
2,respectivamente. Si el ingreso del consumidor es constante e igual a
I
entonces:
I
y
P
y
P
1 1+
2 2≤
(v)Es el conjunto factible del consumidor, donde el gasto total en ambos bienes puede ser menor o igual al ingreso total. El conjunto factible representa la capacidad de compra de bienes del consumidor, es decir, su ingreso real, y como tal será mayor a mayor ingreso del consumidor y a menores precios. (Ver Figura 1.2).
3.2 La Recta de Presupuesto
Debido al axioma de no saturación asumimos que el consumidor gasta todo su ingreso, en cuyo caso obtenemos la recta de presupuesto:
I
y
P
y
P
1 1+
2 2=
(vi)En la Figura 1.2 podemos ver el conjunto factible y la recta de presupuesto. La pendiente de la recta de presupuesto es la relación de intercambio
(
RI
)
en el consumo y nos muestra los precios relativos, es decir, dice a qué tasa es posible intercambiar los dos bienes en el mercado.Figura 1.2: Conjunto Factible y Recta de Presupuesto. El Conjunto Factible es el conjunto de todas las canastas que el individuo puede comprar, mientras que la Recta de Presupuesto es el lugar geométrico de las canastas que el individuo efectivamente compra cuando gasta todo su ingreso. La pendiente de la recta de presupuesto o relación de intercambio (RI) es el negativo del cociente entre el precio del bien
y
1 y el precio del bieny
2.Si tomamos diferenciales a la recta de presupuesto, dado que el ingreso es constante, obtenemos una expresión matemática para la relación de intercambio del mercado
(
RI
)
:2 1 1 2 2 1
P P dy
dy RIyy = =−
)
(
vii
Ejemplo 1.3 A mediados de los años 80 en el Perú había alta inflación y escasez de productos. En estos años el consumidor muchas veces tenía que comprar otros productos para obtener los que realmente necesitaba. Así, era común tener que comprar, por ejemplo, dos paquetes de fideos para sopa
por cada tarro de leche. Esto cambiaba el conjunto factible del consumidor, introduciendo una restricción adicional. Así, si
y
1 es la leche yy
2 una bolsade fideos, el conjunto factible era el siguiente:
I
y
P
y
P
1 1+
2 2≤
1
2
2
y
y
≥
Como podemos ver la figura siguiente, el conjunto factible es solamente la zona achurada:
4. LA ELECCIÓN OPTIMA DEL CONSUMIDOR
Entonces, dadas sus preferencias y sus restricciones, asumimos que el consumidor busca maximizar su función de utilidad sujeta a su recta de presupuesto. Formalmente, y para dos bienes, el problema económico del consumidor es el siguiente:
Max
U
=
U
(
y
1,
y
2)
.
.
a
s
I
=
P
1y
1+
P
2y
2Construimos el Lagrangiano y obtenemos las condiciones de maximización de primer y segundo orden:
)
(
)
,
(
y
1y
2I
P
1y
1P
2y
2U
+
−
−
=
Λ
λ
0 1 1 1 = − ∂ = ∂ Λ ∂ P dy Uy
λ
(viii)0 2 2 2 = − ∂ = ∂ Λ ∂ P dy U
y
λ
(ix)0
2 2 1
1 − =
− = ∂
Λ
∂ I Py P y
λ
(x)Dividiendo la expresión (viii) entre la expresión (ix), obtenemos la condición de equilibrio del consumidor:
2 1 2 2 1 1
P
P
y
U
y
U
=
∂
∂
∂
∂
) (xiLo cual quiere decir que en el óptimo la relación marginal de sustitución en el consumo es igual a la relación de intercambio del mercado. Las condiciones de segundo orden garantizan que el óptimo sea un máximo4.
