Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

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Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

Material necesario: Escuadra Cartabón Regla Transportador de ángulos Compás Calculadora

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8.1 Teorema de Pitágoras

Página 172 Actividades

1. Comparando el cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de los otros dos, comprueba si cada triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

a) 26 cm, 24 cm, 10 cm lado mayor 26cm 262 676 lados menores 10cm 24cm 102 100 242 576 100 576 676 Comparamos:676 676

Entonces el triángulo es rectángulo. d) 15 dam, 17 dam, 8 dam

lado mayor 17dam 172 289

lados menores 15dam

8dam

152 225

82 64 225 64 289

Comparamos:289 289

Entonces el triángulo es rectángulo. g) 33 m, 28 m, 33 m lados mayores 33m 33m 332 1089 332 1089 1089 1089 2178 lado menor 28m 282 784 Comparamos784 2178

Entonces es un triángulo acutángulo

Tareas 15-04-2013: todos los ejercicios que faltan del 1

Página 173 Actividades

(2)

Conocemos los dos catetos y queremos calcular la hipotenusa: 1. a b2 c2 152 362 225 1296 1521 39

La hipotenusa mide 39 cm

3 Halla la longitud del cateto desconocido.

Conocemos un cateto y la hipotenusa, hemos de calcular el otro cateto.

c a2 b2 372 122 1369 144 1225 35cm

Tareas 16-04-2013: 4 y 5 de la página 173

8.2 Aplicaciones del Teorema de Pitágoras

Tareas 16-04-2013: todos los ejercicios de la página 175

8.3 Figuras semejantes

Ejemplo

(3)

Consideramos los siguientes cocientes de los lados respectivos: a a 75 1. 4 b b 8. 06 5. 83 1. 382 5 1. 4 c c 43 1. 333 3 1. 3

Este número fruto del cociente de los lados de la segunda figura entre los respectivos de la primera es la razón de semejanza que transforma la primera figura en la segunda.

Calculamos la áreas de nuestro triángulos rectángulos: Área triángulo 1 base altura

2 5 3 2 15 2 7. 5cm 2

Área triángulo 2 base altura

2 7 42 14cm

2

Como antes hemos dividido grande entre pequeño, ahora hacemos lo mismo:

14

7. 5 1. 866 7 1. 9

Calculamos su raíz cuadrada 1. 9 1. 378 4 1. 4

Se cumple que la rázon de semejanza de las áreas es el cuadrado de la rázon de semejanza de los lados.

Ejemplo

Consideramos los siguientes prismas de base rectangular.

Vamos a considerar los cocientes de los lados respectivos de los dos prismas (las medidas de los lados pequeños entre los grandes):

(4)

a a 2. 24 4. 47 0. 501 12 b b 3 6 0. 5 c c 48 0. 5

Resulta que la razón de semejanza del primer prisma respecto del segundo es0. 5.

Vamos a calcular los volúmenes de los dos prismas: Volumen prisma pequeño 2. 24 3 4 26. 88 cm3

Volumen prisma grande 4. 47 6 8 214. 56cm3

Ahora hacemos el cociente del pequeño entre el grande, pensando en volúmenes: 26. 88

214. 56 0. 125 28

Por otro lado, calculamos el cubo de la razón de semejanza:0. 53 0. 125

Se cumple que la razón de semejanza de sus volúmenes es el cubo de la razón de semejanza de los lados.

Tareas 23-04-2013: todas las actividades de la página 177 Tareas 23-04-2013: todas las actividades de la página 178

8.4 Planos, mapas, maquetas.

Ejemplo de la página 179

Distancia Algeciras a Ceuta En el mapa 6mm En la realidad 29 km 29km 6mm 29000000mm 6mm 29000000 6 4 833 300

No nos queda4500000pues no hemos medido muy bien con la regla sobre el mapa. Distancia entre Ceuta y Melilla

En el mapa 5cm En la realidad 225km 225km 5cm 22500000cm 5cm 22500000 5 4. 5 10 6 4500000

Aquí claramente hemos medido mejor sobre el mapa.

Ejemplo de la página 180

Vamos a calcular la superficie de la cocina.

La cocina es un rectángulo, por lo que su superficie será el largo por el ancho. El largo es 4 m en la realidad.

