Análisis en coordenadas cilíndricas de la integridad estructural de un grano de arroz sometido a proceso de secado en lecho fluidizado

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(1)ANÁLISIS EN COORDENADAS CILÍ NDRICAS DE LA INTEGRI DAD ESTRUCT URAL DE UN GRANO DE ARROZ SOMETI DO A PROCESO DE SECADO EN LECH O FLUIDIZADO Tesis de Pregrado en Ingeniería Mecánica. CARLOS MAURO OSORIO OSORI O CODIGO: 200512058 [email protected] Bogotá D.C. ASESOR Gregor io Orlando Porras Rey Ingenier o M ecánico Dr . Sc.. DEPARTAM ENTO DE I NGENI ERÍA M ECÁNI CA. FACULTAD DE I NGENI ERÍ A. UNIVERSI DAD DE LOS ANDES.. Período 2009‐2 BOGOT Á D.C, COLOMBIA. 1.

(2) Agradecimientos Quisiera agr adecer primer o que todo a Dios, por guiar mis pasos y permitirme tener un horizonte más claro par a explot ar mis habilidades. Agradezco a mi fam ilia por todo el apoy o brindado, especialm ent e por haber deposit ado su confianza en mí. Finalmente, agr adezco al profesor Orlando Porr as quien confió siempre en mi gusto por la mecánica t eór ica y m e dio su apoyo en est e campo q ue m uy pocos valoran en este país.. 2.

(3) TAB LA DE CONTENIDO 1. INTRODUCCI ÓN..............................................................................................................................................................11 2. FORMALI ZACIÓN DEL PROBLEMA ...............................................................................................................13 2.1. FUNDAMENTOS Y MÉT ODOS DE SECADO ...................................................................................13 SI ST EMA DE SECADO DE LECHO ESTÁTICO ...................................................................................13 SI ST EMA DE SECADO DE LECHO FLUIDI ZADO.............................................................................13 2.2. OBJETIVOS ................................................................................................................................................................14 OBJETIV O GENERAL..............................................................................................................................................14 OBJETIV OS ESPECÍFI COS..................................................................................................................................14 2.3. RECURSOS .................................................................................................................................................................15 RECURSOS FÍSI COS.................................................................................................................................................15 RECURSOS COMPUTACIONALES ...............................................................................................................15 RECURSOS BIBLIOGRÁFI COS........................................................................................................................15 RECURSOS HUMANOS .........................................................................................................................................15 RECURSOS TEMPORALES.................................................................................................................................15 3. MODELO DEL SECADO DE ARROZ.................................................................................................................17 3.1. CONCEPT O DE H UM EDAD DE GRANO.............................................................................................17 3.2. TRANSFERENCIA DE CALOR ....................................................................................................................17 3.3. DIFUSI ÓN . .................................................................................................................................................................20 3.3. EQUI LIBRIO MECÁNICO................................................................................................................................21 DEZPLAZAMI ENT OS .............................................................................................................................................21 ESFUERZOS EN COORDENADAS CILÍ NDRI CAS.............................................................................22 ESFUERZOS EN COORDENADAS RECTANGULARES . ..............................................................22 CÍRCULO DE M OHR ................................................................................................................................................23 NORMA DE LOS ESFUERZOS..........................................................................................................................23 4. PARÁMETROS DEL MODELO..............................................................................................................................25 4.1. PARÁMETROS TABULADOS . ....................................................................................................................25 4.2. OTROS PARÁMETROS.....................................................................................................................................25 DIM ENSIONES DEL GRANO ............................................................................................................................25 HUM EDAD DE EQUILIBRIO.............................................................................................................................26 CALOR DE DESORCIÓN.......................................................................................................................................27 COEFICIENTE DE EXPANSIÓN HIGROSCÓPI CA............................................................................28 3.

(4) 4.3. PARÁMETROS MECÁNICOS .......................................................................................................................28 ESFUERZO DE FRACT URA . .............................................................................................................................28 MÓDULO DE YOUNG .............................................................................................................................................28 5. SIMULACI ÓN COMPUTACIONAL .....................................................................................................................31 5.1. DI SCRETIZACIÓN T EMPORAL.................................................................................................................31 5.2. CONDI CI ONES I NICI ALES ............................................................................................................................31 5.3. DI SCRETIZACIÓN ESPACIAL.....................................................................................................................31 5.4. FORMULACI ÓN DEBIL DE LAS ECUACI ONES ............................................................................32 TRANSFERENCIA DE CALOR .........................................................................................................................32 PROBLEMA DIFUSIVO .........................................................................................................................................33 FORMULACI ÓN DE GALERKI N PARA DESPLAZAMI ENTOS...............................................34 5.5. ALGORITMO DE SOLUCI ÓN .......................................................................................................................35 ALGORITMO PARA UN PROCESO SIM PLE .........................................................................................36 DISCONTI NUI DAD...................................................................................................................................................36 PUNTOS CLAV E..........................................................................................................................................................37 6. RESULTADOS....................................................................................................................................................................39 6.1. TEMPERATURA ....................................................................................................................................................39 6.2. DIFUSI ÓN Y H UM EDAD .................................................................................................................................45 6.3. ESFUERZOS ..............................................................................................................................................................48 ESFUERZO MÁXIM O PRI NCIPAL Y DI RECCI ONES......................................................................48 ESFUERZOS INDIVI DUALES ...........................................................................................................................60 7. RECOMENDACIONES . ...............................................................................................................................................67 7.1. CORRECCIONES AL ALGORITM O..........................................................................................................67 7.2. RECOMENDACI ONES PARA POST ERI ORES TRABAJOS ....................................................69 7.3. PERSPECTIVAS......................................................................................................................................................70 8. VALIDACI ÓN EXPERIMENT AL ..........................................................................................................................71 9. CONCLUSI ONES ..............................................................................................................................................................73 10. REFERENCI AS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................................................75 11. ANEXOS ..............................................................................................................................................................................77 11.1. CÓDIGOS FEM .....................................................................................................................................................77 CÓDIGO LONDOÑO . ...............................................................................................................................................77 CÓDIGO OSORI O........................................................................................................................................................82 CÓDIGO OSORI O CORREGI DO.......................................................................................................................87 4.

(5) ÍNDICE DE PARÁMETROS/SÍMBOLOS Símbolo Descripción. Unidades. A. Área. [m2]. V. Volumen. [m3]. cp. Capacidad calorífica.. [J/kg.K]. D. Difusividad másica.. [m2/s]. E. Módulo de Yo ung.. [Gpa]. hm. Coeficiente convectivo de transferencia de masa.. [kg/m2.s]. hq. Coeficiente convectivo de transferencia de calor. [W/m2.k]. jm. Flujo específico de masa.. [kghumedad/ m2.s]. jq. Flujo específico de calor.. [kghumedad/ m2.s]. km. Coeficiente de co nductividad másica.. [kg/ m.h.°M]. kq. Coeficiente de co nductividad térmica.. [W/ m.K]. X. Contenido de humedad en base seca. [kg agua/ kg sóli do]. M. Masa. [Kg]. n. Vector normal a la superficie del gr ano. . t. Tiempo.. [s]. T. Temperatura.. [°C]. u. Desplazamiento .. [m]. U. Velocidad del aire. [m/s]. ν. Coeficiente de Poisso n. . w. Contenido de humedad en base húmeda. [kg agua/ kg total]. b. Coeficiente lineal de expansión higroscópica.. . Δt. Cambio en el tiempo. [s]. α. Difusividad Térmica. [m2/s]. Γ. Frontera del dominio.. [m2] 5.

(6) εij. Componente de la deformación en la dir ección j [m/m] en el plano perpendicular al eje i. ΔH. Calor adiabático de desorción. [ J/kg]. ΔLH. Entalpía de vaporizació n. [ J/Kg]. Ω. Dominio de interés. [m3]. ρi. Densidad del medio i. [kg/m3]. σ. Matriz de tensor de Esfuerzos.. [MPa]. σij. Esfuerzo en la componente ij. [MPa]. β. Coeficiente de esfuerzos debido a expansión [MPa] higroscópica. 6.

(7) Subín dices. fc. Fractura a compr esión. amb. Ambiente.. ft. Fractura a tensión. b.s. Base Seca.. ef. Elemento de frontera. b.h. Base Húmeda.. c. Compresión. Superíndices. dif. Difusión.. T. eq. Equilibr io.. g. Grano. Abreviatu ras.. q. Calor. EDP. Ecuación Diferencial Parcial. h. Húmedo. Prom.. Promedio. i,j. r, z, θ. FEM. m. Masa. Método Finito s. 0. Inicial. EMP. Esfuerzo Máximo Principal. t. Tensión. DSC. u. Último. Differential Scanning Calorimetry (Calorimetría de Escaneo Defierencial). s. Seco. Transpuesto. de. lo s. Elementos. 7.