En la Figura 1.3 podemos ver la condición de equilibrio del consumidor, donde dada su recta de presupuesto y su función de utilidad, éste consumirá la canasta
(
1,
2)
A A
y
y
A
=
. Si reemplazamos ambos puntos en la función deutilidad tendremos el nivel de Utilidad Directa en el punto
A
:)
,
(
1 2A A
A
U
y
y
U
=
(xii)Figura 1.3: El equilibrio se obtiene cuando la RMSC (relación de intercambio subjetiva) se iguala a la RI del mercado (relación de intercambio objetiva). La pendiente de la recta de presupuesto (RI) es el negativo del cociente entre el precio del bien
y
1 y el precio del bieny
2.Tomando diferenciales totales a la expresión (xi) obtenemos:
)
(
)
(
11 1 12 2 2 1 1 21 1 22 22 2
1
dP
P
U
dy
U
dy
U
dP
P
U
dy
U
dy
Si
dP
1=
dP
2=
0
, entonces:0
22 1 12 2 11 2 21 1 1 2>
−
−
=
U
P
U
P
U
P
U
P
dy
dy
Si
dP
1=
dy
1=
0
, entonces:0
22 1 12 2 1 2 2<
−
−
=
U
P
U
P
U
dP
dy
Si
dP
2=
dy
1=
0
, entonces:0
22 1 12 2 2 1 2>
−
=
U
P
U
P
U
dP
dy
Lo cual nos permite reemplazar (xi) con una expresión equivalente:
) , , ( 1 1 2
2
− + +
= f y P P
y (xiii)
Reemplazando la expresión (xiii) en la expresión (x) obtenemos:
)
,
,
(
1 1 22 1
1
y
P
f
y
P
P
P
I
=
+
Despejando
y
1 en función de los parámetros, y asumiendo quey
1 yy
2 sonbienes normales, obtenemos la curva de demanda del bien
y
1:
) , , ( 1 2
1 1
+ + −
= y P P I
yd d (xiv)
Con lo cual la demanda individual del bien
y
1 depende negativamente de supropio precio, y positivamente del precio del bien
y
2 y del ingreso. Sireemplazamos la expresión (xiv) en la expresión (xiii), obtenemos la curva de demanda individual del bien
y
2:) , , ( 1 2
2 2
+ − +
= y P P I
yd d
) (xv
Ambas curvas de demanda individual son homogéneas de grado cero en los precios y en el ingreso5. Esto significa que el dinero no afecta las decisiones reales, ya que si elevamos el ingreso de un individuo y los precios de los bienes que compra en la misma proporción, se mantienen constantes tanto los precios relativos como su ingreso real, y por lo tanto, la canasta de consumo elegida no cambia.
Ejemplo 1.4 Siguiendo con el problema presentado en el Ejemplo 1.3, veamos que sucede con la condición de óptimo del consumidor si dicha canasta no es alcanzable con la restricción de cantidades proporcionales de bienes
(
y
2≥
2
y
1)
6. Entonces si bien el consumidor maximizaría su utilidad en el puntoA
si no existiera dicha restricción, debido a que existe el puntoóptimo es
A
'
:I/P2
0 y2
y1 I/P2
y2=2y1
A A’
5 Ver el Apéndice Matemático.
6 Este sería un caso de solución de esquina. Ver las condiciones de primer orden de Kuhn – Tucker en el Apéndice Matemático.
En la siguiente sección llevaremos a cabo el análisis de estática comparativa, donde veremos los efectos sobre las variables endógenas del modelo (y1,y2) de los cambios en las variables exógenas (I,P1,P2).
Efecto Ingreso y Curva de Engel
La función de demanda de la expresión (xiv) puede rescribirse de la siguiente manera:
= +
−
I P P y yd d ,
2 1 1
1 (xvi)
Donde la cantidad demandada del bien
y
1 dependerá negativamente de losprecios relativos y positivamente del ingreso nominal. Si tomamos diferenciales totales:
dI I y P P d
P P
y dy
d d
d
∂ ∂ + ∂
∂
= 1
2 1
2 1
1
1 (xvii)
Si el ingreso aumenta y los precios relativos se mantienen constantes podemos trazar la Trayectoria de Expansión del Ingreso (TEI), que unirá los puntos óptimos del consumidor. Sabemos que si la cantidad demandada de un bien aumenta al aumentar el ingreso, se trata de un Bien Normal; en este caso la TEI tendrá una pendiente positiva (ver Figura 1.4). Si la cantidad demandada del bien disminuye al aumentar el ingreso, se trata de un Bien Inferior y la TEI tiene pendiente negativa (ver Figura 1.5).
A partir de la TEI es posible derivar la Curva de Engel para cada bien, la
cual es el lugar geométrico de los cambios en las cantidades óptimas demandadas de un bien ante cambios en el ingreso, manteniendo los precios relativos constantes. La pendiente será positiva si se trata de un bien normal y negativa si se trata de un bien inferior. En la Figura 1.6 podemos ver una Curva de Engel para el caso de un bien normal.
Figura 1.4: La Trayectoria de Expansión del Ingreso tiene pendiente positiva porque los dos bienes son normales.
Figura 1.5: La Trayectoria de Expansión del Ingreso tiene pendiente negativa porque el bien y2 es inferior.