¿El ancho?

En el plano el ancho de la cocina es2. 4cm. En la realidad será2. 4 100 240. 0cm 2. 40 m Por lo tanto, la superficie de la cocina será4 2. 4 9. 6m2

PÁGINA 180 EJERCICIOS

2 En este plano, la distancia real entre los puntos A y B es de 120 m. Obtén la escala a la que está el plano y las distancias reales entreBC, BDyCA.

En el plano la distancia entre los puntos A y B es 5 cm. La escala saldrá de 120m 5cm 12000cm 5cm 12000 5 2400 La escala es1 : 2400 Distancia real BC Distancia en el plano BC 2cm Distancia en la realidad es2 2400 4800cm 48m Distancia real BD Distancia en el plano BD 4. 3cm Distancia en la realidad es4. 3 2400 10320. 0cm 103. 2m

(5)

Distancia real CA Distancia en el plano CA 6. 1cm Distancia en la realidad es6. 1 2400 14640. 0cm 146. 4m Tareas 24-04-2013: 1,3

8.5 Teorema de Tales

Página 181 Actividades

Tareas 25-04-2013: todos los ejercicios de la página 181

8.6 Semejanza de triángulos

Un criterio de semejanza de triángulos (página 182 triángulos a la izquierda) Triángulo Grande ánguloA 40º ánguloB 110º ánguloC 30º ladoAB lado BC lado CA Triángulo pequeño ánguloA 40º ánguloB 110º ánguloC 30º lado A B ladoB C ladoC A Se comprobará de esa forma que:

ánguloA ánguloA ánguloB ánguloB ánguloC ánguloC

Y hemos de calcular las razones: AB A B BC B C CA C A

Entonces la razón de semejanza esr 0. 6

Por lo tanto los tríangulos son semejantes.

Tareas 30-04-2013; todos los ejercicios de la página 182

Ejemplo de semejanza de triángulos rectángulos

1º Ejemplo

Vamos a construir dos triángulos rectángulos a partir de sus catetos: uno que tenga de catetos 2 y 3 cm ABCsiendo el ángulo rectoA otro que tenga de catetos 6 y 9 cm A B C siendo el ángulo rectoA

(6)

Vamos a comprobar que son semejantes, para ello vamos a medir uno de los ángulos agudos. Medimos triánguloABC A 90º C 35º

triánguloA B C A 90º C 35º

Entonces como tienen dos ángulos respectivos iguales, son semejantes.

2º Ejemplo

Vamos a construir dos triángulos rectángulos a partir de un cateto y la hipotenusa: uno que tenga de catetos 3 cm y de hipotenusa 5 cm ABCsiendo el ángulo rectoA uno que tenga de catetos 6 cm y de hipotenusa 10 cm A B C siendo el ángulo recto A

Vamos a comprobar que son semejantes, para ello vamos a medir uno de los ángulos agudos. Medimos triánguloABC A 90º B 53º

triánguloA B C A 90º B 53º

Entonces como tienen dos ángulos respectivos iguales, son semejantes. Tareas 30-04-2013: todos los ejercicios de la página 183

8.7 Aplicaciones de la semejanza de triángulos

Tareas 06-05-2013: todas las actividades de la página 184

PÁGINA 184 ACTIVIDADES

(7)

Como estamos estudiando las sombras en el mismo momento, tenemos dos triángulos rectángulos que tienen la siguiente relación entre los ángulos respectivos:

 Â

Ĉ Ĉ

Entonces esos triángulos son semejantes. En particular se cumple que: AB

A B

CB C B

Tareas 06-05-2013: todas las actividades de la página 185

8.8 Construcción de una figura semejante a otra

Ejemplo 1

Construimos un cuadrilátero pequeñoABCDen la izquierda de la hoja, no al lado del margen. Pintamos un punto E junto al margen de la izquierda. Desde este punto trazamos semi-rectas que pasen por los vértices del cuadrilátero. Medimos los cuatro segmentosEA, EB, EC, EDpara luego marcar puntos G, F, H, Isobre cada una de las semi-rectas respectivas de forma que se cumpla que:

EG 2EA

EF 2EB

EH 2EC

EI 2ED

En ambos cuadriláteros medimos los lados.

