PDF Semana nro3 IUPMA Área bajo la Curva 20-05-17

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REPÚBLICA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO PEDAGOGICO MONSEÑOR RAFAEL ARIAS BLANCO

Asociado a la Universidad Pedagógica Experimental Libertador

MSc. Henry Martínez

Objetivo General

Representar los datos de frecuencia normal bajo la curva.

Variable Aleatoria Continua.

Es aquella que puede asumir un número infinito de valores dentro de un determinado rango.

Por ejemplo, el peso de una persona podría ser 80.5, 80.52, 80.525,... dependiendo de la precisión

de la báscula.

Distribución de probabilidad normal

La Normal es la distribución de probabilidad más importante. Multitud de variables aleatorias

continuas siguen una distribución normal o aproximadamente normal. Una de sus características

más importantes es que casi cualquier distribución de probabilidad, tanto discreta como continua,

se puede aproximar por una normal bajo ciertas condiciones. La distribución de probabilidad normal

y la curva normal que la representa, tienen las siguientes características:

• La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la distribución. De

esta manera, la media aritmética, la mediana y la moda.

Así, la mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra

mitad está a la izquierda de dicho punto.

• La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media.

• La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es

asintótica, lo que quiere decir que la curva se acerca cada vez más al eje X pero jamás llega a tocarlo. Es decir, las “colas” de la curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones.

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Uso de la tabla de las áreas y ordenadas de la distribución normal y de la Chi cuadrado.

El lograr tabular dentro de una tabla denominada de las áreas o de las Probabilidades de la

Curva Normal, todas las posibles superficies o áreas comprendidas dentro de las ordenadas de tal

distribución, solamente quedaría como como requisito obligatorio para el uso de dicha tabla, el de

convertir toda distribución probabilística con tendencia hacia la normal de media aritmética distinta

de cero y de desviación típica distinta de uno a una.

Eso se logra, tipificando la variable en estudio (Xi) a través de la siguiente fórmula:

Zi= 𝑋𝑖− 𝑥̅ 𝜎

Donde:

Zi = Variable tipificada con la cual entraríamos en la tabla de las áreas. Xi = Cada uno de los valores de la variable estudiada.

𝑿̅ = Media Aritmética.

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Ejercicio.

1.- Los salarios de 65 técnicos de la industria petrolera se distribuyen normalmente con una 𝑋̅ =

2300 𝐵𝑠/𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 y una 𝜎 = 150 𝐵𝑠/𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠.

a) Hallar la probabilidad de que un técnico dentro de esa industria obtenga un salario inferior a

Bs. 2.400 diarios.

Datos

N = 65

𝑋̅ = 𝐵𝑠. 2300

𝜎 = 𝐵𝑠. 150

X1 = Bs. 2400

P ( < 2400) = ?

Área rallada = Probabilidad a determinar.

0.50

2300 2400 Tipificando la Variable:

Z1= 𝑋𝑖− 𝑥̅ 𝜎

=

2400−2300

150 = 0.66 valor a buscar en la tabla = 0.2454

P ( < 2400 Bs) = 0.50 +0.2454 = 0.7454 al multiplicar por 100 para obtener el valor en

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b) Determinar probabilidad de que un Técnico obtenga un salario superior a Bs. 2500 diario.

Datos

𝑋̅ = 𝐵𝑠. 2300

𝜎 = 𝐵𝑠. 150

X1 = Bs. 2500

P ( > 2500) = ?

0.50

2300 2500

Tipificando la variable

=

2500−2300 150

=

200

150= _____________valor a buscar en la tabla = 0.4082

Como la tabla nos da el área que va desde la media aritmética (centro de la curva) a un lado,

para hallar el área o probabilidad por encima de Bs. 2500, tendríamos que restar dicha área obtenida

de 0.50

P ( < 2500 Bs) = 0.50 - 0.4082 = 0.0918 al multiplicar por 100 para obtener el valor en

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C) Determinar el número de técnicos que se espera dentro de esa industria, obtengan salarios

comprendidos entre Bs. 2000 y Bs. 2250 diarios.

Datos

N = 65 Técnicos

𝑋̅ = 𝐵𝑠. 2300

𝜎 = 𝐵𝑠. 150

X1 = Bs. 2000

X2 = 2250

P ( entre Bs. 2000 y 2250) = ?

2000 2250 2300

=

2000−2300

150

= _________

valor a buscar en la tabla = 0.4772

=

2250−2300

150

= _________

valor a buscar en la tabla = 0.1293

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Z1 – Z2 = 0.4772 – 0.1293 = _________= __________%

Si deseamos saber la cantidad de técnicos realizamos una regla de tres. ** Hacer la regla de tres y decir cuantos técnicos obtendran ese salario. **

c) Determinar la probabilidad de que un técnico obtenga un salario comprendido entre Bs.

2200 y Bs. 2450.

Datos

N = 65 Técnicos

𝑋̅ = 𝐵𝑠. 2300

𝜎 = 𝐵𝑠. 150

X1 = Bs. 2200

X2 = 2450

P ( entre Bs. 2200 y 2450) = ?

2200 2300 2450

=

2200−2300

150

= _______

valor a buscar en la tabla = ____________

=

2450−2300

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Sumando ambas áreas o probabilidades:

Z1 + Z2 =__________+ ___________= _________= __________%

Eercicio.

1.- Calcular el promedio de los estudiantes de Postgrado que tienen retraso para llegar al IUPMA

de 35 min, con una desviación estándar de 10. Calcular: (a) Porcentaje de estudiantes que llegan

con un retraso menor de 50 min; (b) Qué porcentaje de los estudiantes llegan entre 18 y 41 minuto

de retardo al IUPMA; (c) Qué porcentaje de los estudiantes llegan más de 28 min; (d) Qué porcentaje

de estudiantes llegan más de 42.5 min; (e) Qué porcentaje de estudiantes llegan entre 15.8 min y