Figura 1.6: La Curva de Engel es el lugar geométrico de los cambios en las cantidades óptimas demandadas de un bien ante cambios en el ingreso del individuo, manteniendo los precios relativos constantes.
4.1 Elasticidad - Ingreso
La Elasticidad – Ingreso se define como el cambio porcentual en la cantidad consumida óptima de un bien, ante un cambio de
1
%
en el ingreso nominal, manteniendo los precios relativos constantes.
∂ ∂ = ∂ ∂ =
1 1 1
1 , 1
y I I y
I I
y y
I y
η
(xviii)Dado que la elasticidad – ingreso nos muestra los cambios en el consumo de los bienes ante cambios en el ingreso de los individuos es posible estimar los efectos de políticas de ingresos sobre el consumo. La elasticidad – ingreso toma diferentes valores de acuerdo al tipo de bien:
1
, 1I > y
η
Bienes de lujo1
, 1I = y
η
Servicios1
0<
η
y1,I < Bienes esenciales0
, 1I < y
η
Bienes inferioresEn el Cuadro 1.1 podemos ver las elasticidades – ingreso de demanda para algunos bienes de consumo, por estratos de ingresos. Los datos son de Lima Metropolitana y se obtuvieron a partir de la Encuesta Nacional de Propósitos Múltiples (ENAPROM) para los años 1983 y 1984. Como podemos ver las elasticidades difieren entre los hogares pertenecientes a los diferentes estratos de ingresos; por ejemplo, en el caso de los pasajes en ómnibus, éste es claramente inferior para el estrato alto, mientras la cerveza blanca es un bien de lujo para los estratos bajo y medio. La leche evaporada, en cambio, tiene elasticidad menor a uno en hogares pertenecientes a los tres estratos.
Cuadro 1.1
Elasticidades Ingreso por Bienes de Consumo Específicos
Bienes Estrato Bajo Estrato Medio Estrato Alto
Papa Blanca 0.522 0.211
Gas Propano 0.209 0.214 0.146
Margarina Envasada 0.305 0.376 0.578
Aceite Vegetal 0.447 0.401 0.380
Res, Bisteck 0.536 0.757 0.262
Leche Evaporada 0.769 0.645 0.426
Limón 0.490 0.532 0.572
Detergente 0.367 0.428 0.304
Bebidas Gaseosas 1.065 0.84 0.601
Cerveza Blanca (botella) 1.676 1.526 0.604
Pasaje en Omnibus o Micro 0.424 0.318 -0.189
Pasaje en Taxi 0.782 0.733
Gasolina 1.733 0.717
Otra manera de medir la respuesta de la demanda ante cambios en los ingresos es a partir de la elasticidad gasto – ingreso:
I y I
g
I I
y y
I I
y P y P
I I
y P y P
, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,
1
) ( )
(
η
η
∂ =∂ = ∂
∂ = ∂
∂ =
) (xix
Podemos ver en la expresión (xix) que dado que el precio del bien es exógeno, la elasticidad gasto – ingreso es igual a la elasticidad ingreso de demanda.
4.2 Efecto Sustitución y Curva de Demanda
Si hacemos dI =0 en la expresión (xvii) obtenemos la Trayectoria de Expansión del Precio (TEP), la cual une los puntos óptimos del consumidor cuando los precios relativos cambian y el ingreso nominal se mantiene constante. En este caso debemos tomar en cuenta que si bien la caída del precio de un bien lo hace relativamente más barato con respecto al resto de bienes, también implica un aumento del ingreso real del individuo. Es así que separamos el efecto del cambio del precio sobre el consumo del bien (Efecto Precio) en dos partes: El cambio en la cantidad demandada cuando los precios relativos cambian, si el ingreso real se mantiene constante (Efecto Sustitución); y el cambio en la cantidad demandada, a precios relativos constantes, cuando se permite que el ingreso real cambie. Para poder determinar estos efectos que definir lo que entendemos por Ingreso Real Constante en este contexto.
4.3.1 Ingreso Real Constante a la Hicks7
Hicks define el Ingreso Real en relación a la utilidad que el individuo obtiene de los bienes que consume, de manera que para este autor el ingreso real se mantiene constante si al cambiar los precios relativos la nueva canasta elegida permite al consumidor mantener el nivel de utilidad
inicial. En la Figura 1.7 podemos ver cómo al caer los precios relativos debido a la reducción de
P
1, el individuo pasa de consumir la canasta A aconsumir la canasta B. Este cambio en los precios relativos da lugar
entonces a un Efecto Sustitución a la Hicks, donde a los nuevos precios y manteniendo el nivel de utilidad constante el individuo consumiría la canasta
h
C . Dado que el ingreso real si varía, aumentando en este caso, si
suponemos que los dos bienes son normales el individuo consumirá más de ambos bienes, pasando de la canasta Ch a la canasta B (Efecto Ingreso).