(8) 8.

(9) TAB LA DE FIGURA S Figur a 1. Est ado de esfuer zos para 10 minutos de secado.. ..........................................................12 Figur a 2. Pr oceso de Secado de Arroz por medio de Piscinas. . .................................................13 Figur a 3. Esquema de funcionamiento de un secador de lecho fluidizado. .....................14 Figur a 4. Curvas de humedad de equilibr io par a diferentes Humedades Relat iv as 26 Figur a 5. Result ados experiment ales vs. Relación de Ozt enik‐ Soysal par a ∆ ........27 Figur a 6. Esfuerzos de fract ur a para difer ent es est udios en la liter at ur a. ......................28 Figur a 7. Módulo de Young par a difer entes estudios..........................................................................29 Figur a 8. Espacio de solución. ..................................................................................................................................32 Figur a 9. Puntos clave .....................................................................................................................................................37 Figur a 10. Elipsoide aplast ado................................................................................................................................39 Figur a 11. Elipsoide alargado, utilizando el eje m ayor como eje de rot ación. ..............40 Figur a 12. Distribución de Temper at uras a 120 segundos para 3 difer ent es geom etrías.................................................................................................................................................................................40 Figur a 13. Evolución t empor al de la t em per atur a en el sem ieje m enor...........................41 Figur a 14. Ev olución t emporal de la t emper atur a en z = rM /2. ................................................41 Figur a 15. Ev olución t emporal de la t emper atur a en z = 0.0038. ............................................42 Figur a 16. Distribución espacial de las temperatur as a 50 segundos para el algor itmo de Londoño (arriba) y Osorio (abajo) ....................................................................................43 Figur a 17. Distribución espacial de las temperatur as a 50 segundos para el algor itmo de Londoño (arriba) y Osorio (abajo) ....................................................................................44 Figur a 18. Ev olución t emporal de la humedad para 4 puntos del s emieje menor ....45 Figur a 19. Ev olución t emporal de la humedad para 3 puntos en rM/2. . ..........................45 Figur a 20. Ev olución t emporal de la humedad para 2 puntos en z = 0.0038.................46 Figur a 21. Distribución de Humedad b. s. a 120 seg. (2 min.), a 4000 seg. (1 h 7 min) y a 12000 seg (3 h 20 min), algoritm o Osorio. Humedad de equilibrio: 5.72 % .............................................................................................................................................................................................................47 Figur a 22. Distribución de Humedad b. s. a 120 seg. (2 min.), a 4000 seg. (1 h 7 min) y a 12000 seg (3 h 20 min), algoritm o Londoño. H um edad de equilibrio: 5.72 %........................................................................................................................................................................................................48 Figur a 23. V alor del EMP a través del tiempo en 4 puntos del semieje menor ............49 Figur a 24. V alor del EMP a través del tiempo en 3 puntos en z = rM/2.............................49 Figur a 25. V alor del EMP a través del tiempo en 2 puntos en z = 0.0038.........................50 Figur a 26. V alor de la dirección de los esfuerzos a tr avés del tiempo en 4 puntos del semieje menor. ......................................................................................................................................................................52 Figur a 27. Direcciones de los puntos en z = 0, para el algor itmo de Osorio. ..................53 Figur a 28. V alor de la dirección de los esfuerzos a tr avés del tiempo en 3 puntos de z= rM/2. .......................................................................................................................................................................................53 Figur a 29. V alor de la dirección de los esfuerzos a tr avés del tiempo en 2 puntos de z=0.0038. ....................................................................................................................................................................................54 Figur a 30. Esfuerzo Máximo Pr incipal a tr av és del semieje menor. 120 Segundos.55. 9.

(10) Figur a 31. Esfuerzo Máximo Pr incipal a tr av és del semieje menor. 4000 Segundos. .............................................................................................................................................................................................................55 Figur a 32. Direcciones (en grados) para 120 segundos, 500 segundos y 4000 segundos. Algoritmo Osor io. .....................................................................................................................................56 Figur a 33. Direcciones (en grados) para 120 segundos, 500 segundos y 4000 segundos. Algoritmo Londoño. . .............................................................................................................................57 Figur a 34. Dirección de los esfuerzos principales para el borde. 120 segundos........59 Figur a 35. , y par a el algoritmo de Osorio. 120 segundos............................60 Figur a 36. Esfuerzo cort ant e en el algoritmo de Osorio. 120 segundos..................60 Figur a 37. , , y para el algoritmo de Londoño. 120 segundos...........62 Figur a 38. , y par a el algoritmo de Osorio. 1500 segundos. .......................63 Figur a 39. Esfuerzo cort ant e en el algoritmo de Osorio. 1500 segundos...............63 Figur a 40. , , y para el algoritmo de Londoño. 1500 segundos. ......65 Figur a 41. Difusión par a el algoritmo sin modificaciones a los parámetros y con difusión v ar iable..................................................................................................................................................................67 Figur a 42. Ev olución del EMP en los 9 punt os clave con hm = 10‐7 m/s. .............................68 Figur a 43. Form ación de gr iet as en los arroces. Experiment o de Cnossen et al.........71. Índice de tablas Tabla 1. Par ámetros encontrados en la lit eratur a por Jairo Londoño. ......................25. 10.

(11) 1. INTRODUCCIÓN El est udio r ealizado por Jairo Londoño, y que ahor a continúa en el pr esent e proy ect o de gr ado sur ge a raíz de una inquietud de la empresa Arroz Diana S.A. En su plant a de procesam ient o ubicada a la salida de Yopal en el depart amento de Casanar e, se venía realizando el proceso de secado de arroz paddy empleando el método de lecho est ático, t ambién conocido como “secado en pisc inas”. Sin embargo, durante el tr anscurso del año 2005 el per sonal encar gado de la progr am ación del proceso concluyó que, dada la capacidad de procesam ient o de la planta, er a necesario agilizar el proceso de secado, para m aximizar la producción. El depart am ento de planeación de la empr esa optó por adquirir un sist ema de secado artificial m ás eficient e al dispuesto. Por est a razón la empresa entr ó en cont acto con la compañía suiza Bühler par a encar gar el diseño de un nuevo sistema de secado. La respuesta de la compañía fue un sistem a de lecho fluidizado compuesto de cuatr o secador es dispuest os en tr es etapas. Tras la constr ucción del sistema, el volumen de producción de la plant a aum ent ó según lo planeado. Sin embargo, el porcent aje de gr anos fr act urados aument o dr amát icam ente a raíz del nuev o proceso de secado. Posteriormente, al compar ar los benefi cios adquiridos por el aumento en la capacidad de pr oducción contra la calidad del product o final, concluyer on que seguir empleando el proceso de secado ant erior represent aba menos pérdidas económicas, aunque al final se im plementó una combinación de los dos m ét odos de secado. Pese a la decisión tom ada por dirección de la empresa, el personal de planeación cont actó al serv icio de soport e t écnico que prov ee el fabr icante (Bühler ), quien luego de var ias pruebas del sist ema de secado, no logr ó dar sol ución al problema. Por esta r azón el personal técnico de la empresa productora de arr oz cont actó a la Univ ersidad de los Andes con el propósito de identificar las po sibles fallas y así tomar m edidas correctivas [Londoño, 2007]. El alumno de Maestría Jair o Londoño Fuent es, en el año 2007, hi zo fr ent e a est a problem ática con su asesor de tesis Orlando Porras Rey r ealizando una simulación en elem ent os finit os de este proceso, t om ando en cuent a v ariables como temperat ur a, esfuer zos cortant es y de t ensión, hum edad, entr e otras que afect aban el pr oceso de secado del gr ano. Pr eliminar a su tr abajo y respect iv a simulación, Londoño hizo una inv est igación profunda de los ant ecedentes de su trabajo, como inv estigaciones pr evias que han ido tr abajando a tr avés del tiempo en est e t ema. En cuanto a la part e exper iment al de su t esis, det erm inó pr opiedades mecánicas, higroscópicas y termodinámicas del arroz, corr oborando modelos experim ent ales obtenidos y modelos t eóricos manejados en la literat ur a. Entr e algunas de estas propiedades se det erminaron: el esfuerzo máximo a compr esión (pr ueba brasileña), isot erm as de sorción, densidad del arroz r especto a la cantidad de humedad y calor específico respecto a la t emper atur a con DSC (Differential Scanning Calor imetry).. 11.

