Eliminación Gaussiana con pivote parcial

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(1)

Eliminaci´

on Gaussiana con pivote parcial

Luis R´andez

Dpto. Matem´atica Aplicada Facultad de Ciencias Universidad de Zaragoza

(2)

Ejemplo.-Considerar el sistema lineal

1.00×10−4x1+ 1.00x2 = 1.00

1.00x1+ 1.00x2 = 2.00

cuya soluci´on exacta esx1 = 1.00010001. . .,x2= 0.99989998. . ..

Se trata de resolver el sistema lineal anterior con aritm´etica de tres d´ıgitos significativos utilizando eliminaci´on Gaussiana con/sin pivote parcial.

æ æ -1 1 2 3 -1 1 2 3

Fig. 1.- Geometr´ıa inicial del problema

(3)

Sin pivote

Sea la matriz ampliada A

A= 1.00×10−4 1.00 1.00 1.00 1.00 2.00 ,

(4)

Sin pivote

y ahora construimos la matrizL1

L1 =

1.00 0.00

−1.00×104 1.00

(5)

Sin pivote

dando lugar al sistema triangular superior

A= 1.00×10−4 1.00 1.00 0.00 1.00−1.00×104 2.00−1.00×104 ,

(6)

Sin pivote

y con la aritm´etica empleada

A= 1.00×10−4 1.00 1.00 0.00 −1.00×104 −1.00×104 ,

(7)

Sin pivote

tiene por soluci´onx2 = 1.00 yx1 =

1.00−1.00 1.00×10−4 = 0.00 A= 1.00×10−4 1.00 1.00 0.00 −1.00×104 −1.00×104 , æ æ -1 1 2 3 -1 1 2 3

(8)

Con pivote

Considerar la matriz ampliada con las filas permutadasA

A= 1.00 1.00 2.00 1.00×10−4 1.00 1.00 ,

(9)

Con pivote

y ahora construimos la matrizL1

L1 =

1.00 0.00

−1.00×10−4 1.00

(10)

Con pivote

dando lugar al sistema triangular superior

A= 1.00 1.00 2.00 0.00 1.00−1.00×10−4 1.00−2.00×10−4 ,

(11)

Con pivote

y con la aritm´etica empleada

A= 1.00 1.00 2.00 0.00 1.00 1.00 ,

(12)

Con pivote

tiene por soluci´onx2 = 1.00 yx1 =

2.00−1.00 1.00 = 1.00 A= 1.00 1.00 2.00 0.00 1.00 1.00 , æ æ -1 1 2 3 -1 1 2 3

Fig. 2.- Geometr´ıa final del problema

(13)

Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,

    0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1     x =     5 5 2 −2    

Consideremos ahora la matriz ampliada:

    0 2 1 2 5 1 0 1 3 5 3 1 −4 2 2 −4 0 1 1 −2    

(14)

Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,

    0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1     x =     5 5 2 −2    

Consideremos ahora la matriz ampliada:

    0 2 1 2 5 1 0 1 3 5 3 1 −4 2 2 −4 0 1 1 −2    

El pivote hay que escogerlo en la primera columna

(15)

Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,

    0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1     x =     5 5 2 −2    

Consideremos ahora la matriz ampliada:

    0 2 1 2 5 1 0 1 3 5 3 1 −4 2 2 −4 0 1 1 −2    

(16)

Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,

    0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1     x =     5 5 2 −2    

Consideremos ahora la matriz ampliada:

    −4 0 1 1 −2 1 0 1 3 5 3 1 −4 2 2 0 2 1 2 5     L1 =     1 0 0 0 1/4 1 0 0 3/4 0 1 0 0 0 0 1    

Ya est´an permutadas y construimos L1

(17)

Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,

    0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1     x =     5 5 2 −2    

Consideremos ahora la matriz ampliada:

    −4 0 1 1 −2 0 0 5/4 13/4 9/2 0 1 −13/4 11/4 1/2 0 2 1 2 5    

(18)

Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,

    0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1     x =     5 5 2 −2    

Consideremos ahora la matriz ampliada:

    −4 0 1 1 −2 0 0 5/4 13/4 9/2 0 1 −13/4 11/4 1/2 0 2 1 2 5    

El siguiente pivote hay que escogerlo en la segunda columna

(19)

Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,

    0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1     x =     5 5 2 −2    

Consideremos ahora la matriz ampliada:

    −4 0 1 1 −2 0 0 5/4 13/4 9/2 0 1 −13/4 11/4 1/2 0 2 1 2 5    

(20)

Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,

    0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1     x =     5 5 2 −2    

Consideremos ahora la matriz ampliada:

    −4 0 1 1 −2 0 2 1 2 5 0 1 −13/4 11/4 1/2 0 0 5/4 13/4 9/2     L2 =     1 0 0 0 0 1 0 0 0 −1/2 1 0 0 0 0 1    

Ya est´an permutadas y construimos L2

(21)

Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,

    0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1     x =     5 5 2 −2    

Consideremos ahora la matriz ampliada:

    −4 0 1 1 −2 0 2 1 2 5 0 0 −15/4 7/4 −2 0 0 5/4 13/4 9/2    

(22)

Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,

    0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1     x =     5 5 2 −2    

Consideremos ahora la matriz ampliada:

    −4 0 1 1 −2 0 2 1 2 5 0 0 −15/4 7/4 −2 0 0 5/4 13/4 9/2    

El siguiente pivote hay que escogerlo en la tercera columna

(23)

Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,

    0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1     x =     5 5 2 −2    

Consideremos ahora la matriz ampliada:

    −4 0 1 1 −2 0 2 1 2 5 0 0 −15/4 7/4 −2 0 0 5/4 13/4 9/2    

(24)

Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,

    0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1     x =     5 5 2 −2    

Consideremos ahora la matriz ampliada:

    −4 0 1 1 −2 0 2 1 2 5 0 0 −15/4 7/4 −2 0 0 5/4 13/4 9/2     L3=     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1/3 1     ConstruimosL3

(25)

Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,

    0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1     x =     5 5 2 −2    

Consideremos ahora la matriz ampliada:

    −4 0 1 1 −2 0 2 1 2 5 0 0 −15/4 7/4 −2 0 0 0 23/6 23/6    

(26)

En ocasiones, la eliminaci´on Gaussiana con pivote parcial puede no resultar

conveniente. Sea la siguiente matriz hueca, cuya estructura viene dada en

la figura (1), donde los elementos de la diagonal son peque˜nos en valor

absoluto, por lo que ser´ıa necesario permutar filas.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 nz = 494

Fig. 1.- Estructura huecade la matriz

(27)

En la figura (2) se ve que la matriz U se llena completamente de

elementos no nulos, por lo que ser´ıa necesario reservar bastante memoria para su almacenamiento. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 nz = 5050

Figure

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