Entonces la suma de ambos efectos medirá el cambio total en el consumo del bien
y
1 debido al cambio en los precios relativos (Efecto Precio).Figura 1.7: La suma del efecto sustitución a la Hicks (y1A → y1Ch)
y el efecto ingreso (y1Ch → y1B)
es igual al efecto precio ( 1 1 ) B A
y y → .
A partir de la Figura 1.7 obtenemos la curva de demanda ordinaria del bien
1
y , cuya pendiente será negativa. Nos preguntamos entonces ¿qué sucederá
con la pendiente de la curva de demanda si el bien y1 es inferior? Como
veremos más adelante en la sección 4.4 esto dependerá de los valores absolutos de los efectos sustitución e ingreso.
4.3.2 Ingreso Real Constante a la Slutsky8
Existe otra definición del ingreso real que utilizaremos cuando estudiemos la Teoría de las Preferencias Reveladas, pero que conviene estudiar aquí. Slutsky define el Ingreso Real en relación a la canasta inicial que el individuo consume, de manera que el ingreso real se mantiene constante si al cambiar los precios relativos el individuo podría en principio consumir la misma canasta si así lo deseara. En la Figura 1.8 podemos ver cómo al caer los precios relativos debido a la reducción de
P
1, el individuopasa de consumir la canasta A a consumir la canasta B. Este cambio en los
precios relativos da lugar entonces a un Efecto Sustitución a la Slutsky, donde a los nuevos precios y manteniendo la posibilidad de consumir la canasta inicial el individuo consumiría la canasta Cs. Si bien hemos dibujado
las curvas de indiferencia que pasan por las canastas A y B como
referencia, la elección del punto Cs no se hace a partir de éstas. Dada la
canasta A, al caer el precio de
y
1, éste bien se hace relativamente másbarato que el bien
y
2, y por lo tanto el individuo pasará a consumir lacanasta Cs, la cual es parte de un grupo de canastas a las que ahora tiene
acceso y que antes no estaban a su alcance. Dado que el ingreso real si varía, aumentando en este caso, si suponemos que los dos bienes son normales, el individuo ahora consumirá más de ambos bienes, pasando de la canasta Cs a la canasta B (Efecto Ingreso). Nuevamente, la suma de ambos
efectos mide el cambio total en el consumo del bien
y
1 debido al cambio enlos precios relativos, y se denomina Efecto Precio. Finalmente hemos indicado donde se encuentra el punto Ch de Hicks con fines de comparación.
Como se puede ver, si ambos bienes son normales, el efecto sustitución a la Slutsky será mayor que el efecto sustitución a la Hicks.
Figura 1.8: La suma del efecto sustitución a la Slustky ( 1A 1Cs)
y
y → y el
efecto ingreso (y1Cs → y1B)
es igual al efecto precio ( 1 1 ) B A
y y → .
4.3 Curvas de Demanda: Análisis Gráfico
La Curva de Demanda Ordinaria de un bien es el lugar geométrico de las cantidades totales consumidas a cada precio, y su forma depende de la suma de los efectos sustitución e ingreso. Las Curvas de Demanda Compensadas son curvas de demanda en las cuales el ingreso real se mantiene constante, y por lo tanto su forma solamente depende del efecto sustitución. En la Figura 1.9 vemos las curvas de demanda ordinaria
(
cdo
)
, compensada a la Hicks(
cdch
)
y compensada a la Slutsky(
cdcs
) para el casode un bien normal. Vemos así que las curvas de demanda compensadas son menos elásticas que la curva de demanda ordinaria, debido a que cuando el
bien es normal los efectos sustitución e ingresos se refuerzan y las curvas de demanda compensadas solamente tienen el efecto sustitución.
Figura 1.9: El efecto precio (y1A →y1B) es igual a la suma del efecto
sustitución a la Hicks ( 1A 1Ch)
y
y → y el Efecto ingreso (y1Ch → y1B). Asimismo, el efecto precio es igual a la suma del efecto sustitución a la Slustky
) ( 1A 1Cs
y
y → y el correspondiente efecto ingreso (y1Cs y1B)
→ .