(12) Luego de obt ener est as propiedades del grano, realizó una sim ulación en elementos finitos de la cuart a part e de la sección longitudinal del grano (Ver figur a 1), asum iendo sim etría t anto en esfuerzos como en t emper at ur as, llegando a result ados de simulación muy cercanos a los experim ent ales, lo cual mer eció un reconocimiento a su tr abajo de grado.. Figura 1 . Estado de e sfue rzos pa ra 10 minutos de se cad o. [Lond oño, 2007]. Con su método numér ico, logró gener ar una buena aproximación al proceso de reducción de humedad en el secado y la pr edicción realizada del punto de falla del arroz. Sin embargo, la sim ulación r ealizada en coordenadas rectangulares por el alumno de m aestría t enía una falla: tom aba el grano de arroz como una geometría de sección longitudinal elípt ica bidimensional despr eciando la nat ur aleza tridim ensional del problem a. Este proy ecto de gr ado se pret ende hacer una simulación t eniendo en cuent a todos los efectos espaciales, realizándola en coordenadas cilíndricas axi‐simétr icas que se adecúan mejor a la form a elipsoidal aproximada del grano de arroz. Siendo el arroz una fuent e de aliment o tan pr imaria, de hecho el alimento más consumido en el m undo, es supr em am ente importante pr eserv ar la calidad del gr ano en el proceso de secado y garantizar el mejor rendimiento económ ico para el empresar io. El siguient e tr abajo consta de las siguient es part es: una descripción de los difer ent es procesos de secado del arroz y la form alización del problema, el modelamiento mat emático en coordenadas cilíndricas axi‐simétric as basado en el estudio ant erior realizado por Jairo Londoño, el algoritmo de solución para luego llegar a los r esult ados, algunos comentar ios y correcciones par a post eriores trabajos y las conclusiones que r ecopilan los logros y com entarios importantes del proy ect o de grado.. 12.

(13) 2. FORMA LIZACIÓN DEL PROB LEMA 2.1. F UNDAMENTOS Y MÉTODO S D E SECADO SISTEMA DE SECADO DE LECHO ESTÁTIC O. El método de secado m ás económico que se puede encontr ar en el mercado es el de lecho est ático, t ambién llamado m étodo de piscinas. Los princi pales componentes de est e sist ema son: un piso per for ado, un aliment ador de gr ano, un ventilador y una unidad calefact or a de aire (v er figura 2 ). El ventilador de air e caliente comienza a tr abajar una vez se car gue la piscina con el mater ial y no cesa de oper ar hast a que el cont enido pr omedio de humedad del mat erial llegue al valor deseado (12 a 14% b.h). La velocidad de secado depende de variables como: la profundidad o tamaño de la cama de grano, la temperatur a del aire secante y el flujo de aire. Una de las desventajas de este sist ema de secado es el prolongado tiempo en el que se realiza la r emoción de la humedad; pues en la mayoría de casos el pr oceso se puede tar dar entre 24 y 30 horas, dependiendo las condiciones del am bient e y de la temper atur a del aire secant e. Otra desvent aja notable es la falt a de uniformidad del grado de secado de arroz entr e el fondo y la super ficie de la cam a de gr ano [Londoño, 2007].. Figura 2. P roce so de S ecado de Arroz por medi o d e Pi scin as. ( Lond oñ o, 2007). SISTEMA DE SECADO DE LECHO FLUI DIZA DO. La oper ación del secado de lecho fluidizado ofr ece grandes v ent ajas con respecto a otros secadores convectiv os t ales como: m ezcla apropiada de sólidos, transport e fácil de sólidos y altas tasas de tr ansfer encia de m asa y calor . El air e atmosfér ico entra en un sistem a de calefacción (intercambiador de calor ), donde elev a su temperat ur a y reduce su humedad relativ a creando una atmósfera secant e de condiciones dadas. Luego el aire entr a por la part e inferior del secador donde gana humedad a trav és del mecanismo de transferencia de masa y a su v ez conv iert e su ener gía t érmica en: ener gía int er na del agua evapor ada e incr emento de la temperat ur a del grano expuesto a la corriente de aire; de est a forma, facilit ando el proceso de transfer encia de m asa. 13.

(14) Figura 3 . Esque ma de funcion amien to de un secador de lech o flu idizado. (Lond oño, 2007).. Ev entualmente, el grano contenido en la cám ar a encontrar á el equilibrio con el air e secante. Poster iorm ente, el aire con m ayor cont enido de humedad abandona la cámar a de secado y es conducido hacia un ciclón donde las partí culas pequeñas son filtr adas y almacenadas. Por últ imo, el aire es conducido a un ventilador que lo impulsa hacia la atmósfer a de nuevo. Una configuración típica de un sist ema de este tipo, se puede observ ar en la ¡Error ! N o se encuentr a el or igen de la refer encia.figura 3 [Londoño, 2007].. 2.2. OBJETIVO S OBJETIVO GENERAL. Al final del semestr e 2009‐ 2, debe haber una simulación tridimensional en coor denadas cilíndr icas axi‐simétricas del proceso de secado par a un gr ano de arroz, junto con los result ados obt enidos par a cada una de las variables tant o en el tiempo como en el espacio. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. •. Entender los fenóm enos involucr ados en la mecánica de m edios cont inuos y las ecuaciones ligadas a ést os procesos.. •. Modelar adecuadam ente el proceso de secado del arroz.. •. Diseñar un algoritm o r obusto y con error mínimo par a la simulación.. •. Ev aluación de variant es del proceso de secado en búsqueda de la optim ización ener gética y económica.. •. Diseñar una propuest a de secado favor able para la empr esa haciendo uso de la sim ulación obt enida.. •. Como r equisit o de gr ado en Ingeniería Mecánica, se debe present ar a la Biblioteca un informe completo de todo el proceso y los result ados obtenidos. 14.

(15) 2.3. RECURSO S RECURSOS FÍ SICOS. Debido al caráct er t eór ico del pr esente proyect o, no es necesaria la utilización de máquinas u otr os art efactos par a la r ealización de experim entos. La validación experiment al del modelo com put acional se realizará con los result ados obt enidos por Jairo Londoño. RECURSOS C OMPUT ACIONALES. La solución a las ecuaciones difer enciales parciales se realizó a trav és del método de Elem entos Finitos (FEM) em pleando el progr am a FreeFem ++ V. 2.24 y un comput ador portát il ADVANTAGE con Pr ocesador I ntel® Cor e™ Duo T5600 @ 1.83 GHz y 1 GB de Memoria RAM, adquirido en Agosto de 2007. RECURSOS BIBLI OGRÁFICOS. Los libr os utilizados par a la r ealización del tr abajo fueron obt enidos de la Biblioteca General “Ramón de Zubiría”. La t esis de grado de Jairo Londoño fue obt enida gr acias al servicio de Consult a en Línea de la biblioteca de la Univer sidad de los Andes. RECURSOS HUM ANOS. Para la r ealización del proyect o de grado es necesaria la dedicación semanal de 9 horas por part e del tesist a Carlos Mauro Osorio, y la asesor ía de 1 hora semanal del direct or de proy ecto Or lando Porr as. RECURSOS TEMPOR ALES. Para la r ealización del proy ecto se dispuso de 18 semanas y un t iempo adicional de una semana par a la terminación de este informe.. 15.

(16) 16.

(17) 3. MODELO DEL SECA DO DE ARROZ 3.1. CONCEPTO D E HUMEDAD D E GRANO En el pr oceso de formulación del problema de secado es primor dial establecer conv enciones y relaciones que nos indiquen el gr ado de humedad que un punto dado del gr ano tiene en un mom ent o det erminado. Las formas más comunes de indicar esta humedad son por medio de la cant idad de humedad en base húm eda (Ec. 3.1) y en base seca (Ec. 3.2). /. (3.1). (3.2). La relación entr e los dos tipos de hum edades viene dada por la ecuación 3.3. / /. (3.3). /. Las ecuaciones de difusión las cuales serán m encionadas post eri orment e se manejan con concentr aciones de agua en un volum en dado. La relación entr e concentr ación v olumétrica y humedad en base seca viene dada por la ecuación 3.3. (3.4). 3.2. TRANSFERENCIA D E CALOR Los modelos de transfer encia de calor y masa par a m at eriales por osos e higroscópicos fueron pr opuest os por primer a v ez por Luikov (1958) [1]. El result ado fue un sist em a de ecuaciones acopladas de la siguiente maner a. Para la tr ansfer encia de calor se tiene la siguient e ecuación.. (3.5) Donde es la densidad del grano, el calor específico del gr ano, calor, C la concentr ación, ∆ el calor de desorción y t el t iempo.. el flujo de. Para la tr ansfer encia de m asa, suponiendo la no exist encia de reacciones químicas o pérdidas de m asa:. 17.