En el cuadriláteroABCDmedimos los lados: En el cuadriláteroFGHImedimos los lados: Se cumple que AB FG BC GH CD HI DAIF 12 es la razón de semejanza

(8)

Ejemplo 2

Construimos un triángulo grandeABCen la derecha de la hoja, cerca del margen. Pintamos un punto D junto al margen de la izquierda. Desde este punto trazamos semi-rectas que pasen por los vértices del triángulo. Medimos los tres segmentosDA, DB, DCpara luego marcar puntosE, F, Gsobre cada una de las semi-rectas respectivas de forma que se cumpla que:

DE DA 4 DF DB 4 DG DC 4

En el triánguloABCmedimos los lados: En el triánguloEFGmedimos los lados:

Se cumple que AB A B BC B C CA C A 4es la razón de semejanza

EJERCICIOS FINALES DEL TEMA

1. Calcula el área del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos:

Como el triánguloABCes rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras, es decir; hipotenusa2 cateto2 cateto2

En particular en nuestro caso es: hipotenusa2 14 30 44cm2 es el área del otro cuadrado.

Tareas 08-05-2013: 1(figura derecha), 2

3 Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo u obtusángulo. a) 15 cm, 10 cm, 11 cm

(9)

Hay que calcular los cuadrados de los lados: 152 225 102 100 112 121 225 100 121 221entonces es obtusángulo b) 35 m, 12 m, 37 m

Hay que calcular los cuadrados de los lados:

352 1225

122 144

372 1369

1369 1225 144 1369entonces es rectángulo.

Tareas 08-05-2013: 3(c,d,e,f,g)

4 Calcula el lado desconocido en cada triángulo:

Como el triángulo es rectángulo se puede aplicar el Teorema de Pitágoras:

b2 a2 c2

652 162 c2

4225 256 c2

c2 4225 256 3969

c 3969 63mm

Tareas 08-05-2013: 4(figura izquierda), 5

7 Calcula el perímetro de un rectángulo cuya diagonal mide 5.8 cm, y uno de sus lados, 4cm.

(10)

AC2 AB2 BC2 5. 82 AB2 42

33. 64 AB2 16

AB2 33. 64 16 17. 64

AB 17. 64 4. 2cm

El perímetro es la suma de todos los lados:

4. 2 2 4 2 8. 4 8 16. 4cm

Tareas 09-05-2013: 8

9 Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 13 dm y 19 dm, el lado oblicuo mide 10 dm. Calcula la altura.

Podemos aplicar en el triángulo rectángulo BEC el Teorema de Pitágoras:

BC2 BE2 CE2 102 BE2 62 100 BE2 36 BE2 100 36 64 BE 64 8dm es la altura. Tareas 09-05-2013: 10,11

12 Halla la longitud x en cada uno de las siguientes figuras. C)

Tenemos el triángulo rectángulo GHB donde podemos aplicar el Teorema de Pitágoras: x sería la apotema del hexágono regular (perpendicular desde el centro del polígono a uno de sus lados)

(11)

GB2 GH2 HB2

22 x2 12

4 x2 1

x2 4 1 3

x 3 1. 732 1 1. 7km

Atención: como se trata de un hexágono regular, el radio coincide con el lado. Además, la apotema divide al lado en dos partes iguales.

Tareas 09-05-2013:12(a,b,d)

13 En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que calcular la medida de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo,...) . Si no es exacta, hállalo con una cifra decimal.

a) Se trata de un trapecio rectángulo.

Desconocemos uno de los lados, por lo que tendremos que calcularlo. Para poder aplicar el Teorema de Pitágoras, habremos de construir un triángulo rectángulo.

Trazamos el tríangulo rectánguloAED; en el podemos aplicar el teorema de Pitágoras.

AD2 AE2 DE2 2. 92 22 DE2 8. 41 4 DE2 DE2 8. 41 4 4. 41 DE 4. 41 2. 1m Entonces el perímetroP 2. 9 20 18 2. 1 43. 0m Área area del triángulo rectángulo área del rectángulo

base altura 2 base altura 2 2. 1 2 2. 1 18 2. 1 37. 8 39. 9m 2 Tareas 13-05-2013: 13(b), 14 15

(12)

Área de los cuatro segmentos circulares área círculo área cuadrado 78. 5 50. 4 28. 1cm2

área círculo r2 52 25 78. 540 78. 5cm2

área cuadrado l2 7. 12 50. 41 50. 4 cm2

Como no lo conocemos, hemos de aplicar el Teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo.