En el caso de un bien inferior, el efecto ingreso será negativo y contrario al efecto sustitución, por lo cual se pueden dar dos situaciones de acuerdo a las magnitudes relativas de ambos efectos. En la Figura 1.10 vemos el caso en que el valor absoluto del efecto ingreso es menor que el valor absoluto del efecto sustitución, por lo cual si bien la curva de demanda ordinaria será menos elástica que las curvas de demanda compensadas, la primera tendrá una pendiente positiva.
0 y1
P1
A P1A
P1B
y1A y1Ch y1Cs y1B
cdo
cdch cdcs
cdch cdcs
Figura 1.10: El efecto Precio (y1A → y1B) es igual a la suma del efecto
Sustitución a la Hicks ( 1A 1Ch)
y
y → y el efecto ingreso (y1Ch y1B)
→ . Asimismo, es igual a la suma del efecto sustitución a la Slustky ( 1A 1Cs)
y
y → y el efecto
ingreso (y1Cs →y1B).
Finalmente, en la Figura 1.11 podemos ver el caso de un bien inferior donde el valor absoluto del efecto ingreso es mayor que el valor absoluto del efecto sustitución, la curva de demanda ordinaria tendrá pendiente positiva. A este bien se le conoce como Bien Giffen9.
9 Para un análisis de este tipo de bienes y de la hambruna en Irlanda leer G. Dwyer Jr. y C. Lindsay (1984).
Figura 1.11: El efecto precio (y1A → y1B) es igual a la suma del efecto
sustitución a la Hicks ( 1A 1Ch)
y
y → y el efecto ingreso (y1Ch y1B)
→ . Asimismo, es igual a la suma del efecto sustitución a la Slustky ( 1A 1Cs)
y
y → y el efecto
ingreso (y1Cs →y1B).
4.4 Elasticidad – Precio de Demanda
La Elasticidad – Precio de demanda mide el cambio porcentual en la cantidad consumida de un bien cuando su precio cambia en 1%, manteniendo el ingreso nominal constante. Esta elasticidad se mide sobre la Curva de Demanda Ordinaria.
∂ ∂ = ∂ ∂ =
1 1 1 1
1 1
1 1 ,
1 1
y P
P y
P P
y y
P y
η
(xx)La elasticidad – precio de demanda puede tomar diferentes valores, los cuales están asociados a diferentes tipos de bienes:
1
1 , 1P <− y
η
Bienes no esenciales1
1 , 1P =− y
η
Servicios0 1
1 , 1 <
<
−
η
y P Bienes esenciales0
1 , 1P > y
η
Bienes GiffenEs posible también medir la elasticidad – precio sobre las Curvas de Demanda Compensadas, en cuyo caso siempre será negativa ya que depende solamente del efecto sustitución.
En el Cuadro 1.2 podemos ver las elasticidades – precio de demanda para algunos bienes de consumo, por estratos de ingresos. Los datos son de la ENAPROM de 1983 y 1984 para Lima Metropolitana. Como podemos ver las elasticidades precio de demanda difieren entre los hogares pertenecientes a los diferentes estratos de ingresos; por ejemplo, en el caso del aceite vegetal y las bebidas gaseosas solamente los hogares del estrato alto tienen una elasticidad menor a -1.
Cuadro 1.2
Elasticidades Precio de Demanda por Bienes de Consumo Específicos
Bienes Estrato Bajo Estrato Medio Estrato Alto
Papa Blanca -0.37 -0.37
Gas Propano -1.03 -0.86 -0.85
Margarina Envasada -0.95 -1.07
Aceite Vegetal -1.46 -1.46 -0.93
Res, Bisteck -0.71 -0.52
Leche Evaporada -1.41 -1.17 -1.05
Limón -0.63 -0.76 -0.73
Detergente -0.82 -0.97 -0.83
Bebidas Gaseosas -1.21 -1.19 -0.91
Cerveza Blanca (botella) -0.99
Pasaje en Omnibus o Micro -0.50 -0.40 -1.05
Pasaje en Taxi -0.22
Gasolina -0.44 -0.49
4.5 Elasticidad – Precio Cruzada Bruta
La Elasticidad – Precio Cruzada Bruta es el cambio porcentual en la cantidad consumida de un bien, ante un cambio de 1% en el precio de otro bien, manteniendo el ingreso nominal constante.