(18) (3.6) El flujo de calor viene dado por la ecuación 3.7. Podemos despr eciar en este caso los efectos de flujo calorífico por gradientes de concentración de masa y pr esión. (3.7). El flujo másico por su parte viene dado por la ecuación 3.8. En est e caso sólo el gr adient e de concentr ación gener a éste flujo. (3.8) Antes de modelar se debe conv ertir las ecuaciones a humedad en base seca (X). A trav és de los est udios anterior es fue utilizado el modelo de Sokhansanj y Bruce (1987) el cual asumía que la humedad se difundía en forma de lí quido y sólo se ev aporaba en la superficie. Est e modelo asume las siguient es co ndiciones de front era.. (3.9). (3.10) Este modelo es descart ado, siendo el propuest o por H aghighi y Segerlind (1988), Irundur ayaj et al (1992) y Jia (2000) el ut ilizado en definitiv a par a el análisis de transfer encia de calor en el proceso de secado del arroz en lecho fluidizado. El modelo se basa en los siguient es supuest os: • • • • • • •. El material es un m edio continuo La humedad est á pr esent e en forma de líquido y vapor tanto en el int erior como en la superficie del gr ano. La t emperatur a del líquido, el v apor y el sólido es la misma en el mismo punto. La r educción de v olum en no t iene efectos capilares, pues los cambios son muy pequeños. La presión en el inter ior del gr ano permanece constant e durante todo el proceso de secado. Los efect os viscosos en el mat erial son despr eciables. El material se considera como un sólido elástico e isotrópico. 18.

(19) La ecuación par a el dominio volumétr ico Ω es la siguiente. (3.11) El segundo t érmino de la derecha indica el calor añadido en caso dado que la humedad se adhier a a la m atriz sólida en forma de líquido. Como est a hum edad es “arrancada” en el proceso ( 0 ) este calor es igualmente extraído, siendo negat ivo en la ecuación. La anterior Ecuación se simplifica m ediant e la relación que plantea el coeficient e de difusividad t érmica . (3.12) Dando lugar a una ecuación m ás simplificada. (3.13) Suponiendo condiciones de T emper at ur a axi‐simétricas (v alor es i guales a tr avés de la coor denada θ), el laplaciano de las t em per atur as viene dado por la ecuación 3.13. (3.14) La EDP que se aplica al dominio Ω en la tr ansferencia de calor es la siguient e (reem plazando 3.14 en 3.13):. ∆. 0. (3.15) Para las condiciones de front era en Γ la ecuación del modelo de Irunduray aj et al. se escribe, siguiendo los supuestos anterior es:. ∞. ∆. ∞. (3.16). 19.

(20) Pero ya que en el algor itmo se utilizó realment e un modelo sin ev aporación en la front era, la condición se reduce a: ∞. (3.17). V es el volumen de un elemento de fronter a y A el ár ea del elemento de front er a la cual hace cont act o con el ext erior.. 3.3. DIF USIÓN Para el problema difusivo, la ecuación diferencial parcial que rige el comport amiento es:. (3.18) Podemos ver que t anto la difusiv idad equiv alente como la conductividad térm ica, al ser supuestas const ant es en cada paso de tiempo, pueden salir como una constant e de la ecuación, sin ser afect ados por las deriv adas espaciales. Post eriorment e, el Laplaciano en coordenadas cilíndricas es aplicado al problem a: (3.19) Reem plazando 3.1 9 en 3.18 y reor ganizando la ecuación:. 0. (3.20). Para las condiciones de fr ont era, se tiene la siguient e r elación dada por conv ección de masa a tr avés de una fr ont era.. (3.21) La ecuación de difusión es más simple en compar ación con la ecuación del calor y no involucr a más procesos sino conv ección y difusión de masa. Esto favor ece a la resolución de las ecuaciones acopladas, las cuales se resolv erí an paso a paso en vez de solucionar todo un sist ema matricial com plejo de ecuaciones.. 20.

(21) 3.3. EQUIL IBRIO MECÁNICO DEZPLAZAM IENTOS. Para un sistema en equilibrio, se cumple la siguiente ecuación difer encial t ensorial (3.22), llamada ecuación de Cauchy:. (3.22) Asum iendo que la fuerza de grav edad y los desplazamientos son m uy pequeños, esta ecuación se simplifica a la siguiente. (3.23) Cuando los esfuer zos consider an expansión higr oscópica [Oliver , 2002], estos vienen dados por la siguiente ecuación constitutiva tensorial: 2 ,. ∆. (3.24). , ,. (3.25). (3.26). es el Delt a de Kronecker,. Donde. la const ante de lam é y. el Módulo de. deformación tr ansv ersal o G. Si b es el coeficiente de expansión higroscópica, la r elación entr e coeficiente de esfuerzo s higroscópicos, y b es la siguient e:. , llam ado. (3.27) Para el caso axi‐sim étrico [Oliv er , 2002; Chandrupatla, 1999], las deform aciones se definen t anto en su forma t ensor ial (ec. 3.28) y vectorial (ec. 3.29).. 0. 0 0 0. 0. 0 ,. 0 ,. ,. (3.28). 0 ,. ,. ,. (3.29) 21.

(22) La tr aza se define como la sum a de las deformaciones unit arias norm ales (diagonal del t ensor). (3.30) Los esfuerzos son definidos igualmente en form a t ensorial (3.31) y v ectorial (3.32) 0 0 0. 0. (3.31). ,. ,. ,. (3.32). El campo de des plazamient os el cual s oluciona el problem a de eq uilibrio mecánico se escribe: 0. (3.33). Los desplazamient os angular es s on nulos debido a la axi‐s imetrí a del problema. Con los result ados obtenidos en los cam pos de desplazamient os, se pueden obtener post eriorment e variables como las deformaciones unit arias (3.28, 3.29) y los esfuerzos mecánicos (3.24).. ESFUERZ OS EN COORDENA DA S CILÍNDRI CAS. El tensor de esfuer zos resultant e después de la simulación, luego de or ganizar los vect ores, es el siguient e 0 0 0. 0. Los esfuerzos principales 1 y 2 de est e tensor se pueden obtener haciendo uso del círculo de M ohr en el sub‐tensor rz. El esfuer zo principal 3 es autom áticament e igual al esfuerzo angular.. ESFUERZ OS EN COORDENA DA S RECTA NGULA RES. Para realizar la tr ansformación de coor denadas en esfuerzos se utilizan las siguient es relaciones dadas por Timoshenko y Goodier (1968).. (3.37). (3.3 4) (3.3 5) cos. (3.3 6). 2. (3.38) (3.39). 22.

(23) Result ando el siguient e tensor de esfuerzos (3.40) ,. , ,. El tensor de esfuer zos r esult ant e de esta transform ación de coordenadas t iene eigen‐valor es equi valentes al tensor de esfuerzos en coordenadas cilíndricas. El sistem a de coor denadas en este análisis, por ende, NO ES REL EV ANT E par a determinar los esfuerzos principales en el grano. CÍRCULO DE MOHR. Luego de conocer la equiv alencia de eigen‐valores entre ambos sistemas de coor denadas, se pr ocede a determinar los esfuer zos principales dir ect am ente en coor denadas cilíndricas. Como no hay cortantes relacionadas con el esfuerzo angular, el esfuer zo pr incipal 3 es igual directament e al esfuer zo angular. (3.41) Los otros dos esfuerzos principales se pueden determinar con círculo de M ohr (Timoshenko y Goodier, 1968).. ,. (3.42). La dir ección de los esfuerzos principales respecto a las coor denadas de referencia, en radianes por segundo, est á dada por /. Se utiliza el ángulo. (3.43). para diferenciar de la coordenada θ.. NORM A DE L OS ESFUERZOS. Con el fin de descr ibir de maner a más concr et a el comport amient o del esfuerzo en un m aterial o un componente de diseño la may oría de los casos, s e ut ilizan estas norm as. Est o elimina la gran cantidad de v ariables que se obtienen en un análisis estructural, siendo sólo una (la norm a), la cual, dependiendo del t ipo de material a analizar , conviene o no utilizar.. 23.

(24) Esfuerzo de Von Mises La norm a de Von Mises es am pliament e utilizada en ingenier ía par a poder describir con facilidad el com port amiento de los esfuerzos en un material dúctil, y que de preferencia tenga el m ismo comportamiento a t ensión y comprensión. Es por eso que es el m ejor modelo para met ales.. (3.44). Esfuerzo Máximo Principal (EMP) Este crit erio, llamado tam bién el criter io de Rayleigh, establece que par a que el mat erial no falle, ninguno de los 3 esfuer zos principales puede estar fuera del rango entre el esfuerzo de fractur a a com pr esión y a t ensión. ,. ,. Para poder hacer este análisis se debe encontr ar entr e los 3 esfuer zos principales, el que m ayor norma tiene, bien sea a compr esión o a t ensión, y se debe considerar también el signo. Se sigue par a ello el siguiente algoritmo 1. Entre los 3 esfuerzos pr incipales se escoge tanto el máxim o como el mínimo. 2. Se det erminan los valor es absolutos de ambos. 3. Se comparan am bas normas. Si la norma del esfuer zo máximo es mayor que la del esfuer zo mínimo, el esfuer zo m áximo pr incipal es el máximo. En otro caso, es el m ínimo.. 24.