Como estamos trabajando en un cuadrado, el triánguloDCE es rectángulo isósceles (DE EC .

DC2 EC2 DE2

DC2 52 52 25 25 50

DC 50 7. 071 1 7. 1cm

Perímetro segmento circular Perímetro círculo Perímetro cuadrado 31. 4 28. 4 59. 8

cm

Perímetro círculo 2 r 2 5 31. 416 31. 4cm Perímetro cuadrado 4 7. 1 28. 4cm

Tareas 13-05-2013: 16,17,18 Tareas 14-05-2013: 24

25 Dibuja en tu cuaderno una figura como la siguiente y amplíala el doble de su tamaño proyectándola desde el punto exterior, E:

Trazamos semi-rectas partiendo de E y pasando por cada uno de los cuatro vértices de la punta de flecha. Medimos las distanciasAE, BE, CE, DE. Sobre cada una de las semi-rectas

(13)

FE 2AE

GE 2BE

HE 2CE

IE 2DE

Al unir los cuatro puntos así determinados, nos queda la figura pedida. Tareas 14-05-2013: 26

28 Sabemos que los siguientes triángulos son semejantes. Halla los lados y los ángulos que faltan. Triángulo grande faltaB

Triángulo pequeño faltaB ,Ĉ, a , b

En el triángulo grande aplicamos que la suma de los ángulos interiores es 180º :

B 180 33 51 180 84 96º

Como los triángulos son semejantes se cumple que los ángulos respectivos son iguales.

B B 96º

Ĉ Ĉ 51º

Sólo nos falta por calcular los lados del triángulo pequeño. c

c

51 2040 producto de medios es igual a producto de extremos c 20 5140 512 25. 5m

b b

73 2040 producto de medios es igual a producto de extremos b 20 7340 73

2 36. 5m

29 Explica por qúe estos dos triángulos isósceles son semejantes:

Se dice que un triángulos es isósceles si tiene dos lados iguales; por lo que, también se cumple que tiene dos ángulos iguales.

En los triángulos que nos dan, se cumple que tienen el ángulo desigual que vale 20º. Por lo que la suma de los otros dos será180 20 160º, por lo que cada uno de ellos mide 160

2 80º.

Por lo tanto, tenemos dos triángulos que tienen sus tres ángulos respectivos iguales; entonces esos dos triángulos son semejantes.

Tareas 16-05-2013:30

32 La altura de la puerta de la casa mide 3 m. ¿Cuál es la altura de la casa? ¿Y la del árbol más alto?

¿Cuál es la altura de la casa?

En el dibujo la puerta mide 1 cm que en la realidad son 3 m.

En el dibujo la casa mide 2.6 cm que en la realidad son2. 6 3 7. 8m ¿Y la del árbol más alto?

En el dibujo el árbol más alto mide 2.5 cm que en la realidad son2. 5 3 7. 5m

33 Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm por 15 cm. El lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 12 cm. Halla:

a) La razón de semejanza para pasar del primer al segundo rectángulo. La razón de semejanza es 12

10 6

5 1. 2

Atención: se está pasando de una figura pequeña a otra más grande. b) El lado mayor del segundo.

Como tenemos la razón de semejanza del pequeño al grande será15 1. 2 18. 0cm c) Las áreas de ambos rectángulos.

Área rectángulo pequeño 10 15 150cm2

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Tareas 16-05-2013: 34

35 Se cae un poste de 14.5 m de alto sobre un edificio que se encuentra a 10 m de él. ¿Cuál es la altura a la que lo golpea?

Esquemáticamente tenemos el siguiente triángulos rectángulo:

Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular el cateto que falta:

AC2 CB2 AB2

14. 52 CB2 102

CB2 210. 25 100

CB 110. 25 10. 5m es la altura a la que golpea el edificio.

36 En las fiestas de un pueblo, cuelgan una estrella de 1 m de altura en medio de una cuerda de 34 m que está atada a los extremos de dos postes de 12 m separados 30 m entre sí. ¿A qué distancia del suelo queda la estrella?

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