∂ ∂ = ∂ ∂ =
1 2 2 1
2 2
1 1 , 2
1 y
P P y
P P
y y
P y
η
(xxi)La Elasticidad - Precio Cruzada Bruta puede tener distintos signos, de acuerdo a la relación entre ambos bienes:
0
2 1,P >
y
η
Bienes sustitutos brutos0
2 1,P =
y
η
No hay relación entre los bienes0
2 1,P <
y
η
Bienes complementarios brutosLa Elasticidad – Precio Cruzada Neta se mide sobre las curvas de demanda compensada, y por lo tanto es negativa cuando solamente hay dos bienes.
En el Cuadro 1.3 podemos ver las elasticidades – precio cruzadas y de demanda para dos bienes de bienes de consumo, por estratos de ingresos. Los datos son de la ENAPROM. Como podemos ver no solamente las elasticidades difieren entre los hogares pertenecientes a los estratos alto y bajo de ingresos, sino que en caso del estrato alto el kerosene y el gas propano no son sustitutos como sí lo son en el caso del estrato bajo.
Cuadro 1.3
Elasticidades Precio y Cruzadas por Bienes de Consumo Específicos
4.6 Identidades de las Elasticidades
Existen ciertas relaciones entre las elasticidades que pueden derivarse a partir del modelo simple de la demanda del consumidor. Si partimos de la restricción de presupuesto:
I
y
P
y
P
1 1+
2 2=
(xxii)Derivando (xxii) con respecto al ingreso
I
obtenemos:1 2 2 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ I I I y P I y P
Si multiplicamos y dividimos cada término de la suma por el ingreso, así como por la cantidad del bien correspondiente y reordenamos, obtenemos:
1
2 2 2 2 1 1 1 1=
∂
∂
+
∂
∂
y
I
I
y
I
y
P
y
I
I
y
I
y
P
Trabajando con la expresión, derivamos la Identidad de Engel:
1 )
1
( ,
, 2
1I + − y I =
y k
k
η
η
(xxiii)Bienes Estrato Bajo Estrato Alto
Kerosene Gas Propano Kerosene Gas propano
Kerosene -0.78 0.34 -0.59 n.r.
Gas Propano 0.29 -1.03 n.r. -0.85
Donde
I
y
P
k
=
1 1, yI
y
P
k
2 21
−
=
. Esta expresión nos dice que para unindividuo dado la suma ponderada de las elasticidades ingreso de su demanda de los bienes que consume es igual a 1, donde las ponderaciones son los porcentajes de su ingreso que gasta en el bien respectivo. Si ahora derivamos la expresión (xxii) con respecto a
P
1 obtenemos:0
1 1 2 2 1 1 1 1=
∂
∂
=
∂
∂
+
+
∂
∂
P
I
P
y
P
y
P
y
P
Reordenando la expresión hallada:
1 1 2 2 1 1 1
y
P
y
P
P
y
P
=
−
∂
∂
+
∂
∂
Trabajando con esta expresión tal como en el caso anterior obtenemos la Identidad de Cournot:
k k
k y P + − y P =− 1 2 1
1, (1 )
η
,η
(xxiv)Esta expresión nos dice que para un individuo la suma ponderada de las elasticidades de todos los bienes que consume con respecto al precio de uno de los bienes es igual al negativo del porcentaje de su ingreso que gasta en dicho bien, donde las ponderaciones son los porcentajes de su ingreso que gasta en cada bien. Si ahora partimos de la ecuación de demanda individual, y recordamos que esta es homogénea de grado cero en los precios e ingresos, por la ecuación de Euler obtenemos:
I
I
y
P
P
y
P
P
y
ny
d
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
1 2 2 1 1 1 1 1I
I
y
P
P
y
P
P
y
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
1 2 2 1 1 1 10
Si dividimos toda la identidad entre
y
1, y reordenamos, obtenemos laRestricción de Homogeneidad:
0
, , , 1 1 2 1 1P + y P + y I =
y
η
η
η
(xxv)Esta restricción nos dice que para un individuo la suma de las elasticidades precio de demanda, cruzada y de ingresos de un bien es igual a cero.
