Eliminaci´
on Gaussiana con pivote parcial
Luis R´andez
Dpto. Matem´atica Aplicada Facultad de Ciencias Universidad de Zaragoza
Ejemplo.-Considerar el sistema lineal
1.00×10−4x1+ 1.00x2 = 1.00
1.00x1+ 1.00x2 = 2.00
cuya soluci´on exacta esx1 = 1.00010001. . .,x2= 0.99989998. . ..
Se trata de resolver el sistema lineal anterior con aritm´etica de tres d´ıgitos significativos utilizando eliminaci´on Gaussiana con/sin pivote parcial.
æ æ -1 1 2 3 -1 1 2 3
Fig. 1.- Geometr´ıa inicial del problema
Sin pivote
Sea la matriz ampliada A
A= 1.00×10−4 1.00 1.00 1.00 1.00 2.00 ,
Sin pivote
y ahora construimos la matrizL1
L1 =
1.00 0.00
−1.00×104 1.00
Sin pivote
dando lugar al sistema triangular superior
A= 1.00×10−4 1.00 1.00 0.00 1.00−1.00×104 2.00−1.00×104 ,
Sin pivote
y con la aritm´etica empleada
A= 1.00×10−4 1.00 1.00 0.00 −1.00×104 −1.00×104 ,
Sin pivote
tiene por soluci´onx2 = 1.00 yx1 =
1.00−1.00 1.00×10−4 = 0.00 A= 1.00×10−4 1.00 1.00 0.00 −1.00×104 −1.00×104 , æ æ -1 1 2 3 -1 1 2 3
Con pivote
Considerar la matriz ampliada con las filas permutadasA
A= 1.00 1.00 2.00 1.00×10−4 1.00 1.00 ,
Con pivote
y ahora construimos la matrizL1
L1 =
1.00 0.00
−1.00×10−4 1.00
Con pivote
dando lugar al sistema triangular superior
A= 1.00 1.00 2.00 0.00 1.00−1.00×10−4 1.00−2.00×10−4 ,
Con pivote
y con la aritm´etica empleada
A= 1.00 1.00 2.00 0.00 1.00 1.00 ,
Con pivote
tiene por soluci´onx2 = 1.00 yx1 =
2.00−1.00 1.00 = 1.00 A= 1.00 1.00 2.00 0.00 1.00 1.00 , æ æ -1 1 2 3 -1 1 2 3
Fig. 2.- Geometr´ıa final del problema
Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,
0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1 x = 5 5 2 −2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
0 2 1 2 5 1 0 1 3 5 3 1 −4 2 2 −4 0 1 1 −2
Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,
0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1 x = 5 5 2 −2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
0 2 1 2 5 1 0 1 3 5 3 1 −4 2 2 −4 0 1 1 −2
El pivote hay que escogerlo en la primera columna
Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,
0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1 x = 5 5 2 −2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
0 2 1 2 5 1 0 1 3 5 3 1 −4 2 2 −4 0 1 1 −2
Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,
0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1 x = 5 5 2 −2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2 1 0 1 3 5 3 1 −4 2 2 0 2 1 2 5 L1 = 1 0 0 0 1/4 1 0 0 3/4 0 1 0 0 0 0 1
Ya est´an permutadas y construimos L1
Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,
0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1 x = 5 5 2 −2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2 0 0 5/4 13/4 9/2 0 1 −13/4 11/4 1/2 0 2 1 2 5
Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,
0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1 x = 5 5 2 −2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2 0 0 5/4 13/4 9/2 0 1 −13/4 11/4 1/2 0 2 1 2 5
El siguiente pivote hay que escogerlo en la segunda columna
Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,
0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1 x = 5 5 2 −2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2 0 0 5/4 13/4 9/2 0 1 −13/4 11/4 1/2 0 2 1 2 5
Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,
0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1 x = 5 5 2 −2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2 0 2 1 2 5 0 1 −13/4 11/4 1/2 0 0 5/4 13/4 9/2 L2 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 −1/2 1 0 0 0 0 1
Ya est´an permutadas y construimos L2
Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,
0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1 x = 5 5 2 −2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2 0 2 1 2 5 0 0 −15/4 7/4 −2 0 0 5/4 13/4 9/2
Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,
0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1 x = 5 5 2 −2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2 0 2 1 2 5 0 0 −15/4 7/4 −2 0 0 5/4 13/4 9/2
El siguiente pivote hay que escogerlo en la tercera columna
Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,
0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1 x = 5 5 2 −2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2 0 2 1 2 5 0 0 −15/4 7/4 −2 0 0 5/4 13/4 9/2
Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,
0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1 x = 5 5 2 −2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2 0 2 1 2 5 0 0 −15/4 7/4 −2 0 0 5/4 13/4 9/2 L3= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1/3 1 ConstruimosL3
Ejemplo.-Sea el sistema linealAx =b,
0 2 1 2 1 0 1 3 3 1 −4 2 −4 0 1 1 x = 5 5 2 −2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2 0 2 1 2 5 0 0 −15/4 7/4 −2 0 0 0 23/6 23/6
En ocasiones, la eliminaci´on Gaussiana con pivote parcial puede no resultar
conveniente. Sea la siguiente matriz hueca, cuya estructura viene dada en
la figura (1), donde los elementos de la diagonal son peque˜nos en valor
absoluto, por lo que ser´ıa necesario permutar filas.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 nz = 494
Fig. 1.- Estructura huecade la matriz
En la figura (2) se ve que la matriz U se llena completamente de
elementos no nulos, por lo que ser´ıa necesario reservar bastante memoria para su almacenamiento. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 nz = 5050