(25) 4. PA RÁMETROS DEL MODELO 4.1. P ARÁMETRO S TABULAD OS Algunas de las r elaciones encontr adas en la lit er atur a por Jairo Londoño para su tesis de maestría se plasman en la tabla 1. Se especifica: el parámetro con sus respectiv as unidades, la ecuación par a el par ám etro dado y la fuente referencia con el año de publicación.. Tabla 1. Pará me tros encontrados en la li tera tura por Jai ro Lond oño.. 4.2. O TROS PARÁMETROS DIMENSI ONES DEL G RANO. Las dimensiones ut ilizadas par a la simulación comput acional son las obtenidas como el promedio en las m ediciones de la tesis de Jairo Londoño . Para sim plificar el problem a, y adem ás poder aplicar elementos finitos axi‐ simétricos se debe consider ar que el elipsoide sólo tiene 2 dim ensiones, y no 3 como en el caso gener al. Esto quier e decir que el elipsoide res ult a de gir ar una semielipse (con un radio menor y m ayor determinados) en un eje de simetría, el cual en este caso es el radio m ayor , para así obt ener un arr oz delgado y largo, como result ado en el sólido de r evolución. Siendo así, las dim ensiones del grano son: 0.0013 0.00425. 25.

(26) El volum en y ár ea superficial vienen dados por las siguient es ecuaciones: Volumen: (4.1). Área su perficial: Ésta es dada por una r elación apr oximada (4.2) [9].. 4. (4.2). , Siendo p = 1.6075. HUMEDA D DE EQUILIBRIO. La humedad de equilibrio se relaciona con la actividad del agua y la temperat ur a T con la ecuación empírica de Henderson (4.3), la cual resultó con menor error entre todas las relaciones em píricas analizadas par a el estudio de Londoño.. Figura 4. Curvas de humedad de equilib ri o pa ra d ife ren te s Humedades Rela tiva s [Lond oño, 2007]. 26.

(27) Los v alor es que arroja est a r elación (4.3) vienen dados en porc entajes, por lo que se debe dividir entr e 100.. º. (4.3). Con los par ámetros: 25.534. 2.16 10. 1.632. Transformando esto a hum edad en base seca tenemos: (4.4) Esta humedad sería finalmente la hum edad de equilibr io que se ut iliza en las condiciones de fronter a de la ecuación de difusión.. CALOR DE DESORCI ÓN. Para la det erm inación de estos parám etros se utiliza la r elación dada por S. Oztenik y Y. Soysal (ecuación 4.5) y ést os se comparan con los result ados obtenidos por Jairo Londoño [2007] para el arroz paddy (v er figur a 5).. Figura 5. Re sul tad os experi men tal es (rosado) v s. Relaci ón de OztenikS oy sal ( azul) pa ra ∆ [Lond oño, 2007]. ∆. ∆. (4.5). Los parámetros obt enidos par a este est udio fueron 2360. 10 .8. ∆. 2253000. 27.

(28) COEFI CIENT E DE EXPANSIÓN HIGR OSC ÓPICA. Para la present e simulación este v alor es igual a 0.28, el m ismo valor utilizado por Jairo Londoño.. 4.3. P ARÁMETRO S MECÁNICO S ESFUERZ O DE FRACTURA. El esfuerzo de fr actur a presenta grandes difer encias a tensión y com presión [Londoño, 2007]. En la figur a 6 se present an graficados los diferent es result ados obtenidos en varios est udios encontr ados en la liter at ura.. Figura 6. Esfuerzos d e fractu ra p ara diferentes estudi os en la literatu ra . “ Este estudi o” e s el estudio de Jairo Londoñ o.. Las r elaciones aproxim adas para estos esfuerzos últ imos son las siguient es:. 10 10. . .. (4.6). . .. (4.7). Debido a que el problema mecánico es bastante complejo se asume como constant es estos valores. En compresión, el arr oz fallará a 90 MPa y en tensión a 10 MPa.. M ÓDULO DE YOUNG. Para el arroz trabajado en el estudio, v aría dependiendo del grano y tipo de arroz trabajado. Esto se puede observar en la figur a 7. 28.

(29) Figura 7. Módulo de Y oung pa ra dife rente s e studios [Lond oño, 2007]. Algunas relaciones apr oximadas que se pueden hacer son: Jairo Londoño (de 6 a 13% b.h (w)). 0,06. ,. 1. (4.8). Kamst et al con compresión diametral. (de 6 a 18 % b.h (w)) 13,75. 0,09. 1.2. (4.9). Chattopadhyay et al co n método de tensió n convencional (10 a 22% b.h (w)). 25. 0,1. 3.7. (4.10). Esto present a pr oblem as par a la simulación, y a que el rango experimental par a el cual se trabaja el arroz en el est udio de Jairo Londoño no incluye la parte de 18 a 24% de hum edad que se debe estudiar al principio del secado. Para esto, se debería asumir ent onces que el módulo de Young en estos r angos es un v alor ar bitr ario bajo, debido a que los esfuerzos en estos puntos, primero que todo son independient es del módulo y además no son lo suficientem ente altos como par a pr ovocar fr actura en el mater ial. Igual que con los esfuerzos de fr actur a se asume un comport amiento const ant e, siendo E = 0.5 GPa.. 29.

(30) 30.

(31) 5. SIMULA CIÓN COMPUTACIONA L 5.1. DISCRETIZACIÓ N TEMPO RAL. Se utiliza el método de Difer encias Finit as regresivas el cual es el más estable y sencillo de los m étodos para discretización en las ecuaciones difer enciales parciales a tr av és del t iempo. Con el fin de logr ar esto, se pr ograma un ciclo for el cual soluciona la ecuación diferencial en cada instante de t iempo ∆t . Las equivalencias de los diferenciales son pr esentadas en las ecuaciones: ∆ ∆. (5.1) (5.2). Luego de solucionar el problema en el inst ante dado, se almacena la variable T o X como variable antigua par a así, cuando se repita el ciclo, volv er a solucionar para el siguient e instant e.. 5.2. CONDICIO NES INICIALES 0. 0. Para todo Ω. 23 º. Para todo Ω. 0.24. Para todo Ω. 5.3. DISCRETIZACIÓ N ESPACIAL Para aplicar el Método de Elem entos Finitos (FEM ) en una geometría 2D se requiere primero triangular el dominio r equerido. Esto par a apl icar las formas variacionales o formulaciones débiles de las ecuaciones y resolv er par a cada paso de tiempo una solución par a los parámetros. La geom etría utilizada en est e caso es un cuarto de elipse, ubicando el eje r en el eje menor, y el eje z en el eje mayor . Est a geom etría bidimensi onal es una “t ajada de ángulo const ant e” de, como se explicó ant er iorm ente, un elipsoide regular. El uso de un cuarto de elipse se debe principalm ent e al uso de simetrías y par a ahorr ar tiempo de sim ulación. Las front er as 1 y 2 de la figur a 8 son front eras de simetría, mientras en la front era 3 ocurre la conv ección tanto másica como ener gét ica.. 31.

(32) Figura 8. Espa ci o de solución .. 5.4. FORMULACIÓN DEBIL DE LAS ECUACIONES TRANSFERENCIA DE CALOR. Luego de la discr etización temporal, las ecuaciones difer enciales parciales result antes son llev adas a su formulación débil para luego ser solucionadas por el progr am a. Con el fin de poder hacer esto, prim ero la ecuación 4.15 se reor ganiza de la siguient e m anera: (5.3). ∆. (5.4). Primero que todo se debe realizar la integral a trav és de todo el dominio de la función de peso multiplicado por el residuo:. 0 (5.5). 32.

(33) Finalmente, aplicando el t eor ema de Gr een y r eem plazando las ecuaciones 4.15 y 4.16 o 4.17 en la ecuación 5.5 resulta la siguient e ecuación int egr al, la cual es la forma var iacional del problem a de tr ansfer encia de calor. Consider ando ev aporación en la fronter a 2. ∆. ∆. 2. 1. ∆. ∞. ∞. 1 ∆. 1. 0. ∆. (5.6 ) Y sin considerar : 2. 1. ∆. ∆. 2. ∞. 1 ∆. 0. (5.7 ) Para la r elación. /. por cada elemento de front er a. /. (5.8). se encuentr a en la librería de FreeFem.. El comando. Las condiciones de frontera para est e pr oblema son 9 Simetría ( 0 en 1 y 2 9 Conv ección t érm ica en 3. PR OBLEM A DIFUSIVO. Para la difusión (ec. 4.20 y 4.21 para la front er a), aplicando el teorem a de Green de forma similar a la ecuación del calor, se obtiene su forma v ariacional (ec. 5.9). La función de peso en est e caso es :. 2. 2. ∆. 0. (5.9 ) 33.