5. FUNCIÓN DE UTILIDAD INDIRECTA
Otra manera de expresar el nivel de utilidad se puede obtener si reemplazamos las ecuaciones (xiv) y (xv) en la función de utilidad, con lo cual obtenemos una expresión donde el nivel de utilidad depende no de las cantidades consumidas (Utilidad Directa) sino de los precios e ingresos, que determinan dichas cantidades, a la cual llamamos Función de Utilidad Indirecta: )] , , ( ), , , (
[y1 P1 P2 I y2 P1 P2 I U
V = d d (xxvi)
Para establecer los signos de la función, debemos derivarla con respecto a las variables exógenas. Así, si derivamos la función de utilidad indirecta con respecto al ingreso:
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ I y y y y U I y y y y U I V d d d d 2 2 2 2 1 1 1 1
Dado que la derivada de una función de demanda con respecto a un punto particular es igual a 1, la expresión anterior se transforma en:
∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ I y y U I y y U I
V d 2d
2 1
1
Por otro lado sabemos por las expresiones (viii) y (ix)que:
j j P y U
λ
= ∂ ∂Donde
λ
es el multiplicador lagrangiano del problema de maximización de utilidad.Por lo tanto:
λ
λ
λ
= ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ I I I y P I y P IV 1 1d 2 2d
Esto quiere decir que
λ
es equivalente a la “utilidad marginal” del dinero, es decir nos dice en cuanto aumenta la utilidad de un individuo ante un incremento en una unidad monetaria en su ingreso nominal:λ
= ∂ ∂ I V ) (xxviiSi ahora derivamos la función de utilidad indirecta con respecto a uno de sus precios, obtenemos la siguiente expresión:
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 P y y y y U P y y y y U P V d d d d
Haciendo los reemplazos pertinentes, obtenemos:
d d d d y y P I P y P P y P P V 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1
λ
λ
λ
=− − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂
Donde
λ
representa la variación en la utilidad del individuo por el cambio en el ingreso real, e dy
1 representa la reducción del poder de compra delingreso monetario en ese punto. Esta expresión se denomina Identidad de Roy.
d
y P V
1 1
λ
− = ∂
∂ (xxviii)
Esto se cumple para los precios de todos los bienes de la canasta elegida. De esta manera, tenemos finalmente los signos de la función de utilidad indirecta:
) , , (−1 −2 +
=V P P I
V (xxix)
Entonces, si los bienes consumidos son normales, un mayor ingreso nominal con precios constantes (mayor ingreso real) llevará a un mayor nivel de utilidad (indirecta). Asimismo, mayores precios de los bienes con un ingreso nominal constante (menor ingreso real) llevará a una reducción de la utilidad.
6. FUNCIÓN DE GASTO MÍNIMO
Hemos definido el problema del consumidor como la asignación de sus recursos escasos (ingreso) entre fines diversos (gasto en bienes). La expresión matemática de ese problema es la maximización de la función de utilidad del individuo bajo la restricción de su recta de presupuesto. ¿Qué sucede si lo que el individuo desea es mantener determinado nivel de utilidad
0
U dados los precios de los bienes, y gastando el mínimo posible? La
expresión matemática de este problema sería la minimización del gasto
G
,bajo la restricción de alcanzar el nivel de Utilidad U0. Este problema es el
Min
G
=
P
1y
1+
P
2y
2.
.
a
s
U0 =U(y1,y2)Construimos el Lagrangiano y obtenemos las condiciones de minimización de primer orden:
)] , (
[ 0 1 2
2 2 1
1y P y U U y y
P + + −
=
Λ
λ
0
1 1 1
= − = ∂
Λ
∂ P U
y
λ
(xxx)0
2 2 2
= − = ∂
Λ
∂ P U
y
λ
(xxxi)0 ) , ( 1 2
0 − =
= ∂
Λ
∂ U U y y
λ
(xxxii)Dividiendo (xxx) entre (xxxi) obtenemos la condición de equilibrio del consumidor:
2 1
2 2
1 1
P
P
y
U
y
U
=
∂
∂
∂
∂
) (xxxiii
Lo cual quiere decir que la relación marginal de sustitución en el consumo debe ser igual a la relación de intercambio del mercado. Las condiciones de segundo orden nos garantizan que el punto obtenido sea un mínimo10. En la Figura 1.12 podemos ver la condición de equilibrio del consumidor, donde dada su recta de presupuesto y su función de utilidad, éste consumirá la canasta
(
1,
2)
A A
y
y
A
=
.
Si reemplazamos ambos puntos en la Recta de Presupuesto obtendremos el Gasto en el punto
A
:A A
A
P
y
P
y
G
=
1 1+
2 2 (xxxiv)Tal como lo hicimos para el problema de maximización de utilidad, tomamos diferenciales totales a la expresión (xxxiii) y obtenemos los signos de la siguiente expresión:
) , , ( 1 1 2
2
− + +
= f y P P
y (xxxv)
Figura 1.12: El equilibrio se obtiene cuando la RMSC (subjetiva) se iguala a la RI del mercado (objetiva). La pendiente de la recta de presupuesto (RI) es el negativo del cociente entre el precio del bien
y
1 y el precio del bieny
2.Reemplazando (xxxxv) en la restricción de utilidad: )] , , ( ,
[ 1 1 1 2
0 U y f y P P
U =
Despejamos
y
1 en función de los parámetros y obtenemos la curva dedemanda compensada a la Hicks del bien
y
1:) , , ( 1 2 0 1
1
+ + −
= y P P U
yh h (xxxvi)
Si reemplazamos la expresión (xxxvi) en la expresión (xxxv), obtenemos la
curva de demanda compensada a la Hicks del bien
y
2:) , , ( 1 2 0
2 2
+ − +
= y P P U
yh h (xxxvii)
Ambas curvas de demanda son homogéneas de grado cero en los precios. Esto significa que si ambos precios cambian en la misma proporción, manteniendo el ingreso real constante (a la Hicks), la canasta de consumo elegida no cambiará. Si ahora reemplazamos (xxxvi) y (xxxvii) en la función de gasto, obtenemos la Función de Gasto Mínimo:
) , ( ) , , ( ) , ,
( 1 2 0 2 2 1 2 0 1 2, 0
1
1y P P U P y P P U m P P U
P
m= h + h = (xxxviii)
Para establecer los signos de esta función, debemos derivarla con respecto a las variables exógenas. Así, si derivamos la función de gasto mínimo con respecto al precio de uno de los bienes:
(
)
1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 P I y P y P y P y P y P P y P y P m h h h h h h h ∂ ∂ + = ∂ + ∂ + = ∂ ∂ + ∂ ∂ + = ∂ ∂Como la derivada del ingreso con respecto a cualquiera de los precios es igual a cero, obtenemos el Lema de Shephard:
h
y P m
1 1
= ∂
∂ (xxxix)
Lo cual quiere decir que es posible derivar la curva de demanda compensada a la Hicks a partir de la Función de Gasto Mínimo. Por otro lado sabemos que si una función f(x,y) tiene derivadas parciales continuas, entonces fxy = fyx.
Dado que en el caso de la función de gasto mínimo, sus derivadas existen y son continuas (Lema de Shephard), entonces tenemos la segunda propiedad de dicha función:
2 1 2
1 2
2
P
P
m
P
P
m
∂
∂
=
∂
∂
∂
) (xl
Es decir, en el caso de las segundas derivadas cruzadas, el orden en el cual se derive la función no altera el resultado. La expresión (xl) también implica que los efectos precio cruzados son simétricos:
1 2 2 1
dP y
P yh ∂ h
= ∂
∂
Finalmente, sabemos que si el precio de uno de los bienes aumenta, el consumidor tendrá que aumentar su gasto mínimo para mantener U0, pero
que debido al efecto sustitución consumirá menos del bien relativamente más caro y más del otro bien. Es decir, el gasto mínimo aumentará pero menos que proporcionalmente al aumento del precio del bien:
0
2 1 2
<
∂
∂
P
m
) (xli
Es decir, la segunda derivada de la función con respecto a uno de los precios será menor que cero. Esto implica que la curva de demanda compensada siempre tiene pendiente negativa:
0
1 1 <
∂ ∂
P yh
En la siguiente sección vamos a estudiar los efectos sustitución e ingreso en forma matemática, a partir de las funciones de utilidad indirecta y de gasto mínimo.
7. LA ECUACIÓN DE SLUTSKY
La Ecuación de Slutsky es la expresión matemática del efecto precio, el cual es igual a la suma del efecto sustitución y el efecto ingreso. A partir de análisis de la sección anterior, sabemos que se cumple lo siguiente:
Max
I
P
P
V
(
1,
2,
)
=
U
=
U
(
y
1,
y
2)
(xlii).
.
a
s
I
=
P
1y
1+
P
2y
2Min U
P P
m( 1, 2, 0)=
G
=
P
1y
1+
P
2y
2 (xliii).
.
a
s
U0 =U(y1,y2)Si evaluamos la función de gasto mínimo para un nivel de utilidad igual al de la utilidad indirecta de la expresión (xlii), obtenemos el ingreso del consumidor:
I
I
P
P
V
P
P
m
[
1,
2,
(
1,
2,
)]
≡
(xliv)Asimismo, si evaluamos la función de utilidad indirecta para un nivel de gasto igual al gasto mínimo de la expresión (xliii), obtenemos la utilidad dada en dicha expresión:
0 0 2 1 2
1, , ( , , )]
[P P m P P U U