(34) Las condiciones de frontera para est e pr oblema son 9 Simetría ( 0 en 1 y 2 9 Conv ección másica en 3.. FORM ULACI ÓN DE GALERKIN PARA DESPLAZAM IENTOS. La formulación de Galerkin en su forma v ector ial par a esfuerzos en coor denadas cilíndricas axi‐simétricas [Chandr upatla, 1999] es la siguient e: 0. (5.6). El diferencial de ár ea es: (5.7) Las deformaciones unit ar ias v irtuales vienen dadas por el siguient e v ect or: 1 2 (5.8 ) Los desplazamient os virtuales son: 0. (5.9). Reem plazando las ecuaciones 4.24, 4.32 y 5.8 en 5.6: 0 2 ∆. ∆. 0. ∆. 0 (5.10). Resolviendo todas las oper aciones v ectoriales, la expresión queda simplificada de la siguiente manera: ,. ,. 2. ,. ,. ∆. ,. 0. (5.11). 34.

(35) Donde Traza y épsilon son macros utilizadas en el algoritm o. Est án dadas por las siguient es relaciones.. 1, 2. (5.12). 1, 2. (5.13). Las condiciones de frontera son 9 9 9. 0 en la fronter a 1. 0 en la fronter a 2. , ,. 0 en la fronter a 3. 5.5. ALGORITMO DE SO LUCIÓ N El método algor ítmico utilizado par a dar solución a est e problem a en el tiempo es el mismo propuesto por Jairo Londoño. Primero se deben ingresar los par ámetros iniciales o condiciones de secado. Cuando y a se hay an ingresado todas las condiciones iniciales, el algoritmo entr ará en un ciclo for que se repetirá hast a el tiempo límit e ingresado inicialmente. Los parámetros iniciales se clasifican como Parámetros de diseño: V elocidad del Aire U, Temperatura del air e secant e Humedad Relativa HR ( ). Parámetros inici ales dependientes: Humedad d e Equili brio mási ca h m y C oeficien te de convecci ón térmi ca h q. Parámetros te mporales: C ambio d e tiempo ∆ y Tiempo total. ,. , Coefi ci ente de con vección .. Con cada cicl o for se actualiz an l os p arámetros de p ropiedades. Los demás parámetros se especi fican en el d iagrama.. 35.

(36) Diagrama 1. Alg oritmo d e soluci ón [Londoño, 2007].. Luego del procesam iento obtenemos los par ám etros de salida T , X, y , con los cuales podemos hacer un análisis nodal par a obt ener los otros result ados.. ALGORITMO PA RA UN PROCESO SIMPLE. En el algoritmo progr amado se asume que las t emper atur as manejadas por el horno son const ant es en el mom ento de entr ar el arroz. Est o quier e decir que el arroz se somet e a una “entr ada escalón” de temper atur a. Igualment e se llev a a cabo la m ism a suposición para la velocidad y la humedad r elat iva. Sería de gran utilidad realizar un análisis con las propiedades de diseño v ariables en el tiem po, pero no es del alcance de este proy ect o.. DISCONTINUI DA D. Uno de los problem as que más ha afectado la obtención de result ados cr eíbles par a la simulación, ha sido una discontinuidad present ada en la ecuación de los esfuer zos. Debido a que la deformación unit ar ia en la coordenada est á definida como / , se pr esent a un problema de discont inuidad en r=0. Esto sugi ere que los esfuer zos allí son alt os más est o se asimila en mayor medida a un pr oblema mer amente num érico, el cual no t iene sentido físico.. 36.

(37) Para solucionar est e inconv enient e se agrega un muy pequeño, más pequeño que el tam año de malla. Result a entonces la deformación unit aria . A pes ar de todo, el algoritmo s igue presentando problemas pero es posible gr aficar en Fr eeFem sin problemas de escala. Est a medida no afecta los r es ultados en los otros puntos .. PUNTOS CLAVE. Para facilit ar el análisis de result ados y describir a su vez el comportamient o de todas las v ariables tant o en el t iempo como en el es pacio, se escogen unos puntos clav e. Es import ant e recor darlos y a que todos los análisis temporales se r ealizan en bas e a estos puntos Los puntos utilizados son Puntos en el semieje menor z = 0. 9 9 9 9. Punto 1 = (0.00005, 0) m Punto 2 = (rm /4, 0) m Punto 3 = (rm /2, 0) m Punto 4 = (rm , 0) m. Puntos en z = rM/2. 9 Punto 5 = (0.00005, rM/2) m 9 Punto 6 = (0.00056, rM/2) m 9 Punto 7 = (0.00125, rM/2) m Puntos en z = 0.0038 9 Punto 8 = (0.0001, 0.0038) m 9 Punto 9 = (0.00058, 0.0038) m. Figura 9. Puntos cl ave. Recor dem os que rm = 0.0013 y rM = 0.00425. 37.

(38) 38.

(39) 6. RESULTADOS A continuación se present an los r esultados obt enidos para el nuevo algoritmo, y se compar an estos resultados, y realizando el mismo procedimiento de adquisición de datos, con lo obt enido con el algoritmo de Jairo Londoño. Importante: Lo s resultado s del nuevo algoritmo se presentan en líneas continuas, y los del algoritmo de Lo ndoño en líneas punteadas. Esto para facilitar la diferenciación y la explicación de lo s resultados.. 6.1. TEMPERATURA Cómo se distribuyen las Tem pe raturas en cada geom etría. Con el fin de comparar con el uso de los mismos parámetr os de los par ámetros de la sim ulación las diferencias entr e 3 geom etrías, se grafican en un tiempo dado (120 segundos) la distr ibución espacial en el dominio de las temper at uras (figur a 12). La pr imera geometría a analizar es la de un prisma infinito co n sección transversal elíptica. Est a geom etría arroja resultados equivalent es independientemente del sentido en que se encuentr e el dom inio y es result ant e de un análisis en coor denadas rectangulares, por lo cual también se le llama rectangular. Hay que aclarar que la Temper at ura y la H umedad en el algoritm o anterior, realizado por Jairo Londoño, no fue realizado en coordenadas r ect angular es, sino que se calcula con axi‐simetr ía pero en el eje menor, por lo que sería pr udent e analizar también est a geometría. El volum en result ant e de este análisis es un elipsoide aplast ado (figura 10). La nueva geometría plant eada par a el análisis axisimétrico, llamado en el r esto del documento “algoritmo de Osorio ”, propone un sólido de r evolución con sección elípt ica, el cual t iene como eje de rot ación el eje mayor (figur a 11).. Figura 10. Elip soide apla stado, resul tante de usa r el eje men or como ej e de rotación . Imagne tomada de <<http://en ciclop edia.us.e s/i mage s/a/ac/ Elip soide.png>>. 39.

(40) Figura 11. Elip soide alargado, utilizando el ej e mayor como ej e de rotación. [Londoñ o, 2007]. Figura 12. D istribuci ón de Te mp eratura s a 120 segundos en ge ome tría axisimétri ca en el eje menor (a rrib a), re ctangul ar ( izquierd a) y axi simé trica en el ej e may or (dere cha). 40.

(41) Como resultad o se observa que el d omini o rectangular es el qu e menores temperaturas registra en el mi smo tiempo, seguid o del eli psoide aplast ado, y p or últi mo, siendo el que se calienta más rápid o, el eli psoi de alargado.. Evolución tem poral A pesar que se tienen dudas acerca del modelo ut ilizado par a la transfer encia de calor, se grafica su com portamiento en el tiempo, par a los 9 puntos escogidos en la sección de punto s claves.. Temperatura (ºC). 45 40 35 30 25 20 0. 50. 100. 150. 200 Tiempo (seg). 250. 300. (0, 0). (rm/4, 0). (rm/2, 0). (rm, 0). (0, 0). (rm/4, 0). (rm/2, 0). (rm, 0). 350. 400. Figura 13. Evoluci ón te mp oral de l a te mpe ra tura en el se miej e menor.. Temperatura (ºC). 45 40 35 30 25 20 0. 50. 100. 150. 200 Tiempo (seg). 250. 300. (0.00005, rM/2). (0.00056, rM/2). (0.00125, rM/2). (0.00005, rM/2). (0.00056, rM/2). (0.00125, rM/2). 350. 400. Figura 14. Ev oluci ón tempora l de l a te mpe ra tura en z = rM/2.. 41.

(42) 45. Temperatura (ºC). 40 35 30 25 20 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. Tiempo (seg) (0.0001, 0.0038). 0.00058, 0.0038). (0.0001, 0.0038). (0.00058, 0.0038). Figura 15. Evoluci ón te mpora l de l a te mpe ratura en z = 0 .0038.. Se evidencia una r apidez mayor en el aum ento de la temperatura par a el nuevo modelo (algoritmo de Osor io) debido pr incipalment e al menor vol umen y la difer ent e geometría que pr esent a la axi‐simetría en el eje may or. La temperat ura en el borde el gr ano sube r epentinament e a 40 gr ados cent ígr ados, lo que sugiere problemas con algún o algunos de los par ám etros t érmicos. En la sección de Algoritmo recomend ad o se pr esent a un nuev o modelo t érmico el cual tiene una ev olución más coherent e, cambiando algunos par ám etros en el código.. Distribu ción espacial de la Tem peratu ra para am bos algoritm os Basado en el análisis t em por al de la evolución t érmica de las temper at uras, se eligen tiempos det erminados y en éstos, se observ a la distribución espacial par a el elipsoide aplastado (Londoño) y el elipsoide alar gado (Osor io), en plots de FreeFem ®. Los tiem pos escogidos son 50 segundos y 120 segundos.. 42.

(43) A 50 segundos. Figura 16. D istribución espaci al de l as temp eratura s a 50 segundos para el alg ori tmo de Lond oñ o (a rriba) y Osorio (abaj o). Se observ a que la escala muestra una temperatura máxim a un poco mayor a 40 ºC. Esto es un err or de FreeFem , ya que la t emperat ur a máxim a del dominio es de 40ºC, tem per atura a la cual asintóticament e llegan t odos los puntos del dominio. En cuanto a los result ados, éstos son coher ent es con las figur as 12 a 15, donde se muestra que siempre las temperat uras de la geometría de elipsoide aplast ado demora más en calent arse que la geometría de elipsoide alar gado.. 43.

(44) A 120 segundos. Figura 17. D istribución espaci al de l as temp eratura s a 50 segundos para el alg ori tmo de Lond oñ o (a rriba) y Osorio (abaj o). Se observ a una sit uación similar a la de la figur a 15.. 44.

(45) 6.2. DIF USIÓN Y HUMEDAD Evolución tem poral en varios pu ntos Para mostr ar la evolución temporal de la hum edad y cómo se com porta a tr avés del tiempo, se decide graficar los mismos 9 puntos y compar ar estos puntos con la solución dada por Londoño.. Contenido de humedad X (base seca). 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0. 5000 0, 0 0.00005, 0. 10000 Tiempo (segundos) rm/4 rm/4, 0. 15000. rm/2, 0 rm/2, 0. 20000 rm, 0 rm,0. Figura 18. Evolución te mp oral de la hu medad para 4 puntos del se mi eje menor. Contenido de humedad X(base seca). 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0. 5000 0, rM/2 0.00005, rM/2. 10000 Tiempo (seg) 0.00056, rM/2 0.00056, rM/2. 15000. 20000. 0.00125, rM/2 0.00125, rM/2. Figura 19. Ev oluci ón tempora l de l a humedad para 3 pun tos en rM/2.. 45.

(46) Contenido de humedad X (base seca). 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0. 5000. 10000. 15000. Tiempo (seg) 0.0001, 0.0038. 0.00058, 0.0038. 0.0001, 0.0038. 0.00058, 0.0038. Figura 20. Ev olu ción tempora l de la humedad p ara 2 pun tos en z = 0.0038.. La evolución t emporal de la hum edad, muestra al igual que la tem per atur a, que cambia m ás rápidamente en el elipsoide alargado. Las difer encias en el tiempo de equilibro difusiv o son not ables, siendo aproximadam ente 12000 s egundos en el elipsoide alargado y más allá de 16000 en el elipsoide aplast ado. Esto, por la misma razón: la geometr ía es más pequeña y las fr ont eras est án más cerca de los puntos int erior es.. 46.

(47) Distribu ción espacial de la humedad De forma sim ilar a la t emperat ur a, se gr afica el cont enido de hum edad en base seca (X) para 3 tiempos específicos: 120, 4000 y 12000 segundos.. Algoritmo de Osorio: Elipsoide alar gado. Figura 21. De izq. a de r.: Distribu ción de Humedad b . s. a 120 seg . (2 min .), a 4000 seg. (1 h 7 min) y a 12000 seg (3 h 20 min), alg oritmo O sori o. Humedad de equilib ri o: 5.72 %. Algoritmo Londo ño: Elipsoide Aplastado. 47.

(48) Figura 22. D e arriba a abaj o.: Distribuci ón de Hu medad b. s. a 120 se g. (2 mi n.), a 4000 seg. (1 h 7 min) y a 12000 seg (3 h 20 min), algori tmo Londoño. Humed ad de equilibrio: 5.72 %. Se observ a que éstos diagr am as son coher ent es con los resultados observ ados en las gr áficas Humedad vs. Tiem po (figs. 18 a 20) porque para t iempos equiv alentes la geometría de elipsoide alar gado present a m enores valor es de humedad que el elipsoide aplast ado.. 6.3. ESFUERZOS ESFUERZ O M ÁXIMO PRINCIPAL Y DIRECCIONES. Con la definición del E.M .P dada en la sección Planteamiento Matemático , se procede a determinar esta magnitud a tr av és del t iempo sobr e los 9 puntos claves del dom inio, para un post erior análisis. Luego de determ inar est a ev olución temporal se escogen tiem pos claves y se analizan cada uno de los esfuerzos de manera individual. 48.

(49) Evolución Temporal del Esfuer zo Máximo Principal: Magnitudes. 50 40 30 Esfuerzo (MPa). 20 10 0 ‐10 ‐20 ‐30 0. 4500. 9000. 13500. 18000. Tiempo (segundos) 0.00005, 0. rm/4, 0. rm/2, 0. rm, 0. 0.00005, 0. rm/4, 0. rm/2, 0. rm, 0. Figura 23. Val or del EMP a través del tie mpo en 4 pun tos del semiej e men or. 60 50. Esfuerzo (MPa). 40 30 20 10 0 ‐10 ‐20 ‐30 0. 5000. 10000. 15000. 20000. Tiempo (segundos) 0.00005, rM/2. 0.00056, rM/2. 0.00125,rM/2. 0.00005, rM/2. 0.00056, rM/2. 0.00125, rM/2. Figura 24. Val or del EMP a través del tiempo en 3 pun tos en z = rM/2 .. 49.

(50) 40. Esfuerzo (MPa). 30 20 10 0 ‐10 ‐20 0. 3500 0.0001, 0.0038. 7000 0.00058, 0.0038. 0.0001, 0.0038. 0.00058, 0.0038. 10500. Figura 25. Val or del EM P a trav és d el tiemp o en 2 pun tos en z = 0.0038 .. Primero que todo se observa que en el tiempo inicial se pr esent a un cr ecimiento repentino de los esfuer zos en los puntos del borde evidenciando un problema en algún parám etr o de simulación. Probando cambiar v arios par ámetros se encontró que el par ámetro hm es el mayor candidat o a no estar correcto, ya que simulando a t emper atura ambiente y velocidad cero en el aire secant e, ést e genera espont áneament e un cam bio en los esfuer zos en el borde, lo cual ser ía completament e incoherente con lo que se present aría en un proceso real. Comparando los dos m odelos encontramos que el esfuerzo en el caso de Londoño no pr esent a relajación, sino que se est abiliza en un v alor determinado a tensión, aproximadamente 18 MPa. Est e v alor es similar a si el arr oz al expandirse quedar a con el esfuerzo r esidual debido a la pérdida de hum edad ∆. 0.5. 0.28. 0.24. 0.0572. 25.6. Esto se debe principalmente a la suposición de Deformació n Plana que Londoño consider ó en su modelo. Est o asume que el arroz queda “atrapado”, en analogía a una viga restr ingida en los extr emos y que int ent a expandirse por cambio de temperat ur a. Por ende, el modelo de deformación plana en 2D es incorr ecto par a este t ipo de análisis, siendo el m ás apr opiado el modelo cilíndrico axi‐simétrico. 50.

(51) En cuanto a la evolución de los esfuer zos, igual que con los otros par ám etros como humedad y t emper atura, esta se llev a a cabo de manera más rápida en el modelo axisimétr ico, y a que las t ensiones el gr ano dependen del cambio de hum edad el cual se lleva a cabo de igual m aner a. El problema que ahora sur ge en est e análisis es el desconocim iento de la dir ección de est os esfuerzos y hacia dónde se dirige la gr ieta en caso qu e el arroz se fr act ur e. Para esto se analiza la t endencia de las dir ecciones a través del tiempo y del espacio, en la sección Direccio nes.. 51.

(52) Evolución tem poral de las direcciones de los esfuerzos prin cipales Con el objet ivo de conocer la dirección de rompimiento para conocer la orient ación de las griet as en el grano, se det erm inan t ambién las dir ecciones del eje de coor denadas de los esfuerzos pr incipales en los 9 punt os clav es. Luego, determinando puntos clav e en el dom inio, se procede a determinar la evolución en varios t iempos par a un lugar del espacio det erminado.. Rotación del esfuerzo principal (Grados). 1 0,5 0 ‐0,5 ‐1 ‐1,5 ‐2 0. 2000. 4000. 6000. 8000. 10000. 12000. 14000. 16000. 18000. Tiempo (segundos) (0, 0). (rm/4, 0). (rm/2, 0). (rm,0). 0.00005, 0. rm/4, 0. rm/2, 0. rm, 0. Figura 26. Val or de l a direcci ón d e l os esfuerz os a través del tiempo en 4 pun tos d el semiej e menor.. Se observa que la dir ección de los esfuerzos principales para estos puntos es relativam ent e estable en el t iempo, per o en su pequeña variación se comportan de maneras diferentes. Por ejemplo, se empieza a observ ar que los puntos m edios present an var iaciones difer ent es a los otr os puntos. Como el esfuerzo máximo principal en (rm /2, 0) par a el caso del algoritmo de Osorio, es mucho mayor al de los dem ás , su comport amiento se ilustra más claramente en la figura 27.. 52.

(53) Rotación del esfuerzo principal (Grados). 5 0 ‐5 ‐10 ‐15 ‐20 ‐25 ‐30 ‐35 0. 5000. 10000. 15000. Tiempo (segundos) 0.00005, 0. rm/4, 0. rm/2, 0. rm, 0. Figura 27 . Di recciones de los puntos en z = 0 , para el algoritmo de Osorio.. Rotación (Grados). Para los dem ás puntos: 30 20 10 0 ‐10 ‐20 ‐30 ‐40 ‐50 0. 5000. 10000. 15000. 20000. Tiempo (segundos) (0, rM/2). (0.00056, rM/2). (0.00125, rM/2). 0.00005, rM/2. 0.00056, rM/2. 0.00125, rM/2. Figura 28 . Valor de la di re cci ón de l os esfuerzos a tra vés del tiempo e n 3 puntos de z= rM /2.. 53.

(54) Rotación (Grados). 60 40 20 0 ‐20 ‐40 ‐60 0. 5000. 10000. 15000. 20000. Tiempo (segundos) 0.0001, 0.0038. 0.00058, 0.0038. 0.0001, 0.0038. 0.00058, 0.0038. Figura 29. Val or de l a direcci ón d e los esfu erz os a través del tiempo en 2 pun tos d e z=0.0038.. Se observ a que la rotación del punt o en el bor de para los puntos clave aum ent a al subir en el eje z. Est o demuestr a que hay un comport amiento que par ece ser similar a la pendiente del bor de. Para est o se gr áfica la evolución de est a rot ación y se compara con la evolución de la pendient e en la sección Dir eccio nes en el borde. El cambio dr ástico de pendiente que sucede en el punt o (0.00058, 0.0038) par a el algor itmo de Londoño es debido a la discontinuidad pr esent ada en la función arcotangente, y no repr esent a ninguna discont inuidad física en la variable. Estas gr áficas nos indican comport amientos irregulares en los punt os medios como (rm/2, 0) y (0.00056, rM/2) y comport amientos más estables en las front eras del dominio. Para el algoritmo de Londoño, est a est abilidad en las direcciones de los esfuer zos par a los punt os que se encuentr an en la fr onter a conv ectiv a, es m enor com parando el nuevo algoritmo axi‐ sim étrico, el cual es casi completamente estable, evidenciando otr a mejora sustancial en la solución present ada. Evolución Espacial del Esfuerzo Máxim o Principal Magnitudes Se gr afica el Esfuer zo Máximo Principal a través del eje m enor, para ver cómo ést e cambia desde el int erior hast a el bor de del grano, par a 2 difer ent es tiem pos: 120 y 4000 segundos.. 54.

(55) 50 40 Esfuerzo (MPa). 30 20 10 0 ‐10 ‐20 0. 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001 0,0012 0,0014 Radio menor (m) EPM Osorio. EPM Londoño. Figura 30. Esfuerz o Máximo Principal a través del semieje menor. 120 Segund os. 30 25 20 15 10 Esfuerzo (MPa). 5 0 ‐5 ‐10 ‐15 0. 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008. 0,001. 0,0012 0,0014. Radio menor r (m) EPM Osorio. EPM Londoño. Figura 31. Esfue rzo Má xi mo Pri ncip al a trav és del se miej e men or. 4000 Segund os.. Cuando el tiem po aumenta la discont inuidad encontr ada en el algoritmo se expande a tr avés de la front era 2 y acent úa cuando nos acercamos a r = 0. Esto produce muchos problemas al momento de gr aficar en Fr eeFem, ya que esta zona 55.

(56) acumula todos los ór denes de m agnitud de los esfuerzos y las demás zonas se gr afican con una escala y un gr ado inadecuado, olvidando los lugar es que físicamente son import antes, com o el bor de. A est e tiempo se observa par a el algoritmo de Londoño, que el arroz se encuentr a complet ament e a t ensión, lo cual, como se explicó anteriorment e, es debido a la suposición de deformación plana que se hace en un análisis bidimensional de esfuer zos.. Dire cciones en el espacio. Figura 32. D e izq. A der. Direcci one s (en grados) para 120 segundos, 500 se gundos y 4000 segundos. Al gori tmo Osorio.. 56.

(57) Figura 33. De arriba a abajo. Direccio nes (en g rados ) para 120 seg undos, 500 segundos y 4000 segundos. Algoritmo Londo ño.. 57.

(58) Podemos observ ar en est os diagr am as que la dirección se mantiene relativ ament e constant e a tr avés del tiempo en el borde y sufre de cam bios dr ást icos en los puntos interior es del dominio, par a los dos algoritm os. Algo muy similar en lo evidenciado por los diagr amas Dir ección‐Tiempo para los 9 puntos del dom inio. La dirección tampoco cambia not ablemente en las front era 2 de sim etría, a difer encia de la zona en r = rm/2, donde ést as dir ecciones se “est abilizan” hast a pasado un largo tiempo. El diagr ama pr esent a problem as en una pequeña fr anja entr e los colores morado y amarillo, el cual es debido a la discontinuidad de la función arcotangente.. 58.

(59) Dire cciones en el borde a cu alqu ier tiempo A trav és de todo el análisis de dir ecciones, t anto t empor al como espacial, y ya que ésta es la zona crít ica donde se producen las fr act uras, se escoge el bor de como un lugar par a llevar a cabo un análisis más det allado del comport amiento de las direcciones, y de est e modo saber la dir ección de las griet as en el grano y corrobor ar el modelo utilizado y si arroja result ados físicamente coherentes.. 60. Rotación (Grados). 40 20 0. ‐20 ‐40 ‐60 0. 1. 2. 3. 4. 5. Eje mayor en el punto del borde (mm) Osorio. Londoño. Pendiente. Figura 34. Di rección de los esfuerzos principales para el bo rde. 120 seg undos.. Se observa que la dir ección del esfuerzo principal es tiende a parecerse a la pendient e del bor de del grano, si se toma la sección bidimensio nal axi‐simétr ica. Esto nos dice que las grietas del grano hacen que éste se rom pa relativ ament e perpendicular al borde en el caso del rom pimiento por los esfuer zos no angular es. Los puntos que sí son completam ent e equiv alentes en pendient e y dirección son el punto (rm, 0) y (0, rM). La discont inuidad, como se ha dicho, ant eriorment e, es debido a la función arcotangente. Hay que t ener en cuent a que los punt os tom ados para Jairo Londoño pueden t ener variaciones en el t iempo como se observó en la sección Dir ecciones en el tiempo .. 59.

(60) ESFUERZ OS INDIVI DUALES. Con el fin de conocer con may or profundidad la natur aleza de los esfuerzos en el gr ano y saber cuál de todos los esfuer zos por component e es el que más influy e en el sur gimiento de griet as, se observa gr áficamente su magnit ud en todo el dom inio en tiempos det erminados y se analiza cada uno de los esfuerzos del t ensor. A 120 segundos Se escoge este t iem po y a que es cercano al cual el arroz se fractur a en est e modelo. Los esfuerzos en cada eje se gr afican par a post er iormente com ent ar sobr e estos result ados.. Figura 35 . De i zq. A der.. ,. Figura 36 . Esfuerzo co rtante. y. para el algoritmo de Osorio. 120 segundos.. en el algoritmo de Osorio. 120 s egundos .. 60.

(61) 61.